CC BY
11
ЛЕММА 4. Пусть J - любой конечный набор натуральных чисел.
Тогда существует С> 0, не зависящая от J, что
I
keJ rt
^ с (1
норма в пространстве операторов над Ь2[0,1]).
В том случае, когда все контуры , входящие в J, одинаковы, этот факт устанавливается также, как в случае дифференциальных операторов с двухточечными краевыми условиями. Общий случай сводится к этому, так как в силу рассуждений выше любой набор У можно разбить на ограниченное число множеств индексов, для которых все \\ одинаковы.
ЛЕММА 5. Система собственных и присоединённых функций (с.п.ф.) оператора Ь полна в ¿2[0,1]-
ТЕОРЕМА. Система с.п.ф. оператора Ь образует базис Рисса со скобками в [0,1]. При этом в скобки нужно объединять лишь те с.п.ф., которые отвечают собственным значениям, попавшим в контуры ГА.
УДК 517.984
Д. С. Лук-омский
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ТОЧКОЙ ПОВОРОТА НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ*
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
y"{x) + {p2r(x) + ipp{x){x) + q(x))= 0, дсе[0,я]. (1)
Пусть а>0, r(x) = sign(x - а) на [0,7i], р(х), р'(х), q(x) е L(0,оо), р(х) - абсолютно непрерывна.
Обозначим П+ := {р : ±1шр > 0}, П = П+ иП_. Пусть Ф(х,р) является решением уравнения (1) при условиях: £/(Ф) = 1, Р(Ф) = 0, где линейные формы U и V заданы следующим образом:
t/W:=/(0)-(ß,P + ßoMO), K(j):=y(7r)-(ß2p + ß3M*). (2) Здесь ß,-, i = 0,3 - комплексные числа и ß, ^ ±1, ß2 * ±i ■
Функция Ф(х, р) называется решением Вейля, а М(р):=Ф((), р) -функцией Вейля задачи (1), (2). Последнее условие исключает из рассмотрения задачу типа Редже [1], которая требует отдельных исследований.
' Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования (проект Е02-1.0-186), программы «Университеты России» (проект ур.04.01.042), Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00007), гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1),
Поставим задачу следующим образом: по данной функция Всйля построить коэффициенты пучка (1), (2).
Наряду с Ф(х, р) введём решения уравнения (1) ф(х,р), 5(х,р) и \|/(дг,р) с условиями: ф(0,р) = 1, ф'(0,р) = р,р + (30, следовательно, £/(ф) = 0, 5(0,р) = 0, 5'(0,р) = 1, а значит, (7(5) = 1 и \|/(л,р)=1, М/'(тс,р) =р2р + и тогда К(\|/) = 0.
Известно [2], что для х>а, ре П,| р |> р* существует фундаментальная система решений 2 уравнения (1) такая, что при | р |—> оо,р е П± равномерно при х>а\
где д(х) = У2%р(1)Л.
Аналогично при х е [0, а], р е П, | р |> р* существует фундаментальная система решений {.^'"Ч^рЭЬ^г такая, что реП±,р->оо равномерно при х е [0,а]:
Обозначим А(р) = -К(ф) . Функция А(р) называется характеристической функцией задачи (1), (2). Используя фундаментальные системы решений (3) и
(4), граничные условия на функцию ф(х,р) и условие непрерывности ф(х, р) и её производной в точке х = а получаем при х е [0, а]:
ф<«>(*,р) = 1±Р1(-Р)'»<?(-^+'ем)[1] + -<№))[]],
и при хе[а,7с]:
Ф(,Я)(*,Р) =
= в(Ф0+ Р,) (1 + /)е(-р«+<йМ) +1(! _ Р1) (! _ /) еР" j + + е(-/р(д:-0)+ев М)^! + р( )(1 _ 0е(-Р*+Ша)) +1(! _ Р|)(! + ¿у-'&м^
где *)А.
Аналогично получаем при х е [0,а]:
= 1ер(а-х)+/ем-<е(а)^е/р(в-п)+,еа(п)1 ~ (М -' - (Ъ +
| /р(П-д)-еа(П) 1 + Р2' + '~Р2>| . 1 сР(х-а)+1е1(д)//р(д-П)+ео(П) х 2 ) 2 1
1 - ß2i + i + ß2 + eip(U-a)-Qa(П) 1 + ßZ' " ' + ßj
а при x e [а,и]:
ЧЛ"'(*,Р ) = (ip)-Li2ie/p(x-
Очевидно, что справедливы представления
ф(*,р) = s(x,р) + м(р)Ф(х,р) = , м(р) = V4rv] •
Д(р) Д(р)
Получим асимптотику для решения Вейля и функции Вейля. Пусть, для определённости, р е (О,к/2). Тогда имеем
ф(х,р) + i)e P"-«(»)e-«'-e)+ß. W[i], х е [а, 71],
(5)
V(x,p) = 1" ßz'"" ß2 W[1]t хе[0>а],
4
V(x,p) = zi(i±Me«x-)+C,(-)[1]j x e [e> я];
Ф(х,р) =
1
P(l-Pi)
-p* + 'ßW
[1], XE[0,a],
Ф(х,р) =
-p a + iQ(a) ip (лг -a)-Qa (x)
p(i-ß,)d + 0
[1], X E [а,7t],
M(p) =
1
(6)
Р(1-Р,)
Обозначим задачу (1), (2) через Вместе с задачей Ь рассмотрим задачу Ь того же вида, но с другими коэффициентами. Договоримся, что если некоторый символ у обозначает объект, относящийся к задаче Ь, то символ у обозначает аналогичный объект, относящийся к I.,
При введённых выше обозначениях справедливо следующее утверждение:
ТЕОРЕМА. Пусть М(р) = М(р), тогда 1 = 1.
Доказательство. Рассмотрим матрицу P(x,p) = [Pjk(x,p)]j 2, определённую равенством
Я(х,р)
фО.р) Ф(л,р) ф'(х,р) Ф'(х,р) 84
ф(х,р) Ф(х,р) ф'(х,р) Ф'(*,р)
(7)
Используя полученную ранее асимптотику для ф(х,р) и Ф(.у,р), нетрудно получить следующие оценки: | Ри(х,р) |< С, | Р12(х,р) |< С | р |-1. Так как М(р) = М(р), то функции [Pjk (x,p)] ■iA=1j2 будут целыми по р, следовательно Рп{х,р) = 0, Р\\(х,р) = 1\(х). Далее, используя (5) - (7) и проводя необходимые преобразования, получим ф(х, р) = ф(х, р), Ф(х,р) = Ф(х,р), и следовательно L = L
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Regge Т. Construction of potentials from resonance parameters // Nuovo Cimento. X. Ser. 1958. Vol. 8. P. 491 - 503.
2. Rykhlov V. S. Asymptotical formulas for solutions of linear differential systems of the first order // Results Math. 1999. Vol. 36, №. 3-4. P. 342 - 353.
УДК 517.51
С. Ф. Лукомский
РЯДЫ ФУРЬЕ - УОЛША ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА'
Пусть
Ч1,Р
/:||/11¥>Р =
dt
/ (О Г
v(0 J '
<+<»k (р>1)
- пространство Лоренца, порождённое функцией V|/(/), удовлетворяющей условиям:
1) V(0 >0 на (0,1];
2) чЧО убывает и выпукла вниз на (0,1);
г dt
3) I----<+оо;
о ЧР(Ф
4)V|-|<
1 + -
С
1 + log-
4/(0 (с> 0).
t J
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 03-01-00390), программы Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.040).
