ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.44+517.22

DOI 10.21685/2072-3040-2020-2-2

О. Э. Яремко, Н. Н. Яремко, Е. С. Могилева

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Аннотация.

Актуальность и цели. Метод интегральных преобразований является одним из важнейших аналитических методов математического моделирования. На его основе разрабатываются численные методы и вычислительные алгоритмы. Свойства изображений косвенным образом отражают свойства оригиналов. Иногда, например для изображений Фурье, эти свойства содержат в себе новую информацию об оригинале. Статья посвящена исследованию логарифмической выпуклости изображения для неотрицательного оригинала.

Материалы и методы. Методы информационной геометрии позволили впервые установить свойства интегральных преобразований Фурье исследованием соответствующей информационной матрицы Фишера. В получении результатов были также использованы методы теории интегральных преобразований Лапласа, Меллина, Вейерштрасса и др.

Результаты. Найдена формула для информационной матрицы Фишера и тензора деформации для рандомизированных семейств распределений, связанных с интегральными преобразованиями Лапласа, Меллина, Вейерштрасса. Установлена логарифмическая выпуклость изображения для неотрицательного оригинала. Предложено новое доказательство логарифмической выпуклости Гамма-функции и неравенства о моментах распределения.

Выводы. Предложенные методы могут быть полезны при изучении специальных функций математической физики, в теории интегралов дробного порядка. Наличие явного выражения информационной матрицы важно для применений в статистике.

Ключевые слова: логарифмическая выпуклость, интегральное преобразование, плотность распределения, матрица Фишера.

O. E. Yaremko, N. N. Yaremko, E. S. Mogileva

LOGARITHMIC IMAGE'S CONVEXITY IN THE INTEGRAL TRANSFORMS THEORY

Abstract.

Background. The method of integral transforms is one of the most important analytical methods of mathematical modeling. Numerical methods and computational algorithms are developed on its basis. Image properties indirectly reflect the properties of the originals. Sometimes, for example, for Fourier images, these properties contain new information about the original. The article is devoted to the study of the logarithmic convexity of the image for a non-negative original.

Materials and methods. Methods of information geometry allowed us to establish the properties of integral Fourier transforms for the first time by studying the

© Яремко О. Э., Яремко Н. Н., Могилева Е. С., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

corresponding Fisher information matrix. Methods of Laplace, Mellin, Weierstrass and others integral transforms theory were also used in obtaining the results.

Results. Formula for the Fischer information matrix and stress tensor for randomized families of distributions associated with Laplace, Mellin, and Weierstrass integral transforms is found. The logarithmic image's convexity for a non-negative original is established. A new proof of the logarithmic convexity of the Gamma-function and the moments inequality of distribution is proposed.

Conclusions. The proposed methods can be useful in the study of special functions of mathematical physics, in the theory of fractional-order integrals. Having an explicit expression of the information matrix is important for statistical applications.

Keywords: logarithmic convexity, integral transform, the density distribution, the Fisher matrix.

Введение

Интегральным преобразованием является любое преобразование f ^ F (0) следующего вида:

b

F (0) = \K (t 0)f (%)d%. (1)

a

На вход этого преобразования подается функция f, а на выходе получается функция F (À). Интегральное преобразование - это специальный вид

математического оператора. Существует множество полезных интегральных преобразований. Каждое из них определяется выбором ядра, т.е. функции K = K ( 0) из двух переменных.

Имеется много классов задач, которые трудно решить или, по крайней мере, они довольно громоздкие алгебраически в их первоначальных представлениях. Интегральное преобразование «отображает» уравнение из его исходной «области» в другую область. Решение дифференциальных и интегральных уравнений в пространстве изображений часто намного проще, чем решение в пространстве оригиналов. Обратным интегральным преобразованием по изображению решения восстанавливается оригинал. Для некоторых интегральных преобразований важна информация об изображении сигнала (о спектре сигнала). Таким образом, оказывается важным изучение свойств изображений.

Ядра важнейших интегральных преобразований Лапласа, Меллина, Вейерштрасса и др. являются плотностями распределений экспоненциального, гамма-распределения, нормального распределения соответственно. В работе изучаются интегральные преобразования (1), в которых ядро K = K(0), плотность распределения, зависящая от параметра 0, а f

некоторая неотрицательная функция. Тогда получим однопараметрическое семейство S плотностей распределения [1]:

p(n0) = K ( 0)f Ф

= F (0) .

Нас будет интересовать чувствительность случайной величины к параметру 0е Я . Другими словами, характер варьирования распределения этой случайной величины при изменении значения параметра 0е Я . В качестве метрики, которая определяет расстояние между двумя распределениями из семейства Р0 | 0е Я , было выбрано количество информации Фишера, содержащееся в наблюдениях. В скалярном случае Р0 | 0е Я1 расстояние определяется по формуле

I (0) = | рд 1п рд 1п рй Э = Э / Э0.

