Стабилизация программы полета и Управляемость автономных летательных аппаратов с нелинейной динамикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

А. В. Тимофеев

Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН

Ю. К. Зотов

Санкт-Петербургский государственный университет

СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММЫ ПОЛЕТА И УПРАВЛЯЕМОСТЬ АВТОНОМНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ С НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКОЙ

Для широкого класса нелинейных моделей динамики автономных летательных аппаратов получены критерии их обратимости, управляемости, стабилизируе-мости и декомпозируемости. В аналитическом виде синтезированы программные управления и программные движения автономных летательных аппаратов, построены алгоритмы их робастной стабилизации. Предложены нелинейные канонические преобразования координат пространства состояний и управлений, упрощающие синтез и анализ декомпозирующих высококачественных алгоритмов управления полетом автономных летательных аппаратов с обратимыми нелинейными моделями динамики.

Введение. Динамика широкого класса математических моделей автономных летательных аппаратов (АЛА) как твердых тел с учетом динамики исполнительных приводов рулевых органов и двигателей тяги описывается системой дифференциальных уравнений в форме Коши [1, 2]

z=F(z, u, t), z(t0) = z0, t>tQ, (1)

где z0, z = z(t) — и-мерные векторы состояний системы в начальный (to) и текущий (t) моменты времени; u — да-мерный вектор управлений; F — и-мерная вектор-функция, удовлетворяющая условиям существования и единственности решения системы (1). Уравнения динамики для многих типичных режимов и условий полета АЛА можно представить в виде (1), где

z = col(zb..., zr ),и=mr, (2)

F(z, u, t) = col(F1(z2, t),..., Fr-1 (zr, t), Fr (z, u, t)), (3)

z, = F■ (zî+1, t) = Ci (z1, t)+Foi (zt+1, t), i=1,..., r-1, (4)

^r = Fr ( z, u, t ) = Cr ( z, t )+For ( z, u, t ), (5)

zi и z1 = col(zb ..., zr) — m- и mi-мерные векторы; F,Ci,Foi (i = 1,..., r) — заданные вектор-функции, причем да-мерные вектор-функции F (i = 1,..., r) обладают свойством обратимости HF [3—8].

Уравнения (1)—(5) взаимно однозначно разрешимы относительно переменных zi+j (i = 1, ..., r - 1) и вектора управления u, т.е. справедливы соотношения

zi+1 = Gi(¿{, zi, t),(zi+1,t)еПDi, i=1,..., r-1, (6)

u=Gr(zr, z, t),(zr+1, t)eQDr, (7)

где = {г1+х,^ еП^ еЯ"^1-*, г>г0}, Я" — евклидово и-мерное пространство, G —

да-мерная вектор-функция (г = 1,..., г) .

Поэтому модели динамики (1)—(5) АЛА относятся к классу обратимых управляемых систем (см. работы [5, 9]).

Постановка задачи. Модель движения АЛА (1)—(5) будем считать управляемой [10],

если для любых двух состояний 2ро еЯ" и г^еЯ", любых ^ < Н, Ч - ¿0 <гх существует закон

управления и такой, что соответствующее ему решение г(г) выражения (2) удовлетворяет граничным условиям

г(г0)=zp0, г(Ч)=гр1. (8)

Решение

г(0 = 2р(г), *е[*0,¿1] (9)

системы (1)—(5), удовлетворяющее условиям (8), будем называть программным движением (ПД), а соответствующее ему управление

и(0=ир(г), *е[*0,¿1] (10)

программным управлением (ПУ). Рассмотрим некоторое ПД 2р (г) (9). Будем считать, что оно

стабилизируемо, если существует закон управления с обратной связью по вектору состояния г вида

и=и(г, г), г>г0, (11)

обеспечивающий асимптотическую устойчивость ПД 2р (г) (8), (9).

Рассмотрим условия глобальной управляемости и стабилизируемости модели АЛА (1)— (5) как объекта управления, а также проведем в аналитическом виде синтез ПД, ПУ и стабилизирующих и робастных законов управления, обеспечивающих декомпозицию и высокое качество переходных процессов (1111).

Приведение обратимой модели динамики АЛА к каноническому виду. Каноническим будем называть представление исходной прямой модели динамики АЛА в виде

X=Р X+о м, х(^)=Х0, г > ¿0, (12)

X = со1(х1,..., хг), (13)

где х — "-мерный вектор канонических переменных состояния системы; х1, X = со1(х1,..., х1)

— да-, даг-мерные векторы; м — да-мерный вектор канонических управлений; Р, О — постоянные блочные матрицы размерностей п*п и п*да вида

Р Щ (Рг7 = О, г=1,..., г - 2; ]=г+2,..., г), О =

Ог

(14)

гапкРг + = да, г=1,..., г-1; гапкОг = да, где Ргу (г, ] = 1, ..., г), Ог — дахда-блоки; О — нулевая матрица соответствующей размерности.

