Обоснование способа определения механических характеристик массива горных пород в натурных условиях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 622.241.54

Н.В. Черданцев, В.Т. Преслер, В.Е. Ануфриев

ОБОСНОВАНИЕ СПОСОБА ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД В НАТУРНЫХ УСЛОВИЯХ

В подавляющем большинстве случаев информацию о физико-механических свойствах горных пород, включающую упругие (модуль упругости Е, коэффициент Пуассона у) и механические (пределы прочности на сжатие ос и растяжение ор, коэффициент сцепления К, угол внутреннего трения р) характеристики, получают в лабораторных условиях, разрушая на прессах (разрывных машинах) стандартные образцы обычно цилиндрической формы, называемые кернами, выбуриваемые из массива горных пород. Очевидно, что лабораторные исследования свойств горных пород не лишены недостатков. Во-первых, характеристики пород в образце могут существенно отличаться от характеристик породного массива. Во-вторых, получение наиболее полной информации о свойствах пород на произвольной глубине приконтур-ного массива с помощью кернов, регулярно выбуриваемых из приконтурного массива, - трудоёмкая и громоздкая задача, требующая значительных временных ресурсов.

В этой связи проблема непосредственного прямого определения физико-механических

свойств приконтурного массива выработок весьма актуальна. Одним из способов ее решения в натурных условиях является, например, способ механического воздействия на массив, путём вдавливания в него пуансона. Зная нагрузку, действующую на пуансон, и его характеристики (форма и физико-механические свойства), можно рассчитать поле напряжений в массиве пород и установить размеры областей его предельного состояния, а после этого определить характеристики прочности массива. Таким способом можно определять характеристики массива не только на поверхности выработки, но и на некоторой глубине массива. Достаточно пробурить скважину и нагрузить в ней пуансон. Таким образом, создаются условия для оценки прочности приконтурного массива выработки.

Если в качестве пуансона принять шарик или тело со сферическим наконечником, то теоретической основой этого способа является решение классической контактной задачи Герца о вдавливании друг в друга тел вращения. В имеющейся классической и справочной литературе [1-5] отсутствует полное аналитическое описание распре-

делений напряжений и перемещений в произвольной точке любого из взаимодействующих тел. В большинстве источников решение задачи Герца заканчивается установлением размеров площадки контакта и закона распределения давления по ней. Наиболее полно решение задачи Герца приведено у А.И. Лурье [1]. Однако основные зависимости распределения напряжений приведены лишь вдоль одного направления. Для описания внедрения пуансона в горный массив необходимо знать законы распределения всех компонент тензорного поля напряжений. Поэтому в данной работе для понимания хода решения этой довольно сложной задачи и оценки полученных результатов кратко приведём предпосылки, на которых основана постановка контактной задачи. При изложении мы будем ориентироваться, в основном, на фундаментальный труд Лурье [1], посвящённый этой проблеме.

Известно, что в классической теории упругости существует два пути решения задач о распределении полей перемещений и напряжений в телах с внешним нагружением.

Первый путь - постановка задачи в перемещениях, когда за основные неизвестные принимаются три компоненты вектора перемещений и, V, V точек деформируемого тела, соответственно, вдоль осей х, у, 2. В результате имеем систему трёх дифференциальных уравнений в частных производных, полученную Ляме.

Второй путь - постановка задачи в напряжениях. Здесь неизвестными являются шесть компонент тензора напряжений ох, оу, О, Ту Ту2, Тгх. Система шести дифференциальных уравнений в частных производных относительно этих напряжений получена Бельтрами и Митчеллом.

Обе системы приводятся во всех учебниках по теории упругости, в частности, [1-4]. В отсутствии объёмных (массовых) сил системы уравнений и Ляме, и Бельтрами-Митчелла приводятся к бигар-моническим уравнениям, которые, как известно, являются уравнениями четвёртого порядка в частных производных. Их интегралы представляются в виде комбинации бигармонических функций. В общем случае (при произвольных граничных условиях) эти решения (функции) в замкнутом виде не представляются.

