ОБОБЩЁННОЕ ДВОЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика & Физика, 2020, том 52, №4. С. 239-245. МАТЕМАТИКА

УДК 517.44 DOI 10.18413/2687-0959-2020-52-4-239-245

MSC 44A10.

ОБОБЩЁННОЕ ДВОЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

О. Э. Яремко, Н. Н. Яремко

(Статья представлена членом редакционной коллегии С. М. Ситником)

Московский государственный технологический университет (Станкин), Москва, 127055, Россия Пензенский государственный университет, Пенза, 449926, Россия

E-mail: [email protected]

Аннотация. Метод операторов преобразования применяется для построения обобщённого двойного преобразования. Создан аппарат обобщённого двойного преобразования Лапласа, в котором рассматривается операция дифференцирования с кусочно-постоянными коэффициентами. При этом вычисления обобщённого двойного преобразования Лапласа методом операторов преобразования сводится к вычислению классического преобразования Лапласа. Доказано несколько теорем об общих свойствах двойного преобразования Лапласа: о дифференцировании оригинала, о сдвиге изображения. Определяется свертка двух оригиналов f и д, изучаются ее свойства, доказывается теорема о свертке. Рассматриваются приложения обобщённого двойного преобразования Лапласа в теории кусочно-линейных систем. Решена задача Коши для волнового уравнения с кусочно-постояными коэфициентами.

Ключевые слова: двойное преобразование Лапласа, свертка оригиналов, волновое уравнение, задача Коши. Для цитирования: Яремко О. Э., Яремко Н. Н., 2020. Обобщённое двойное преобразование Лапласа и его применения для решения уравнений в частных производных. Прикладная математика & Физика. 52(4): 239-245. DOI 10.18413/2687-0959-2020-52-4-239-245.

GENERALIZED DOUBLE LAPLACE TRANSFORM AND ITS APPLICATION FOR PARTIAL

DIFFERENTIAL EQUATIONS SOLVING

O. E. Yaremko, N. N. Yaremko

(Article submitted by a member of the editorial board S. M. Sitnik)

Moscow State Technological University (Stankin), Moscow, 127055, Russia, Penza State University, Penza, 449926, Russia E-mail: [email protected] Received November 11, 2020

Abstract. The transmutation operator method is used to construct the generalized double Laplace transform. In the article, the apparatus of the generalized double Laplace transform is created, the differentiation with a piecewise constant factor is considered. By using the transmutation operator method, the calculation of the generalized double Laplace transform is reduced to the calculation of the classical Laplace transform. Theorems on the general properties of the double Laplace transform are proved: on the differentiation of the function; about shifts; a convolution of two functions is defined, its properties are studied, and a convolution theorem is proved. In the article the applications of the generalized double Laplace transform for solving partial differential equations with piecewise constant coefficients it is discussed. The Cauchy problem for the wave equation with piecewise constant coefficients is solved.

Key words: double Laplace transform, convolution of functions, wave equation, Cauchy problem.

For citation: Yaremko O. E., Yaremko N. N. 2020. Generalized double laplace transform and its application for partial differential equations solving. Applied Mathematics & Physics. 52(4): 239-245 (in Russian). DOI 10.18413/2687-0959-2020-52-4-239-245.

1. Введение. Преобразование Лапласа получило широкое распространение в научных и инженерных расчётах. Как известно, преобразование Лапласа соотношениям и операциям над оригиналами

сопоставляет более простые соотношения над их изображениями. Так операции дифференцирования оригинала соответствует операция умножения изображения. Усилия многих исследователей направлены на замену операции дифференцирования на более сложную операцию [1, 2, 4-17]. В статье предложено использовать метод операторов преобразования [18, 19]. В итоге создан аппарат обобщённого двойного преобразования Лапласа, в котором рассматривается операция дифференцирования с кусочно-постоянными коэффициентами. При этом вычисление обобщённого двойного преобразования Лапласа методом операторов преобразования сводится к вычислению классического преобразования Лапласа. Доказано несколько теорем об общих свойствах двойного преобразования Лапласа. Определяется свертка двух оригиналов /(х, у) и д(х,у), изучаются ее свойства, доказывается теорема о свертке. Рассматриваются приложения обобщённого двойного преобразования Лапласа в теории кусочно-линейных систем. В частности, получено аналитическое описание температурного поля с переменным режимом для полубесконечного тела [20]. Целью данной работы является изучение обобщённого двойного преобразования Лапласа и его приложений к дифференциальным уравнениям в частных производных.

