ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С УСЛОВИЯМИ РОБЕНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

С. А. Бутерин

ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА^ЛИУВИЛЛЯ С УСЛОВИЯМИ РОБЕНА

Поступила в редакцию 05.05.2018 г. 1. Пусть {Ап}п>о - спектр краевой задачи Ь = Ь(у, М, Н, Н) вида

пX

-у" + д(х)у + М (х - г)у(г) &г = А у, 0 <х<п, (1)

о

и (у) := у'(0) - Ну(0) = 0, V (у) := у'(п) + Ну(п) = 0, (2)

где q(x), М(х) - комплекснозначные функции, причем д(х) € Ь2(0,п), (п — х)М(х) € Ь2(0,п), и Н, Н € С. Справедлива следующая теорема.

Ь

и кп\2

Ап = п + —+ — , {кп}€ 12. (3)

V пп п у

При, этом

1 Г

и = Н + Н + - д(х) ё,х. (4)

2о

В работе исследуется следующая обратная задача: по заданному спектру {Ап}п>0 найти функцию М(х) и число Н в предположении, что д(х) и Н известны априори. Заметим, что в силу (3), (4) альтернативно

НН Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач получены для дифференциальных операторов (см. обзоры в [1, 2]). Первое подробное исследование обратной задачи для уравнения (1) с краевыми условиями Дирихле было предпринято в [3], а в [4] было получено ее глобальное решение. В [5] получено решение в случае д(х) = 0 и краН = 0,

М(х), а именно, когда под интегралом в (1) вместо у(Ь) присутствует у'(Ь). Отметим, что краевые условия Робена вносят существенные трудности в исследование обратной задачи. В настоящей работе с помощью

развития идей работы [4] устанавливается единственность решения рассматриваемой обратной задачи и доказывается, что асимптотика (3) является необходимым и достаточным условием ее разрешимости. Иными словами, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть задана комплекснозначная функция д(х) € Е Ь2(0,п) и число Н Е С. Тогда, для всякой последовательности комплексных чисел {Лп}п>0 вида (3) существует единственная (с точностью до значений на множестве меры нуль) функция М(х), (п — х)М(х) Е Ь2(0,п), и единственное число Н Е С, такие что {Лп}п>0 является спектром соответствующей краевой задачи Ь(д,М,Н,Н) вида (1), (2).

2. Пусть ^>(ж,Л) - решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям и= 0, ^(0,Л) = 1. Тогда собственные значения задачи Ь с учетом кратности совпадают с нулями целой функции Д(Л) = = Vкоторая называется характеристической функцией задачи Ь.

Лемма 1. Положим р2 = Л. Имеет место представление

рX

^>(ж,Л) = ео8 рх + К(ж,^)еов р(х — £)

ио

где К(х, £) = К(х, д, Н, М) - решение интегрального уравнения

-t

2K(x,t) = 2h + / q(T) dr + / q(т) dr + / (x - т)M(т) dr+ Jo Jo Jo

PX—t ft+T l>t pt-r

+ / dW q(£)K— т) de + / dW q(0K(e,e — т) de+

Jo Jt Jo Jt

px— t p2x—t—T

+ dт / q(e)K(e,^ — т) de+

J x—t Jt

pt pxx—t pt—T

+ / M(т) dW ds / K(e + s,e) de+ Jo Jo Jo

/•t Г tlT t—t—2s

+ / m(т) dW dW к(e + s,e) de+

Jo Jo Jo

/>t px—^ /* 2(x—s)—t—T

+ / M(т) dW ds / K(e + s,e) de, 0 < t < x < п.

Jo Jx—t Jo

С помощью леммы 1 нетрудно получить следующее представление:

РП

Д(А) = — р sinрп + ш cos рп + w(x)cos pxdx, w(x) Е L2(0,n). (5)

o

x 2

При этом и определяется формулой (4), а функция ^(х) - формулой (6):

Цп - х) = К^п, х; д, Н, М) + К2(п, х; д, Н, М) + НК(п, х; д, Н, М), (6)

где КДх, ¿; д, Н, М) = Кх(х, ¿) и К2(х, ¿; д, Н, М) = КДх, ¿).