Однако в теории упругости существует класс задач (с определёнными граничными условиями), в которых бигармонические функции можно представить через гармонические функции, т.е. удовлетворяющие гармоническому уравнению Лапласа. Как известно, задача, в которой в некоторой области разыскивается функция, удовлетворяющая гармоническому уравнению и заданным условиям на ее границе, называется задачей Дирихле. В математической физике такие функции называются потенциалами. Следовательно, в подобных задачах потенциалы, являющиеся решениями задачи Дирихле, должны также удовлетворять и основным уравнениям теории упругости (Ляме или Бельтрами-Митчелла).

В теории упругости эти задачи, в основном, решаются в перемещениях, т.е. используются уравнения Ляме. При этом решение задачи разбивается на несколько этапов. Сначала решается более простая задача Дирихле, в ходе которой разыскиваются функции-потенциалы. Затем путем дифференцирования по координатам полученных потенциалов определяются соответствующие би-гармонические функции перемещений. После этого с помощью уравнений Коши деформации выражают через перемещения. И, наконец, напряжения посредством закона Гука связываются с деформациями.

Одной из упомянутого класса задач является задача Буссинеска о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство и её модификация о действии распределённых в ограниченных областях нагрузки [1-4]. Эти нагрузки создаются, например, внедрением в среду на ограниченной области О жесткого штампа плоской или неплоской формы. В модифицированной задаче Бусси-неска решениями задачи Дирихле являются два потенциала

a(x,у г)= Я рР(.У ) • ¿о\

О Я (1)

а Xх, у,2) = II рХ', у') • 1п(я'+2) • ¿О

О

где

Я'= ^(х - х')2 +(у - у ')2 + ( - 2' )2 .

Величины х, у, 2 - координаты произвольной точки полупространства, в котором определяются перемещения и напряжения.

Оси х, у расположены на поверхности полупространства (среды), ось 2 направлена вглубь среды. Величины х', у', 2' - оси локальной системы координат, совпадающей по направлению 2 с глобальной системой координат, в которой определяется интенсивность распределённой нагрузки р(х ,у ). В теории потенциала функция со(х,у,2) называется потенциалом простого слоя. Отметим что функции со(х,у,2) и со1(х,у,2) связаны соотно-

шением

да

д2

= а

которое очевидным образом

(2)

вытекает из (1).

Перемещения точек среды связаны с приведёнными потенциалами зависимостями вида

да /, „ \ да,

2 -т- + (1 - 2^-д~г

дх дх

да /, ^ ч да,

2 •^Г + Х - 2у)~ду1

ду ду _

[2а\1 -у)-1] 2

где у - коэффициент Пуассона, О - модуль упругости второго рода.

Для получения напряжений воспользуемся законом Гука, в котором деформации связаны с перемещениями уравнениями Коши вида

д2а /, „ \д 2а, у да

- + (1- 2у)—г

1

4л О

1

4л О

1

4л О

„ _ ди 1

ст = 2О— + Л =-----------

дх 2л

^ ду 1

<гу = 2О-------------------+ Л =----------

ду 2л

дх2 д2 а

дх2 д 2а1

, дм

1

(

<т = 2О--------------------------------+ Л =----------

д2 2п

да

■- 2 •

ч д2 д22 ,

т = о .1 —+^ ) = --1.

у ' ду дх) 2л

^ , ди дм

тх = О • I--------------1-------

д2 дх

д а дхду д2 а

=-------- 2 ------

2 л дхд2

+ (1 - 2у)

О д2

у да + О '~д2

д 2а1

дхду

1

(3)

_ (ду дм ^ 1 д2а

Г = О • I-----------------------1-I =-2-

^д2 ду) 2л дуд2

где

. 2у • О (ди ду дм \.

