CC BY
25
124
НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗРАБОТКИ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
3. Добронец Б.С., Попова О.А., Численный вероятностный анализ неопределенных данных: монография. - СФУ ИКИТ, 2014. - 166 с.
4. Добронец Б.С., Попова О.А. Представление и обработка неопределенности на основе гистограммных функций распределения и P-Boxes // Информатизация и связь. - 2014. - № 2. - С. 23-26.
5. Добронец Б.С., Попова О.А. Гистограммный подход к представлению и обработке данных космического и наземного мониторинга // Известия ЮФУ Технические науки. - 2014. - № 6 (155). - С. 14-22.
6. Попова О.А. Гистограммный информационно-аналитический подход к представлению и прогнозированию временных рядов // Информатизация и связь. - 2014. - № 2. - С. 43-47.
7. Попова О.А. Численный вероятностный анализ для агрегации, регрессионного моделирования и анализа данных // Информатизация и связь. -2015. - № 1. - С. 15-21.
8. Dobronets B.S., Krantsevich A.M., Krantsevich N.M. Software implementation of numerical operations on random variables // Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика. - 2013. - Т 6, № 2. -С. 168-173.
ОБРАБОТКА ДАННЫХ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СПЛАЙНОВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ГИСТОГРАММНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
© Пооль Д.Е.*
Институт космических и информационных технологий Сибирского федерального университета, г. Красноярск
Рассмотрено использование численного вероятностного анализа и случайных сплайнов для построения гистограммных функций распределения.
Ключевые слова: численный вероятностный анализ, гистограммные функции распределения, случайные сплайны.
Наличие неопределенностей во входных данных при решении многих практических задач приводит к необходимости создания методов, учитывающих эти неопределенности. В настоящее время, все существующие методы и способы входят в область так называемого статистического оценивания. Цель этих подходов заключается в построении эмпирических функций неизвестных распределений вероятностей (или каких-либо их характеристик) по результатам наблюдений. В наиболее распространённом случае
Магистрант кафедры Системы искусственного интеллекта.
Технические науки
125
независимых наблюдений их результаты образуют последовательность (x1, x2, ..., xn) независимых случайных величин (или векторов), имеющих одно и то же (неизвестное) распределение вероятностей с функцией распределения F (x). Часто предполагают, что функция F(x) зависит неизвестным образом от одного или нескольких параметров и определению подлежат лишь значения самих этих параметров.
Два основных вида статистического оценивания - т.н. точечное оценивание и оценивание с помощью доверительных границ (или интервальных методов). В первом случае, в качестве приближённого значения для неизвестной характеристики выбирают какую-либо одну функцию от результатов наблюдений, во втором - указывают интервал значений, с высокой вероятностью «накрывающий» неизвестное значение этой характеристики. В более общих случаях интервалы, образуемые доверительными границами (доверительные интервалы), заменяются более сложными доверительными множествами.
Наличие информации о плотности вероятности случайных величин приводит к возможности при расчетах учитывать и получать результаты в виде случайных величин с построенной плотностью вероятности. Одним из подходов учета случайного характера входных данных является метод Монте-Карло. При всех его положительных качествах этот метод обладает рядом недостатков. Один из самых существенных - низкая скорость сходимости [9]. В тех случаях, когда это возможно, предлагается использовать численный вероятностный анализ (ЧВА) и численные операции над плотностями вероятности случайных величин. ЧВА позволяет существенно поднять точность расчетов при сравнительно небольшом объеме вычислений [2, 3, 4, 9]. Численный вероятностный анализ с успехом применялся для решения ряда задач: представлению и обработке данных космического и наземного мониторинга [6], представлению и прогнозированию временных рядов [7], для агрегации, регрессионного моделирования и анализа данных [8], оценки надежности сложных технических систем [10].
В работе рассматриваются вероятностные расширения кубических сплайнов на случай, когда входные данные представляют собой случайные переменные, заданные своими гистограммами.
Гистограммой называется случайная величина, плотность распределения которой представлена кусочно-постоянной функцией. Гистограмма Р -определяется сеткой (x,| i = 0, ..., n}, на каждом отрезке [xI-1, x], i = 1, ..., n гистограмма принимает постоянное значение pi, h = max(xi - xi-1).
В символическом анализе данных и Data Mining гистограммы используются для исследования множества различных процессов и применяются для описания изменчивости количественных признаков. Использование гистограмм обусловлено, прежде всего, тем, что они позволяют достаточно точно представлять произвольные распределения.
126
НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗРАБОТКИ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
Важно отметить, что, несмотря на свою простоту, гистограммы охватывает все возможные интервалы оценки плотности вероятности. В случае неизвестных плотностей вероятности возможно использование гистограмм второго порядка и гистограммных функций распределения, т.е. кусочногистограммных функций [3, 4, 5].
Пусть (x1, ..., xn) случайные величины с общей функцией распределения F(t). Тогда эмпирическая функция распределения Fn определяется как
F (>)
П
где mt - число элементов xi < t.
Пусть Zi = F(x), i = 1, ..., n. Заметим, что zi, i = 1, ..., n равномерно распределенные случайные величины. Если z1 < z2 <... < zn, то математическое ожидание M[z] = i / (n + 1). Далее, будем использовать точки (zi, i / (n + 1)) для построения аппроксимации функции распределения F(t). Для этих целей будем использовать кубические сплайны [1]. Пусть на отрезке [a, b] задана сетка
т= {xi | a = { < { <... < xN = b} с целым N> 2 и шагами h = х.,, -х., h = max h..
