Обоснование дифференциальной схемы расщепления для уравнений движений смеси вязких сжимаемых жидкостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБОСНОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЙ СМЕСИ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Н. А. Кучер, О. Д. Киселева

RATIONALE OF DIFFERENTIAL SPLITTING SCHEMES FOR EQUATIONS OF VISCOUS COMPLRESSIBLE FLUIDS MIXTURE MOVEMENT N. A. Kucher, O. D. Kiseleva

В работе рассматривается дифференциальная схема расщепления по физическим процессам системы уравнений одномерного движения смесей вязких сжимаемых жидкостей. Доказывается сходимость в шкале Соболевских пространств предлагаемой схемы расщепления. Результаты работы могут быть положены в основу построения и математического анализа соответствующей конечно-разностной схемы расщепления. Кроме того, доказанная в работе теорема о сходимости одновременно доказывает существование решения рассматриваемой начально-краевой задачи.

We consider the differential splitting scheme on physical processes on the system one-dimensional equations viscous compressible fluid mixtures movement. Prove the convergence at the scale of Sobolev spaces in the proposed scheme of splitting. The results can be used as the basis on the construction of mathematical analysis and the corresponding finite-difference splitting scheme. In addition, proved theorem on the convergence proves the existence of a solution to the initial-boundary value problem.

Ключевые слова: вязкая жидкость, смеси жидкостей, схема расщепления, сходимость.

Keywords: viscous fluids, the mixture of fluids, splitting scheme, convergence.

Практика использования методов математического моделирования различных физических процессов стимулировала теоретическое исследование моделей механики сплошной среды. Ввиду нелинейности и многомерности этих моделей аналитические методы исследования не позволяют в общем случае получить полного решения задачи. Одним из основных методов, позволяющих как проводить теоретические исследования самих моделей, так и применять их к решению практических важных задач, являются численные методы. Многомерность таких задач выдвигает в число главных проблему построения и исследования экономичных численных алгоритмов, одним из основных приемов построения которых, является метод расщепления (метод слабой аппроксимации) дифференциальных уравнений.

Метод слабой аппроксимации, занимая промежуточное положение между дифференциальной задачей и соответствующей разностной моделью, может быть использован в двух вариантах:

- как один из методов исследования корректности задачи;

- как метод построения и строгого математического анализа соответствующих разностных схем расщепления, которые с этой точки зрения представляют собой простые разностные аппроксимации дифференциальных задач на дробных шагах.

Для линейных задач в настоящее время имеются результаты о сходимости метода слабой аппроксимации при весьма общих предположениях относительно классов операторов. Для нелинейных уравнений аналогичные результаты установлены лишь для частных моделей. Достаточно полный обзор литературы на эту тему имеется в работах [1; 2].

Уравнения одномерного движения с плоскими волнами бинарной смеси вязких сжимаемых жидкостей описывается уравнениями [3]:

Pі

и і +

-----+ 1! ----

dt Ui dx

(1a)

dp =s_

dx dx

I(i), І = 1,2

д

+—(pu)=°,j=1,2

дґ дх^ 1

первые два, из которых, представляют собой закон сохранения импульса компонентов смеси, а два последних выражают закон сохранения массы каждой из компонент смеси.

Здесь Рі - плотность і-ой составляющей смеси,

Pt = pt

г.

i = 1,2

давление соответствующей компоненты. Ы1 - скорость /-ой компоненты.

Коэффициенты вязкости ,А^ предполагаются

постоянными, удовлетворяющими следующим условиям (вытекающим из второго закона термодинамики):

M11

> О, 4

M11 M2

■(Mn + mJ > °,

(1c)

> О,

Vj = Aj + 2 Mj, V1

4V11 V22 (V12 + V 21) > °.

Слагаемые I( , выражающие интенсивность обмена импульсами между компонентами смеси, определяют по формуле:

у( І) ( 1У+1 / (2) (1)

I =(-1) •a (и - и

a = const > 0,i = 1,2.

(1d)

р„-0=р, (х)'

и\,= 0 = Пг (х) Х еП = (0,1),/ = 1,2

(1е)

Ы/

х=0

Ыг

х=1

Р = Р

Г г х=0 г ‘

х=1

, г = 1,2, г е (0, Т). (1Э

Для системы дифференциальных уравнений (1а) и (1Ь) рассмотрим расщепление по физическим процессам заключающееся в том, что на каждом целом шаге [пт,(п+1)т], п = 0,1,..,М-1, N -Т = Т системе (1а) и (1Ь) сопоставляются следующие системы:

I Эр. + Ы1 Эр, = 0,1 +Ы2°Р.