Л =----------1— + — + -

1 - 2у \дх ду д2 ^

Граничные условия задачи - касательные напряжения отсутствуют на всей плоскости 2=0, а нормальное к этой плоскости напряжение равно нулю только вне области соприкасания штампа со средой, т.е. имеют место соотношения

2 = 0: т = т = 0,

2х у2 ’

(4)

(0, 2 о .

2 {- р(х, у), 2 С О

Известно, что нормальная производная потенциала простого слоя, распределённого по плоской области, является потенциалом двойного слоя, который определяется равенством

=0: да =10, 2 ^О(5)

& 2^+0 |- 2л • р(х, у), 2 С О

Если поверхность штампа аппроксимируется в области её касания с плоскостью 2=0 эллиптическим параболоидом

X

- +

(6)

то краевое условие задачи записывается следующим образом

ÍÍ-

p(x', y')do'

(7)

2л-О ^(х - х) +(у - у)

где 3 - поступательное перемещение штампа, равное сумме его погружения в среду и перемещения на границе со средой, Я], Я2 - радиусы главных кривизн нормальных сечений поверхности жёсткого штампа (Я;>Я2).

Уравнение (1) является интегральным уравнением первого рода для искомого распределения нормального давления. В замкнутом виде оно не решается. Однако, поскольку поперечное сечение штампа в форме эллиптического параболоида является эллипсом, то область интегрирования О считается расположенной внутри эллипса, большая полуось которого а и эксцентриситет е наперёд не известны и определяются по величине прижимающей силы Q и радиусов Я;, Я2. На контуре эллипса давление в соответствии с граничным условием (4) должно быть равно нулю. Это значит, что эпюра распределения этого давления есть поверхность полуэллипсоида, опирающегося на ограничивающий площадку соприкасания эллипс Е0, который, являясь фокальным эллипсом, представляет одну из координатных поверхностей р=р0=1 семейства эллипсоидов р>\. Это обстоятельство позволяет для решения уравнения (7) ввести потенциал простого слоя на поверхности эллипсоида следующего вида

C г di

У

а 2 Ц^1 a21 " a2(l - e2) a2(i -1)

с плотностью

P(X У ) =

C

2т2Vl - e2

У

a (1 - e )

(8)

(9)

где

д(і)=Л/(i2 - e2) • (i2 -1) , а

постоянная

величина С определяется из условия равновесия штампа, нагруженного сосредоточенной силой Q, приложенной вдоль его оси. Сила Q уравновешивается равнодействующей от распределённой по эллипсоидальному закону нагрузки

Q = || p(x, у)-¿О = 3 а •С.

Отсюда C = 36.

Подстановка потенциала (8) в уравнение (9) (с учётом выражения для С) приводит последнее к виду

2т

1 - V

8 —

У

2 Л

2R 2R

3Q г di 2a ] д(Х)

2

( -2 1 -

(10)

x

У

ai a (i -e )

Интегралы от каждого слагаемого в правой части уравнения (10) являются комбинациями полных эллиптических интегралов первого и второго родов. После приравнивания членов с одинаковыми степенями в правой и левой частях уравнения получается система трёх уравнений относительно неизвестных 8, а, е. Причём, эксцентриситет эллипса е не зависит от величины Q и находится путём численного решения трансцендентного уравнения, в состав которого входят соотношения главных радиусов кривизны и комбинации полных эллиптических интегралов первого и второго рода. Значения а и 8 выражаются через полные эллиптические интегралы явным образом

a = {зтУ - «-Ч’

8 = -

36 •(-v)e

| 2/3

(11)

K (e)

[4л-G 2R -|K(e)-E(e)\ \

где K(e), E(e) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем e.

