CC BY
1УДК 630*383
Е. Г. Гладков,
кандидат технических наук, доцент gladkov2807@ya.ru
ОБОСНОВАНИЕ РАБОЧИХ ОТМЕТОК СИСТЕМЫ НАСЫПЕЙ ПО МИНИМУМУ ЗЕМЛЯНЫХ РАБОТ
Линейное программирование, земельные работы, оптимизация.
Linear programming, excavating, optimization.
Во многих случаях при строительстве технологических сооружений лесозаготовительных предприятий (нижних складов, погрузочных пунктов, складов ГСМ, эстакад и т. п.) имеет место следующая задача. Необходимо в пределах полигона, заданного высотными отметками земли в характерных точках рельефа и размещением на этом полигоне системы пересекающихся на различных уровнях (скрещивающихся) насыпей, найти такие рабочие отметки точек их пересечения (скрещения), которые доставляли бы минимум совокупных земляных работ по устройству системы насыпей в целом. Решение необходимо найти при условии, что каждый элемент системы насыпей находится в заданном для него диапазоне возможных уклонов, при этом некоторые рабочие отметки могут иметь фиксированное значение (например, точки примыкания насыпей). Предполагается, что рабочие отметки трасс насыпей определяются на полигоне, заданном цифровой моделью местности, в которой высотные отметки присвоены характерным точкам рельефа, причем плотность размещения точек такова, что между ними допустима линейная интерполяция.
Математическая запись задачи
Пусть: J - список всех связных пунктов цифровой модели местности (ЦММ) в области изыскания трассы дороги, J = (1, 2, ..., i, j, ..., J);
Ji e J - список пунктов сети, для которых определены фиксированные рабочие отметки;
K - список связей всех пунктов ЦММ, рассматриваемых при изысканиях; имя связи между пунктами i и j есть ij e K;
Я, Я. - рабочие отметки трассы в смежных ,-м и]-м пунктах трассы, О', 7)е /
Я/ - нижний предел рабочей отметки в ,-м пункте по условиям проектирования, / й ,/1;
2,, г - отметки земли в смежных /-м и]-м пунктах трассы, (/, ])е /; Ц - длина проекции у связи на горизонтальную плоскость, у е К;
¥-г - площадь вертикального сечения насыпи между / и ] пунктами трассы;
У. - тангенс уклона на у -м отрезке профиля, у е К;
У., У. - тангенсы максимального спуска и подъема на у -м отрезке
профиля соответственно, у е I.
Тогда существует задача линейного программирования РОЬЮО^ записываемая следующим образом в минимальном варианте постановки:
Ш1П
ч
|еК
1П 7 (1)
0,5 Ц (Я, + Я.) - К = 0, " у е К, " /,] е /; (2)
Яч - Я • - Ьч¥ч £ г,-г., " I] е К, " 1,] е /; (3)
У- £ Уу £ У , " /7 е К; (4)
Я , > Я , " / е /; (5)
Я, = у, " / е /1. (6)
Функционал (1) задачи обеспечивает минимум сумм площадей сечения вертикального профиля, взятых между проектными линиями и линиями земли от начальных до конечных пунктов. Ограничение (2) выполняет расчет площади продольного вертикального сечения насыпи по оси
у -й связи. Ограничение (3) выполняет расчет уклона у -й связи. Результирующая константа - в его правой части должна быть вычислена при подготовке исходных данных либо - могут быть введены с соответствующими знаками в левую часть (3) как переменные, которым должно присвоить значение константных отметок земли в соответствующих пунктах при помощи дополнительных ограничений. Ограничение (4)
обеспечивает уклон на у -й связи в заданных пределах (от наибольшего подъема до максимального спуска). Это ограничение может косвенно задавать категорию устраиваемой дороги, если речь идет о системе насыпей взаимосвязанных дорог. Ограничения (5) и (6) заботятся о соблюдении условий для рабочих отметок: для некоторых точек обеспечивается выполнение условия «рабочая отметка больше или равна заданной», для других - выполнение строгого равенства рабочей отметки заданной величине.
Условие, при котором возможно решение задачи, состоит в том, что систему насыпей возможно описать, как некоторую связанную сеть, отдельные элементы которой пересекаются на одном уровне, либо скрещиваются на разных уровнях при выполнении условий для рабочих отметок пересечений или скрещений. Функционал задачи может быть откорректирован введением коэффициента удельных затрат на единицу площади продольного сечения элемента насыпи при заданной ширине элемента насыпи с целью получения оценок строительных затрат или модифицирован иным способом для других целей. Также может быть расширена система ограничений для учета условий строительства конкретного объекта.
Контрольный пример задачи решался для условий, схематически представленных графом на рисунке. Это участок местности с ярко выраженным рельефом, где перепад высот достигает 18,9 м, а предельный уклон 200 %о. Необходимо изыскать высотное размещение одиннадцати связанных между собой трасс при выполнении ограничений на рабочие отметки для некоторых заданных пунктов так, чтобы минимизировать совокупный объем земляных работ по системе насыпей в целом. Отметки земли представлены в табл. 1, длины и уклоны земли по связям - в табл. 2, требования к изыскиваемым рабочим линиям трасс - в табл. 3.
