CC BY
55
Автомобильный транспорт, вып. 35, 2014
133
УДК 656.072
ОБОСНОВАНИЕ КОЛИЧЕСТВА РЕСПОНДЕНТОВ ДЛЯ ОБСЛЕДОВАНИЯ ВЫБОРА ПАССАЖИРОМ ПУТИ ПЕРЕДВИЖЕНИЯ В МАРШРУТНОЙ
СИСТЕМЕ ГОРОДА
П.Ф. Горбачев, проф., д.т.н., А.В. Макаричев, доц., к.ф.-м.н.,
С.В. Пронин, доц., к.т.н., О.В. Свичинская, асп.,
Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет
Аннотация. Предложен способ расчета достаточного количества анкет при проведении обследований с целью получения фактических значений частоты использования альтернативных вариантов пути для построения функции полезности передвижения на основе допустимой величины относительной погрешности коэффициентов функции полезности.
Ключевые слова: респондент, выборка, путь передвижения, альтернатива, функция полезности, уравнение регрессии, коэффициент.
ОБҐРУНТУВАННЯ КІЛЬКОСТІ РЕСПОНДЕНТІВ ДЛЯ ОБСТЕЖЕННЯ ВИБОРУ ПАСАЖИРОМ ШЛЯХУ ПЕРЕСУВАННЯ В МАРШРУТНІЙ
СИСТЕМІ МІСТА
П.Ф. Горбачов, проф., д.т.н., О.В. Макарічев, доц., к.ф.-м.н.,
С.В. Пронін, доц., к.т.н., О.В. Свічинська, асп.,
Харківський національний автомобільно-дорожній університет
Анотація. Запропоновано спосіб розрахунку достатньої кількості анкет при проведенні обстежень з метою отримання фактичних значень частоти використання альтернативних варіантів шляху для побудови функції корисності пересування на основі допустимої величини відносної похибки коефіцієнтів функції корисності.
Ключові слова: респондент, вибірка, шлях пересування, альтернатива, функція корисності, рівняння регресії, коефіцієнт.
JUSTIFICATION OF THE NUMBER OF RESPONDENTS FOR CONDUCTING A SURVEY OF PASSENGER ROUTE CHOICE IN THE CITY ROUTE SYSTEM
P. Gorbachov, Prof., D. Sc. (Eng.), А. Makarichev, Assoc. Prof., Ph. D. (Phys. & Math.), S. Pronin, Assoc. Prof., Ph. D. Sc. (Eng.), O. Svichinskaya, P. G.,
Kharkiv National Automobile and Highway Univercity
Abstract. An approach for determing the sufficient number of respondents whose route choice should be investigated in order to model the passenger route choice in a city route system is developed. The approach allows to assign the acceptable value of the relative error of parameters when defining the utility function.
Key words: respondent, sample, route, alternative, utility function, regression, coefficient.
Введение
В любом научном исследовании вопрос о степени его эффективности всегда остается актуальным. Каждый научный работник в
ходе исследований обязательно проходит этап планирования и проведения эксперимента, качество и эффективность которого зависят не только от наличия материальной базы, но и от уровня его организации [1].
134
Автомобильный транспорт, вып. 35, 2014
Именно правильная организация экспериментальной части исследования позволяет получать наиболее ценную информацию при минимуме трудовых, материальных и временных затрат.
При планировании работы городского пассажирского транспорта (ГПТ) всегда возникает вопрос прогнозирования спроса на услуги тех или иных его видов или отдельных маршрутов. При этом существенную помощь в решении такого рода задач оказывают адекватные модели выбора пассажиром пути передвижения. Изучение подобного выбора в маршрутных системах городов (МСГ) требует грамотной организации и проведения соответствующего обследования. Самыми важными позициями здесь остаются выбор метода проведения обследования и определение такого количества респондентов, которое обеспечивает достоверное отображение предпочтений большинства жителей города, пользующихся ГПТ.
Анализ публикаций
В случае моделирования трудовых передвижений пассажиров в МСГ используются различные методы. Так, на сегодняшний день наиболее популярным подходом при решении задачи выбора пассажиром пути передвижения являются модели дискретного выбора. В них в качестве основных инструментов получения информации о факторах функции полезности применяются разновидности методов фиксации фактического выбора пассажирами пути передвижения [2], в которых наблюдение за выбором альтернативы происходит одноразово. Поэтому и результатом могут быть только частоты появления, равные 1, если альтернатива выбрана, или 0 - в противном случае. Однако вопрос о количестве опрошенных пассажиров, совершающих такой (одноразовый) выбор, не поднимается, и проверить качество полученного статистического материала не представляется возможным.
