Разработка методов решения многокритериальной задачи оптимального резервирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.72

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ

Я.Е. Львович, И.Л. Каширина

В статье рассматривается математическая модель многокритериальной задачи оптимального резервирования. Предлагается способ линеаризации данной модели. Для линеаризованной модели предлагается метод отыскания полной совокупности Парето-оптимальных решений

Ключевые слова: оптимальное резервирование, многокритериальная задача, множество Парето, метод ветвей и границ

Рассматривается сложная техническая система, состоящая из п элементов. Для каждого элемента известна некоторая вероятность безотказной работы в течение требуемого времени, стоимость этого элемента и среднее время работы до отказа. За счет резервирования можно увеличить вероятность безотказной работы всей системы'. Зарезервированы компоненты могут быть одним из следующих способов:

• «1оо1» - элементы не резервируются;

• «1оо2» - имеется два одинаковых элемента, один из них работает (в данной схеме также требуется специальный блок переключения на резерв);

• «2оо3» - из трех элементов два работают. Однако резервирование увеличивает стоимость

системы.

Зависимость стоимости, вероятности безотказной работы и среднего времени работы до отказа от способа резервирования представлена в следующей таблице:

Зависимость параметров системы от способа

резервирования имеет вид

n

2

Критерий 1оо1 1оо2 2оо3

Вероятность безотказной работы p 2p-p2 3p2-2p3

Стоимость S 2SG (G - к-т увеличения стоимости) 4S

Среднее время работы до отказа T 3T/2 5T/6

Вводится ограничение на среднее время безотказной работы резервируемой системы: оно должно быть не меньше заданного значения.

Таким образом, задача состоит в выборе способа резервирования для каждого элемента системы, который позволил бы получать наибольшую вероятность безотказной работы при наименьшей стоимости с учетом выполнения ограничения на среднее время безотказной работы системы. Математическая модель двухкритериальной задачи оптимального

Львович Яков Евсеевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 220-56-28

Каширина Ирина Леонидовна - ВГУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8- 903- 653- 92- 93, e-mail: [email protected]

P = П(p;x1 j + (2p} - p} )xj + (3p} - 2p} )x,j ) ® max (1)

J=1

£ = ^(SjX1 } + 2£}О}х2у + 4SjX3® шт 1 =1

Х1 у + х2 у + Х3 у = Ь 1 = 1 п

1 2 6 ч 1 Х + 37} Х2] + 57} ХЪ] £ Тс Обозначения:

1, если элементу \ назначается способ резервирования\;

0, иначе.

xn =

(2)

(3)

(4)

(5)

Здесь I е {1,2,3}, } = 1, п , п- количество элементов. Т} - среднее время наработки до отказа }-го элемента. - стоимость 1-элемента. О}- - коэффициент,

увеличивающий стоимость схемы 1оо2, О}- > 1.

если для данного резервируемого элемента существует надежный блок переключения на резерв; О} =£тах в случае, если такой блок отсутствует (£тах

- максимально возможная суммарная стоимость резервируемых элементов, выполняет роль штрафного коэффициента); р}- - вероятность безотказной

работы }-го элемента без резервирования. Р - вероятность работы без отказа всей системы, 8- об-

щая стоимость системы. Тс - среднее время работы до отказа всей системы (оно должно быть не меньше заданного значения). Ограничение (4) имеет соответствующий вид потому, что среднее время работы до отказа всей системы связано со средним временем наработки до отказа ее элементов следу-

( п V1

ющим соотношением: Tc =

Для решения этой задачи возможно использование генетического алгоритма [1]. Однако, несмотря на достаточно высокую эффективность, этот метод является приближенным и не позволяет полностью отыскать Парето-оптимальное множество решений (или хотя бы его большую часть). Для задачи оптимального резервирования важно получить в качестве решения достаточно представительную

аппроксимацию парето-оптимального множества, так как конкретное конструкторское решение по резервированию принимается, как правило, с учетом дополнительных, трудноформализуемых в общем виде требований, поэтому желательно иметь выбор из нескольких вариантов решения, из которых всегда можно организовать дополнительный целевой отбор (например, по соотношению надеж-

ность/стоимость). Если задача имеет достаточно большую размерность (в системе более 50 элементов, требующих резервирования), то генетическому алгоритму сложно предложить достойную альтернативу. Но для задач среднего размера (30 - 50 элементов), когда полный перебор (330 -350 вариантов) практически уже не возможен, предлагается использовать метод, основанный на адаптации метода ветвей и границ для решения многокритериальных задач.