2. Методы. Метод операторов преобразования успешно проявил себя при решении уравнений математической физики в кусочно-однородных средах [18, 19]. Этот метод представляет полноценную замену метода интегральных преобразований Фурье. Его преимущество заключается в том, что нет необходимости переходить в пространство изображений. Решение получается в естественном классе функций. Исследования по применению метода операторов преобразования для задач с переменными по временной переменной коэффициентами ранее не проводились. Пусть / t2) -заданная в первом квадранте функция-оригинал и пусть Б (рър2) - ее изображение, т. е.

/» СО /» со

F(Pl,p2)= e-Pïhf(h,h)dhdh.

J о J о

(1)

Разобьем первый квадрант на четыре части прямыми tl = ^ = Примем обозначения £>оо = {(к, к) : 0 < к < 0 < к < , Г>10 = {(к, к) : ^ <к,0<к< 4} £>01 = {(к, к) : 0 < Н < % < к} ,Г>ц = {(*!, Ь) : ^ < Н, % < к.} Оператор преобразования определим формулой /:/—»/

/ (.к, к) = / (аЛ, ЪгН), г е Б00, / (¿1, к) = / (а2 (к - + ЪгЬ), Г е Б10, / (.к, к) = / (а^ь Ъ2 (к ~ ф + Ьгф , I е Л10> / (к, к) = / (а2 (к - ф + а^0, Ъхк, Ъ2 {к - ф + Ъхф, X е Вп-

Теорема 1. Оператор преобразования ] допускает факторизацию ] = ]г]2, в которой первый оператор действует по переменной к и имеет вид

/(к)=/(а2(к-ф+а1ф,^1<к, 1 ;

а второй оператор ]2 действует по переменной к и имеет вид

д(к) =д (Ьгк), 0 < к < ф . .

9 (к) = д {Ьг (к - ф + Ьгф, $ < к-

Доказательство теоремы следует из определения оператора преобразования.

Будем обозначать Бц = / (Б^). Из определения следует, что для обратного оператора преобразования : / —» / справедлива формула

е Dоо,

е ¿>ю,

f(k,k)=f(±%),(k,k)

€ D

Теорема 2. Оператор обратный к оператору преобразования ] допускает факторизацию ] 1 = ]1 г]2 в которой первый множитель действует по переменной ^ и имеет вид

f(k)=f(^+tî),tl<k,

второй множитель ]21 действует по переменной Ь и имеет вид

Доказательство следует из формул (4) для обратного оператора преобразования.

3. Двойное интегральное преобразование Лапласа. Двойные преобразования Лапласа исследованы в монографии [3]. Двойным преобразованием Лапласа для функции оригинала у = /(¿ъ Ь) называется функция изображение .Р(р1,р2), определяемая по правилу

/» СО У* СО

F(pi,p2= / / e-Plhe-Pïhf(h,h)dhdh. J о J о

Здесь представляется развитие теории двойных интегральных преобразований на случай дифференциальных операторов с кусочно постоянными коэффициентами. Пусть / заданная в первом квадранте функция-оригинал. Пусть также ] оператор преобразования, действующий по формуле (1).

Определение 1. Пусть функция у = Ь) определена в первом квадранте по формуле (1). Обобщённым двойным преобразованием Лапласа Ь функции у = Ь) назовем двойное преобразование Лапласа Ь функции у = Ь),

Иначе говоря, обобщённое двойное преобразование Лапласа и классическое двойное преобразование Лапласа связаны формулами

ь = ц~\и = 1.

Теорема 3. Обобщённое двойное преобразование Лапласа Ь функции у = Ь) вычисляется по формуле

Г* ? Г<2

Р (р1;р2) = агЬг / / 12)

Jo J о

Г°° Г*"

+а2Ь! / е-лС^С!-'?)^!'?) / е~Ь1рА/ (ь, ъ) dt1dt2+

Jo

Г А Г°°

+а1Ь2 / е"^1'1 / e-p2{ъ2(h-t>ъ^)f{h,h)dhdh+ (7)

Л Л°

Г г00

+а2Ь2 / е-М^-^^) /

Л Л°

Доказательство. Разобьем интеграл в определении 1 на четыре слагаемых

Ярър2= [ e-plhe-pгhf(tъt2)dhdt2+ [ e-plhe-pгhf(tъt2)dhdt2+

«/.Ооо «/Г>ю

+ [ e-pltle-pгtгf(tъt2)dtldt2+ [ е~рле~РА{(хъ ^¿Мь. В каждом из четырех интегралов выполним замену переменных. В первом,

¿1 = а!«!, ?"2 = ЬхМг,

во-втором,

¿1 = + а2(м1 - ф, £2 = Ь1М2,

в в третьем

¿1 = агщ, = + Ь2(и2 - ф,

четвертом

^ = + аг(иг - ф, = + Ь2(и2 - ф.

