Задача изыскания трассы зимней лесовозной дороги Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 630*383

Е. Г. Гладков,

кандидат технических наук, доцент

ЗАДАЧА ИЗЫСКАНИЯ ТРАССЫ ЗИМНЕЙ ЛЕСОВОЗНОЙ ДОРОГИ

Во многих прикладных областях приходится решать задачу размещения линейных объектов на местности без существенной необходимости устройства насыпей или выемок. Это могут быть зимние лесовозные дороги, газопроводы, водоводы, пешеходные дорожки, терренкуры, лыжные трассы, трассы перемещения судов на воздушной подушке и т. п. Сооружение этих объектов, как правило, не предполагает выполнения каких-либо значительных объемов земляных работ, не возникает необходимости выполнения вертикальных кривых и т. п. В то же время объекты должны быть размещены на местности с соблюдением определенных, зачастую специфических требований в отношении их параметров: допустимой крутизны подъемов и спусков, суммарной физической нагрузки получаемой по прохождении трассы, требований на суммарную протяженность элементов и т. д. и т. п. Помимо этого обязательным условием является соединение с помощью этих путей или путепроводов заранее указанных пунктов при выполнении некоторых требований к движению потоков грузов, генерируемых этими пунктами.

Далее рассматривается задача изыскания трассы зимней лесовозной дороги. В ее основе лежит способ нахождения кратчайшего маршрута на заданной связующей сети*. Приемы, используемые в ее постановке, могут оказаться полезными при постановке сугубо специализированных задач в области лесотранспорта.

Условимся, что территория прокладки трассы будет задаваться цифровой моделью местности, отражаемой в задаче с помощью высотных отметок, приписываемых узлам избыточной транспортной сети, размещаемым в характерных точках рельефа. Условимся также, что длина элемента трассы измеряется длиной проекции на горизонтальную плоскость

воздушной линии, соединяющей узлы сети. Высотами локальных подъе-

*

См.: Вагнер Г. Основы исследования операций: В 3 т. М.: Мир, 1973. Т. 1. С. 78-83.

мов и спусков на элементе пренебрежем или разобьем элемент на более мелкие части. Исходя из этих условий постановка задачи выглядит следующим образом.

На заданной избыточной связующей сети, каждый узел которой характеризуется своей высотной отметкой, а каждый линейный элемент - расстоянием между примыкающими к нему узлами сети и высотой подъема и/или спуска, найти трассу, соединяющую исходный и конечный пункты таким образом, чтобы суммарная высота подъемов и спусков по трассе была минимальной, а крутизна подъемов и спусков не превышала заданную.

Математическая запись задачи

Пусть I - список узлов (пунктов) избыточной ориентированной транспортной сети, пронумерованной от исходного до конечного пункта

(/ = 1, 2, ..., л);

11 е I - список промежуточных пунктов сети;

Х[ - единичный груз (лесовоз), проходящий по элементу I сети, I е Ь (Ь - список всевозможных элементов сети);

[ М а ] - матрица инциденций графа связей избыточной ориентированной транспортной сети (/ - номер узла сети, I - номер элемента сети);

Н - сумма абсолютных значений высот локальных подъемов и спусков на элементе I, м;

1+, I - - тангенс соответственно угла подъема и спуска на элементе I;

Б1 - длина элемента I, км; НГ

й;+), Н ) - соответственно подъем и спуск на элементе I, м;

С =

0 V/ е /1;

+ 1 VI = 1;

-1 V/ = N;

к - коэффициент, учитывающий влияние горизонтальной составляющей работы перемещения груза по трассе на выбор трассы (к > 0), его значения рекомендуется подбирать в зависимости от физического смысла задачи; для колесных движителей он соответствует коэффициенту сопротивления качению при движении по горизонтальному пути.

При этих условиях возможен следующий пример решения задачи ZLDOR:

^п (е((I+^}, (1)

М ]•[ X, ]=[С ], V I е /, (2)

Н+ Х1 < Б, 1+, V I е Ь, (3)

Н,-) X, > Б, I -, V I е Ь, (4)

X, > 0, V I е Ь , (5)

X, - целые, V I е Ь . (6)

Здесь: функционал (1) обеспечивает выбор наилучшей в данных условиях трассы, хотя требует минимума суммарной работы в поле сил тяжести и работы по преодолению сил горизонтального сопротивления движению; ограничение (2) обеспечивает неразрывность маршрута; ограничения (3) и (4) определяют выбор трассы со значениями предельных уклонов не более заданных; ограничение (5) требует неотрицательности переменных; условие (6) обеспечивает получение целочисленного решения.

Графически контрольный пример данной задачи выглядит следующим образом.

Старт

Трасса изыскивается на холмистом участке местности с перепадом высот 20 м, с возможностью выбора вариантов ее размещения на избыточной связующей сети. В следующей таблице для каждой связи избыточной сети показана ее длина и характеризующая ее величины подъемов и спусков. Анализируя рисунок, следует учитывать, что стрелки отражают лишь принципиальную связь, а не конкретное размещение элемента трассы. Начальный пункт трассы располагается в точке «старт», конечный - в точке «финиш».

