CC BY
26
Метод установления общеорганизационных комплексных целей направлен на организацию усиления заинтересованности всех участников производственно-хозяйственной деятельности в достижении общей конечной цели. Аналогичным образом установление четко сформулированных целей для всей организации в целом также будет способствовать тому, что руководители отделов будут принимать решения, благоприятствующие всей организации, а не только их собственной функциональной области.
Немаловажным и достаточно эффективным является метод управления конфликтной ситуацией, основанный на использовании системы вознаграждений, которая должна стимулировать деятельность предпринимателей и специалистов в достижении общеорганизационных комплексных целей, соответствующих ин-
тересам и желаниям руководства и самой фирмы.
К наиболее значительным среди межличностных методов разрешения конфликтов следует отнести: уклонение (уход человека от конфликта); сглаживание (убеждение человека о безнадобности создания конфликта для достижения «монолитности» коллектива); принуждение; компромисс (принятие точки зрения другой стороны); решение проблемы (признание различий во мнениях и готовность принятия приемлемых для конфликтующих сторон решений).
Следует отметить, что в сложных ситуациях, где разнообразие подходов и точная информация являются существенным для принятия здравого решения, появление конфликтующих мнений необходимо поощрять и управлять ситуацией, используя метод решения проблем.
ОБОСНОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ПО ИННОВАЦИОННОМУ РАЗВИТИЮ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЯХ ПРОИЗВОДСТВА НА ОСНОВЕ МНОГОМЕРНОЙ МОДЕЛИ СТАНДАРТИЗАЦИИ
Босов Д.Б, кандидат экономических наук
В статье рассматривается модель многомерной задачи стандартизации при ограниченных возможностях производств.
Ключевые слова: математическое моделирование, многомерная задача стандартизации, алгоритм решения, транспортные задачи линейного программирования, множество, дерево вариантов.
GROUNDS OF TECHNICAL SYSTEMS SOLUTIONS ON INNOVATION DEVELOPMENT UNDER LIMITED PRODUCTION OPPORTUNITIES ON THE BASIS OF MULTI-DIMENSION MODEL OF STANDARDIZATION
Bosov D., Cand.Econ.Sci.
In the article a multi-dimension problem model of standardization under limited production opportunities is considered.
Key words: mathematical modeling, multi-dimension model of standardization, algorithm of solution, transport solutions of linear programming, multitude, a tree of variants.
1. Формализация задачи
Инновационное развитие технических систем представляет собой сложный и крайне дорогостоящий процесс. Он не может протекать стихийно, так как общество заинтересовано в его эффективности, которая достигается путем управления процессом развития технических систем. В современных условиях такое управление невозможно без научного обоснования решений, принимаемых на этапах конструирования, производства и эксплуатации соответствующих систем. Перспективным направлением обеспечения обоснованности решений является математическое моделирование. Для его осуществления необходимо наличие соответствующих моделей и методов обоснования решений по управлению развитием технических систем.
В данной работе рассмотрена весьма важная для практического использования модель многомерной задачи стандартизации при ограниченных возможностях производства. Эта задача может быть сформулирована следующим образом. Требуется определить
С = min
N
К
i=l
M N
X х
i=i j=i
\
X ciyi+XX cjxij
(i)
при ограничениях
N
j=1
M
xij
-bj,
i = 1,M ;
j=i,N ;
(2)
(3)
i=1
yi =
I при xij > 0 ;
0 при xij = 0, j = 1,N, (4)
где х - количество изделий /-го типа, применяемых для обеспечения потребностей у-го вида;
С0 - стоимость разработки изделий /-го типа;
с^ - стоимость обеспечения единицы потребностей у-го вида изделиями /-го типа;
a. - количество изделий /-го типа, выпуск которых может обеспечить производство;
b. - количество потребностей у- го вида.