Следуя [5—8], можно построить взаимно однозначные непрерывно дифференцируемые преобразования координат пространства состояний г и управлений и исходной модели динамики АЛА (1)—(5) к каноническим координатам х и м в виде

х=у(2,г), (г,г)еП^ = ПВг1, (15)

м = уг+1(г u,г^ (г гг+1 =Ппг. (16)

Преобразования у (15) и уг+1(16) можно взаимно однозначно разрешить относительно переменных (7 = 1, ..., г) и закона управления и соответственно, т.е. существуют обратные преобразования вида [5—8]:

2 = Ф( X, 0 = ес1(Ф1(х1, О,..., Фг (хг, 0), (х, ОеПф, (17)

2 =Фг(хг',0, (хг',0еОфг, 7=1,..., г, (18)

и = Фг+1( X, w, 0, (х, w, ^)еПфг+1, (19)

где Ф и Ф7 (7 = 1, ..., г + 1) — п- и да-вектор-функции, множества

Пф={(х,t)/* = фО,t)£ПDrt>to}, Пф^ =

} о, ={(x,t)/j =Фг (x,t)EfiD^ t>to}.

Управляемость и программирование движений АЛА с обратимой динамикой. С учетом (14) имеем

rank

Q, PQ,..., Pr-1Q

= n,

(20)

отсюда следует, что каноническая система (12)—(14) управляема [10], т.е. существует закон ПУ [6]

™=wpV)=wp, *е[*0,(21) при котором выполнены граничные условия

хр = хр0 =У(zp0, , (22)

хр =хр1 =У(2рЬ . (23)

Подставив хр ^) и Wp (^) в (17) и (19), для исходной модели динамики АЛА (1)—(5) получим ПУ

и = ир (Г) = Ф г+1 (хр, Wp, I) = Ф г+1 ( ¥(2р, I), Wp, I) (24)

и соответствующее ему ПД

2 = 2р =Ф(хр,0,*е[М1]. (25)

Поэтому исходная модель динамики АЛА (1)—(5) тоже управляема.

Таким образом, критерий глобальной управляемости для модели динамики АЛА в канонической форме (12)—(14) определяется выражением (20), а для исходной прямой модели динамики АЛА (1)—(5) сводится к выполнению свойства обратимости Ир [5, 11].

Критерии стабилизируемости программных движений АЛА. Рассмотрим некоторое ПД г = 2р (¿), I > ^ исходной модели динамики АЛА (1)—(5), для широкого класса уравнений

которой справедливы оценки [1, 2]

m

Л Ci (( ,t) = Сг (e* + zlp ,t)-C (j ,t)

a

1ij

j=0

i = 1,..., r,

Л Foi (e*+1,t)

(e*+ + *p+1, t)-Foi (*P+1, t) < £ a2lJ

j=o

+a

3i

i = 1,..., r,

(26)

(27)

где ez = z - zp , ex, = zi - zpi , <+1 = col(ez,e zr+1 ) , ezr+1 = u - up , ez = col(ezj zi )> a1ij > 0, a2ij > 0,

a^ > 0, mji > 0, nt > 0 — некоторые постоянные. Аналогичные оценки справедливы для частных производных от вектор-функций AQ и A(i = 1,..., r) по их аргументам.

Синтезируем стабилизирующий закон управления с обратной связью по z вида

u = Фг+1(х, Wp +Г0(х-Хр ), t)=Or+1(^(z, t), Wp +Г0 (Y( z, t)-Y(zp, t)), t) (28)

для исходной модели динамики АЛА (1)—(5), где

Г0 =| Г01,..., ГЛ, (29)

— постоянная да*п-матрица коэффициентов усиления, Г0j ( = 1, ..., г) — дахда-блоки, такие, что матрица

Г=Р+О Г0 (30)

устойчива [10], т.е.

ЯеА,,- (Г)< 0,г=1,..., п, (31)

где (Г) (г = 1,..., п) — заданные собственные числа матрицы Г. Это возможно [9, 11], поскольку пара (Р, О) вполне управляема. Отсюда следует, что стабилизирующий закон управления (28)—(31) обеспечивает асимптотическую устойчивость ПД 2р (г) в замкнутой исходной модели динамики АЛА (1)—(5), (28)—(31).