Другим подходом в поиске информации для построения функции полезности является метод моделирования намерений [3]. Согласно этому подходу при моделировании дискретного выбора пассажир описывает только два возможных пути передвижения: привычный путь и наилучший из оставшихся. Однако данный способ поиска информа-
ции для построения функции полезности не получил широкого распространения из-за недостаточно проработанного математического аппарата обработки результатов. Наибольшее распространение среди отечественных методов обследования трудовых передвижений пассажиров получили анкетный, талонный, табличный и визуальный [4, 5]. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки, но и они не дают конкретных указаний к определению достаточного количества респондентов для проведения обследования. Авторы обычно ограничиваются ссылками на методы математической статистики в планировании эксперимента.
В свою очередь, общим вопросам планирования экспериментальных исследований посвящено достаточно много трудов и лишь немногие из них, к примеру [6, 7], дают представление о расчете необходимого объема выборки, обеспечивающего надежный статистический материал. Но представленные в этих работах подходы направлены только на определение объема выборки для расчета среднего значения или заданной доли в генеральной совокупности. Они основаны на двух теоремах - П.Л. Чебышева и А.М. Ляпунова [8]. Первая позволяет определить генеральную среднюю (долю) по данным случайной повторной выборки; вторая -рассчитать максимальную ошибку выборочной средней (доли) при заданном числе независимых наблюдений. Согласно этой теореме при достаточно большом числе независимых наблюдений генеральной совокупности с конечной средней (долей) и ограниченной дисперсией вероятность того, что расхождение между выборочной и генеральной средней (долей) не превзойдет по абсолютной величине некоторую случайную величину, равна интегралу Лапласа [7]
і +t 2
= -7= •{ e-t/2dt, (1)
_Jt
где x - выборочная средняя; x - генеральная средняя; р - величина стандартной ошибки; t - коэффициент кратности средней ошибки выборки, зависящий от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки А, определяется по таблице квантилей распределения Стьюдента.
Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной сово-
Автомобильный транспорт, вып. 35, 2014
135
купности. Однако при малых объемах выборки эмпирические оценки параметров могут существенно отклоняться от их истинных значений, и поэтому возникает необходимость в установлении границ, в пределах которых для выборочных значений параметров лежат их истинные значения [7]
x - А < x < x + А . (2)
Такие границы характеризуются предельной ошибкой выборки А = ц. А величина ц, в
зависимости от способа сбора выборочной информации, может иметь различную форму представления. Одним из вариантов является определение величины ц для случая повторного эксперимента; так, для среднего
где с2 - выборочная дисперсия; n - объем выборочной совокупности.
Учитывая выражения (1)-(3), необходимый объем выборки, который с практической вероятностью обеспечит заданную точность генеральной совокупности, равен [7, 8]
n =
t2 - с2 А2
(4)
Описанные выше способы оценки объема выборки не подходят для случаев, когда нужно определить достаточное количество наблюдений с целью построения регрессионной зависимости. Другими словами, эти способы не позволяют получить значения коэффициентов регрессионной зависимости, отражающей влияние нескольких факторов на результирующий признак, что характерно для моделирования выбора пассажиром пути передвижения [8]. Однако возможно решить такую задачу при сохранении сущности описанного подхода (1)-(4), заключающуюся в установлении границ, в пределах которых для выборочных значений параметров лежат их истинные значения, характеризующиеся предельной ошибкой выборки.
Цель и постановка задачи
Известные подходы к расчету объема выборки создают достаточную основу для разработки таких же методов в применении к коэффициентам регрессии. Это обусловлено
тем, что выборочное среднее является частным (вырожденным) случаем регрессионной зависимости, с одним свободным членом. Поэтому для получения искомого объема выборки в случае регрессионной зависимости необходимо обобщить известные методы оценки точности расчета среднего значения на основе выборочных наблюдений. Исходя из этого, целью статьи является разработка подхода к определению достаточного количества респондентов, предпочтения которых необходимо исследовать для построения модели вероятности выбора пути передвижения в МСГ.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) найти зависимость предельной (абсолютной) погрешности коэффициентов функции полезности в генеральной совокупности;
2) определить доверительные интервалы для значений коэффициентов функции полезности в генеральной совокупности с заданной степенью надежности;
3) разработать математический аппарат для определения достаточного количества респондентов, выбор которых необходимо исследовать для построения модели вероятности выбора пути передвижения, с относительной погрешностью коэффициентов функции полезности не выше заданной.