Схема контрольного примера В кружках показаны номера пунктов; рядом с кружками прямым жирным шрифтом нанесены высотные отметки земли; на выносках жирным курсивом обозначены длины связей в метрах; мелким шрифтом показан уклон воздушной линии в тысячных
Таблица 1
Отметки земли в пунктах
Параметр Номер пункта
1 2 3 4 5 6 7
Отметка земли, м 1,1 1,2 11,2 15,0 20,0 18,0 14,8
Таблица 2
Проекция длин связей и уклоны связей между пунктами
Параметр Номер связи
1-2 1-3 1-5 2-3 3-5 2-4 3-4 4-6 5-6 5-7 6-7
Длина, м 100 110 120 50 60 80 70 80 70 110 100
Уклон, % 1,00 91,82 157,50 200,0 146,67 172,50 54,29 37,50 -28,57 -47,27 -32,00
Таблица 3
Предельные параметры изыскиваемой трассы
Показатель Значение
Наибольший подъем, % 200
Максимальный спуск в грузовом направлении, % 150
Рабочая отметка, м
в пункте 1 0,4
в пункте 5 >0,6
в пункте 6 >0,8
в пункте 7 >1,0
Далее представлено решение, полученное с помощью пакета прикладных программ LPX 88. В машинном документе жирным шрифтом выделены наименования связей и соответствующие им величины продольных сечений. Величина функционала обозначена как SUM, уклоны -Y, рабочие отметки - R. Буквами S - 20, S21, ..., S44 обозначаются переменные, генерируемые самим пакетом программ и не имеющие содержательного значения для интерпретации полученного решения.
Машинный документ «Решение задачи POLIGON»
poligon1 SOLUTION IS OPTIMAL DATE 04 -07-2007 TIME 16 : 33:07
MINIMUM ENTERS: BASIS X: 22 VARIABLES: 29
PIVOTS: 14 LEAVES: BASIS S : 26 SLACKS: 36
LAST INV : 0 DELTA 0 SUM 415 CONSTRAINTS : 48
BASIS F12 F13 F15 S . 12 F35 F24 F34 F46 F56
F57 F67 R1 Y13 Y15 Y23 Y35 Y24 Y34 Y46
S .20 S .21 S .22 S .23 S . 24 S . 25 S .26 S.27 S.28 S .29
S .30 S .31 S .32 S .33 S . 34 S . 35 S . 36 S.37 S.38 S .39
S .40 S.41 S.42 S.43 S.44 R2 R7 R5 R6
PRIMAL 20 22 72 .3 24 0 0 32 56
99 90 .4 .0882 . 1608 .2 .16 .1725 . 0543 .0475
2 5 3 .2 .1118 .0392 0 .04 .0275 .1457
. 1525 .2 .2 .2 .15 .2382 .3108 .35 .31 .3225
.2043 . 1975 .15 .15 .15 0 1 .8 .8
В примере рассматривается сильно холмистый участок местности, где естественные уклоны доходят до 200 %<>. Директивно повысив рабочие отметки во всех «нижних» пунктах, где начинаются связи с естественными подъемами 200 %о, можно снизить наибольший подъем в системе строимых связей. При этом соответственно повысится строительный объем работ.
В решении найдена минимальная сумма вертикальных сечений насыпей системы (SUM = 415 м2), возможная при установленных ограничениях, Все ограничения табл. 3 выполнены. Получены рабочие отметки R1 = 0,4, R2 = 0, R3 = 0, R4 = 0, R5 = 0,8, R6 = 0,8, R7 = 1, удовлетворяющие поставленным ограничениям. Уклоны Y находятся в заданном диапазоне. (Пакет прикладных программ выводит только положительные значения переменных. Отрицательные приходится вычислять.)
Задача может быть полезна при проектировании сложных промышленных объектов со взаимозависимыми высотными отметками и ограничениями на допустимые уклоны линейных связей. Таковыми являются устраиваемые с помощью бульдозеров или иной техники типичные промышленные площадки вспомогательных и основных лесопромышленных производств. С точки зрения земляных работ это, как правило, система взаимосвязанных многоуровневых насыпей. Кроме того, используемые здесь идеи могут послужить основой для развития более совершенных задач как лесного комплекса, так и других отраслей промышленности.
Библиографический список
1. Гладков Е. Г. Территориальная динамика лесозаготовок: Моделирование и оптимизация эффективного развития лесозаготовок в современных экономических условиях. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006. 188 с.
2. Левит Б. Ю., Лифшиц В. Н. Нелинейные сетевые транспортные задачи. М.: Транспорт, 1972. 102 с.
Рассматриваются постановка и контрольный пример задачи линейного программирования, минимизирующей объем строительных работ при устройстве системы пересекающихся насыпей.
* * *
Formulation and audit example of a problem of linear programming minimizing bulk of civil construction work while carrying out a system of intersection dams.