В итоге формула (3) установлена.

Теорема 4. Формула обращения Римана - Меллина. Пусть Р(р1,р2) изображение Лапласа, тогда оригинал= 1Г1 [.Р(р1,р2)] находится по формулам

^ /» CTl+iOO Ç о'2 + ÏO0

/ (il, h) = -—— / e^ / eP^F (pbp2) dpidfr, (h, h) e D00,

W J (Jj-joo J (T2-IOO

1 (* /» (J2+i°°

f(h,t2) = --— / eP^F(p1,p2)dp1dp2,(hJ2)eD

W J (Jj-joo J (J2-iOO

1 /» (Jl+ÏCXD /» (J2 + ÏC>0

/ (ii, fz) = -T^ / e*'1"1 / M^-^tDp {pbp2} dpidp2> (fi; fz)

€ Doi, (8)

1 Л iTi+ioo /» 0-2 + 1СЮ

/(fi>f2) =-77737 / ePiM'i-iïM) / eP^h(h-t^+b^')F(p1,p2)dp1dp2,(t1J2) eDt

J G\ — iO0 J (J2~i°°

(2 ж)2

Доказательство. Запишем формулу обращения Римана - Меллина [3]

1 (* /» (72 + 100

/ /

/ 0*1 — 100 «/0*2—100

Применим первую из формул (1), в итоге получим формулу обращения в области Боо-Пример 1. Если /(¿-1, Ь) = 1, ^ > 0, > 0, то

Ярърг) = 1

1 (* /» (J2 + i°°

f(h,t2) = --— еР^ eP^F(p1,p2)dp1dp2.

J Ol-ÏOO «/02-100

plp2

В самом деле, из определения оператора преобразования следует, что Ь) = 1, Ь > О, ^ > 0. В работе [3] найдено изображение единичной функции Р(р1,р2) =

Пример 2. Если

/ = ехр (-(а^1 + f е Б00, / = ехр (~(а2 {н ~ ф + + Ъ^)), f € Бю, / = ехр |-(а^1 + Ь2 (г-2 - ф + f € Бю, „ /(^Дг) = ехр (~(а2 (ь - ф + + Ъ2 - ф € Г>ц,

то двойное обобщённое преобразование Лапласа функции (10) имеет вид

Ярърг) = 1

(9)

(р1-1)(р2 + 1)' Свойства обобщённого двойного преобразования Лапласа:

(1)1 = Ъ\Ъ2, где 1,1 и Л2- однократное преобразование Лапласа, действующие по переменной ^ и соответственно. Операторы Ь\ и 12 имеют вид

г А г°°

0{Р1)=и [д(ь)]=аг / e-^Pлg{h)dh+a2 / е-Р^^^ д {н) dh Jo Л»

С(р2)=12^2)]=Ь1 / е~Ъ1р2*2д (ь) dt2 + Ъ2 / е-ЫМь-ф+М^ Ы ¿н J о Л°

соответственно.

(2)Л_1 = Ь^1^1 где Л^1 и однократные обратные преобразования Лапласа, действующие по переменной р! и р2 соответственно. Операторы Л^1 и 1 определяются по правилам

^ /» 01+100

5 = тт • / е^1^ (Р1) dpъ 0 < ь < Ф

Jal-ioo

1 /» ¿71 + 100

^ = _ / ел(«2(^-^10)+«^10)С (Р1) ¿Р1> < ^

2Я"! «У01-100

^ 02 + 100

5 = ^ / (р2) ¿р2,0 < %г < & (Ю)

5 = ^ / (р2) ¿р2, ^ < н

соответственно.

(3)L[/(fi)] =Li[/(fi)]/p2,L[/(f2)] =L2[/(f2)]/pi

Следующие свойства обобщённого двойного преобразования применяются при решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Теорема 5. Дифференцирование оригинала. Пусть

-0(t ° ai J dt ! +■ — 9(h -t a2

, д - j-0{t2 -1: 02 l)dt2

операторы дифференцированиям функции и, Б^и, В2и- изображения Лапласа, то

1[Б1М] =р!Ь[и] -Ь2[и(0,12)],

ДА;«] = р2Ь [и] - Ьг 0)].