Теоретические основы определения достаточного количества респондентов для моделирования выбора пути передвижения
В работе [9] было показано, что наиболее эффективным подходом к моделированию выбора пассажиром пути передвижения в маршрутной системе города является применение регрессионного анализа для определения коэффициентов функции полезности выбранного пути. Как и в случае расчета среднего генеральной совокупности, важным остается определение предельной ошибки А, только уже не для среднего, а отдельно для каждого коэффициента регрессии Аак, поскольку в регрессионном анализе значение каждого из коэффициентов модели привносит свой вклад в значение результирующего признака, в данном случае - в значение привлекательности пути передвижения.
Также остается схожим и определение границ, в пределах которых для выборочных значений параметров лежат их истинные
136
Автомобильный транспорт, вып. 35, 2014
значения (2), но опять же в случае регрессионного анализа эти границы необходимо определять для каждого коэффициента модели отдельно.
Аналитически процесс определения достаточного количества респондентов для моделирования выбора пути передвижения может быть представлен следующим образом.
где с/п - среднеквадратическое отклонение пробной выборки объема 1п ; Sk - стандартная ошибка к-го коэффициента функции полезности ак, полученная по МНК, рассчитывается по формуле
Sk =УІК и[Гп, (8)
Коэффициенты функции полезности ак, характеризующие выбор пути передвижения в зависимости от m факторов, определяются с помощью метода наименьших квадратов (МНК) [1, 10] на основании пробной выборки объема 1п . Тогда, по аналогии с [7, 8], границы, в пределах которых для выборочных значений коэффициентов ак лежат их истинные значения генеральной совокупности ак в регрессионном анализе, представляются в виде
(ак ~Кк; ак + Кк X (5)
где ак - известные коэффициенты функции полезности, полученные с помощью регрессионного анализа на основании пробной выборки, к = 0,1,2,...,m (нулевой фактор относится к свободному члену уравнения, т.е. значение этого фактора всегда равно 1); Аак
- предельная (абсолютная) ошибка в определении коэффициентов генеральной совокупности ак , выраженная как
Кк = ta-Vak , (6)
где Ьк - дисперсия оценки к-го параметра регрессии.
Интервал (5) показывает, что истинное значение неизвестного коэффициента генеральной совокупности ак с вероятностью а попадает в область, определяющуюся заданной предельной ошибкой Аак [11]. Однако в ходе
разработки данного подхода к определению достаточного количества респондентов для моделирования выбора пути передвижения было сделано следующее заключение. Использование интервала (5) и обозначений к нему, аналогично [7, 8], позволяет записать условие знакопостоянства интервальных оценок коэффициентов регрессии пробной выборки вида
\ак\ > tx
I
И
откуда
J,* > max
к=0,1,... m
2
I
п
к
(9)
(10)
где ta - радиус симметричного интервала относительно нуля (где - вероятность попадания случайной величины с распределением Стьюдента при количестве степеней свободы (1п - m -1) в симметричный интервал); 1п - общее количество альтернативных вариантов передвижения (количество уравнений), представляющее объем пробной выборки, Іп є J (где J - количество альтернативных вариантов передвижения, представляющее объем генеральной совокупности); ца - величина среднеквадратической
(стандартной) ошибки, определяемая по зависимости
Цак =°Іп ■ 8к , (7)
где J^ - количество уравнений, обеспечивающее постоянство знака всех коэффициентов регрессии с заданной вероятностью; ta --квантиль распределения Стьюдента с (1п - m -1) степенями свободы для заданной доверительной вероятности.
Таким образом, условиями (9) и (10) определяется такое количество уравнений, которое является основанием для расчета минимального объема пробной выборки, т.е. такого объема, при котором можно получить заведомо значимые факторы модели регрессии.