Параметры избыточной связующей сети

Параметр Имя связи

1-2 1-3 1-5 2-3 2-4 3-4 3-5 4-6 5-6 6-7

5, км 3 3 5 1 3 2 1,5 3 2 5

Н, м 0 +10 +20 +10 +15 +5 +10 +5 0 -5

Параметр Имя связи

5-7 5-11 7-8 8-12 12-9 9-10 13-10 11-8 9-13

5, км 4 4 3 1 2 4 2,5 4 2

Н, м -5 -5 +5 +5 -10 0 -10 -5 +10

Коэффициент в функционале задачи, взвешивающий работу (затраты) на вертикальное и горизонтальное перемещение груза по трассе, принят равным нулю (учитывается только работа по вертикальному перемещению груза на элементах пути), что сделано для упрощения анализа решения и во многом отвечает реалиям изыскания зимних лесовозных дорог.

Узловые точки избыточной связующей сети располагаются на переломах рельефа. В данном варианте постановки задачи микрорельеф трассы не учитывается, хотя на каждом макроподъеме обычно существуют микроспуски и наоборот. Общая сумма длин элементов избыточной связующей сети составляет 55 км, минимально возможная длина трассы - 19 км. При подготовке избыточной связующей сети в нее включались только элементы, удовлетворяющие ограничениям по предельным подъемам и спускам.

Подготовка исходных данных контрольного примера

Контрольный пример решался с помощью пакета LPX-88. Далее приведены матрица подготовки задачи и полученный в результате оптимальный план.

zldor OBJECTIVE: MIN VARIABLES: 20 DATE 11-17-2006

BASIS: zldor CONSTRAINTS: 14 SLACKS: 0 TIME 11:42:45

COST

Start

Y.2

Y.3

Y.4

Y.5

Y.6

Y.7

Y.8

Y.9

finish

Y.11

Y.12

Y.13

S

x12

1 -1

3

x12

x13 10 1

-1

3

x13

x15 20 1

-1

5

x15

x23 10

1 -1

1

x23

x24 15

1

-1

3

x24

x34 5

1 -1

2

x34

x35 10

-1

1.5

x35

x46 5

-1

3

x46

COST

start

Y.2

Y.3

Y.4

Y.5

Y.6

Y.7

Y.8

Y.9

finish

Y.11

Y.12

Y.13

S

1

1

x56

COST

Start

Y.2

Y.3

Y.4

Y.5

Y.6

Y.7

Y.8

Y.9

finish

Y.11

Y.12

Y.13

S

1 -1

-1 -1

2

x56

x67 5

1 -1

5

x67

x57 5

-1

4

x57

x5-11 x78 5 5

1 -1

4 3 x5-11 x78

x8-12 x12-9 5 10

x9-10

1

x8-12

-1

2

x12-9

1 -1

4

x9-10

COST

start

Y.2

Y.3

Y.4

Y.5

Y.6

Y.7

Y.8

Y.9

finish

Y.11

Y.12

Y.13

S

1

1

1

1

x13-10 x11-8 x9-13 SS RHS

COST 10 5 10 0 COST

Start = 1 start

Y.2 = 0 Y.2

Y.3 = 0 Y.3

Y.4 = 0 Y.4

Y.5 = 0 Y.5

Y.6 = 0 Y.6

Y.7 = 0 Y.7

Y.8 -1 = 0 Y.8

Y.9 1 = 0 Y.9

finish -1 = -1 finish

Y.11 1 = 0 Y.11

Y.12 = 0 Y.12

Y.13 1 -1 = 0 Y.13

S 2.5 4 2 -1 = 0 S

x13-10 x11-8 x9-13 SS RHS

Решение

zldor SOLUTION IS OPTIMAL DATE 11-17-2006 TIME 11:42:56

MINIMUM ENTERS: BASIS X: 13 VARIABLES: 20

PIVOTS: 12 LEAVES: BASIS S: 0 SLACKS: 0

LAST INV: 0 DELTA 0 COST 45 CONSTRAINTS: 14

BASIS x13-10 x24 x13 x46 x15 x67 x78 x8-12 x9-10

x12 x5-11 x12-9 **** SS

PRIMAL 0 1 0 1 0 1 1 1 1

1 0 1 0 24

DUAL 35 35 25 20 15 15 10 5 -10

-10 10 0 0 0

Из приведенного примера решения следует, что оптимальная трасса зимней лесовозной дороги пролегла через точки 1-2-4-6-7-8-12-9-10, по которым сумма абсолютных накопленных высот составила 45 м. Длина трассы 24 км (таково значение переменной ББ в оптимальном плане). Из приведенного рисунка следует, что это наиболее пологая трасса из всех возможных в условиях примера для соединения заданных исходной и конечной точек. При ненулевом коэффициенте к в функционале возможен выбор более короткой, но и более крутой трассы.

Рассмотренная задача и ее модификации могут быть полезны для изыскания с помощью ГИС трасс линейных объектов, размещаемых на поверхности земли и не требующих земляных работ. Задача имеет малую размерность и вследствие этого может быть использована в качестве основы для постановки задач с более развитой системой ограничений.

Излагается постановка и приводится контрольный пример задачи изыскания трассы зимней лесовозной дороги на цифровой модели местности. Рассматриваются простые условия проектирования, позволяющие осуществить постановку задачи линейного программирования.

* * *

The setting and control example of a problem of a survey of a route winter timber-road on digital model of terrain is stated. The simple conditions of designing permitting setting of a problem of a linear programming are considered.