В задаче Герца два упругих тела прижаты друг к другу силами Q, линия действия которых перпендикулярна общей касательной плоскости поверхностей S¡, S2 тел в точке O. Под действием сил Q тела деформируются в области, примыкающей к месту контакта, и сближаются друг с другом. По поверхности контакта действует нормальное давление с интенсивностью p(x,y), а касательные напряжения на ней считаются отсутствующими. Далее предполагается, что при рассмотрении локальных эффектов в окрестности контакта можно заменить соприкасающиеся тела двумя упругими полупространствами, прижатыми друг к другу по площадке Q, расположенной в разделяющей полупространства плоскости П -касательной плоскости поверхностей S¡, S2 в точке O. Расстояние z между двумя точками этих поверхностей, расположенных на одном перпендикуляре к касательной плоскости равно алгебраической сумме расстояний z¡ и z2 от каждой из этих точек до касательной плоскости. Причём, арифметическая сумма берётся для выпуклых поверхностей при их внешнем соприкасании. А в случае внутреннего соприкасания, когда одна поверхность находится внутри другой, берётся разность между z¡ и z2

z = z1 + z 2 =

x y x y

----+ —— +----------+ ——

2R' 2R2 2R' 2R2'

(12)

где Я{, Я' - главные радиусы кривизны первой поверхности, а Я', Я" - главные радиусы кривизны второй поверхности. В аналитической геометрии доказывается, что выражение (12) при соответствующем выборе системы координат всегда можно свести к выражению (6), в которой Я1 и Я2 выражаются через главные радиусы кривизны

2

2

a

2

x

площадка соприкасания

эпюра давления р(х,у) по площадке соприкасания

Рис. 1. Схема контактной задачи о вдавливании пуансона с шариковым наконечником в стенку скважины

соприкасающихся тел вращения по соответствующим формулам Лурье [1] или Тимошенко [4]. На площадке соприкасания аппликаты точек каждой поверхности равны нулю. Как и в задаче о жёстком штампе, внешний контур этой площадки является эллипсом

Еп

1 - X____________

2 2 а а

У

(1 - е2)

= О,

(13)

положение осей которого определяется величинами главных радиусов кривизн и взаимным расположением соприкасающихся поверхностей.

Поля напряжений в каждом из полупространств определяются функцией а(х,у,г), являющейся потенциалом простого слоя, распределённого по площади О с интенсивностью р(х,у), который представляется первой формулой из (1). Этим потенциалом ограничиваются, считая, что г положительно в каждом из полупространств. При вычислении перемещений по формулам (2) упругим постоянным следует присвоить соответственно значения О1, у1 для первого тела и О2, у2 - для второго тела.

Согласно (2) на площадке соприкасания справедливы соотношения

1 - V

2лО,

(х у,о),

1 -V

2л02

т(х, у,0),(14)

Ч 2

и, следовательно, на площадке О выполняется соотношение

( 0) 2п Г 0 х2 у2 ^

а(х,у,0) = ^ ^ + ^2 =--------- о-

1 — V

3. =------------^, і = 1,2

' в,

31 + 32 ^ 2Я1 2Я2,

(15)

Потенциал а определяется из условия (15) и требования обращения в нуль плотности р(х,у) на контуре Е0 площадки О. Эта задача решается за-1 -V

меной

в

на 3 + 32

і—V+!—V и не

в о2

отличается от задачи о действии на упругое полупространство жёсткого штампа в форме эллиптического параболоида. Поэтому результаты решения задачи о штампе могут быть автоматически перенесены на задачу о контакте упругих тел вращения прижатых друг к другу силами Q.

В общем случае взаимодействия двух тел вращения в месте контакта образуется плоская площадка эллиптической формы, большая полуось а которой, а также сближение этих тел 0 определяются по формулам

13

8 = К (е)-

36-(31 + 32 )• е

, 2/3

(16)

4^ 2Я1 -[К (в)- Е(в)\ \

Перемещения рассчитываются по формулам (2) с заменой О, vна О, V (/=1,2), а при вычислении напряжений по формулам (3) следует заменить vна V.

По представленным выше зависимостям нельзя определить упругие характеристики одного из контактирующих тел, например, массива горных пород. Так, например, располагая упругими характеристиками пуансона, и задавая нагрузку Q и перемещение 0, из второй формулы (16) можно найти величину 32, однако этого недостаточно для определения и модуля сдвига О2, и коэффициента Пуассона v2 породного массива. Поэтому, считая, что упругие характеристики массива незначительно зависят от типа горной породы и, полагая их известными величинами, можно рассчитать поле напряжений и в окрестности контакта оценить прочность массива.

