CC BY
17
Обобщенный метод исследования мобильности плоских механизмов
манипуляторов
Ф.Н. Притыкин, Д.И. Нефедов, В.А. Захаров, А.В. Рингельман Омский государственный технический университет, Омск
Аннотация: Исследована мобильность плоского четырехзвенного механизма манипулятора в заданной области рабочего пространства. Предложен метод определения максимальных скоростей по заданным направлениям для механизмов манипуляторов, имеющих двигательную избыточность.
Ключевые слова: собственные свойства механизмов манипуляторов, мобильность манипуляторов, синтез движений роботов по вектору скоростей.
При автоматизации технологических процессов с использование робототехнических комплексов часто необходимо задач необходимо обеспечить движение центра выходного звена с заданной скоростью. Например, при нанесении покрытий, контроле и сварке изделий движение выходного звена происходит в заданном диапазоне скоростей. Указанное собственное свойство механизмов манипуляторов характеризует свойство называемое мобильностью [1,2]. В связи с этим остается актуальной задача разработки универсальных алгоритмов позволяющих обеспечить оценку возможных скоростей характерной точки выходного звена, которая неподвижно связанна с инструментом. При этом оценку скоростей проводят по заданным направлениям с учетом максимальных скоростей в приводах и заданной точности позиционирования центра выходного звена [1,2]. В настоящей работе предложен алгоритм определения максимально возможных скоростей выходного звена по заданным направлениям в различных точках рабочего пространства. При этом исследуется плоский четырехзвенный механизм манипулятора, имеющий двигательную избыточность. Разработанная методика может быть использована для манипуляторов имеющих другую структуру кинематических цепей и различное число степеней подвижностей.
:
На рисунке 1а представлены изображения механизма манипулятора и заданная область О исследуемого рабочего пространства. Длины звеньев механизма манипулятора ¡1 приняты равными следующим значениям О1О2 = О2О3 = О3О4 = 900мм. Минимальные и максимальные значения
обобщенных координат, соответственно, равны д™1" (0о, -120о, -120о) и цГпах (120о, 120о, 120о). Интервал, определяющий положение исследуемых
точек области О рабочего пространства принят равным Дх = Ау = 200мм. Положение области О и её размеры соответственно определяют параметры хА = 1300мм, уА = 900мм и хор = уор= 1000мм (см. рис. 1а). Предельные значения обобщенных скоростей приняты равными следующим значениям дщпах1 = 4 град/сек. На рис. 1б представлено множество МА1 конфигурации, при которых центр выходного звена занимает одно и тоже положение соответствующее точке А1 с интервалом изменения обобщенной координаты /кд1 равным двадцати градусов. Заметим, что количество конфигураций составляющих множество МА1 для различных точек А1 (1 < 1 < 25) различное. Например для точек А1 и А2 параметр МА1 соответственно равен шести и трем. Определим среди данных конфигураций такие при которых мгновенная скорость центра выходного звена по направлениям осей Ох0 и Ооуо принимает максимальные значения. Схема алгоритма определения максимальной скорости по заданным направлениям и заданной точности позиционирования центра выходного звена для заданной конфигурации приведена на рисунке 2. Алгоритм основан на использовании линейной системы уравнений, задающей в многомерном пространстве обобщенных скоростей ^-плоскость Г [1,3]:
V=/ ла, (1)
где V (¥х, Уу) - вектор скоростей выходного звена. Ориентация выходного звена для этого случая не учитывается. Исследуются значения Ух (¥х, 0) и
J
Ух (0, V) (см. рис. 1а) Значения компонент Vx и Vy первоначально принимаются равными 5мм/сек и далее на каждой итерации увеличиваются с шагом равным 5мм/сек до определения максимально возможного значения); / - матрица частных передаточных отношений , размерность которой равна г хк [4,5]. Где г размерность вектора V, к - номер звена механизма (к = 1, 2, ..., п). Элементы Jгk матрицы / определяются на основе элементов матриц М01, М0к, ... , М0п, задающих положения звеньев в неподвижной системе 00 [6]. А - матрица значений весовых коэффициентов а1, а2, ..., ап диагонального вида (при проведении исследований значения коэффициентов приняты равными единице); Q - вектор обобщенных скоростей размерности п . Точность позиционирования принята равной дтах = 5 мм.