1 0 <i <N-1 ‘
Для построения сплайна s заданы условия интерполяции s(x) = i / (n +1), i = 1,..., n, s(a) = 0, s(b) = 1 и граничные условия
s'(a) = 0, s'(b) = 0.
Заметим, если вместо математических ожиданий i / (n + 1) использовать их точные значения zi, то кубический сплайн удовлетворяет оценке
||Fv-sv||<h4v ||F(4) ||,v = 0,1,2.
Таким образом, даже при небольших значениях размерности сетки n, можно построить достаточно точную аппроксимацию функции распределения F. Задача построения сплайна сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с трех диагональной матрицей
hjMj-i + 2i + ц = dj,
2m+m = 3(zj - z0 )/h - hzV 2,
2mN + mN-1 = 3(ZN - ZN-1 11n + 1nZN2,
dj = 3Aj(zj-zj-1)/h+3^j(z-+1-z)/h+1, j=^N-1,
Технические науки
127
где ш, = s'(x,). Матрица этой системы является детерминированной и ее правая часть содержит случайные переменные. Таким образом, в силу детерминированности матрицы решение ш,, i = 1, ..., n может быть представлено в виде линейной комбинации элементов правой части. В результате кубический сплайн на интервалах [xj-b xj], j = 1, ., n имеет представление:
s(x) = m .ч (Xj - x)2(x - x .ч )/h2 - Mj (x - xj X )2 (Xj - x)/h2j +
+zj_y(xj -x)2(2(x-Xj_j) + hj)/h3 ++Zj(x-x^l)2(2(Xj -x)+hj)/h2.
Рис. 1. Гистограммная функция распределения [1]
Пустьpz совместное распределение плотности вектора z1, z, ..., zn. Тогда заменив z их совместной плотности вероятности и с помощью численного вероятностного анализа, мы получим оценку плотности вероятности для компонентов ш, и построим случайный сплайн, аппроксимирующий гистограммную функцию распределения [3, 4, 5].
На рис. 1 представлена гистограммная функция распределения, аппроксимирующая случайный сплайн [1]. Значения плотностей вероятности представлены оттенками серого.
Список литературы:
1. Dobronets B., Popova O. Numerical probabilistic approach for data nonparametric analysis // В сб.: Applied methods of statistical analysis. Nonparametric approach. Proceedings of the international workshop. - 2015. - С. 376-384.
2. Добронец Б.С., Попова О.А. Элементы численного вероятностного анализа // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева. - 2012. - № 2 (42). - С. 19-23.
3. Добронец Б.С., Попова О.А. Численный вероятностный анализ неопределенных данных: монография / Сибирский федеральный университет, Институт космический и информационных технологий. - Красноярск, 2014. -167 с.
4. Добронец Б.С., Попова О.А. Численный вероятностный анализ для исследования систем в условиях неопределенности // Вестник Томского го-
128
НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗРАБОТКИ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
сударственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - № 4 (21). - С. 39-46.
5. Добронец Б.С., Попова О.А. Представление и обработка неопределенности на основе гистограммных функций распределения и P-Boxes // Информатизация и связь. - 2014. - № 2. - С. 23-26.
6. Добронец Б.С., Попова О.А. Гистограммный подход к представлению и обработке данных космического и наземного мониторинга // Известия ЮФУ Технические науки. - 2014. - № 6 (155). - С. 14-22.
7. Попова О.А. Гистограммный информационно - аналитический подход к представлению и прогнозированию временных рядов // Информатизация и связь. - 2014. - № 2. - С. 43-47.
8. Попова О.А. Численный вероятностный анализ для агрегации, регрессионного моделирования и анализа данных // Информатизация и связь. -2015. - № 1. - С. 15-21.
9. Dobronets B.S., Krantsevich A.M., Krantsevich N.M. Software implementation of numerical operations on random variables // Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика. - 2013. - Т 6, № 2. -С. 168-173.
10. Uglev VA., Popova O.A., Dobronets B.S. The accuracy calculation control of reliability indices for equipment responsible appointment // International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON). - Omsk: OmGTU, 2015. Print ISBN: 978-1-4799-7102-2 DOI: 10.1109/SIBCON.2015. 7147248.
ПРОБЛЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФОРМИРОВАНИЯ ШИРИНЫ ПОЛОСЫ В ПРОЦЕССЕ ПРОКАТКИ ВЫСОКОРЕНТАБЕЛЬНЫХ ВИДОВ МЕТАЛЛОПРОДУКЦИИ
© Ращикулин Д.Д.*
Магнитогорский государственный технический университет имени Г.И. Носова, г. Магнитогорск
В статье рассматривается проблема формирования ширины полосы при холодной прокатке тонколистовой стали. Особое внимание уделено поперечному течению металла в очаге пластической деформации и решению частного случая задачи объемной деформации, а также основным факторам влияющим на нее. Это позволит избежать ряда дефектов металлопродукции, что принесет значительный экономический эффект.
Ключевые слова объемная деформация, холодная прокатка, поперечное течение металла, очаг пластической деформации.
Аспирант.