Если параметр «-мерный, причем 0 = (0Ь...,0т )еЯт , то рассматривается информационная матрица Фишера размерности т X т с элементами, определяемыми по одной из двух формул:

1у (0) = IрЭУ (1пр)Эу (1прЩ,Э; =Э /Э0;, (2)

I-(0) = -1рЭ у (1пр)йЭ у = Э2 /Э0;Э0у. (3)

В работе [2] С. Рао на основе фишеровской информационной матрицы (2) определил риманову метрику

п

2 = 2 Ц (0)Ж;ЛУ

на многообразии распределений вероятностей Р0 | 0е Яп и тензор деформации Т, тем самым заложил основы информационной геометрии. Компоненты Т^ тензора деформации С. Рао определяет по формулам:

Тф(0) =-21рЭ; (1пр)Эу (1пр)Эк (1прЩ. (4)

Основной результат работы состоит в определении зависимости изображения Р(А) и информационной матрицы (2). Эта зависимость имеет вид

I (0) =Э01п Р (0).

Таким образом, будет доказано что изображение функции Р (А) является логарифмически выпуклой функцией [3] параметра 0. Кроме того, установлена ее вероятностная интерпретация.

1. Информационное расстояние для интегральных преобразований Лапласа от неотрицательных оригиналов

Лемма 1. Пусть функция /(х) - неотрицательна на действительной полуоси, а функция Р(0) - ее преобразование Лапласа [4], определяемое формулой

F (0) = J e"9V © d ^ 0

тогда функция

0)

является плотностью распределения, здесь 0 - параметр семейства S распределений вероятностей.

Доказательство. Во-первых, 0) > 0; во-вторых:

_ J e"0V ©d £

J p £ 0)d ^" FT0 - jF70T- 1.

F(в) F(0)

Теорема 1. Информационное расстояние Фишера I (0), соответствующее семейству S распределений вероятностей, находится по формуле I (0) = Эд1п F (0). Компонента структурного тензора T имеет вид

T = —2 д01п F (0).

Доказательство. Вычислим расстояние Фишера. Для этого найдем

д 2 (1п 0)) = д2 (—0^ + 1п f ф — 1п F (0)) = -д2 (1п F (0)). Тогда согласно формуле (2) получим

I =д21п F (0). Аналогично доказывается формула для тензора T.

Следствие 1. Преобразование Лапласа неотрицательной функции f (x) - логарифмически выпуклая функция параметра 0 . Пример 1. Если выбрать функцию f в виде

f (О -

_1

^ _ ¡Г2, 1,

о, ^<1, v>_2,

то на основании формулы для функции Бесселя [5]

vn Г 0. v 1

Kv (0) - 121 J1 (^ _ 1) 2e"0^, Re(v) > _-,| Arg(z) |< П

r(v + —)

2

oo

(0

получаем, что функция I — I (0) — логарифмически выпуклая функция

переменного 0.

2. Информационное расстояние для интегральных преобразований Меллина от неотрицательных оригиналов

Прямое преобразование Меллина определяется формулой [7]:

Р(0) = I 1/(О. (5)

0

Лемма 2. Пусть функция / (х)неотрицательна на действительной полуоси, а функция Р (0) определяется формулой (1), тогда функция

п(Ь 0) = ¿/1

0) =_Р(3Г

является плотностью распределения, здесь 0 - параметр семейства S распределений вероятностей.

Теорема 2. Информационное расстояние Фишера находится по формуле I =Э01п Р (0). Компоненты структурного тензора имеют вид

Т = —2 Э301п Р (0).

Доказательство. Вычислим расстояние Фишера. Для этого найдем Э(1п р& 0)) =Э0((0 — 1)1п £ + 1п / (£) — 1п Р (0)) =

= 1п ^ — Э0(1п Р (0)),

тогда

I=э221п р (0).

Следствие 2. Преобразование Меллина распределения есть логарифмически выпуклая функция параметра 0.

Пример 2. Пусть /(^) = , тогда Р(0) = Г(0). Значит, Гамма функция логарифмически выпукла. Определение Гамма-функции и другое доказательство ее логарифмической выпуклости, основанное на разложении в ряд на простейшие дроби логарифма Гамма-функции, можно найти в [5].

Замечание. Пусть функции /(х),g(х) неотрицательны на действительной полуоси, а функция Р (V) определяется формулой

Р (V) = I g ^11/2 (^)/ © й (6)

тогда функция

V)=1Г—

F М

является плотностью распределения, здесь V - параметр семейства S распределений вероятностей. Информационное расстояние Фишера находится по формуле

I = д21п F (V). Компоненты структурного тензора имеют вид

T = -2 д^ 1п F (V).

