ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ТИПА СВЕРТКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

График опозданий сотрудника

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Беличенко К. В., Соболев В. М. Учет рабочего времени сотрудника с помощью технологий RFID // Математическое и компьютерное моделирование в экономике, страховании и управлении рисками : сб. материалов V Между пар. молодежной науч,-практ, копф. : в 2 т. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2016. Т. 2. С. 318-321.

2. Трыпип. А. Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором но синкам // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7, С. 124-127.

УДК 517.984

Н. П. Бондаренко

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ТИПА

СВЁРТКИ

Рассмотрим интегродифференциальную систему Дирака следующего вида:

рх

Бу' + м(х — г)у(г) йу = Ау, (1)

Jo

б=(-л), м(х)=(*Х) —ру, у(х)=($х)),

где А — спектральный параметр, р(х) Е Ь2(0,п), (п — х)д(х) Е Ь2(0,п). Обозначим через Ь краевую задачу для системы (1) с краевыми условиями у! (0) = у!(п) = 0. В работе решается следующая обратная задача: по заданному спектру задачи Ь построить функции р и д.

Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач получены для дифференциальных операторов Штурма Лиувилля и Дирака (см. монографию [1] и список литературы в ней). Интегро-дифференциальные операторы являются нелокальными и требуют особых методов исследования. В работе [2] получено решение обратной задачи для интегродифференциального уравнения Штурма Лиушыля. В статье [3] изучена обратная задача для системы Дирака вида (1) в симметричном случае, когда M(x) = ^ ^(Х) р(х))' (п _ x)p(x) £ L2(0,n),

(п — x)q(x) £ L2(0,n). В данной работе мы развиваем подход [2, 3] для исследования обратной задачи для системы Дирака вида (1) в частном несимметричном случае, в котором для восстановления функций p и q достаточно одного спектра.

Обозначим через S(x, Л) решение системы (1) при начальных условиях

Si(0,A) = 0, S2(0^) = —1.

S(x, Л)

px

S(x, A) = So(x,A)+ / K(x,i)So(i,A) d£, (2)

J o

K = aKil K22) • So(x,A)=a^coAXx).

Собственные значения краевой задачи L совпадают с пулями характеристической функции Д(Л) := S1(n, Л), которая согласно (2) предста-впма в виде

РП

Д(Л) = sin Лп + / (Kn(n,£)sin A£ — Ki2(n,£) cos A£) d£. (3)

o

Подстановка решения (2) в систему (1) дает интегральные уравнения относительно K/m(x,£), 1,m = 1, 2. Составляя и решая эти уравнения, можно показать, что функции

d

wi(i) = — d^Ki2(n,n — £), w2(i) := —K11 (п,п — i) (4)

принадлежат Ь2(0,п) и удовлятворяют соотношениям вида

«лк)=р(е)+ЕЕ п5((п-1) (р*5*?*(п-5))(е)+

п=2 5=1 \ (П 1)!

+ (р*5 * я*(п-5) * яП-и(п - £,т))(£^ , (5)

~ " /^(п - £)п ( ,

«2(£) = (п - емо+Е Е п5( ,е) (р*5 * я*(п-5)(е)+

п=2 5=0 V П

+ (р*5 * я*(п—) * Я^(п - £,т))(£^ . (6)

Здесь используются обозначения

рх

(/ * 0)(я)=/ /(х - т)0(т) ¿г, /*п = / * / *•••* /,

,/0 -

п

символ т обозначает переменную интегрирования в свёртках,

п-1 ев тп-1-в

т) = £ |[(п_ ^ д)!. п е N. 1 = к = 1,2,

коэффициенты и М0ГУТ быть непосредственно вычислены и удовлетворяют оценке

п п- 1

Е Е + <С4п, п е N.

5=0 \ в=0 )

с некоторой константой С.

Равенства (5)-(6) можно рассматривать как систему нелинейных интегральных уравнений относительно неизвестных функций р и д. Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Система (5)-(6) при любых «1, «2 е Ь2(0,п) имеет, единственное решение р, я, такое что р(х) е Ь2(0,п)7 (п-х)я(х) е е £2(0,п).

При помощи представления (3) для характеристической функции получен следующий результат.

Теорема 2. Спектр краевой задачи Ь представляет собой счётное множество собственных значений {Ак}ке^ следующего вида:

Ак = к + к, {к} е /2, {к(к + к-к)} е /2. (7)

Опираясь не теорему 1, мы показали, что условия на собственные значения (7) являются не только необходимыми, но и достаточными, доказали единственность и получили конструктивный алгоритм решения исследуемой обратной задачи. Основной результат работы сформулирован в следующей теореме.

Теорема 3. Для любой последовательности комплексных чисел {Xk}kez вида (7) существуют единственные (с точностью до значений на множестве меры нуль) функции, p(x) и q(x), такие что p(x) Е L2(0,n)7 (п — x)q(x) Е L2(0, п) и {Xk}kEZ является спектром

соответствующей краевой задачи L. pq

1. По заданной последовательности {Xk}kEz построить функцию A(X) по формуле

Д(Х) = п(Х — X„) П ^X e*p( X).

k=0 v '

2. Используя представление (2), найти функции Кц(п,^^ К\2(п,^) при помощи обратного преобразования Фурье.

3. Построить функции w\, w2 по формулам (4).

pq

Работа выполнена при финансовой поддержке РИФ (проект Ms17-11-01193).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М, : Физматлит, 2007.

2. Buterin S. A. On an inverse spectral problem for a convolution integro-differential operator // Results in Mathematics. 2007. Vol. 50, № 3-4. P. 73-181.

3. Bondarenko N., Buterin S. On recovering the Dirac operator with an integral delay from the spectrum // Results in Mathematics. Published online. 2016 June. P. 1-9.