Аппроксимация пространственно-трехмерного уравнения гиперболического типа на основе двумерных схем расщепления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, между Na0 33 V2O5 и уже небольшими добавками стекла при обжиге имеет

место химическое взаимодействие, активизирующее процесс спекания. При одинаковом содержании стекла (в нашем случае 2 масс.%) наиболее высокой химической активностью обладает стекло состава 10,0 CdO+ 57,0 PbO + 33,0 В2О3. Указанные факторы определяют более высокие значения К2 при спекании керамики Na0 33V2O5 модифицированной стеклом состава 10,0 CdO + 57,0 PbO

+ 33,0 В2О3по сравнению со стеклами других составов свинцово-кадмиево-боратной системы. Выводы

Показано, что боратные стекла могут быть использованы для активации спекания оксидной ванадиевой бронзы. Процесс спекания описывается в рамках гидродинамической модели. Наиболее высокие значения энергии активации приходятся на область составов с наименьшим значением температуры размягчения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Капусткин В.К., Волков В.Л., Фотиев А.А. А.с 491163 СССР // Б.И. - 1975. - № 41.

2. Гегузин, Я.Е. Физика спекания / Я.Е. Гегузин. - М.: Наука, 1984. - 312 с.

3. Абрамович, Т.М. Некоторые вопросы упругого и вязкого поведения пористого тела / Т.М. Абрамович и др. // Вестник Таганрог. гос. пед. ин-та. . - 2007. - № 1. Физико-математические и естественные науки - С. 34-41.

4. Abramovich T.M., Donskikh S.A., Kikhtenko S.N., Semin V.N. Gas-flamecoating theory for composite powdery materials // Internation conference on poweder metallurgy. - RoPM, 2005. - P. 271-278.

5. Дорожкин, Н.Н. Получение покрытий методом припекания / Н.Н. Дорожкин, Т.М. Абрамович, В.И. Жор-ник. - Мн..: Наука и техника, 1980. - 176 с.

6. Скороход, В.В. Реологические основы теории спекания / В.В. Скороход. - Киев: Наукова думка, 1972. -152 с.

7. Немилов, В.С. Изучение вязкости стекол в системе PbO - B2O3 в области температур размягчения и отжига / В.С. Немилов, Н.В. Романова // Изв. АН СССР. Серия: Неорган. материалы.- 1969. - Т. 5. - № 7. -С. 1060-1063.

8. Дорожкин, Н.Н. Импульсные методы нанесения порошковых покрытий / Н.Н. Дорожкин, Т.Н. Абрамович, В.К. Ярошевич. - Шнек: Наука и техника, 1985. - 267 с.

9. Семин, В.Н. Свойства стекол системы РЬ0-Сd0-В20з / В.Н. Семин, В.Т. Мальцев, А.Е. Панич // Изв. АН СССР. Серия: Неорган. матер. - 1985. - Т. 21. - № 9.

УДК 519.6 ББК 22.172+22.16

А.И. Сухинов, Н.Е. Ляхова, В.В. Сидорякина

АППРОКСИМАЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА НА ОСНОВЕ ДВУМЕРНЫХ СХЕМ РАСЩЕПЛЕНИЯ

Аннотация. В настоящей работе рассмотрена аппроксимация начально-краевой задачи для трехмерного уравнения гиперболического типа на основе двумерных схем расщепления. Построен аналог схем переменных направлений - двумерные факторизованные схемы. При тех же оценках точности, что и для одномерных факторизованных схем, они накладывают менее жесткие условия на перестановочность разностных операторов аппроксимирующей схемы. Вместо выполнения свойства попарной перестановочности всех одномерных операторов, для двумерных факторизо-ванных схем требуется перестановочность оператора, что входит в одномерную разностную задачу с оставшимися операторами двумерной разностной задачи. Также построена аддитивная двумерно-одномерная схема, аппроксимирующая исходную задачу в области достаточно произвольной формы. Рассмотренный класс схем может быть применен для построения массово-параллельных алгоритмов решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений гиперболического типа, имеющих меньшие временные затраты при не худшей точности в сравнении с одномерными схемами расщепления.