Так, при всех значимых факторах условие (9) будет выполнено автоматически, и это будет
Автомобильный транспорт, вып. 35, 2014
137
свидетельствовать о достаточном объеме пробной выборки и возможности продолжения ее использования в дальнейших целях исследования. В противоположном случае, когда все факторы в пробной выборке окажутся незначимыми, условие (9) выполняться не будет, и только тогда возникнет необходимость определения достаточного количества наблюдений (уравнений регрессии) для итоговой выборки. Из этого следует, что условие (10) является недостаточным для принятия решения о выборке, представляющей объем генеральной совокупности.
Поэтому для достижения поставленной цели было сделано допущение о том, что среднеарифметические величины выборочной совокупности в выражениях (6)-(8) обладают свойствами медленно меняющейся функции [12], а не являются константами, как в [7, 8]. Тогда, воспользовавшись обозначениями к (6)-(8), можно записать, что
ФкОЛ = Фк(/п) = bk(11)
где N - конечное количество респондентов, выбор которых необходимо исследовать для построения модели выбора пути; пп - количество респондентов, представляющих объем пробной выборки, пп є N; - заданная
исследователем относительная погрешность (ошибка) коэффициентов модели генеральной совокупности; Рк - относительная погрешность коэффициентов модели выборочной совокупности
Р
к
tg-Va,
\ак\
ak
к
(14)
Следует обратить внимание на то, что расчет по зависимости (13) производится отдельно для каждого из коэффициентов модели, а выбор достаточного количества респондентов для моделирования выбора пути передвижения осуществляется по наибольшему полученному значению, предварительно округленному до целого в большую сторону.
где фк (J) - медленно меняющаяся функция при изменении J, т.е. при J —> СО
ФіМ ^ 1, Vr > 0.
Фк (J)
Также следует отметить, что расчет величины N должен производиться отдельно для каждой модели полезности пути, по причине различных значений статистических параметров в используемых моделях.
Из (11) следует, что величина среднеквадратической ошибки (7) также будет медленно меняться при 1п со
Оценка достаточного количества респондентов для моделирования выбора пути передвижения
= ySCU
(12)
Тогда из выражений (12), (6) и (5) следует, что с заданной вероятностью относительная погрешность коэффициентов генеральной совокупности, которую можно обозначить как Ра,, не превзойдет соответствующей ей величины выборочной совокупности (3к. А результатом выполнения данного условия и будет искомая величина, соответствующая достаточному количеству респондентов для моделирования выбора пути передвижения N
N =
max
к=0,1,... m
/ Л \2
VPot
- n
п ’
(13)
Для практической реализации разработанного способа определения достаточного количества респондентов, выбор которых необходимо исследовать при моделировании предпочтений пассажиров, была избрана линейная модель. С целью получения эмпирического материала в г. Харькове было проведено пилотное обследование, в ходе которого был опрошен 31 пассажир.
Полученная выборка представляет собой матрицу значений факторов размерностью 67^3. Здесь 67 - это количество альтернатив передвижения, рассмотренных всеми респондентами из пробной выборки; 3 - количество факторов в модели выбора, в которые входят свободный член регрессии, продолжительность и стоимость поездки. Далее, в соответствии с представленным математическим аппаратом, были рассчитаны все показатели, необходимые для определения ко-
138
Автомобильный транспорт, вып. 35, 2014
нечного количества респондентов, выбор которых необходимо исследовать (табл. 1).
Дополнительно адекватность (состоятельность) представленной линейной модели, полученной с использованием пробной вы-
борки, была проверена путем сравнения с простейшей, равновозможной моделью [13] и основных статистических показателей, рассчитываемых при использовании МНК (табл. 2).