Доказательство проводится, как в теоремах 1 и 2. Пример 3. Пусть

f ф = , * (*) = ^ — 1,

[ 0,01,

тогда

в Г".....( 1

F121 К(0)ГIV+1]-

логарифмически выпуклая функция параметра V . Здесь Ку (0) - бесселева функция мнимого аргумента [5].

Теорема 3 (Неравенства для моментов). Для любой случайной величины X математическое ожидание величины |Х|0, которое принято называть моментом порядка 0 [6]:

и (0) = Е (| X |0), 0>О,

является функцией, логарифмически выпуклой по 0 в каждом интервале, где она конечна.

Доказательство. Рассмотрим рандомизированную плотность

0) = /ЕЧ .

и ф

На основании формулы (2) получим, что

I (0) = д21п и (0).

Следовательно, функция и (0)- логарифмически выпуклая. Замечание. Функция и (0) называется моментом порядка 0 [6].

3. Информационное расстояние для интеграла дробного порядка от неотрицательных оригиналов

Пусть функция у = / (х) задана на неотрицательной полуоси х > 0. Интегралом порядка V от функции у = / (х) называют оператор вида [7]:

V 1

IV/=ГК I (11/ (х^) щ Г(V)0

По рассмотренной выше схеме получаем, что функция Г^)х IV/ -логарифмически выпуклая по параметру V .

Пример 4. Пусть /(х) = в~х , тогда на основании интегрального представления функции Миттаг-Леффлера£1 (,| +1) из [5]

Е ( 1)=?^10(1—е)Ц—1е'е йе

заключаем, что функция Г()Е1 (г,| +1) — логарифмически выпуклая по | .

4. Информационное расстояние для интегрального преобразования Вейерштрасса от неотрицательных оригиналов

В математике преобразование Вейерштрасса [2] функции /: Я ^ Я , представляет собой «сглаженную» версию /(х), полученную путем усреднения значений /, взвешенных с гауссовым центром в точке х. В частности, это функция Р (А), определяемая по формуле

1

F (0) =-т= f ЖЪ 2V п

е"(0-!)2/4 d% .

Теорема 4. Для неотрицательной функции / (х) на действительной оси функция

а2 !

2jnF (0),

,02/4

логарифмически выпуклая переменной 0.

Доказательство. Рассмотрим плотность распределения:

1 е"(0—^)2/4 / ©

0) = Ш-,

Р (0)

тогда выполнено условие

02 0! %2/4 %

2yfnF(0) 4 = е 2 --Ш.

р(!, 0)

Далее рассуждения проводим по образцу теоремы 2. Следствие 3. Если неотрицательная функция представлена рядом по полиномам Эрмита [8]:

f (X) - £ anHn I - I, X е R

n-0

то ряд Маклорена вида

F(0) - 2 °п0П

n-0

сходится для всех 0е Я , а функция е 4 F(0) - логарифмически выпуклая. Доказательство. На основе формулы из [8]:

W

HJX

-X

получим равенство Ж [ f (х ) = F (х).

5. Информационное расстояние для интеграла Пуассона от неотрицательных оригиналов

Пусть для неотрицательной функции f (х), х е Я, а функция и (,х) -решение соответствующей задачи Коши для уравнения теплопроводности:

Г и'= и "Хх,0 < ( < Т, [и(0,х) = f (х),хе Я.

Известно, что справедлива формула Пуассона

i(t,x)-2ТЛ7 J

Определим новые параметры:

(хЧ)2

, 4t

f (^)d

Rn

0-

2-Jt'

00 —.

0 4t

По представленной выше схеме мы получим, что функция

/ 02 1 exp(0 )

V00"

1

0

400' 700

логарифмически выпуклая в новых переменных 0,0о .

Пример 5. Пусть f (х) = хп, п - четное, тогда решение задачи Коши выражается через полиномы Эрмита [8] по формуле

2

0

х

'(х•t) - ^"n (-X2r I -т L• 4t

( х" yУ

2

Тогда получим, что функция

/02 , с2 \ nu ^ V2 0 ^ — 01 i

2 ( 0

v -—^ exp(00 +01

3 —n 22 0

логарифмически выпуклая переменных 00,01. Заметим, что функция v действительнозначная, а постоянный множитель можно игнорировать.

Заключение

Найдены формулы для информационной матрицы важных рандомизированных распределений. Использование рандомизированных плотностей позволило установить новые свойства преобразований Лапласа и Меллина, предложить новое доказательство логарифмической выпуклости гамма-функции и установить логарифмическую выпуклость бесселевых функций мнимого аргумента.