Ключевые слова: начально-краевые задачи, трехмерное уравнение гиперболического типа, локально-одномерные схемы расщепления, локально-двумерные схемы расщепления, параллельные вычисления.

A.I. Sukhinov, N.E. Lyakhova, V.V. Sidoryakina

THREE-DIMENSIONAL HYPERBOLIC EQUATION APPROXIMATION ON THE BASIS OF TWO-DIMENSIONAL SPLITTING SCHEMES

Abstract. In this paper two-dimension splitting difference schemes have been presented for approximation boundary value problem with initial conditions for 3D hyperbolic equation. One of these schemes is so called factorizing scheme, including sequence of two-dimension and one-dimension difference task on time grid. The restrictions connected with commutative requirements for difference operators may be decreased for proposed schemes in comparison of traditional one-dimension schemes. Also additive two-one dimension difference scheme for 3D hyperbolic equation has been considered and appropriate convergence theorem has been presented. Proposed difference schemes have better time expenditures for data transfer operations on parallel computer systems in comparison of traditional one-dimension splitting schemes.

Key words: boundary value problems, 3D hyperbolic equation, locally one-dimensional splitting schemes, locally two-dimensional splitting schemes, parallel computations.

Введение

При построении употребительных схем расщепления, как правило, осуществляют замену исходной многомерной задачи цепочкой одномерных задач [1-4]. Во многом такой способ расщепления был обусловлен тем, что метод прогонки решения трехточечных разностных уравнений, к которым сводятся одномерные задачи, долгое время являлся единственным экономичным методом решения разностных задач с оценками затрат необходимого числа арифметических операций O(N), где N - характерное число узлов сетки по одному координатному направлению. Прогресс в развитии быстрых прямых методов решения сеточных уравнений [5], в первую очередь, для двумерных сеточных эллиптических уравнений, предоставляет альтернативную возможность в расщеплении многомерной задачи [6]. Другой фактор, мотивировавший построение двумерных схем расщепления - все более широкое применение многопроцессорных систем и параллельных вычислений. Внедрение параллельных вычислительных систем приводит к необходимости расширить и, в определенной степени, переосмыслить понятие экономичности алгоритма. Пользователю в большинстве случаев важны суммарные затраты на решение задачи, основную часть которых составляют затраты на выполнение арифметических, логических операций и операций обмена информацией, причем последние могут составлять существенную часть от общего времени решения задачи, а в ряде случаев для систем с массовым параллелизмом, имеющих многие тысячи - сотни тысяч процессоров (вычислительных ядер) - превосходить другие временные затраты. Представляется целесообразным считать экономичным такой параллельный алгоритм, который имеет среди других минимальные суммарные временные затраты. Оказалось, что одномерные схемы расщепления, являясь экономичными по временным затратам на выполнение вычислений, не являются в некоторых важных случаях экономичными по временным затратам для выполнения обменов информацией между процессорами, в особенности для систем с массовым параллелизмом [6-10].

В настоящей статье рассматриваются факторизованные двумерно-одномерные схемы расщепления для аппроксимации трехмерного уравнения гиперболического типа, обосновывается их устойчивость по начальным данным и правой части энергетическим методом. Для решения двумерных разностных уравнений на верхнем временном слое предполагается использовать быстрые прямые методы для сеточных эллиптических уравнений, такие как метод разложения по базису из собственных функций сеточного эллиптического оператора, использующий быстрое преобразование Фурье (FA - Fourier Algorithm), метод циклической векторной редукции (Cyclic Reduction -CR), с затратами арифметических операций для решения двумерных сеточных уравнений порядка 0^хМп(№)), а также комбинация первых двух методов, когда осуществляется понижение размерности исходной системы разностных векторных уравнений применением l шагов метода CR, а затем - разложение по базису (FA) с использованием быстрого преобразования Фурье - метод, известный как FACR(l). Оценка затрат арифметических операций для метода FACR (l) выглядит 0^хМп(1п(М))), при оптимальном выборе параметра l. Важно отметить, что в этом случае затраты арифметических операций, приходящиеся на один узел сетки оцениваются как ln(ln(N) и являются медленно растущими с увеличением N. Детальное рассмотрение этих вопросов выходит за рамки данной статьи.