1 ^ г > 2

ох

5 Ог

5 Ог

Ох

= 0,

1 Оы1 Оы1 -р, —L + р1ы1 —1 5х Ог 1 1 Ох

1 Оы2

= 0,Т р^^7 + р 2Ы2

5 дг

Оы2

Ох

(I)

= 0,

ПТ < г < ПТ +-Т.

5

1 Од Оы. ^ 1 Ор2 Оы2

—— + Д —1 = 0,——+р2—2 = 0, 5 Ог Ох 5 Ог Ох

1

рГ =

Оы1 О

5 р ~ОГ +~Ох

= 0,5 р 2 +О~р2Г2 = 0,

5 Ог Ох

1 2

ПТ + — Т < г < ПТ + — Т.

5 5

(11п)

5 Ог

1 Ор1 = 0 1 Ф

5 Ог 1 Оы.

-р1 —1 5 1 Ог

1 Оы2

0,

_р2—^

5 2 Ог

д_

Ох

_д_

Ох

-V

11

1

—V 2

Оы1

Ох

Оы2

22

Ох

( 111п)

2 3

ПТ + — Т < г < ПТ + Т.

5 5

Уравнение (1а) и (1Ь) должны быть дополнены начальными условиями:

и граничными условиями, в качестве которых, мы примем условие периодичности:

1 Ор± = 01 Ор^ =

(IVп)

3 4

ПТ +--Т < г < ПТ +—Т.

5 5

1 °рх = 0 1 Ор

О г

5 О г

= 0,

1

р2

О ы 2 О г

= - а (ы 2 - ы1),

ПТ +----Т < г < ПТ + Т.

5

Уравнения (1П) учитывают эффекты переноса частиц среды. В уравнениях (II П) учтены члены с давлением в

О ыг

уравнениях движения и члены вида в уравнениях

неразрывности. Системы (///„) и (^,) учитывают диссипативные члены в уравнениях сохранения импульса. Уравнения V,) отражают эффекты вследствие обмена импульсами между компонентами.

Для каждой из систем уравнений (! П) - V,) ставятся граничные условия в виде условий периодичности вида (1!) по пространственной переменной х, в качестве начальных данных для каждой их этих систем уравнений принимаются решения, полученные на предыдущем дробном шаге.

Преобразуем расщепленную систему (I,) - ^п), выбирая в качестве искомых функций 0.,, ы,,

Ог =1п р,, г =1,2 и при этом проведем линеаризацию полученных уравнений в пределах каждого расщепленного шага [пт,(п+1)т]. Тем самым задаче (1) сопоставляется следующая вспомогательная задача:

Задача

1 О01

-------------+ ы^

5 Ог Ох

Оы1

О = 0,1 ОО.+ыП

5 Ог

О

Ох

(( 5 «1 (ОП )<П Ох = о,

« (ОП )Оы2 + 5« (оП )2 Оы2 = 0

= 0,

(2а)

Ог 1

ПТ < г < ПТ +—Т.

5

Ох

5

1 д Q , дu , 5 д t дг

r, (в;)

= 0,1 +

5 д t

д u j + д Q, =

д u 2 д x

= 0,

д t д%

= o, R2 (QП)

д u 2 + д Q 2 д t дг

= 0,

1 2

пт +-----Т К t й пт +---------Т.

5 5

1 дві = 01 дв2

5 дt

\д^

5 дt

= 0

R (ві’)— = s, (в; )—

lV^ ' дt 1X1 'дк

R2 (вП Ц2 = S2 (Q’ 2

2 З

пт +—т К t й пт +—Т. 55

і Ж = o,i Q = 0,

5 дt 5 дt

дu1

дx

дu,

дx

R (в; )£=Si (Qin )£г 1

д2u. f 1

t —Т

6ul 2 11 дx

+Sj (Qin)

1 дu2

2 22 дx

+s. (q; )

д2u1

дт2

1

t — Т

= 0

З 4

ПТ+--Т К t й ПТ + — Т.

5 5

і =0і д_&

5 дt ’5 дt

Rl (Qin)% = Si (вП)(u 2 - u,)

дt

r 2 (q ;)%=- s 2 (q ; )a (u, - u,)

дt

4

ПТ +-----Т й t К ПТ + Т.

5

Здесь Ro(Q) = 5exp Q,

R ,(Q ) = fy~exP

{(l - r i)Q },

LP(Q)

Ifl o„ = (fj Ardx Yr

(2b)

', P ''JQ

= lim

і < p к да. (З)

(2c)

(2d)

(2e)

\\L (Q) W 10,ш l(n)

Q - ограниченная область в евклидовом пространстве с кусочно-гладкой границей.

