Обратимая динамика мехатронных систем и методы синтеза модальных и инвариантных регуляторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБРАТИМАЯ ДИНАМИКА МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ И МЕТОДЫ СИНТЕЗА МОДАЛЬНЫХ И ИНВАРИАНТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ

Бакурадзе А.М.,

старший научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки, Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации Российской академии наук (СПИИРАН), Санкт-Петербург

Рассматривается широкий класс мехатронных устройств (МУ), уравнения динамики которых разрешимы относительно управления на подпространстве. Для этих МУ формулируются критерии обратимости и управляемости и приводятся связанные с ними канонические нелинейные преобразования пространства состояний и управлений МУ. Синтезируются робастные, адаптивные и инвариантные законы управления, обеспечивающие асимптотическую устойчивость и желаемый характер затухания переходных процессов. Приводятся оценки ро-бастности и исследуются условия инвариантности обратимых МУ по отношению к неизвестным параметрическим и внешним возмущениям.

Развитие теории систем управления в условиях неопределённости в приложении к мехатронным устройствам (МУ) требует учёта и формализации специфических свойств нелинейной динамики двигательной системы (ДС) МУ и синтеза законов управления для управляющих систем с новыми типами обратной связи через информационную (сенсорную) систему. Важные результаты в этом направлении получены в теории самонастраивающихся, бинарных и адаптивных систем [1-9]. Излагаемые ниже новые результаты дополняют и развивают, предложенные в [3-11], методы робастного и адаптивного управления обратимыми МУ и динамическими системами в условиях неопределённости.

Рассмотрим управляемую ДС МУ, описываемую нелинейным дифференциальным уравнением

является критерием разрешимости уравнения (1) относительно и на пространстве Рр, т.е. критерием обратимости ДС МУ на подпространстве. Будем называть модель динамики ДС в форме Коши (1), удовлетворяющую этому критерию, обратимой ДС (ОДС) [2-4].

Р

Подмножество р является инвариантным подпространством ОДС (1.1), т.е.

(х(г), х(г)) е Рр ,если (х^ )) е Р. (4)

Обратная модель динамики ДС, эквивалентная прямой модели (1.1), в общем случае описывается соотношениями

и = и(х,х-л,£), (х,х-л) е Рр, х(г0) > х0, г > г0 .

Поскольку внешнее возмущение л не изменяет

Р

структуру ОДС, то с учётом линейности р должно выполняться структурное ограничение

(0,*) е PF (£) Q^ , t > to .

(6)

Допустимым управлением ОДС (1) называется кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая ограничению

и(г) е аи, г > го . (7)

Вектограммой ОДС (1.1), (2.1) будем называть множество

х - F(x, и,£) + *, x(to) - х°, t > to , (d z = . z = f (x, Qu ,£) +ж,Хо е Qx, u е Q* £ е Q£,*е Q*\

(1)

где х еЯп - вектор состояний, иеЯш - вектор управлений, £еЯр - вектор варьируемых параметров, л - вектор-функция внешних возмущений; х =dx/dt, Б - оператор, удовлетворяющий условиям существования и единственности

решения (1) при заданных и, л и хо. Предположим, что уравнение динамики ДС в форме Коши (1) разрешимо относительно управления на подмножестве

(8)

характеризующее множество управляемых движений ДС МУ. Множество Ъ обычно не является строго выпуклым. Если же Ъ - выпуклое множество, то любое движение ОДС (1) при допустимом управлении (7) и любых

£ и ле ал, удовлетворяющих (6), является частным решением (1). Это справедливо и для программного

движения

хр (t)

соответствующего программному

Pf (£) - )(х, F (х, и,£)): х е Rn, и е Rm, £ е

(2)

управлению, реализуемому управляющей системой в виде up (t) - U(х„,х„ ,£Х и„ (t) е Qu, t > to •

где - класс варьируемых параметров,

т.е. существует обратный оператор и = р такой, что

(9)

Областью достижимости ОДС (1.1) МУ за время Т будем называть множество конечных состояний

Z -F^U^,z,£),£),V (х,u,£) е Pf х Qs .