Другое преимущество двумерных факторизованных схем по сравнению с одномерными схемами - ослабление требований к свойству коммутативности операторов отдельных одномерных задач. Если в одномерных факторизованных схемах требуется выполнение свойства попарной перестановочности всех одномерных операторов, то для двумерных факторизованных схем -только того, что входит в одномерную разностную задачу с оставшимися операторами двумерной разностной задачи. Одним из следствий этого является ослабление ограничений на форму трехмерной области - область может иметь цилиндрическую форму, а не быть специальным объединением параллелепипедов. Заметим, что многие реальные области в природных и технических системах имеют цилиндрическую форму, когда основанием области является двумерная плоская односвязная область с границей - гладкой криволинейной замкнутой кривой, а образующая ци-

линдрической области параллельна координатной оси, ортогональной к этой области. Детальное рассмотрение этого аспекта будет предметом последующих публикаций.

1. Постановка задачи Рассмотрим пространственно-трехмерное уравнение гиперболического типа:

2.. Р я ( А,.

S u ^ . „, ч . 8

= Z Lau + f (x, t) Lau = ~ ka (x t)

r\ / j a ' 'J V ' /' a"

8t2 a=1 a

8u

8Xa у

(1)

C2 > ka (x, t )> q > 0, q, C2 = const, x = ( X1, X2,..., Xp ), p = 3, с дополнительными начальными условиями:

, . , . 8u (x, 0) _ , . -

u (x, 0) = uo (x), —^—- = uo (x), x e G, (2)

и граничными

u (x, t) = j (x, t), x еГ, 0 < t < T , (3)

где G - трехмерная область с границей Г, G = G U Г. Вначале будем предполагать, что G - параллелепипед, т.е.

G = {0 < xa < la, a = 1,..., p}. Будем считать, что u (x, t) - решение задачи (1) - (3) имеет непрерывные в Qt = G х( 0 < t < T ] производные по xa , a = 1, 2, 3, до четвертого порядка включительно, производные Sau/8ta , a = 1, 2, 3 удовлетворяют условию Липшица по переменной t, а также существует производная 84 uj 8t4 в Qt . На отрезке 0 < t < T построим равномерную временную сетку а>т = {tj = jz, j = 0,1,..., } с шагом т, а также равномерную пространственную сетку

Oh в области G0 с шагами ha = la jNa , a = 1,2,3. Пусть Yh - граница сеточной области

(Oh , которая содержит все узлы граней (прямоугольников) параллелепипеда G0 , за исключением

тех, что лежат на его ребрах, ( = ( ^Yh-

2. Двумерная факторизованная схема

Положим

Р Р

A = -Z^ Aa = -Aa, A = Z ^a, a=1 a=1

RR =-C9ct«|aO +(1 -s2a_i na)A° ), R = 1,2,..., p'-1,

Ь = ~с2°р (л2р_1, р + (1_%-1, рссу%), Р = 1,2,..., р' -

^р'="С2^р'(лр_1 (1 -¿2р'Ч р (1 -а)) + Л<р), 0 = 1,2,..., р'-1

где р' = [(р + 1)/2], символ [q] означает наибольшее целое число, не превосходящее данное число д , 5а р - символ Кронекера, а - весовой параметр, 0 <а< 1, ир (0 = 1,..., р') -

коэффициенты, которые выбираются, исходя из условий устойчивости и точности. Построим факторизованный оператор

D = П (Е + т2^р), р' =

р=г '

и рассмотрим факторизованную схему

Р +1

Dyjt = Ay + q>, x eoh; t e%, (4)

y = j при x e Yh, t e от, (5)

т

y (x,0)=u0 (x), yt (x,0) = u0 + 2

^a=1

Докажем безусловную устойчивость схемы (4) - (6). Очевидно

( p ^

Z Lau0 + f (x 0)

(6)