Пространство С. Л. Соболева W (Q) (l - натуральное, 1 < p <да>) состоит из функций f имеющих

обобщенные производные Daf в смысле С. Л. Соболева до порядка l включительно, принадлежащих Lp (Q). Норма в Wl,p (Q) определяется формулой:

" = Х \f\p ,

l,p ^^m=0W \m,l

W =Ei \DafP (4)

W lm,p ^^\a\=m\ J 0p

В пространстве C (q) функций, обладающих в

Q непрерывными частными производными до порядка l включительно, норма определяется по формуле:

\\А\sup X.Q \Daf\ •

Если X, t ^ f (X, t) - функция, зависящая от пространственной переменной X е Q и времени t е (0,т) , то положим:

f (x) =<< X ^ f (X, t) >> и будем рассматривать f как функцию аргумента t со значением в пространстве функций, определенных на

Q.

Например, если Х - некоторое Банахово пространство, то С(0,Т; Х) - совокупность непрерывных

отображений f : [0, T] ^ X с нормой

llfIL,T; X ) = sup te[0,T ]]|f (t ^ X . Условимся обозначать в дальнейшем через

H (Q)(l - 0 _ целое) гильбертово пространство, полученное замыкание множества бесконечно-

Tik

дифференцируемых во всем пространстве R и периодических (с единичным периодом) по каждой переменной X{ i=1,..,k скалярных или вектор-функций

где интегрирование

(2f)

^г(0 ) = ГтеХР {-Г 0 }

/ г

Априорные оценки решений расщепленной задачи ЛТ

В работе используются общепринятые обозначения функциональных пространств [4; 5]. В частности

ЬР - норма, определяется формулой:

по норме .. , .. .. , .. ,2 ,

^ ІІ-' II,,2 ІК 11^ (П) ’

производится по области

П = {х = (хі,..,хк),0 < Хі = 1,і = 1,..,к}.

Основным результатом этого раздела является утверждение.

Лемма 1. Пусть начальные условия в (1е) удовлетворяют следующим условиям гладкости:

(х) = 1п Р0 (х) є И1 (П),і = 1,2 и0 (х) є И1 (П), і = 1,2

1

2

a) тогда на произвольном конечном промежутке 0<<Т задача ЛТ для каждого т е (0,Т) однозначно разрешима в классе:

{йдО X 02,т (г X ы2,г(г)}е С (0, Т; И X

b) на некотором промежутке (0, Т), определяемом нормой в И1 начальных функций, имеют место следующие, равномерные по т, оценки:

О т(г )|

Рг,т(г )

с(0,ти1 )7

< К,г = 1,2;

С(0,Т;И)

О0г,;

Ог

Оы,

■(г)

Ог

■(г)

< К, г = 1,2;

< К, г = 1,2.

смотреть следующую модельную систему:

«1( х) = ^( х) —

А Ог 1 ’Ох

1

■V

11

Оы1

Ох

+

О ы2

/

12

Ох2

1

Л

К2( х) ^ = S2( х) О

Ог Ох

1

— V

22

Оы2

Ох

+

+ ^2( х)к

О 2ы1

21

Ох2

1

г—т 5 1

г0 < г < г0 + 5Л

1 ё 2 ёг

+а

ы (г)

Оы

22

+ а

11

Оы1

Ох

(г)

+

Ш1,2( О,51)

Ох

(г)

<

(5)

(6)

(7)

< И -

+82

ы

Ш1,2(0,52)

Оы1

Ш1,2( О,^)

+ 81

1

(г—^)

Ох 5

Ш1,2(0Д)

Оы2 . 1 .

—(г—г)

Ох 5

Ш1,2(0,52)

IV

+J

21

+ J

12

Оы1 , 1 ч

—(г—т)

Ох 5

Оы2 . 1 .

2 (г --Л

+

Ох

Ш1 -2( 0,52)

Ш1 -2( 0,51).

(9)

Краткая схема доказательства Леммы 1. Поскольку при фиксированном т на каждом дробном шаге соответствующая система уравнений имеет бесконечно-дифференцируемое периодическое по х решение, если таковыми являются соответствующие начальные функции, то доказательство Леммы 1 сводится к получению априорных оценок в И1 (О) для каждой из систем (2) и равномерных относительно параметра т неравенств (5) - (7) для расщепления ЛТ в целом.

Для получения априорных оценок решения задачи ЛТ на отдельных дробных шагах целесообразно рас-

Здесь ы = (ы1, ы 2),

2

ы"

— ы, , 2 + ыо , 2 .