а
б
Рис. 1 Четырехзвенный плоский механизм манипулятора: а - взаимное положение манипулятора и области Q, б - множество Mai конфигураций с одним и тем же положением центра выходного звена
совпадающим с точкой А1
Вектор обобщенных скоростей Q при решении системы (1) и
" ^ max ^ max ^ max
невыполнении условий q j < q j; q 2 < q 2; q 3 < q 3 вычисляется по зависимости (где q'maxj - заданные максимальные скорости в приводах):
а = а м + % к?т о», (2)
1=1
где Ом - вектор обобщенных скоростей соответствующий критерию минимизации объема движения [1,3]; кр, кР, ..., кр - координаты точки N
в ^-плоскости Г заданной линейной системой уравнений (1) (для случая когда двигательная избыточность п - г > 1 ). Максимальные значения указанных
координат определяют параметры кртах; т - длина единичного отрезка
репера ^-плоскости Г. Орты Оь О2, •••, О Р, задающие направления осей этого репера в пространстве обобщенных скоростей р [3,7].
Рис. 2. Схема алгоритма определения максимальных модулей векторов
V
" I/ max г/ max ^ /о
скоростей Vx и Vy по направлениям осей Ooxo и Ooyo
На рисунке 2 приняты следующие обозначения: 1 - ввод данных lk, qit q'maXi,, крmax Vx и Smax; 2 - задание положения точки А\ и множества M7; 3 -
вычисление q'i - скоростей изменения обобщенных координат в соответствии с линейной системой уравнений (1) по критерию минимизации
г " Г1 1 л „• \ „• max г • • max г • • max п
объема движений [1J; 4 - q j > q j; 5 - q 2 > q 2; 6 - q з > q 3; 7 -
изменение параметров kQ задающего совокупность значений вектора Q [1]; 8
- ki > kQ max; 9 - вычисление скоростей q'i по зависимости (2); 10 - Vx max =
Vx; 11 - Vx = Vx + 5; 12 - вывод значения V max максимальной скорости в заданной точке Aj рабочего пространства по направлению оси x0. При определении максимальной скорости по направлению оси yo в пунктах 10, 11
max
и 12 используется модуль вектора Vy и компонента Vy.
Определим максимально возможные скорости центра выходного звена Vx и Vx для каждой из множества конфигураций MAJ представленных на рисунке 1б по алгоритму представленному на рис. 2 с обеспечением 8 < Smax [7-10]. В таблице 1 представлены значения обобщенных координат и значения модулей векторов скоростей Vx и Vy при совпадении центра выходного звена с точкой Aj.
Таблица 1
Значения компонент векторов скоростей Vx и Vy для множества
конфигураций M^j
Ха, Ya (мм) Значения обобщенных координат Vx (см/сек) Vy (см/сек)
qJ(8pad) q2(epad) q3^pad)
1300, 900 20 99 -132 65 45
40 55 -136 75 60
60 7.5 -123 75 65
80 -28 -102 80 80
100 -62 -73 95 85
120 -101 -31 60 80
Надпись значений параметров таблицы, задающей конфигурацию с максимальными возможными значениями скорости Vmaxx, выделена жирным шрифтом. По аналогичной методике указанные таблицы вычислены для всех двадцати пяти точек Aj области Q. В таблице 2 представлены значения
max
максимальной скорости Vx для различных точек Aj заданных координатами ХА и Ya. По результатам расчетов построены графики функций Vxmax =fJ(XA, Ya), Vymax =f2(XA, Ya) представленные на рис. 3аб.