2 p

D = E + т 2 X Rp + Qp' , p=1

где Qp - операторный полином, содержащий степени операторов Rp от двух до p. Нетрудно видеть, что Qp' > 0 . Пусть a p > (1 + е)/4, где s = const > 0. Тогда

D " 1+ет2A = Е + т2 £ apC2 (A°p-1 +11" %+1, p )4p ) ■" 1+S ' X > E, 4 p=1 4 «=1 откуда следует устойчивость схемы (4) - (6). Рассмотренная схема обладает погрешностью аппроксимации O(I\к\\2 +т2 ), если каждое из выражений Л« , yjf , р аппроксимирует соответст-

вующие непрерывные выражения со вторым порядком, и, следовательно, сходится со скоростью O (|\И\\2 +г2^

Для получения у-1+1 можно воспользоваться следующим алгоритмом [4]:

(E + т2^)= П (E +т2Др)уг + г(Лу + р), (7)

p=1

(E + t2Rp) w(p)= w(p-1) , p = 2,•••, p' :

(8)

yj +1 = yj +tw( p,) (9)

Для функций w(p), p = 1, •••, p' — 1 используются краевые условия: "(1) =(E +т~ r2

=(E + т2R2)(E + т2Rp')Ut при x^ = 0, x\ = x2 = 0, x2 = l,

Щр)= П (E + т2ки) Щ ,

а=р+1

х2р-1 = 0 х2р-1 = 12р-Ь х2р = 0 х2р = !2р, р = 2,".> Р'(10) В качестве методов решения систем разностных уравнений (7) - (8) могут использоваться FA, CR или FACR(l). Ограничения на форму области G по сравнению с одномерными факторизо-ванными схемами могут быть ослаблены при p = 3 , а = 0 - область G может быть объединением цилиндрических областей Ор с образующими, параллельными оси OXз .

3. Локально-двумерная схема Будем считать, что относительно формы области О выполнены те же условия, что и в случае параболических уравнений [7]. Для простоты изложения рассмотрим случай трехмерной области (р = 3 ). Рассмотрим аддитивную ЛДС вида:

у' +12 - 2 / + у' -12 =Л1 +Л2 (у'+12 + у'-12 )+ р, (11)

^ +' -2у+ ^ =1 Лз(' + У') + ( ' = 1,2,..., (12)

у ( х, 0 ) = ио ( X),

( 2 ^ Е - Т-(Л1 +Л 2 ) у'+12 = Fl при X =Т-, (13)

4

.2

2'

F = u0 + 2 — u0 + Т2(Л1 + Л2 )u0 + т 2 (/ — 8(Л1 + Л2 +Л3 + /)j, при t = 0. Краевые условия имеют вид:

yj +1/2 = u(x, tj+1j2 ) при x е у\ их2, (М)

У+1 = tj+\) при x еу\. (15)

В схеме (11) - (15) для аппроксимации соотношений вида (Lju + L^u + f )/2, (L3U + f2 )/2 воспользуемся однородными разностными операторами второго порядка аппроксимации, соответственно (Л1 +Л2 )(yj+12 + yj 12 4 + pj j2 и Л3 (yj+1 + yj ) + (pjj2. При этом коэффициенты операторов Л1, Л2 и правая часть p 1 берутся в момент времени tj ;

оператор Л3 и правая часть Р2 определяются в момент времени tj + т/2. Функция yj+1/2 может быть найдена из уравнения:

2

yj+l/2 _ (л^ + Л2 ) yj+V2 = ф/ , (16)

где Ф^ - известная правая часть, а функция yj+1 находится из уравнения:

2

yj +1 _ Т4 Лз yj +1 =Ф2+1/2, (17)

где функция ф2 +12 - известна.