(3) D(T) -Id: d - Xo +1(F(х,Qu,£) + *)ds,£ еQ^* еQ*

ДС (1.1) имеет постоянную структуру в классе варьируемых параметров £, если

Рр(£1) = Рр(£2), У£1,£2 е 0>£

р\ъ1 р\ъь^2 ^. Это свойство гарантирует независимость множества частных решений (1) от па-

£ е а

раметров £ .

Необходимое и достаточное условие того, чтобы

Р

р было подпространством, сформулировано в [5,6]. Оно

е Qf,*^*i

I to J (io)

а областью управляемости - множество начальных состояний

Qx (t) -к: х(^ ) е D(T)\

х0 • х(гТ ) (11)

Программное движение является целенаправленным движением ДС и моделируется решением уравнения (1) при л=0 и законе управления, гарантирующим выполнение заданных граничных условий

хр(г0) = хо е а(Т), хр(гТ) = хТ е ДТ) • (12)

оопу Ъ

Пусть 1-----1 - выпуклая оболочка вектограммы

(8). Предположим, что программное движение механических систем удовлетворяет дифференциальному включению

. , ч conv Z хр(t ) е |_____ t e[i0,tT].

(13)

Тогда программное движение при допустимом программном управлении (2.3), является частным решением уравнения ДС (1), если выполняется структурное ограничение

(хр, Хр ) е РР (%), б^, г > (14)

В этом случае скорость реального движения ОДС при л=0 также удовлетворяет (13). Таким образом, ОДС (1) при указанных условиях является программно управ-

й х0 е б(Т) хт е Э(Т)

ляемои, т.е. для любых 0 уи т

xp(tXt £[t0'tTL

суще-

и про-

у=Ф(хД), w=T (y,u,t),

(15)

сводящими ОДС (1.1) при л=0 к различным каноническим квазилинеИным моделям [13]. Одна из этих мо-делеи имеет вид

У =

Py+Qw, y(t0)= Ф(х0,Ю), t > t0.

(16)

Здесь P и Q - блочные постоянные (nxn)- и (mxm)-матрицы вида [13"

/-\п-т I ✓"jn-m

P - т n-m , Q - m

Om т Om n-m. ^ m

(17)

I Or

а ' ^Р .

где - единичные и нулевые матрицы соответству-

ющеИ размерности; у - канонический вектор состоянии с т- мерными компонентами yi вида

У1 = х1.У2 = ■VI,-,Уг = Уг-ь У = со1 Су^-Уг)

Ш (18) а w - т-мерный канонический вектор управления вида

w=A-1(y,|) (u-b(y,|) ).

(19)

Нелинейные уравнения (3.4)-(3.7) охватывают уравнения Лагранжа и Чаплыгина для механических систем порядка n =2m с m степенями свободы, уравнения Лагранжа-Максвелла для электромеханических систем порядка n >3m, причём (mxm) - матрица-функция А является положительно определённой при всех допустимых значениях своих аргументов [2,3,9].

Для систем (3.4), (3.5) справедлив критерий Кал-

мана

rank

1 (Q,PQ,..., Pr-1Q) = n.

(20)

Следовательно, каноническая система глобально управляема по w. Программное управление в канонических и исходных переменных имеют соответственно вид

T

p(t) - QTeP('T-t)к-1(Ут -ePy0), K - J-t)QQTepT('t-t)dt,

'0

Up (t) = Л(Ф( Xp, t)£)wp + Ь(Ф( Xp, t), f ),

(21)

ствуют программные движения граммные управления (2.3), обеспечивающие перевод

ОДС МУ из Х° в Хт за конечное время Т.

Критерий глобальной управляемости нелинейных мехатронных ОДС (1) можно получить в форме критерия Калмана, известного из теории линейных систем [4,12]. С этой целью воспользуемся нелинейными взаимно однозначными каноническими преобразованиями пространства состояний и управлений МУ вида [9-11,13]

ру/ V V р, р к к (22)

а программное движение представимо в канонических координатах в аналитическом виде

г

хр (г) = Ф-1(У°, г°) +1 еР(' (з)Ж, хр (гт) = Ф-1(Ут, гт )•

(23)

Таким образом, нелинейная ОДС (1.1) МУ управляема, критерий управляемости имеет вид (3.8) а программное управление и программное движение, реализуемые в управляющих системах, получены в аналитической форме

(3.8)43.11).

