Обобщённая эллиптическая система с сингулярностью на границе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №3_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.946

Д.Х.Сафаров

ОБОБЩЁННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА С СИНГУЛЯРНОСТЬЮ НА ГРАНИЦЕ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 19.12.2013 г.)

В работе найдены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Дирихле для обобщенной эллиптической системы уравнений с сингулярными коэффициентами.

Ключевые слова: необходимые и достаточные условия - разрешимость задачи Дирихле - сопряжённая система - эллиптическая система - сильно эллиптическая система.

1. Рассмотрим в полупространстве = {(X, у, = (2, () е Я3, t > 0} следующую эллиптическую систему уравнений с частными производными первого порядка относительно пары комплексно-значных функций и( 2, t), у( 2, ¿) [1]:

2Iй _|и + Аи (2,t)и + Д2 (2,t)V = / (2,t),

52 д (1)

ди , о IV

Iй + 2+ А21 (2, t) и + А22 ( 2, t) V = /2 (2, t), где Ау (2, t), / (2, t) - ограниченные функции, заданные в Я+, убывающие на бесконечности как

0( Я 0.

Задача Дирихле. Найти пару функций и(2, {), v(2, t), непрерывную вплоть до границы t = 0, убывающую на бесконечности, удовлетворяющую в полупространстве Я3+ системе (1) и при t = 0 граничным условиям:

и( 2,0) =П( 2), У( 2,0) =у2( 2), (2)

где ух(2),/2(2) - заданные функции, непрерывные на плоскости 2 = X + гу е С.

Теорема 1. Задача Дирихле (1)-(2) имеет решение тогда и только тогда (в плоть до наибольшего конечного числа дополнительных условий), если для любого решения ((2, t), \у(2, t) однородной сопряжённой с (1) системы

2 д( + _ А1(2, t)( _ А21(2, t= 0,

д2 дt _ _ (3)

д( _ 2 _ А12( 2, t)( _ А22( 2, t )¥ = 0, дt д2

Адрес для корреспонденции: Сафаров Джума Холович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail:safarovdh@mail.ru

непрерывного вплоть до границы Л = 0, убывающего на бесконечности имеет место равенство:

| (/(t>(t) + /2(г, t¥(г, t-

(у2( ¿)ф( г, t) - у1( ¿)щ( г, = 0.

(4)

Доказательство. Если задача (1)-(2) имеет решение, тогда равенство (4) непосредственно следует из тождества Грина [2]. Обратно, пусть (4) имеет место. Тогда, если пара функций и( г, t), у( г, Л) является решением задачи Дирихле (2) для следующей сильно эллиптической системы второго порядка

4

д и д и

2 /

+ — ■+

дгдг дt

—А, —А, ^ ди „ „ ди . „ _ . ди

—& + а и-2А11-и+2А"ди+(Д1-А21)ди+

+(Аи+Д2) §+2( Д12 - Д21) |+Г 2-д2+-Д2 ] V - (I А I 2 + I 411 2)и+

+(А1Д12 + Л21Д2^ = 2 ^ + Щ - Ди/; - А21/2,

дг дt

д2V „ д2V („дА, дА

—Т + 4-= + —1

дt дгдг

„ ди __

ди

^^ _V + (2 Д + 2 Д12^ + (А 22 - А11) ^ -

уд г дt ) д г дt

_ —у —у _ —у I -а дА I _ _

-(А12 + Д12^ + 2 Да^ + 2 Д22^ + I 2"|1 - ■I и - (Д11А12 + А Д22)и --( | А121 2 +1 Д221 2)у = 2&-% + А12/1 + А22/2,

—г —Л

то из (5) следует, что пара функций

„-и -V . . , -и „-V . . .

9 = 2 А11и + Д12У - /1' ¥=~ + 2Т" + Д21и + Д22У - /2

—г —Л дЛ дг

является решением системы (3). Так что посредством (4) мы получаем

| (| ф(г, Л) | 2 + | у/(г, Л) | 2)^йуйг =

(5)

I

„ди -V . . ,

21Т -17 + Ди + ДУ - /

дг —Л

<р +

+

—и ~ -V ¥ + 21к + Д21и + Д22У - /2

¥

=

3

+

К

С

К

+

3

+

К

= J(y2(z)p(z,t)-yx(z)v(z,t))dxdydt- J (/( + /2v)dxdydt = 0,

то есть p = щ = 0 в R+, а это означает, что пара функций u(z, t), v(z, t) является решением задачи

Дирихле (1) - (2). Теорема доказана

2. Теперь рассмотрим следующую систему

2^ _& + а&Ъv + a„ (z, t)u + Au (z,t) v = / (z,t), Iz 1 t (6) f + 2 f " ^ u + A (z, t) u + A22 (z, t) v = /2 (z, t).