Пусть Z +а12 = y +а!2 _ u (x, tj+aj2 ), а = 0,1 - погрешность схемы (11) -(15). Для погрешности имеем задачу:

zj +V2 _ 2zj + Zj _12 1 / ■ . 1 /о ■ 1/0\

--^^-= т(Л +Л2)(+ zj) + Щ, (18)

zj +1 _ 2zj +12 + zj 1

т2 4

( _2 > 1/2

= ^ Л3 (zi+1 + zi ) + ^2, t > т ,

Е _ V(Л1 +Л2)

z' т

= при t = —, (20)

т2 П г 2

У

z (x, 0) = 0 при x eäfo, (21)

j+12 = 0 при x ey\ u xj, (22)

zJ +1 = 0 при x exj, (23)

где

^ = Л1 +Л2 (uj +V2 + uJ_V2)_ uJ +12 _^ + uJ_12 + P1,

.(и' +12 + -1/2 )

Л3/ '+1 Л и'+1 - 2и' +12 + и' р

¥2 = —и + ^ )----+—.

4 I ) т 2 2

Схема (11) - (15) является аддитивной, так как

¥ = ¥1 +¥2 = О (т +| |к||2 ). Действительно, поскольку имеют место равенства

1 (Л1 +Л2)(и'+12 + и'-12 ) = ((х1 + L2) и)'+ О (к2 + А2), при х ею° 1 : 1 (Л1 +Л2)(и'+12 + и'-12) = ((Ll + L2)и)' + О(к + к2) , прихею!, 1 и®к, 2 1Л3 (и'+1 + и') = ( L3u )'+1/2 + О (к2), при х ею

(24)

2 3 V / v 3 / I 3 Г 1 h,V

1Л3 (м-741 + u j ) = (L3M)j+12 + O(h3 ), при x e®h, 3,

+У2 _ 2п! + п1 -У2

т2

п1+1 - 2п1 +12 + п1 = У т2 = 4

Гя 2 ^1

б п

б? 2

+ О

г „2 V+У2

б п 02

(т2) , ^)•

то

° 1

1 б2п

у

(1,1+¿2)п -- —г+/1

2 б?2

+У2 = У ¥ = 2

1 б2п _ L3п -- -у + /2

2 бt2

У +12

¥1 =

О

(А2 + Л2 +т2 ) О (/ + ^2 +т2 ), х О ( Аз2 +т2 ).

О ( Аз + т2 ),

¥2 =

Л -0

О

ес//,1 ^ сА,2'

х ес//,3' х е ®0, 3.

° ° * * * * хл/2\

¥ = ¥1 + ¥2 + ¥1 + ¥2 = ¥1 + ¥2 + О (т )

т.е. схема обладает суммарной аппроксимацией.

Будем далее считать, для простоты, что в области возможно построение равномерной сетки:

= |(г1/1,г2А2, ¡3А3); ¡а = М-. - Аа

1а

° л» —

Вводя в пространстве &2 сеточных функций, заданных на сетке с/ и обращающихся в

ноль на ее границе у / , скалярные произведения, можно построить энергетическое (гильбертово)

пространство сеточных функций, в котором определены операторы цепочки разностных задач, входящих в схему (11) - (15).

Редуцируя разностную задачу к последовательности более простых задач, и, используя метод энергетических неравенств и принцип максимума, можно доказать, что схема (11) - (15) абсолютно устойчива и сходится со скоростью не хуже чем О(||/||2 +т) к решению исходной задачи. Точнее, справедлива

Теорема. Пусть поставлена начально-краевая задача (1) - (3) и п (х, t) - решение задачи (1) - (3) - имеет непрерывные в Qт = G х (0 < t < Т ] производные по ха , а = 1, 2, 3, до четвертого порядка включительно, производные баи/б?а , а = 1, 2, 3 , удовлетворяют условию Липшица по переменной t, а также существует производная б4и/ б?4 в Qт, / (х, t) - дважды дифференцируема по ? и по ха , а = 1, 2, 3 . Тогда локально-двумерная схема (11) - (15) сходится со

скоростью к решению задачи (1) - (3) при т ^ 0, ||/|| ^ 0 со скоростью О(т +1\к

(т +|/II2 ).