Как и для преобразования Лапласа, при доказательстве используется метод интегрирования по частям. Определим операторы дифференцирования второго порядка по правилам

В\л = Б! • £>1, В\2 = Б2 • Б2,Б2 2 = Б! • Б2.

Следствие. Если функции и, В\1и,В22и,В\2- изображения Лапласа, то

ЦБ2дм] = р21[и] -р!12[м(0Д2)-12[Б1М(0Д2)],

1[Б222и] =р22Ь[и] -р2Ь1[и(Ь,0) -11[Б2и(?1,0)],

1[Б22и] = р1р2Ь[и] - р\Ь\ [и(?1,0) - Л2 [и(0, £2) + и(0,0)].

Теорема о сдвиге. Пусть С(рър2) изображение Лапласа функции а функция£2) определяется

формулой (9), то выполнено равенство

Щ(саърь, Ь] = в(р! + сс,р2+Р)).

Свертка. Теорема о свертке. Сверткой двух оригиналов /,д назовем функцию / * *д , определяемую равенством

/ * *д = ЛГЧЛ **Г1Ш-

Теорема. Если/,д- оригиналы, то их свертка / * *д также оригинал, причем

Ц/**д] =![/]![<?].

Доказательство. Воспользуемся определением обобщённого двойного преобразования Лапласа

ь = 1г\

Тогда получим

Щ**д\ =ЬГ1и[Г1[/]**Г1[д]]]=1[Г1[/]**Г1[д]]=Ш**д1=1[/]Щ] =Ц/]№.

4. Применения обобщённого двойного преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений в частных производных.

(а) решить задачу Коши для уравнения

Вхи - В2и = 0, Н > 0, Н > 0

по начальным условиям

Применим обобщённое двойное преобразование Лапласа. В изображениях получим

(рг-ргШи] =ЫЛ -12[/],

Тогда

р 1 -р2

(И)

Из определения 1 следует, что

=-«-«-'

Р1 ~Р 2

В работе [3] найдено решение модельной задачи Коши для уравнения

Mtl - щ2 = 0, fi > 0, t2 > О

по начальным условиям

u(ti, 0) = /(fi), м(0, t2) = f{t2).

Решение имеет вид

¿(fi, h)=f(h+t2).

Следовательно, u(tb t2) = J[u(t\, f2)]. В итоге получим решение рассматриваемой задачи

и (fi, h) = / (aih + bit2), t e D00, и (fi, t2) = / {a2 (fi - t°) + a!t° + foit2), t e Dio, и (ti, f2) = / (aiii + b2 (f2 - f2°) + fcii2°), f € Dio, м (fi, f2) = / (a2 (fi - fj) + aifj, bit2 + b2 (f2 - f2°) + fcif2°), f € Dn.

В формулах (11) функция /(fi) определена по формуле (5). (Ь) Решить задачу Коши для уравнения

D\ 2u = 0, h > 0, t2 > 0

по начальным условиям

u(t\, 0) = /(fi), м(0, t2) = g(t2)

и условиям согласования /(0) = $(0) = 0. Применим обобщённое двойное преобразование Лапласа. Применяя следствие из теоремы 5, в изображениях получим задачу

pip2L[u\ =pih[f] +p2L2[g].

Тогда

L [и] = —Li [/] + —L2 [g]. p 2 pi

Возвращаясь к оригиналам, с учетом свойства (3) получим решение задачи Коши

u(h,t2) =f(h)+g(t2).

5. Заключение. Представлено обобщённое двойное интегральное преобразование Лапласа на основе оператора дифференцирования с кусочно-постоянным множителем. Доказаны основные свойства: теорема о сдвиге, теоремы о дифференцировании оригинала и свертки. Установлен аналог формулы обращения Меллина - Лапласа. Метод операторов преобразования позволил связать обобщённое и классическое преобразования Лапласа, а также разработать эффективный алгоритм вычисления обобщённого преобразования Лапласа. Рассматриваются приложения обобщённого преобразования Лапласа для решения задач математической физики. Решена задача Коши для уравнения колебаний струны с кусочно-постоянными коэффициентами.

References

1. Aghili А. 2017. New trends in Laplace type integral transforms with applications.Boletim da Sociedade Paranaense de Matematica. 35(1): 173-193.