Прежде всего, проведем некоторую модификацию исходной задачи. Дело в том, что функция критерия (1) является нелинейной и невыпуклой, что существенно затрудняет получение и решение оценочных задач, необходимых при решении методом ветвей и границ. Введем в рассмотрение вместо критерия Р критерий 2 = 1п(Р). В силу монотонности логарифмической функции и положительности всех возможных значений критерия Р такая замена не приведет к изменению итогового множества парето-оптимальных точек. Проведем эквивалентные преобразования.

( п \

2 = 1п(р) = 1п П(р;х1} + (2Р} - Р2)х2} + (3Р2 - 2Р3)х3} )

= Ъ 1пр х1} + (2Р} - Р} )Х2} + (3Р2 - 2Р} )Х3} ) =

1=1

= Е 1п( + (Р}Х11 + (2Р} - Р2] )Х21 + (3Р;2 - 2Р;3 )Х31 -1 1=1

Так как в соответствии с (3) только одна из переменных Х11, Х21, Х31 примет значение 1 (остальные будут равны нулю), выражение

Р(Р] ) = Р]Х11 + (2Р] - Р;2 )Х21 + (3Р;2 - 2Р3,- )Х31

!Е (PjX1 j + (2Pj - P;2 ) X2 j + (3 P;2 - 2 P) ) X3 j -l) =

может иметь следующие значения:

2Pj- pj,

3 p 2 - 2 p 3

= 1; = 1;

=1.

Л31

Каждое из этих значений является вероятностью безотказной работы для соответствующего вида резервирования. В современных сложных технических устройствах эти вероятности имеют близкие к единице значения(>0.95). Поэтому величина рх 1 + (2Р1 - Р;2)Х21 + (3Р2 - 2Р3)Х31 -1 достаточно близка к нулю. Следовательно, в данном случае применимо приближенное равенство 1п(1 + х) » х при Х ® 0 , т.е.

£ 1п(1 + (Р1Х11 + (2Р] - Р;2)х21 + (3Р;2 - 2р1 )х31 - 1))» 2=1

i=1

П

Е (pjxl j+(2Pj- p2) x2 j+(з p2 - 2 p3) x3 j )

- n

Так как константа в целевой функции не влияет на координаты оптимальной точки, получаем, что целевую функцию (1) в задаче (1)-(5) можно приближенно заменить (с точностью, зависящей от надежности исходных резервируемых устройств) на линейную целевую функцию:

P = Е (Pj X1J + (2Pj - PJ2 )x2j + (3Pj2 - 2P;3 )x3j ) ® max i=1

В результате получаем задачу следующего вида:

P = Е (PjX1 j + (2Pj - pj )x2j + (3Pj2 - 2P3 )x3 j ) ® max (6) i=1

n

Sобщ = Е (SJX1 j + 2S jG jx2j + 4SJX3 j ) ® min (7) j=1

X1J + X2 j + X3 j = 1, j = 1, n n 1 2 6 1

ST Xlj + 3T, X2J + 5T, X3J) < Tc

(8)

(9)

xij =

1, если элементу j назначается способ

резервирования j ; (10)

0, иначе,

2 е {1,2,3}, 1 = 1, п . Задача (6)-(10) с двумя линейными целевыми функциями относится к классу многокритериальных блочных задач о рюкзаке, интерпретируемых как выбор вариантов для частей некоторой системы с учетом общего ресурсного ограничения (в нашем случае - это ограничение (9)) и максимизацией «полезности» выбранных вариантов по нескольким критериям (заметим, что критерий (7) также можно максимизировать, умножив предварительно на (-1)). Блочная задача о рюкзаке является №-трудной. Для решения ее многокритериального аналога разработано несколько эвристических алгоритмов [2], которые могут быть использованы и для приближенного решения задачи (6)-(10). Кроме того в литературе описано несколько точных методов для решения однокритериальной блочной задачи.

Например, в работе [3] с этой целью используется метод ветвей и границ, причем в качестве оценочной используется непрерывный аналог исходной постановки, т. е. задача вида:

ЕЕ ci,xi, ® max j=1i=1

m ____

Е xij = ь j1n

i=1

n m

ЕЕwyXy < w j=1i=1

(ll)

(12)

(13)

0 < Ху < 1; 1 = 1, п; 2 = 1, m. (14)

Примечательно, что в работе [3] для решения этой непрерывной оценочной задачи предлагается алгоритм Дайера, вычислительная сложность кото-

i =1

n m

рого имеет порядок всего лишь О(п) итераций. При этом доказано, что вектор оптимального решения задачи (11 )-(14) содержит не более двух дробных координат. (Очевидно, что если результатом решения задачи (11)-(14) станет вектор с целыми координатами, то он же является оптимальным решением соответствующей целочисленной задачи).