Таблица 1 Сводная таблица расчета достаточного количества респондентов для построения линейной
модели выбора пути передвижения
Показатель Значение Показатель Значение
1 Объем пробной выборки, пп 31 8 Оценка дисперсии пробной выборки, 0,021
-квантиль распределения
2 Количество факторов модели 3 9 Стьюдента (а = ^0,95 ), ta 2,17
3 Количество степеней свободы, 64 Количество уравнений, необхо-
In-m-1 димое для выполнения условия
Количество альтернативных 10 знакопостоянства коэффициен- 25
4 вариантов передвижения 67 тов регрессии при 95 % -ной до-
(уравнений регрессии), In верительной вероятности, Лк
Дисперсии оценок bo 141,75 -квантиль распределения
5 параметров регрес- b 292,05 11 Стьюдента для симметричного 2,45
сии b2 63,31 интервала (а = ^0,95 ), ta
а0 2,56 Заданная относительная погреш-
6 Коэффициенты а -1,06 12 ность коэффициентов модели 0,3
функции полезности а2 -0,74 генеральной совокупности, р
Значение суммы разностей Достаточное количество респон-
7 „2 1,315 13 дентов для моделирования выбо- 164
квадратов, cmm ра пути передвижения, N
Таблица 2 Показатели адекватности построенной линейной модели выбора пути передвижения
Показатель Значение по модели
линейной равновозможной
1 Критерий Фишера 93,07 -
2 Коэффициент детерминации 0,744 -
3 Множественный коэффициент корреляции 0,863 -
4 Критерий адекватности sN 4,862 21,235
5 Количество степеней свободы 33 35
6 Вероятность критерия sN 1,0 0,97
Основываясь на приведенных в табл. 1 и 2 результатах, можно утверждать, что, исходя из условия знакопостоянства (10), объем пробной выборки, с точки зрения МНК, является вполне достаточным для построения модели поведения пассажиров в маршрутной системе со значимыми на 95 %-м уровне коэффициентами. Однако незначительная по вероятности разница в прогностических способностях полученной модели, по сравнению с равновозможной моделью, диктует необходимость ужесточения требований к коэффициентам регрессии. Снижение относительной
погрешности коэффициентов модели выборочной совокупности приблизительно в три раза, т.е. при р = 0,3, в соответствии с
представленной методикой, приводит к необходимости расширения выборки до 164 пассажиров, производящих выбор альтернативного пути.
Выводы
Существующие подходы к определению достаточного объема выборки при проведении выборочных обследований являются непри-
Автомобильный транспорт, вып. 35, 2014
139
годными для случая обследования с целью построения модели расчета вероятности выбора пассажиром пути передвижения в МСГ с помощью регрессионного анализа. Однако они создают надежную основу для разработки новых методов определения достаточного объема выборки на основе коэффициентов регрессии.
Разработанный на этой основе подход позволяет проверить достаточность взятого объема пробной выборки и необходимость его расширения, опираясь на значимость полученных коэффициентов регрессии в функции полезности пути передвижения.
Использование предположения о том, что статистические характеристики среднеарифметических величин модели регрессии медленно меняются, позволило сделать заключение, что достаточное количество респондентов, обеспечивающее адекватное отображение генеральной совокупности, может быть определено через квадрат отношения относительной погрешности коэффициентов модели регрессии, полученной на основании выборочной совокупности, к заданной относительной погрешности этих же коэффициентов генеральной совокупности. При этом величина задаваемой относительной погрешности определяется целью исследования.
Литература
1. Вознесенский В.А. Статистические методы
планирования эксперимента в техникоэкономических исследованиях / В.А. Вознесенский. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 264 с.
2. Ben-Akiva M. and Lerman S. Some Estima-
tion Results of a Simultaneous Model of Auto Ownership and Model Choice to Work // Transportation. - 1974. - Vol. 3. -
Р. 357-376.
3. Рогова Г.Л. Моделирование выбора путей
передвижения пассажиров в транспортных системах городов: автореф. дис. на соискание учёной степени канд. техн. наук: спец. 05.22.02 «Транспортные системы городов и промышленных центров» / Г.Л. Рогова. - М., 1987. - 19 с.
4. Ефремов И.С. Теория городских пасса-
жирских перевозок: учеб. пособ. для вузов / И.С. Ефремов, В.М. Кобозев, В.А. Юдин. - М.: Высшая школа, 1980. -536 с.
5. Спирин И.В. Организация и управление
пассажирскими автомобильными перевозками: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / И.В. Спирин. -М.: Академия, 2003. - 400 с.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятности и мате-
матическая статистика / В.Е. Гмурман. -М.: Высшая школа, 2003. - 480 с.
7. Венецкий И.Г. Основные математико-
статистические понятия и формулы в экономическом анализе / И.Г. Венецкий,
B. И. Венецкая. - М.: Статистика, 1974. -280 с.
8. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории
статистики: учебное пособие / М.Р. Ефимова, О.И. Ганченко, Е.В. Петрова. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 280 с.