2. Baeumer B. 2003. On the Inversion of the Convolution and Laplace Transform. Transactions of the American Mathematical Society. 1201-1212.

3. Brychkov Yu. A., Prudnikov A. P., Shishov V. S. 1979. Operational calculus. Itogi Nauki i Tekhn. Ser. Mat. Anal., 16, VINITI, Moscow, 99-148; J. Soviet Math., 15(6) (1981):733-765.

4. Ermolova N. Y., Tirkkonen O. 2014. Laplace Transform of Product of Generalized Marcum Q, Bessel I, and Power Functions With Applications. IEEE Transactions on Signal Processing IEEE Trans. Signal Process. Signal Processing, IEEE Transactions on. pp. 2938-2944 Jun.

5. Ganzha E. 1.2012. On Laplace and Dini transformations for multidimensional equations with a decomposable principal symbol. Programming and Computer Software. 38: 150-155.

6. Gonzalez-Acuna, Rafael G., Gutierrez-Vega, Julio C. 2019. Transition integral transform obtained from generalization of the Fourier transform. Ain Shams Engineering Journal. 10(4): 841-845.

7. Jarad F., Abdeljawad Th. 2018. A modified Laplace transform for certain generalized fractional operators. Results in Nonlinear Analysis. 1(2): 88-98.

8. Koepf W., Kim I., Rathie A. K. 2019. On a New Class of Laplace-Type Integrals Involving Generalized Hypergeometric Functions. Axioms. 8(3): 87.

9. Li S., Shemyakova E., Voronov Th. 2017. Darboux transformations for differential operators on the superline. Russian Mathematical Surveys. 70(6): 1173-1175.

10. Matveev V. B., Salle M. A. 1991. Darboux transformations and solitons. Springer Series in Nonlinear Dynamics. Springer-Verlag, Berlin.

11. Milovanovic G. V., Parmar R. K., Rathie A. K. 2018. A study of generalized summation theorems for the series with an applications to Laplace transforms of convolution type integrals involving Kummer's functions. Applicable analysis and discrete mathematics. 257-272.

12. Napalkov V. V., Mullabaeva A. U. 2015. On one class of differential operators and their application. Proc. Steklov Inst. Math. 288(1): 142-155.

13. Pinelas S., Xavier G. B. A., Kumar S. U. Vasantha, Meganathan M. 2017. Laplace - Fibonacci transform by the solution of second order generalized difference equation. Non autonomous Dynamical Systems. 4(1): 22-30.

14. Sharma V. D., Thakare M. M. 2016. Introduction of generalized Laplace-fractional Mellin transform. International journal of engineering sciences & research technology 5. 667-670.

15. Sharma V. D., Thakare M. M. 2013. Generalized Laplace-Fractional Mellin Transform and Operators. International Journal of Pure & Applied Sciences & Technology. 16(1): 20-25.

16. Tsarev S. P. 2005. Generalized Laplace Transformations and Integration of Hyperbolic Systems of Linear Partial Differential Equations. In: Labahn, G. (ed.) Proc. ISSAC 2005. 325-331. ACM Press.

17. Zaikina S. M. 2014. Obobshchyonnoe integralnoe preobrazovanie Laplasa i ego primenenie k resheniyu nekotoryh integralnyh uravnenij [Generalized Integral Laplace Transform and Its Application to Solving Some Integral Equations]. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tehnivceskogo Universiteta. Seria: Fiziko-Matematiceskie Nauki. 1(34): 19-24.

18. Jeffreys H. and Jeffreys B. 1956. Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge Univ. Press.

19. Sitnik S. M., Yaremko O., Yaremko N. 2020. Transmutation Operators and Applications. Transmutation Operators Boundary Value Problems, Springer Nature Switzerland. 447-466.

20. Yaremko O. E. 2004. Transformation operator and boundary value problems, Differential Equation. 40(8): 1149-1160.

Получена 11.11.2020

Яремко Олег Эмануилович - доктор физико-математических наук, доцент, профессор Московского государственного технологического университета (Станкин)

© http://orcid.org/0000-0003-4619-0527 Вадковский пер., 1, г. Москва, 127055, Россия E-mail: [email protected]

Яремко Наталия Николаевна - доктор педагогических наук, доцент, профессор Пензенского государственного университета

© http://orcid.org/0000-0003-1491-624X ул. Красная, 40, г. Пенза, 440026, Россия E-mail: [email protected]