2. Алгоритм решения
Алгоритм решения задачи (1)—(4) основан на идеях метода ветвей и границ и использует фронтальную схему ветвления. Особенность алгоритма состоит в том, что каждой вершине дерева вариантов соответствует ветвь, соединяющая корневую вершину (0;1) с 1-й вершиной (/=1,2,..., Ь^, находящейся на к-м уровне ветвления;
^ - множество индексов переменных у^ = 1, соответствующих вершине (к /) (^^к);
Еи - множество индексов, переменных у=1, соответствующих вершине (к,/), значения которых невозможно или нецелесообразно полагать нулевыми;
Оы - множество индексов переменных у=1, соответствующих верше (к,/), каждую из которых целесообразно положить равной нулю при переходе к к+1 уровню ветвления;
икI = ЕкI Y &к1 - множество индексов переменных у=1, соответствующих вершине (к=/);
1 = ЕЫ У ик1 - множество индексов переменных у.. Рассмотрим процесс формирования множества
Е = е 0 у Е3
^к! к! к! >
где E0 = ( Y Elkl ) Y ( Y El )
pqt skl
pq^sa
pq-
E
pq
множество индексов переменных y , для которых вы-
полняется одно из неравенств
X ai < bj, j = 1,N ,
Іє( Upq1 Aj ) lit
(5)
N
Xai<Xbj, pqєski
l^Upq
i^t
j=k
(6)
А- множество индексов типов изделий, которые могут обеспечивать у-й вид потребностей;
E
pq
■ множество индексов переменных yt для которых вы-
полняется неравенство
cp+k,q ( y і = 0) > cpq ( Уі = k)
pq
(7)
cp+kq (Уі =0) и cpq(yi =k) опреде-
значения ^р+1ц\у1 ляются решением задачи (9)-(11)
г3
няется условие
Еы - множество индексов переменных, для которых выпол-
N
ск1 = min XXcijXij + Xc
ckl
при ограничениях
N+1
j ч
i^uklj=k ieukl
(9)
Xxij=ai, i=1,M ;
j=1
Xxü=bj, j=in+1;
(10)
(11)
N
1п+1 = Ха -Хъ1’ с),п+1 = 0■
*еик! ] =1
Оценка нижней границы для каждой вершины вариантов производится решением следующей задачи:
N+1
Cki = min X X ex + X с0
'kl
при ограничениях
N+1
i(^ukl j=1
ieE
(12)
kl
X,Xjj = aj, i = 1,M ;
j=1
Xxu=hj’ j=1’N+1;
(13)
(14)
cij =<
Cl
i^Uk
c0
C■■ +-----------------------
t} min(ai ; X bj )
jtBj
* j-’ 0 при i& Ekl ;
при ie (Gkl Y Ekl)
икАик+1,д = &}’ Ц = 1’2’“’Ек+1 (8)
Физический смысл неравенств (5)-(6) заключается в том, что при у* = 1 не могут быть обеспечены заданные потребности.
Условие (7) означает, что полагать у * = 1 нецелесообразно,
так как при этом увеличиваются общие затраты. Условие (8) показывает, что при V/ =0 будет получена уже исследованная ранее вершина к+1 уровня.
Каждой вершине дерева вариантов соответствует допустимое решение
'1,п+1
где В- множество видов потребностей, которые могут обеспечиваться /-м типом изделий.
Задачи (5)-(9), (12)-.(14) являются транспортными задачами линейного программирования, для решения которых разработаны эффективные стандартные программы, основанные на методе потенциалов или венгерском методе.
Общая схема построения дерева возможных вариантов - фронтальная. Корневой вершине (0;1) соответствует множество и01= ух,
F0,= 0
т. е. все переменные
Уі =1 (i є У)
щью неравенств (3.30), (3.31) формируется множество Е01. Решив задачу (12)-(14), находим допустимое решение ^, соответствующее корневой вершине. Полагая последовательно
У1 = 0 *е и01 \Ео 1 и решая задачу (12)-(14), находим
допустимые решения для всех возможных вершин первого уровня ветвления Сц=(/=1,2,__»¿). Используя неравенство (7), исключаем
бесперспективные ветви и формируем множество Е01 . Для корневой вершины множество Ео31 = 0.