Можно предположить, что предложенные методы будут полезны в теории гипергеометрических функций, в теории интегральных преобразований с неотрицательными ядрами, а также в теории уравнений в частных производных.

Выражение для информационной матрицы, полученное в работе, открывает возможность применения методов информационной геометрии в теории интегральных преобразований и, обратно, открывается возможность применения методов теории интегральных преобразований в математической статистике [9, 10].

Библиографический список

1. Баврин, И. И. Статистические структуры, порождаемые рандомизированными плотностями распределения / И. И. Баврин, В. И. Паньженский, О. Э. Яремко // Чебышевский сборник. - 2015. - Т. 16, № 4. - С. 28-40.

2. Рао, С. Р. Линейные статистические методы и их применения / С. Р. Рао. -Москва : Наука, 1968. - 548 с.

3. Barndorff, N. O. Information and exponential families in statistical theory. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics / O. N. Barndorff. - Chichester : John Wiley & Sons, 1978. - 238 p.

4. Brychkov, Y. A. Integral Transforms of Generalized Functions, Chapter 5 / Y. A. Brychkov, A. P. Prudnikov. - New York-London, CRC Press, 1989. - 342 p.

5. Ahmed, I. Z. Handbook of Function and Generalized Function Transformations, Chapter 18 / I. Z. Ahmed. - Taylor & Francis, CRC Press, 1996. - 672 p.

6. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : в 2 т. / В. Феллер. - Москва : Мир, 1984. - Т. 1. - 511 с.

7. Podlubny, I. Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Mathematics in Science and Engineering / I. Podlubny. - Academic Press, 1998. - 340 p.

8. Bilodeau, G. G. The Weierstrass Transform and Hermite Polynomials / G. G. Bilo-deau // University of North Carolina, Duke Mathematical Journal. - 1962. - Vol. 129. -P. 293-308.

9. Carslaw, H. S. Conduction of Heat in Solids / H. S. Carslaw, J. C. Jaeger. - 2nd ed. -Oxford : Oxford University Press, 1959. - 510 p.

10. Courant, R. Methods of Mathematical Physics, vol. II / R. Courant, D. Hilbert. -New York, Inter science (Wiley), 1962. - 575 p.

References

1. Bavrin I. I., Pan'zhenskiy V. I., Yaremko O. E. Chebyshevskiy sbornik [Peer-reviewed theoretical journal Chebyshevskii Sbornik]. 2015, vol. 16, no. 4, pp. 28-40. [In Russian]

2. Rao S. R. Lineynye statisticheskie metody i ikh primeneniya [Linear statistical methods and their applications]. Moscow: Nauka, 1968, 548 p. [In Russian]

3. Barndorff N. O. Information and exponential families in statistical theory. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. Chichester: John Wiley & Sons, 1978, 238 p.

4. Brychkov Y. A., Prudnikov A. P. Integral Transforms of Generalized Functions, Chapter 5. New York-London, CRC Press, 1989, 342 p.

5. Ahmed I. Z. Handbook of Function and Generalized Function Transformations, Chapter 18. Taylor & Francis, CRC Press, 1996, 672 p.

6. Feller V. Vvedenie v teoriyu veroyatnostey i ee prilozheniya: v 2 t. [Introduction to probability theory and its applications: in 2 volumes]. Moscow: Mir, 1984, vol. 1, 511 p. [In Russian]

7. Podlubny I. Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Mathematics in Science and Engineering. Academic Press, 1998, 340 p.

8. Bilodeau G. G. University of North Carolina, Duke Mathematical Journal. 1962, vol. 129, pp. 293-308.

9. Carslaw H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids. 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 1959, 510 p.

10. Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics, vol. II. New York, Inter science (Wiley), 1962, 575 p.

Яремко Олег Эмануилович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра компьютерных технологий, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Е-таП: [email protected]

Яремко Наталия Николаевна

доктор педагогических наук, профессор, кафедра математического образования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Е-таП: уагетИ@уаМех.т

Yaremko Oleg Emanuilovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of computer techologies, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Yaremko Nataliya Nikolaevna

Doctor of pedagogical sciences, professor, sub-department of mathematical education, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Могилева Елена Сергеевна аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Mogileva Elena Sergeevna Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected]

Образец цитирования:

Яремко, О. Э. Логарифмическая выпуклость изображений в теории интегральных преобразований / О. Э. Яремко, Н. Н. Яремко, Е. С. Могилева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-матема-

тические науки. - 2020. - № 2 (54). - С. 13-23. - DOI 10.21685/2072-3040-

2020-2-2.