9. Горбачев П.Ф. Способы формирования
модели выбора варианта трудового передвижения маршрутным транспортом / П.Ф. Горбачев, А.В. Макаричев, О.В. Сви-чинская // Альманах современной науки и образования.- 2013. - № 11 (78). -
C. 47-58.
10. Линник Ю.В. Метод наименьших квадра-
тов и основы теории обработки наблюдений / Ю.В. Линник. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы «Физматгиз», 1958. - 336 с.
11. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б.А. Севастьянов. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 256 с.
12. Гольдберг А.А. Интегральное представление монотонных медленно меняющихся функций / А.А. Г ольдберг // Известия вузов. Серия «Математика». - 1988.
- №4. - С. 21-27.
13. Горбачев П.Ф. Подход к оценке адекват-
ности моделей выбора пассажиром пути передвижения / П.Ф. Горбачев, А.В. Ма-каричев, О.В. Свичинская, А.А. Тропина // Вестник ХНАДУ: сб. науч. ст. - 2013.
- Вып. 60. - С. 27-33.
References
1. Voznesenskiy V.A. Statisticheskie metodyi
planirovaniya eksperimenta v tehniko-ekonomicheskih issledovaniyah. Moskow, Finansyi i statistika Publ., 1981. 264 p.
2. Ben-Akiva M. and Lerman S. Some estima-
tion results of a simultaneous model of auto
140
Автомобильный транспорт, вып. 35, 2014
ownership and model choice to work. Transportation, 1974, vol. 3. pp. 357-376.
3. Rogova G.L. Modelirovanie vyibora putey
peredvizheniya passazhirov v transportnyih sistemah gorodov. Avtoref. dis. na soiskanie much. stepeni kand. tehn. nauk: spets. 05.22.02 «Transportnyie sistemyi gorodov i promyishlennyih tsentrov». Mos-kow, 1987. 19 p.
4. Efremov I.S., Kobozev V.M., Yudin V.A.
Teoriya gorodskih passazhirskih perevo-zok: ucheb. posob. dlya vuzov. Moskow, Vyisshaya shkola Publ., 1980. 536 p.
5. Spirin I.V. Organizatsiya i upravlenie passa-
zhirskimi avtomobilnyimi perevozkami: uchebnik dlya stud. uchrezhdeniy sred. prof. obrazovaniya. Moskow, Akademiya Publ., 2003. 400 p.
6. Gmurman V.E. Teoriya veroyatnosti i ma-
tematicheskaya statistika. Moskow, Vyissh. shk. Publ., 2003. 480 p.
7. Venetskiy I.G., Venetskaya V.I. Osnovnyie
matematiko-statisticheskie ponyatiya i for-mulyi v ekonomicheskom analize. Mos-kow, Statistika Publ., 1974. 280 p.
8. Efimova M.R., Ganchenko O.I., Petrova E.V.
Praktikum po obschey teorii statistiki: uchebnoe posobie. Moskow, Finansyi i statistika Publ., 1999. 280 p.
9. Gorbachev P.F., Makarichev A.V., Svichin-
skaya O.V. Sposobyi formirovaniya modeli vyibora varianta trudovogo peredvizheniya marshrutnyim transportom. Almanah sov-remennoy nauki i obrazovaniya, 2013, vol. 11 (78). рр. 47-58.
10. Linnik Yu.V. Metod naimenshih kvadratov i
osnovyi teorii obrabotki nablyudeniy. Mos-kow, Gosudarstvennoe izdatelstvo fiziko-matematicheskoy literaturyi Fizmatgiz Publ., 1958. 336 p.
11. Sevastyanov B.A. Kurs teorii veroyatnostey i matematicheskoy statistiki. Moskow, Nauka. Glavnaya redaktsiya fiziko-mate-maticheskoy literaturyi Publ., 1982. 256 p.
12. Goldberg A.A. Integralnoe predstavlenie monotonnyih medlenno menyayuschihsya funktsiy. Izvestiya vuzov. Seriya «Matema-tika», 1988, vol. 4. рр. 21-27.
13. Gorbachev P.F., Makarichev A.V., Svichin-
skaya O.V., Tropina A.A. Podhod k otsen-ke adekvatnosti modeley vyibora passazhi-rom puti peredvizheniya. Vestnik KhNADU: sb. nauch. tr., 2013, vol. 60. pp. 27-33.
Рецензент: Е.В. Нагорный, профессор, д.т.н.,
ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 8 июля 2014 г.