Для дальнейшего ветвления выбираем вершину с минимальным значением су . Процесс построения ветви дерева вариантов продолжается аналогичным образом до тех пор, пока множество не окажется пустым. Допустимое решение, соответствующее конечной вершине (6^= ), является рекордом (С^Сц). Последовательно просматривая вершины дерева вариантов, для которых , определяем для них нижнюю границу решением задачи (12)-(14). Отсекаем бесперспективные ветви, для которых выполняется неравенство
ckl > c0
(15)
1
0
c
2
с помо
kl
Таблица 1.
Типы изделий, i Виды потребностей, j ai 0
1 2 3 4 5 6 7 8 ci Cij
1 3 40 4 1 30 4 6 м М 0 70 210 3
2 6 5 3 о <N CN 4 5 7 о С\ о 80 160 2
3 М 3 10 2 м 3 30 6 5 о ю о 60 40 2/3
4 5 6 4 3 5 м о "-t о О о 100 400 4
5 7 6 5 3 6 4 50 М 0 110 160 320 2
bj 40 10 30 20 30 50 40 250
Уточняем полученный рекорд и находим оптимальное решение. Таким образом, особенность решения заключается в том, что каждой вершине дерева вариантов соответствует допустимое решение, которое используется для изменения области поиска.
3. Пример
Рассмотрим применение изложенного алгоритма на численном примере, исходные данные для которого приведены в табл. 1 (значения с.. в верхнем левом углу каждой клетки таблицы
4
О
min(ai ; I b j ) ). Значения c..=M,
если г-й тип из-
Следовательно, для дальнейшего ветвления могут быть использованы только две переменные у1 и у2. Полагая поочередно эти переменные равными нулю, находим допустимые решения для вершин
второго уровня ветвления с21=1470 ( у-у = 0), с22=1360 ( у 2 = 0).
Так как с21=1470<с14=1460, то вершина (2;1) для дальнейшего ветвления бесперспективна и множество £1° = {1;3;5}. Вершине
(2;2) соответствует ^2 = {4;2} , Е[4 = {1;3;5} . Так как множество ^22 = ^ , то полученное для этой вершины допустимое
решение является рекордом с0=с22=1360.
Результаты решения для вершины (2;2) приведены в табл. 2 3.9
делий не может обеспечивать j-й вид потребностей (М - достаточно (ui Vj - значения потенциалов).
большая величина, запрещающая назначения в данную клетку таблицы).
Корневой вершине (0; 1) соответствует
Fqi = 0, Eу = Eqi = 0, Uqi = y . Решив задачу
(9) и (11), находим оптимальный план X01=||x„|| (смотри первые нижние углы клеток табл. 1 3.8) и значение с01=1800). Полагая последовательно переменные Уу = 0 г=(1,2,3,4,5) и решая задачу (9)-(11), находим допустимое решение для вершин первого уровня ветвления: с11=1710 ( y у = 0 ), с12=1660 ( y 2 = 0 ), с13=1810
( y 3 = 0 ), С14=1460 ( y 4 = 0 ), ¿1=1530 ( y 5 = 0 ).
Так как с13=1810>с01=1800, то вершина (1;3) является бесперс-2 0
пективной и множество Е01 = {3} , Е01 = {3} . Для дальнейшего построения дерева вариантов выбираем вершину (1,4) соответствуют Е14 = {4}, El4 = {5}, e14 = Е4 Y Е& = {3,5}.
Для уточнения полученного рекорда выбираем для дальнейшего исследования вершину (1;5) с минимальным значением с15=1530.
Вершине (1;5) соответствует ^5 = {5}, = {4},
Е5 = {3;4}, и15 = {1,2,3,4}.. Решая задачу (3.37)-(3.39), находим нижнюю границу вершины (1;5) С15 = 1420 .