В данной работе алгоритм Дайера предлагается также предлагается использовать в качестве оценочного в методе ветвей и границ, но уже при решении двухкритериальной задачи (6)-(10). Основная идея такого метода заключается в следующем. В процессе построения дерева каждое подмножество (вершина) получает не одну, а две оценки. Они являются результатами решения по алгоритму Дайера оценочных однокритериальных задач, соответствующих задачам (6),(8)-(10) и (7)-(10). Подмножество считается бесперспективным (исключается из рассмотрения), если существует допустимая точка (рекорд), в которой значения обеих целевых функций лучше, чем оценки данного подмножества (пара рекордных значений доминирует оценочные значения).

Для быстрого получения допустимых точек и сокращения перебора предлагается использовать приближенные алгоритмы, например, эвристический алгоритм для многокритериальной блочной задачи о рюкзаке, описанный в [2].

При этом необходимо учитывать некоторые специфические особенности задачи (6)-(10), позволяющие упростить отыскание множества Парето. В частности, если V/ : 0.5 < Р^ < 1, (что справедливо

для абсолютного большинства показателей надежности технических устройств), то выполняются неравенства: р^ < 3р2 -2р3 < 2р^ -р2. Отсюда следует, что решения вида: (х2^ = 1, х3^ = х1 у = 0, V;)

являются Парето-оптимальными. Действительно, они максимизируют целевую функцию (6) и для таких решений обязательно выполняется ограничение (9), так как коэффициент при переменной Х2 1

минимален в каждой из соответствующих тройных сумм. Кроме того, если справедливо неравенство: п 1 1

Ъ— < — , то Парето-оптимальными являются еще

они минимизируют целевую функцию (7). Отметим также, что в Парето-оптимальном решении переменная Х3 1 может принять значение 1 только в том

случае, если соответствующее значение О^ > 2. Если 01 < 2 , то, автоматически, х31 =0. Это следует из того, что при О 1 < 2 переменная Х3 1 имеет худший по сравнению с х21 целевой коэффициент

как в первой, так и во второй целевых функциях, а также максимальный коэффициент в ограничении (9), поэтому точки, в которых

будут допустимы и они до-

х 2 j = 1, Х3 j = X! j = 0

X2 j = X1 j = 0

и решения вида: (х1 j = 1, х3 j = x2 j = 0, "j), так как

минируют точки, в которых х3 j = 1,

Отметим, что если Парето-оптимальное множество задачи достаточно велико, то, несмотря на перечисленные особенности, существенного сокращения перебора может и не произойти, и нахождение всех Парето-оптимальных точек будет связано со значительными временными затратами [4]. В этом случае предлагается использовать незавершенный метод ветвей и границ, чтобы, управляя стратегией ветвления дерева вариантов, получить достаточно представительную аппроксимацию границы Парето.

Литература

1. Генетический алгоритм решения многокритериальной задачи повышения надежности резервирования/ Я.Е.Львович, И.Л. Каширина, А.А. Тузиков// Информационные технологии, 2012.-№ 6 - С. 56-60.

2. Левин М.Ш. Эвристический алгоритм для многокритериальной блочной задачи о рюкзаке/ М.Ш. Левин, А.В. Сафонов// Искусственный интеллект и принятие решений, 2009.- № 4 -С. 53-64.

3. M.E. Dyer, N. Kayal, J. Walker, A Branch and Bound Algorithm for Solving the Multiple-Choice Knapsack Problem"// Journal of Computational and Applied Mathematics, 1984.- № 11.- P. 231-249.

4. Львович, Я. Е. Оптимизация построения решающих правил при управлении испытаниями [Текст] / Я. Е. Львович, И. Л. Каширина, А. А. Шостак // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2012. - Т. 8. - № 5. - С. 22-24.

5. Леденева, Т.М. Системы искусственного интеллекта и принятия решений/ Т.М. Леденева, С. Л. Подвальный, В.И. Васильев - Уфа: УГАТУ. - 2005.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

DEVELOPMENT OF METHODS FOR THE SOLUTION THE MULTICRITERIA TASK OF OPTIMUM RESERVATION Ya.E. Lvovich, I.L. Kashirina

In article the mathematical model of the multicriteria task of optimum reservation is considered. The method of linearization of this model is offered. For linearized model the method of searching of full set of Pareto-optimal decisions is offered

Key words: optimum reservation, multicriteria task, Pareto set, method of branches and boundaries