II 41Ш1,2(0,Я1) II 41Ш1,2(0,Я2) '

а весовая норма ле:

2

Ш‘-2(ПК ) определяется по форму-

(8)

где «г (х), ^ (х), г = 1,2 - известные функции,

принадлежащие пространству И1 (О), I > 2, причем все они строго положительные и ограниченные.

Дифференцируя уравнение (8) по пространственной переменной х, умножая затем на подходящую функцию и интегрируя по частям, подходим к неравенству:

«) =1|Ф, I«(D^f )2 *

Положительная величина Н зависит от норм вы «1,, 2 и нижних граней функции ^,« . Параметры а11, а22 есть линейные функции коэффициентов вязкости V ■■ и величины 8 , / = 1,4, кото-

У ] ^

рые суть произвольные вещественные числа.

Если принять, что

« = « ОП ), ^ ^г (ОП ), г = 1,2,

то неравенство вида (9) имеет место на четвертом 3 4

дробном шаге ПТ + 5 Т < г < ПТ + 5 Т. Для системы уравнений на третьем дробном шаге

2 3

ПТ + —Т < г < ПТ + — Т

5 5

также справедливо неравенство вида (9), но в более

простом варианте, поскольку отсутствуют слагаемые со сдвинутым аргументом.

Интегрируя упомянутые неравенства по г в соответствующих пределах, складывая полученные неравенства и выбирая надлежащим образом произвольные числа 8 ■ приходим к соотношению:

,2 ~*п 2

Ш1,2(0,Я ) ^

+

2

2

2

2

Г (0,Т;И -1)

2

2

Ш1,2(0,Д)

2

2

4

1

Ш1,2(0,Я )

рпт-\—

+С01 25

•'ПТЛ—■

4

птЛ—т

5

тЛ—т 5

ди1

+

дх

ди

(і)

+

Ш1 "2( О )

дх

( о

ш1 ,2() у

дО

ді

• + и.

'1,т , г,т

■ • + —

дХ дХ

(13а)

ЙІ <

< и 0 «\\,Л йи)

4

ПТЛ Т

5 2

ПТ Л---Т

5

и (і)

йі ■

ІШ1,2( О, К)

1 2пл1 2 , - — П 1 2п

2 Ш1,2(ОД ) 2

+С01 •'п

4

ПТЛ Т

5 2

ПТЛ Т

5

ди1

+

дх

ди

(і)

+

Ш1,2( О^Х” )

дх

) у

ЙІ <

1

< 2 м ПІ

Ш1,2( О, ЙП)

Ш1,2( О, К)

и

получаем следующую систему уравнений: 50 | Вестник КемГУ 2013 № 4 (56) Т. 2

диг

■ + и,

дх

дх

д 2и,.

- +

(10)

где Бя, = б,(®;),я = (ад-),я,®)).с0 -

положительная постоянная, зависящая от коэффициентов вязкости А., и,..,Н, - известная функция сво-

V V 1

их аргументов, определяемая функциями (21).

Оценки решений уравнений (2Ь) и (2а) имеются в работе [1], комбинируя которые с неравенством (10), приходим к ключевому неравенству:

2

12 ~П +

Ш1,2(О,Я )

я („))х е,

= 3(а,,(0М ]л-. &г +б, (е,„(,) )(-1)м •

•а й1„) + щ,.„1 = I,2-

Функции Т,ф.„,1,. = 1,2 представляют собой весьма громоздкие выражения и по этой причине мы их не выписываем, но отметим, что в силу априорных оценок (5) - (7) справедливы неравенства:

зиРо<,<г|\<Р]„0|г-2 2 < C1'„,. = 1,2, (14)

(13Ь)

і1-3,2 < С1Л = '-2,

ЭиРо<,<Т \¥г,

с постоянной С1, не зависящей от параметра „ .

В силу оценок (5) - (7) можно выделить подпоследовательность {„ } ^ „} такую, что

,„0) ^ е 0) * - слабо в (0,Т; н1 (О)) , е,„ 0) ^ б,0) - сильно

в С (0,Т; Н1 -1(0)), (15)

е®

е,

дО,Т ^ .

'Т-(і) ^(і)* - слабо

ді

в I00 (0, Т; И1 -1(О)), ’ = 1,2, и і Т (і) ^ и і (і) * - слабо в Г° (0, Т; И1 (О)) ;

(11)

где М - известная положительная локально ограниченная функция.

Из оценок (13) рассуждениями, аналогичными [1] получаем оценки (5) - (7).

Сходимость схемы расщепления А„

В этом разделе докажем сходимость решения расщепленной задачи А„ к точному решению задачи (1).