На соотношение (6) можно смотреть, как на нелинейное уравнение относительно функции М(х), которое назовем основным уравнением обратной задачи. Следующее утверждение занимает центральное место в доказательстве теоремы 2.

Теорема 3. Длл любой функции /ш(х) € Ь2(0,п) нелинейное уравнение (6) имеет единственное решение М(х), (п - х)М(х) € Ь2(0,п). Доказательство основано на развитии идей работы [4]. Всякая функция Д(А) вида (5) обладает счетным множеством нулей Ап, п > 0, вида (3) (см., например, [1, 2]), откуда, в свою очередь, вытекает утверждение теоремы 1. Кроме того, известными методами (также см. [1, 2]) доказываются следующие два утверждения.

Д(А)

лями однозначно. При этом имеет место формула

Д(А) = п(Ао - А) П ^. (7)

п

п=1

Лемма 3. Пусть заданы произвольные числа Ап € С, п > 0, вида (3). Тогда, функция Д(А), определенная формулой (7), имеет вид (5).

Доказательство теоремы 2. По заданной последовательности {Ап}п>0 вида (3) строим функцию Д(А) по формуле (7) и находим число Н из соотношения (4). Согласно лемме 3 построенная функция Д( А) имеет представление (5) с некоторой функцией^(х) € Ь2(0,п). Пусть М(х) является решением уравнения (6) с найденными Н, эд(х) и заданным Н. Рассмотрим соответствующую краевую задачу Ь = Ь(д, М, Н, Н). Легко

Д(А)

функцией этой задачи Ь, а значит, спектр последней совпадает {Ап}п>0.

Единственность числа Н очевидна, а единственность функции М(х) следует из единственности решения основного уравнения (6). □

Замечание. Доказательство конструктивно и дает алгоритм решения обратной задачи.

Работа выполнена в Саратовском университете при, финансовой поддержке Российского научного фонда (проект Жд 17-11-01193).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, Киев : Наук, думка, 1977,

2, Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач, М, : ФИЗМАТ. IIIT. 2007.

3, Юрко В. А. Обратная задача для интегро-дпфференцпальных операторов // Матем, заметки. 1991. Т. 50, вып. 5. С. 134-146.

4, Бутерин С. А. О восстановлении сверточного возмущения оператора Штурма-Лиувилля по спектру // Дифференц, уравнения, 2010, Т. 46, вып. 1, С, 146-149,

5, Buterin S. A., Cheque Rivero А. Е. On inverse problem for a convolution integro-differential operator with Robin boundary conditions // Appl. Math. Lett. 2015. Vol. 48. P. 150-155.

УДК 514.76

С. В. Галаев

БС^-МНОГООБРАЗИЯ С ОБОБЩЕННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ

СХОУТЕНА^ВАН КАМПЕНА

Поступила в редакцию 25.05.2018 г.

Существенный вклад в развитие геометрии квазисасакиевых многообразий (С^Б-многообразий) внесли В.Ф. Кириченко и его ученики [1]. В работе [1] получены условия, при которых квазисасакиево многообразие локально устроено как произведение сасакиева и кэлерова многообразий. Изучаемые в настоящей работе (^-многообразия названы специальными квазисасакиевыми многообразиями (БС^-многообразиями). БС^-многообразие является частным случаем почти АР-многообразия -почти контактного метрического многообразия с заданной на нем структурой почти произведения. Впервые понятие БС^-многообразие введено в работе [2], там же были рассмотрены некоторые примеры БС^-многообразий. В настоящей работе БС^-многообразие наделяется связностью с кручением - обобщенной связностью Охоутени пин Кампена [3].

Пусть М — гладкое многообразие нечетной размерности п = 2т + 1, Г(ТМ) — модуль гладких векторных полей на М. Предположим, что па М задана как почти контактная метрическая структура (М, £, п, р, д, , где р — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, или допустимой почти комплексной структурой, вектор и ковек-

тор, называемые соответственно структурным вектором и контактной формой, д — (псевдо) риманова метрика [4-7]. Гладкое распределение