Если a(z, t) ^ 0, z e C, то данная система будучи эллиптической в полупространстве R+ является сингулярной на её границе t = 0. Следующая система

2duL + df - а(*А v - A (z, t)и* - Ai2 (z, t) v* = 0, a z dt t v ' ^ v '' '

+ 2^ + OiM „• - A21 (z, t)и* - A22 (z, t) V* = 0

является однородной сопряжённой, соответствующей системе (6).

Теорема 2. Пусть az log t, az log t, at log t - ограниченные в конечной части R^ и достаточно быстро убывающие на бесконечности функции. Если Rea(z, 0) > 0, z e C, тогда в классе функций, ограниченных вплоть до границы t = 0 и убывающих на бесконечности как O(R-(1+Rea")); где ax = lim a, R2 =| z |2 +t2, неоднородная система (6) имеет решение (вплоть до наибольшего

R—

конечного числа условий), ограниченное в конечной части R3+, убывающее на бесконечности при любых правых частях, а если Rea(z, 0) < 0, z e C, то данная система имеет решение в упомянутом выше классе тогда и только тогда (вплоть до наибольшего конечного числа дополнительных условий), если для любого решения и , v* однородной сопряжённой системы (7), непрерывного вплоть до границы t = 0 и убывающего на бесконечности, как O(R), где s > 0, выполняется равенство

J (/1 и* + /2 V)dxdydt = 0. (8)

r3

Доказательство. Вводя пару функций р и v при помощи

и( z, t) = ta( z,p( z, t), v(z, t) = ta (V(z, t), мы получаем вместо (6) следующую систему:

3

+

C

R

2A(z,*)ф + A(г,t)щ = f(z,t)t a, дz д* (9)

2 + A (z, t )ф + АП2 (t )щ = f2 (г, t )ta, dt dz

где

A = 2a log t + An, A*2 = -2a log t + A 2,

A2*1 = at logt + A21, A2*2 = 2a logt + A22 ■

В соответствии с предположениями теоремы система (9) обладает регулярными коэффициентами. Таким образом, если Rea(z, o) > 0, z e C, то данная система имеет решение (вплоть до наибольшего конечного числа условий разрешимости на правые части), а если Rea(z, o) < 0, z e C, то в соответствии с теоремой 1 данная система имеет решение тогда и только тогда (вплоть до наибольшего конечного числа дополнительных условий), когда для любого решения однородной сопряжённой с (9) системы

2+ Ai(z, t)J - A2i(z, t)w = 0, dz д\ (io)

дф дщ -„ „-„ „

— - Al2(z, t)ф - A22(z, = 0,

dt д z

в полупространстве Я+ , непрерывного вплоть до границы t = 0 и убывающего достаточно быстро на бесконечности, выполняется равенство

11-а(^/z, t)((z, t) + /2(г, t)щХz, ^ёуЛ = 0. Для подтверждения равенства (8) достаточно убедиться в том, что пара функций

* , —а * * > — а * г-\

и = t р , V = t у является решением системы (7). Это можно проверить непосредственными вычислениями, принимая во внимание (10). Теорема доказана.

Поступило 30.12.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1987, 415 с.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. - М.: Наука, 1988, 509 с.

Ч,.Х.Сафаров

СИСТЕМАИ УМУМИИ ЭЛЛИПСЙ БО КОЭФФИСИЕНТ^ОИ

СИНГУЛЯРЙ ДАР САРАД

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола шарти зарурй ва кофии хдлшавандагии масъалаи Дирихле барои системаи умумии эллипсй ошкор карда мешавад.

Калима^ои калиди: шартуои зарурй ва кофй - уалшавандагии масъалаи Дирихле - системаи уамроушуда - системаи эллипсй - цавй эллипсй.

D.Kh.Safarov

GENERALIZED ELLIPTIC SYSTEM IN HALFSPASE, SINGULAR ON ITS BOUNDARY

Tajik National University

We consider the Dirichlet problem for the first order elliptic system in halfspase, singular on its boundary and it is receive condition of the necessary and sufficient for solvability.

Key words: Generalized Elliptic system - strongly elliptic system - Dirichlet Problem - sol vability -necessary and sufficient.