Декомпозируемость, робастность и качество стабилизации движений АЛА. Многим АЛА присущи перекрестные динамические связи, интенсивность которых нелинейно зависит от текущего состояния и управления. Вследствие этого использование линейных ПИД-регуляторов существенно ухудшает качество ПП вплоть до потери устойчивости.

Преимущество синтезированных выше нелинейных законов управления заключается в том, что за счет правильного выбора параметров матриц коэффициентов усиления Г0 можно обеспечить полную компенсацию перекрестных связей и заданный характер затухания ПП в замкнутой системе АЛА.

Будем называть декомпозирующим такой закон управления, при котором уравнение ПП в замкнутой модели динамики АЛА распадается на систему независимых уравнений по управляемым координатам. Важно отметить, что синтезированные регуляторы являются декомпозирующими при определенном выборе элементов блоков матрицы Р и коэффициентов усиления — элементов матрицы Г0 [5—8]. Более того, параметры-элементы блоков Г07-, входящие в матрицу коэффициентов усиления Г0 (29)—(31), всегда можно выбрать так, чтобы ПП имели заданный характер, желаемую скорость затухания и т.п. [5—8, 9, 11].

Следует отметить, что синтезированные высококачественные законы стабилизации являются робастными, т.е. обеспечивают устойчивость обратимых моделей динамики АЛА по отношению к ограниченным параметрическим и постоянно действующим возмущениям [5—8]. На основе этих законов стабилизации можно синтезировать алгоритмы адаптивного управления АЛА с помощью методов, описанных в [9, 11, 12].

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 05-01-08044-офи и гранта РФФИ № 06-08-01612а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 560 с.

2. Летов Ф. М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.

3. Попов Е. П., Тимофеев А. В. Принцип скоростного управления в задаче аналитического синтеза автоматов стабилизации // ДАН СССР. 1979. Т. 256, № 5. С. 1073—1076.

4. Попов Е. П., Тимофеев А. В. Управляемость на подпространстве и адаптивные модальные регуляторы // ДАН СССР. 1983. Т. 273, № 5. С. 1070—1073.

5. Тимофеев А. В. Свойства обратимых моделей динамики и синтез высококачественного робастного управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. № 1. С. 45—56.

Определение времени задержки приема сигнала с пространственно разнесенными СМКА 13

6. Зотов Ю. К., Тимофеев А. В. Управляемость и стабилизация программных движений обратимых механических и электромеханических систем // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56, вып. 6. С. 968—975.

7. Зотов Ю. К., Тимофеев А. В. Стабилизация программных движений с заданными показателями качества в обратимых управляемых системах // Автоматика. 1991. № 3. С. 15—23.

8. Зотов Ю. К., Тимофеев А. В. Методы стабилизации движений обратимых динамических систем с использованием нелинейных канонических преобразований // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 6. С. 41—54.

9. Тимофеев А. В. Управление роботами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. 240 с.

10. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 711 с.

11. Тимофеев А. В. Построение адаптивных систем управления программным движением. Л.: Энергия, 1980. 85 с.

12. Тимофеев А. В. Адаптивная стабилизация программных движений и оценка времени адаптации // ДАН СССР. 1979. Т. 248, № 3. С. 545—549.

Рекомендована институтом Поступила в редакцию

31.05.07 г.

УДК 621.396.96

В. В. Вознюк, С. А. Зайцев, Д. А. Толстоухов

Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского Санкт-Петербург

О. А. Булаев

ЦНИИ робототехники и технической кибернетики Санкт-Петербург

Н. В.Гусаков

Штаб космических войск, Москва

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЗАДЕРЖКИ ПРИЕМА СИГНАЛА ПРОСТРАНСТВЕННО РАЗНЕСЕННЫМИ СВЕРХМАЛЫМИ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИ

Рассмотрен способ определения времени задержки приема сигнала с неизвестными параметрами пространственно разнесенными сверхмалыми космическими аппаратами-ретрансляторами разрабатываемой системой радиотехнического контроля и мониторинга для решения задачи определения местоположения источника сигнала разностно-дальномерным методом.

В настоящее время одним из перспективных направлений скрытого радиомониторинга и контроля радиоэлектронной обстановки является спутниковый мониторинг, в ходе которого определяются координаты источников радиоизлучений. Особенно актуален мониторинг для обнаружения и контроля излучений средств спутниковой связи, радиомаяков, установленных на транспортных средствах для отслеживания маршрутов их передвижения, при фиксировании возможных нарушений режимов работы радиоэлектронных средств (РЭС) устройств, используемых террористическими группировками и т.п. В рамках решения