Поскольку вектор функция

2 = (б1„, б2„, и1„, и 2,г )

удовлетворяет системе уравнений (2а) - (2е), то для средних функций:

1 Г‘+т

и1Ч (,) ^ и,(,) - сильно в С(0,Т;Н1 '(О)), (16) (,) ^■е^ (,) - слабо

е, е,

в £2(0, Т; Н1-1(О)),1 = 1,2.

Поскольку имеет место компактное вложение Н1 (0, 1) в пространство (1-1) - раз непрерывно дифференцируемых функций С 1 [0, 1], то из (15) и (16), в частности, следует:

е"0,„ ^ею,

~ 1 Гі+Т

<2,т(і) = Т,(О„ )(і) = -1 О, ■ Ш*,’ = 1,2,

Iі ґ

1 Єі+Т

■ (і) = Тт(иг,т)(і) = -[, игЛ^,г = 1,2 (12)

т Л

дха дха

равномерно в Ох (0,Т),а < 1—1,

даиіЧ даиг

---------->------ равномерно в

дх дх

Ох (0,Т),а < 1 — 1.

Из свойств оператора усреднения (Т ■) и соотношений (15), (16) вытекает, что семейство усредненных функций ОІТк и иіТ ,’= 1,2 определенных в (12) обладают свойствами, аналогичными, (15), (16).

(17)

2

П

Это обстоятельство позволяет совершить предельных переход в системе уравнений (13), в результате которого получим, что предельные функции

{Q1T, Q2t, u1r, и2r| удовлетворяют системе уравнений, эквивалентной исходной системе (1а), (1b).

Если l = 2, то уравнения неразрывности удовлетворяются всюду, а уравнения сохранения импульсов почти всюду в цилиндре Q X (0, T) . Если l > 3 , то

(Qi, Q2, Uj, u2) - классическое решение. Начальные и граничные условия выполняются в классическом смысле.

Наконец, в силу теоремы единственности рассматриваемой задачи в данном функциональном классе, можно констатировать сходимость в указанном выше смысле всей последовательности (Q1r, Q2t,ulT,п2т) решений расщепленной задачи

A.

Таким образом, доказана следующая теорема сходимости.

Теорема 1. Предположим, что начальная функция Qi (х) = ln p0 (х) и и0 (x),i = 1,2 принадлежит

пространству Hl (Q), l > 3. Тогда на некотором Литература

1. Кучер, Н. А. Метод слабой аппроксимации и анализ схем расщепления в газовой динамике / Н. А. Кучер. - Кемерово, 1997. - 188 с.

2. Кучер, Н. А. Некоторые замечания о схемах расщепления для уравнений газовой динамики, используемых в методе «крупных частиц» / Н. А. Кучер // Вычислительные технологии. - 2006. - Т. 11. - С. 94 - 108.

3. Rajagopal, K. R. Mechanies of mixtures / K. R. Rajagopal, L. Tao. - Singapore: WorD Sci., 1995.

4. Соболев, С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций / С. Л. Соболев. - М.: Наука, 1989. - 254 с.

5. Никольский, С. М. Приближенные функции многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. - М.: Наука, 1977. - 456 с.

Информация об авторах:

Кучер Николай Алексеевич - научный руководитель, доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений математического факультета КемГУ, nakucher@rambler.ru.

Nikolay A. Kucher - research advisor, Doctor of physicist-mathematical sciences, Professor at the Department of differential equations at the Faculty of mathematic of Kemerovo State University.

Киселева Олеся Дмитриевна - магистрант математического факультета КемГУ, my_alisiia@mail.ru.

Olesia D. Kiseleva - Undergraduate of Faculty of mathematicsof Kemerovo State University.

промежутке времени (0,Т) последовательность решений 2 „ = (®1 „,®2г,и„,и2„) вспомогательной задачи А„ при „ ^ 0 сходится к точному решению

2 (,) = (б1з ®2, их, и2) задачи (1) в следующем

смысле:

(,) ^ 2(,)* - слабо в Г (0, Т; Н1 (О)) ,

2„(,) ^ 2(,) - сильно в С(0,Т;Н1-1(О)),

(,)* - слабо

е, е,

в Г0 (0,Т; Н1 -1(О)),1 = 1,2,

еи,„ еи, )

------->-----(,) - слабо

е, е,

в Г (0, Т; Н1 -1(О)), 1 = 1,2.

При этом вектор функция

2 г = (е„, б2г, и1г, и2г)

сходится к 2(,) = (®1,е2,и1,и2) равномерно в цилиндре Ох(0,Т), а производные до порядка (1-2) включительно сходятся равномерно в этом цилиндре к соответствующим производным от 2.