Будем называть ОДС (1.1) МУ стабилизируемой, если существует закон управления, обеспечивающий асимптотическую устойчивость программного движения в замкнутой системе. Достаточным условием стабилизи-руемости ОДС является управляемость МУ.

Синтезируем нелинейный закон управления ОДС в

виде

и - и(х,Хр +Г£,£), (х,Хр + ГЕ) е РР (24)

где E=x(t)- хр(1)- уравнение переходного процесса, Г-(пхп) - матрица коэффициентов усиления с заданным

Л (Г))п

спектром г . Подставляя (25) в (1.1), получим

следующее уравнение переходных процессов.

Е - ГЕ + я, E(t0) - X0 - Xp (t0), t > t0.

(26)

Следовательно, замкнутая ОДС управляющей системы (1.1), (4.1) имеет наперёд заданные корни характеристического уравнения

п

&Л(А1И-Г) = п (Л-Лу (Г)) = 0

1----1 . (27)

Поэтому закон управления (4.1) управляющей системы МУ будем называть спектральным (или модальным [6]). Задавая спектр матрицы Г, можно обеспечить асимптотическую или экспоненциальную устойчивость программного движения и желаемый характер затухания переходных процессов.

Критерием стабилизируемости ОДС (1.1), (4.1) является следующее спектральное ограничение

КеЛу(Г) < 0, у -1,...,п . (28)

Предположим, что внешние возмущения л неизвестны, но удовлетворяют структурному ограничению (1.6) и ограничению вида

||rc(t)|| <сл, t>t0.

(29)

Тогда для переходного процесса в замкнутой ОДС справедлива оценка

—у(г—г ) —у(г—г )

||Б(1)|| < С е о ||Б(Ю)||+ССлу-1(1-е о ), 1> Ю, (30)

где

Г - max Л1 (Г),

с- положительное число, зависящее

только от Г. Отсюда следует, что ОДС робастна по отношению к внешним возмущениям, причём предельная точность е осуществления программного движения хр(^) ограничена заданным уровнем возмущений ел, а именно:

е > сСлу-1(1 — в-у(^),г > ^ (32)

W

Следовательно, ОДС (1), замкнутая ОС (23),(26), (27), е-инвариантна, причём при фиксированном уровне

возмущений Сл величина е может быть сделана сколь

угодно малой за счёт увеличения параметра у спектра Г. Если внешнее возмущение зависит от х(^) так, что существует L>0, удовлетворяющее условию

||л(хД)||<Ь||х||, х е Ох. t > Ш (33)

х (()

то ПД р будет экспоненциально устойчивым с оценкой переходного процесса вида

||Б©|| < с е(сЬ-у)(М0) ||Б(Ю)||, Ш0 . (34)

Следовательно, критерием экспоненциальной устойчивости программного движения и е-инвариантно-сти ОДС (1.1),(4.1),(4.4),(4.7) является

Xn, X (L ) G Q

tp(е) < to -(cL -гГ'НE(to)|1 c

-i

z(t) = j K(t, s)n(s)ds, (z = E(t) - e

r(t-to) E(to))

c невырожденным ядром K(t,s) =

= e

r(t-s)

r-1

К-1(г0,s) = ег((°") = £а,(и -s)ГJ

] =0 (41)

где г - степень минимального полинома л(Х) матрицы Г, а

а ((о s) - его коэффициенты.

Подставляя (41)в (40), получим УЮ^го,

w =|

| In,Г,Гn,...,Гr-i |, q =| ¡ф)а; (to - s)ds

(42)

Учитывая, что rank w = rank wT w =n, находим q(t) = (wTw)-1 wTv(t), v = er(to-t)E(t)-E(to).