Заключение

В данной работе рассмотрены два семейства схем расщепления, которые в отличие от традиционных схем предполагают аппроксимацию исходной начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа цепочкой, состоящей из двух разностных задач - двумерной и одномерной. Приведены соответствующие утверждения о сходимости построенных разностных схем. Наряду с ослаблением требований на перестановочность одномерных операторов разностных производных второго порядка по пространственной переменной в случае факторизованных схем, по-

1

2

и

строенные схемы могут иметь лучшие оценки временных затрат при их численной реализации на

многопроцессорных системах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ковеня, В.М. Методы расщепления в задачах газовой динамики / В.М. Ковеня, Н.Н. Яненко. - Новосибирск: Наука, 1981.

2. Коновалов, А.Н. Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного уравнения колебаний // Докл. АН СССР. - 1962. - Т. 147. - С. 25-27.

3. Самарский, А.А. Аддитивные схемы для задач математической физики / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. - М.: Наука, 1999. - 319 с.

4. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самрский. - М.: Наука, 1971. - 552 с.

5. Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

6. Сухинов, А.И. Об аппроксимации трехмерного уравнения теплопроводности локально-двумерными схемами в цилиндрических и сферических координатах // Известия вузов. Математика. - 1987. - № 8. - С. 66-74.

7. Сухинов, А.И. Локально-двумерные схемы для решения многомерных параболических уравнений на вычислительных системах матричного типа // Известия вузов. Математика. - 1984. - № 11. - С. 45-53.

8. Сухинов, А.И. Локально-двумерные схемы для аппроксимации трехмерного уравнения теплопроводности в тороидальных координатах / А.И. Сухинов, В.С. Васильев // Известия вузов. Математика. - 1996. - № 3. -С. 58-67.

9. Sukhinov, A.I. Parallel Algorithms Based on Two-dimensional Splitting Schemes for Multidimensional Parabolic Equations // Parallel Computational Fluid Dynamics 2002.-Procedings of ParCFD2002. - Elsevier, 2003. -PP. 345-353.

10. Сухинов, А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения / А.И. Сухинов. - М.: Макс ПРЕСС: Изд-во МГУ, 2005. - 408 с.

УДК 514.75 ББК 22.151

В.Т. Фоменко

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ НАХОЖДЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ В КОНФОРМНО ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Аннотация. Автор выводит одно дифференциальное уравнение, решение которого порождает бесконечно малое изгибание поверхности в римановом пространстве с метрикой ds2 = E(Z)((dX)2 + (dY)2 + (dZ)2).

Ключевые слова: конформно евклидово пространство, поверхность, бесконечно малые изгибания, дифференциальные уравнения.

V.T. Fomenko

ONE WAY OF FINDING INFINITELY SMALL BENDING SURFACES IN THE CONFORMAL EUCLIDEAN SPACES

Abstract. The author writes a single differential equation, the solution of which results in an infinitesimal bending of a surface in a Riemannian space with the metric ds2 = E(Z)((dX)2 + (dY)2 + (dZ)2).

Key words: conformal euclidean space, surface, infinitesimal bending, differential equations.

Известно [1], что нахождение бесконечно малых изгибаний поверхности в римановых пространствах сводится к нахождению решений системы трех дифференциальных уравнений в частных производных с тремя искомыми функциями. Решение такой системы в общем случае затруднительно. Поэтому для конкретных римановых пространств и конкретных классов поверхностей удается указать приемы сведения указанной системы уравнений к одному уравнению с одной неизвестной функцией или к сведению системы двух уравнений с двумя искомыми функциями. Наиболее продвинутые приемы решения указанных уравнений разработаны для случая евклидова пространства. В настоящей работе указывается способ сведения решения системы трех уравнений бесконечно малых изгибаний к решению одного уравнения в частных производных с одной искомой функцией для поверхностей в конформно евклидовых пространствах.

П.1. Пусть R3 - трехмерное конформное евклидово пространство с меткой ds2 = E(Z)((dX)2 + (dY)2 + (dZ)2), (1) (X,Y,Z) e П, где E(Z) > 0,E(1) = 1,ЕеСп+1, n> 3.

Будем рассматривать в R3 односвязную поверхность F2, заданную уравнениями

X = x,Y = y,Z = f(x,y),(x,y)eD, 28