Результаты решения приведены в табл. 3 (величины С^ расположены в верхнем левом углу каждой клетки таблицы, значения х. - в правом нижнем углу клеток).
Так как С5 > С0 , то ветвь бесперспективна. Следующей вершиной с минимальным значением допустимого решения является вершина (1;2) со значением с12=1660, которой соответствует
^2 = {2}, 4 = {4} > £2 = {3} £12 = {3;4}, и,2={1,3,4,5}.
Проверка нижней границы с 2 = 1180 > С0 показывает, что ветвь
перспективна.
Для
0
вершины
{2;3}
F23 = {2;1}, E23 = {5}, Е20з = {3;5}, и23 = {1,3,4,5}. Решив зада-
Таблица 2.
Типы изделий, i Виды потребностей, J ai
1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 40 4 1 30 4 6 м М 0 70 0
3 м 3 2 М о (N СП 6 5 40 0 60 1
5 7 6 10 5 3 20 6 10 4 50 М 0 70 160 4
bj 40 10 30 20 30 50 40 70
У, 3 2 1 -1 2 0 4 -4
Таблица 3.
Типы издел ИЙ, i Виды потребностей, J ai Щ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 6 7 4 10 7 9 м М о Os О 70 0
2 8 7 5 4 6 7 50 9 0 30 80 0
3 М 3 10 2 20 М 3 30 6 5 0 60 -2
4 5 40 6 4 3 20 5 М 4 40 0 100 0
h 40 10 30 20 30 50 40 90
V, 5 5 4 3 5 7 4 0
чу (9)-(11), находим допустимое решение с23=1580<с12=1660. Для окончательного суждения о целесообразности дальнейшего ветвления решаем задачу (12)-(14) и находим С23 =1430>с0=1360.
Следовательно, данная ветвь бесперспективна.
Вершине (2;4) соответствуют
F24 = {2/5}, E2A = {1,3,4}, С24 = 1500 > Со.
Так как G24= , то исследование данной вершины заканчива-
ется.
Переходим к вершине (1;1), которой соответствует
F11={1}, E0i={3}, e3i={2'4}, «11={234,5} и q 1 =150« с.
Таким образом, исследованы все вершины дерева вариантов, для каждой из которых определялось допустимое решение и, при необходимости, проводилась оценка нижней границы. Отсечение бесперспективных вершин производилось с помощью условия
ckl > min С
pq^Ski
pq (например, вершины (1;3), (2;1)).
Оценка нижней границы производилась только при невыполнении данного неравенства. В этом случае бесперспективность вершин определялась с помощью условия (15). Например, бесперспективные вершины (1;5), (2;3). Таким образом, учет специфических особенностей задачи позволил усилить условия отсечения бесперспективных вершин, сократить область возможного перебора вариантов.
Рш =
С„=П44 Ст»=П58 С-и=И55
G,<= G ,,=1143 G\a=
C2i={ 141
Ci')=Cn=il76
G\l=
Рис. 1.
Продолжаем ветвление данной вершины, полагая у 5 — 0, и переходим к вершине (2,5) с соответствующими множествами
F25 — {1;5|, Е25 — {2,3,4}, С25 — 1440 < с0 . Так как
О = , то данная вершина является концевой.
Дерево возможных вариантов, полученное в результате решения задачи, изображено на рис. 1.
Около каждой вершины указаны множество допустимое,
решение еш и оценка нижней границы решения ск1.
Заключение. Исследование показало, что рассмотренная модель стандартизации при ограниченных возможностях производства позволяет решать достаточно широкий класс задач инновационного менеджмента.
Литература:
1. Анисимов В.Г., Анисимов Е.Г., Босов Д.Б. Сетевые модели и методы ресурсно-временной оптимизации в управлении инновационными проектами. - М.:ИСЭ, 2009.
2. Анисимов В.Г., Анисимов Е.Г., Кежаев В.А. и др. Методы и модели оптимизации в управлении развитием сложных технических систем.- С-Пб.: Политехника, 2004.