(35)

Неравенству (4.9) можно удовлетворить за счёт увеличения параметра у спектра Г или уменьшения числа

L, характеризующего диаметр Ьх. Критерий (4.9) справедлив также в случае, когда

л(хД)= Вфх, ||Ва)||< Ь, Ш0 . (36)

Для времени затухания переходного процесса в ОДС (1.1) с возмущением (4.7) или (4.10) замкнутой управляющей системы (4.1), справедлива оценка сверху

форме

(43)

Будем искать возмущение л(^) в параметрической

n(t)=х а (to -1щ,

j=o

(44)

где

ß,

подлежащие определению n-мерные векторы.

V— I, —11-^0,11 - . (37)

Управляемость МУ является свойством, обратным свойству инвариантности по управлению. Действительно, 1-я координата состояния ОДС называется инвариантной к j-ой координате управления, если последняя не оказывает влияния на первую.

Критерием такой инвариантности для ОДС в канонической форме (3.4)-(3.7) является тождество

¥Р((-% = 0 V( е[(0,(],(б = ЬГ),

1 Ч (38)

которое справедливо тогда и только тогда, когда МУ не является глобально управляемым, т.е. когда нарушено (20).

На практике важно обеспечить инвариантность МУ по отношению к внешним возмущениям л(t). Это можно получить посредством идентификации или адаптивного оценивания неизвестного л(^) с последующим использовала )

нием оценки г у в законе управления типа (23), реализуемом управляющей системой.

Метод непосредственной идентификации основан

П()

на определении как решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода [12].

Подставляя (45) в (43), получим систему уравнений относительно А] с определителем Грама для линейно незави-а ((0 - ()

симых , откуда неизвестные векторы

А'1',"', Рг\ определяются единственным образом.

Следовательно, идентификация л(() по известной вектор-функции q(t), зависящей только от Г, Е(Ю) и обратной связи по Е(() от информационной системы, всегда возможна, а инвариантный закон управления, реализуемый управляющей системой, имеет вид

u = U(x,x + IE ПЕ, Г), £), t >tt

0

(46)

Здесь п - точная оценка л, найденная согласно описанному методу оценивания с обратной связью по

Е (()

4 ', реализуемой информационной системой МУ.

л^ )

Аналогично задача идентификации в случаях

Z(t) =\sT (E(t) e *(t to)E(to))t1,K(t,s) =|e *(t s)ST ^

решается (47)

0,s <t,

(39)

t 1,s <t,

Z(t) = E(t) E(t0) rE(s)ds,K(t,s) =

t0 '' '' (48)

Яч < 0

где 1 - попарно различные действительные собственные числа Г, Si - соответствующие собственные векторы.

Значительный интерес представляет также адап-

уравнения переходного процесса (4.2). Умножая (5.2) на K-\to, t)

полученного из тивное оценивание

л^ )

с помощью градиентной схемы

V (t o) = j e'

получим

t

- f"r(t°-s^(s)ds , (V = K-1(to,t)z).

to (4o)

По формуле интерполяционного полинома Ла-

гранжа-Сильвестра, построенного для Г, имеем

K (to, s)

на спектре

, L(ñ) = т — щ

минимизации функционала 11 11 , представляю-

щего собой функцию Ляпунова. Этот метод приводит к интегральным оценкам вида

t

пit) = nto) 2iE(t) E(to)) + rE(s)ds, y< 0

to (49)

На практике часто неизвестны не только внешние возмущения щ , но и параметры В этом случае нужно

r

заменить в (23) неизвестные их оценками . Тогда переходные процессы в ОДС замкнутой управляющей системы будут нелинейно зависеть от x и неизвестных па-

Ё- Ё ~

раметрических возмущений . Это может

приводить к нежелательным динамическим явлениям (автоколебания, потеря устойчивости и т.п.) в МУ.

Однако параметрические возмущения входят в уравнение переходных процессов аддитивно. Поэтому их можно формально объединить с внешними возмущениями и использовать в управляющей системе МУ синтезированные выше робастные и инвариантные законы управления.

Список литературы

1. Поспелов Г.С. В сб.: Самонастраивающиеся автоматические системы. - М.: Наука, 1964, с.87-92

2. Справочник по теории автоматического управления. - Под ред. А.А.Красовского. М.: Наука, 1987. -712 с.