Ниже приводятся результаты решения контактной задачи о действии шарикового пуансона на стенку скважины (рис.1). Начало координат принято в центре контакта шарика с массивом. Поскольку формой площадки контакта (соприкасания) при его внедрении в массив в общем случае

Рис. 2. Эпюры нормальных напряжений вдоль оси х на поверхности скважины

является эллипс, то координатные оси х, у направлены вдоль осей эллипса, а ось г направлена перпендикулярно площадке вглубь массива.

Основные данные приняты следующими. Радиус шарика пуансона - г=5 мм, радиус скважины Я=22 мм, коэффициент Пуассона материала шарика v1=0,3, коэффициент Пуассона массива V1=0,25, модуль продольной упругости материала шарика Е1=2-105 МПа, модуль продольной упругости массива Е2=1,5-104 МПа, нагрузка на пуансон Q=10 кН (1000 кг). Предел прочности массива горных пород на одноосное сжатие сс=4 МПа (это соответствует коэффициенту крепости по шкале проф. М.М. Протодьяконова /=0,4), его предел прочности на одноосное растяжение ср=0,1-сс, угол внутреннего трения ^=20°,. Для оценки прочности породного массива в области его контакта с шариком используются два критерия прочности:

1) по теории Кулона-Мора [6]

-Р-°3 ^°с, Р =

1 + 8ІП р 1 - 8ІП р

2) по теории наибольших растягивающих напряжений [6] с3 < с р, где и1, с - главные напряжения, а параметр. Радиусы Я1 и Я2, входящие в формулу (6) связаны с радиусами кривизн шарика и цилиндрической скважины зависимостями вида [1, 4, 5]

Г-Я Я

------, Я2 = г.

*1 =

Я - г

Для построения картин распределения напряжений, а также областей массива, в которых не выполняются два вышеприведённых условия,

проведён вычислительный эксперимент, который поставлен следующим образом. В точках (узлах) трёх построенных расчётных плоскостей, расположенных в координатных плоскостях х0у, х0г, у0г и представляющих собой сетки с размером ячейки Л=Лу=Л=0,05а производились вычисления напряжений и определялись координаты точек, в которых происходит разрушение массива. В ходе проведения эксперимента получены следующие параметры напряжённо-деформированного состояния материала на площадке контакта шарового пуансона и среды. Давление в центре эллиптической площадки соприкасания, размеры полуосей которой а=1,55 мм, 6 = 1,3 мм, составляет ртах=2374 МПа, прогиб среды в центре контакта ^2=0,33 мм. Результаты эксперимента в окрестности контакта в глубине массива и на его поверхности в непосредственной близости от площадки контакта представлены на рис. 2-4. На рис. 2 показаны эпюры напряжений отнесённые к

ртах, действующие вдоль безразмерной оси абсциссы х.

На рис. 3 приведены изолинии максимального С (рис. 3а) и минимального (рис. 36) главных

напряжений, построенных в вертикальной расчётной плоскости, совпадающей с координатной плоскостью х0г, а на рис. 4 (а и 6) эти напряжения показаны в горизонтальной плоскости, параллельной координатной и расположенной в глубине массива на расстоянии г=а от неё. Как и на рис. 2, на них координатные оси приняты безразмерными, т. е. отнесёнными к размеру большей полуоси эллипса площадки соприкасания, а напряжения представлены в долях от ртах. Из рис. 36 видно, что напряжения с 3 за пределами эллипса имеют

•§

а)

Абсцисса х/а

б)

Абсцисса х/а

Рис. 3. Изолинии главных напряжений в вертикальной плоскости х0г

%

¡3

а;

<§*

а)

Абсцисса х/а

%

1.5-

Р2§ -0.045

^ 1-а:

'О

<§-"5

6)

-0.045-

-------и .иАО

"-0.045

--0.045^ /-0.012--------

'^ошз-о.оп:

-0.04:

;-0.045

-0.045,

-0.045

п [ПО

-П 1 П П 1

Абсцисса х/а

Рис. 3. Изолинии напряжений, построенных в горизонтальной плоскости отрицательный знак, т. е. являются растягиваю- зоны, полученные сдвигом, а серым - разрывом.