3. Тимофеев А.В. Адаптивная стабилизация программных движений и оценка времени адаптации -Докл. АН СССР,1979, т.248, №3. C.545-549.

4. Тимофеев А.В. Построение адаптивных систем управления программным движением. - Л.:Энер-гия, 1980, 88с.

5. Тимофеев А.В. Свойства обратимых моделей динамики и синтез высококачественного робастного

управления. - Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1991, №1. C.45-56

6. Тимофеев А.В. Параметрическая оптимизация программных движений и адаптивное терминальное управление. - Докл. АН СССР,1981. T.256, №2. C.310-312.

7. Попов Е.П., Тимофеев А.В. Принцип скоростного управления в задаче аналитического синтеза автоматов стабилизации. - Докл. АН СССР 1981, T.256, №5. C.1073-1076

8. Попов Е.П., Тимофеев А.В. Управляемость на подпространстве и адаптивные модальные регуляторы. - Докл. АН СССР,1983. T. 273, №5. C. 1073-1076

9. Бакурадзе А.М. Синтез адаптивных регуляторов с помощью функций Ляпунова. - Труды Международной конференции «Многопроцессорные, вычислительные и управляющие системы» (МВУС, Див-номорское. 28.09-3.10.2009), с.121-125.

10. Зотов Ю.К., Бакурадзе А.М. Управляемость и стабилизация программных движений обратимых механических и электромеханических систем. - Прикладная математика и механика, 2002, T.72. Вып. 4. C.86-95.

11. Зотов Ю.К., Бакурадзе А.М. - Методы обратимой динамики управления роботами. - Материалы Международной конференции ИКТМР-2009 МВУС, Дивноморское. 28.09-3.10.2009), с.298-301.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ

ФИЗИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Тезис

Целью работы является выполнение прочностного расчета тонкостенной осесимметричной оболочки трех типоразмеров, как традиционным, так и автоматизированным методами. Особенностью таких конструкций является малый вес и низкая материалоемкость, соответственно, относительно низкие издержки производства.

Рассмотрены несколько вариантов, отличающихся геометрическими параметрами, которые соответствуют размерам реальных изделий. Проведено сравнение полученных результатов, которое позволяет утверждать, что выбранная методика расчета дает удовлетворительный уровень точности и надежности.

Тонкостенные оболочечные конструкции встречаются в целом ряде изделий машиностроительного производства в виде сосудов для жидкостей и газов, корпусов ракет и фюзеляжей самолетов и др.

Особенностью оболочечных тонкостенных конструкций является их относительно низкая жесткость при действии внешних нагрузок. Обеспечение прочности таких конструкций обычно больших проблем не вызывает. В данной работе рассматривается осесимметричная оболочка бесконечной длины, нагруженная внешним давлением.

В данной работе была сделана попытка рассчитать тонкостенную оболочку по безмоментной и моментной

Бешимбаева Раушан Маратовна

Магистрант 2 курса, КазНТУ им. К.И.Сатпаева, г. Алматы

Жолшара Алимбай Жолшараевич

к.т.н., доцент, КазНТУ им. К.И.Сатпаева, г. Алматы

теориям и с помощью программного комплекса АРМ WinMachine.

Задача о расчете тонкостенных оболочек вращения наиболее просто решается по безмоментной теории оболочек, когда изгиб оболочки отсутствует.

Для примера будем считать тонкостенную обо-

I » В д « В

лочку бесконечной длины, так как: ; ,где

Ь О „ £

- длина оболочки, - внешнии диаметр, - толщина стенки оболочки.

Для тонкостенной оболочки по безмоментной теории максимальные напряжения возникают в тангенциальном направлении в наиболее нагруженной точке на поверхности оболочки.

Рассматривается случай нагружения внешним давлением р = 0,2 МПа. Допустим цилиндрическая оболочка

^

диаметром Б = 600 мм, толщина тонкостенной оболочки в первом случае 5 мм, во втором 10 мм и в третьем 15 мм.

В результате получаем значения напряжений и коэффициентов запаса по безмоментной теории соответственно толщине стенок при 5 мм 12,2 МПа и 73,8, при 10 мм 6,2 МПа и 145, при 15 мм 4,2 МПа и 214.