щими напряжениями. А на рис. 46 растягивающие напряжения занимают всю центральную часть.

Выводы

1. Максимальные сжимающие главные на-

На рис. 4а показаны зоны нарушения сплош- пряжения концентрируются непосредственно в

ности массива в вертикальной плоскости у0г, а на середине площадки контакта. Зоны нарушения

рис. 46 зоны построены в горизонтальной плоско- сплошности, полученные по теории прочности

сти на глубине г/а=1. Чёрным цветом отмечены Кулона-Мора, расположены в глубине массива

б)

1. 9, Абсцисса х/а ,1. Я

1.5,

%

у

а:

■-т!

■--1

§

п

-1.5,

- 1.6, Абсцисса х/а ,1.6,

Рис. 4. Области нарушения в плоскостях х,0,х, (а) (6). Черный цвет - разрушение сдвигом, серый цвет ■

разрушение растяжением

прямо под площадкой контакта. Однако, несмотря на значительную концентрацию напряжений в непосредственной близости к контактной площадке массив не разрушается.

2. Нарушение сплошности массива растягивающими напряжениями происходит, в основном, за пределами эллиптической площадки контакта. Наложение зон нарушения сплошности, вызванных сдвигом (по теории прочности Кулона-Мора) и разрывом (по теории максимальных растягивающих напряжений), охватывает малые по сравнению с каждой из зон области.

3. Размеры зон нарушения сплошности незначительны в сравнении с размерами пуансона. Это, по-видимому, в первую очередь, связано с упругим подходом к решению контактной задачи.

4. В приведённой выше упругой постановке контактной задачи характеристики прочности массива, в частности, предел прочности на сжатие (при заданном угле внутреннего трения) или его коэффициент крепости определяются путём установления момента исчезновения зон нарушения сплошности. Этому состоянию и соответствует

механические характеристики массива. При принятых в статье геометрических параметрах пуансона и скважины зоны нарушения сплошности исчезают, начиная с коэффициента крепости /=1,5. Определить коэффициент крепости более прочных пород, оставаясь в рамках упругой задачи, затруднительно. Очевидно, что для более детального изучения широкого спектра массивов необходимо привлекать и другие разделы механики деформируемого твёрдого тела.

Заключение Представленный в статье подход, основанный на классической задаче Герца, может рассматриваться как первый этап теоретических исследований по изучению свойств массива, основанных на вдавливании пуансона в массив непосредственно в натурных условиях. Применение методов теории пластичности и предельного равновесия наверняка позволят более детально проводить исследования контактной задачи и значительно расширить диапазон массивов для определения их характеристик прочности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ЛурьеА.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

2. Филоненко-БородичМ.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1959. 364 с.

3. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. - М.: ОГИЗ, 1947. 465 с.

4. Тимощенко С.П., ГудьерДж. Теория упругости. - М.: Наука, 1979. - 560 с.

5. Фесик С.П. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев. Будівельник, 1982. 280 с.

6. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений.-М.: Недра, 1994. - 382 с.

□ Авторы статьи:

Черданцев Преслер Ануфриев

Николай Васильевич: Вильгельм Теобальдович: Виктор Евгеньевич:

д-р техн.наук, ст.науч.сотр. Института угля СО РАН. Е-таі1:сИепіапІ8ЄУПУ@ісс.кет8с.ги

д-р техн.наук, вед. науч. сотр. Института угля СО РАН. Тел. 8-3842-45-20-61.

канд.техн.наук, ст.науч.сотр. Института угля СО РАН. E-mail: [email protected].