Таблица 2
Максимальные значение компоненты скорости Vxmax (мм/сек) для различных точек Aj рабочего пространства
XA (мм) Ya(mm)
900 700 500 300 100
1300 95 90 85 85 145
1500 90 90 90 85 90
1700 90 95 95 95 90
1900 90 90 90 95 100
2100 105 105 115 100 105
а
б
Рис. 3 Графики-функции: а - Vx =fj (XA, YA); б - Vy=f2 (XA, YA)
На основе полученных данных для каждой точки А/ (см. табл. 1) получены три таблицы, аналогично таблице 2, где вместо значений ¥хтах и у™ах заданы соответственно значения первой, второй и третьей обобщенных координат для первой, второй и третьей таблиц. Указанные значения обобщенных координат соответствуют конфигурациям, при которых
тах тах
компоненты Ух и Уу принимают максимальные значения Ух и Уу .
а
б
700
УА(мм)
Рис. 4 Графики-функции изменения обобщенных координат обеспечивающих максимальную скорость Ух по направлению оси х0
а - д, =/ (ХА, Та); б - д2 =/ (Ха, У а), в - Яэ =/ Ха, У а)
На основе указанных таблиц на рисунке 4абв построены графики отражающие зависимости:
в
qi =fs (Ха, Га), q2 =f (XA, Га), qs f (Ха, Га).
(3)
По графикам представленным на рис. 4 для каждой точке А[ (ХА, У а) области О рабочего пространства определим единственную конфигурацию и значения д1, д2 и д3, обеспечивающие максимально возможную скорость центра ВЗ совпадающего с точкой А{ (ХА, УА). Использование функций (2) позволяет осуществлять синтез движений с обеспечением максимальных скоростей центра выходного звена по вертикальным или горизонтальным направлениям. Для вычисления значений д1, д2 и д3 могут быть использованы полиномы Лагранжа.
1. Кобринский, А. А., Кобринский А.Е. Манипуляционные системы роботов. - М.: Наука. 1985. - 343 с.
2. Чакаров, С. Уменьшение динамических нагрузок в механизмах промышленных роботов выбором рационального закона изменения скорости // Машиноведение. 1987. - № 1. - С. 56-61.
3. Притыкин, Ф. Н. Виртуальное моделирование движений роботов, имеющих различную структуру кинематических цепей: монография; ОмГТУ - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2014. - 172 с.: ил.
4. Denavit, J. Cinematic notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices / J. Denavit, R. S. Hartenberg // J. Appl. Mech. - 1955. - Vol. 77. - Р. 215-221.
5. Wihtney, D. E. The mathematics of coordinated control of prosthetic Arms and Manipulators // Tpons. ASME, Ser G, J Dymamic, Just, Meas and Control. - 1972. - Vol. 94, № 4. - Р.19-27.
Литература
6. Корендясев, А. И., Саламандра Б. Л., Тывес Л. И. Манипуляционные системы роботов. - М.: Машиностроение, 1989. - 472 с.
7. Притыкин, Ф. Н., Чукавов Е. А. Анализ показателей маневренности механизмов манипуляторов, имеющих различную структуру кинематических цепей // Мехатроника, автоматизация, управление, 2013. - № 1. - С. 35-39.
8. Притыкин, Ф. Н., Осадчий А.Ю. Способ кодирования информации при задании геометрических моделей исполнительных механизмов роботов // Инженерный вестник Дона, 2014, № 2. URL: indon.ru/ magazine//archive/n2y2014/2363/.
9. Притыкин, Ф. Н., Осадчий А.Ю. Исследование областей, задающих множества разрешенных конфигураций при нахождении механизма мобильного манипулятора в близости от запретных зон // Инженерный вестник Дона, 2015, № 2., Часть 2, URL: indon.ru/magazine//archive/n2y2015/3007/.
10. Зенкевич, С. Л., Ющенко А.С. Управление роботами. Основы управления манипуляционными робототехническими системами. - М: МВТУ, 2000. - 400 с.
References
1. Kobrinskiy A. A., Kobrinskiy A. E. Manipulyatsionnye sistemy robotov [Manipulation of robots]. M.: Nauka. 1985. 343 p.
2. Chakarov, S. Mashinovedenie. 1987. № 1. pp. 56-61.
3. Pritykin, F. N. Virtual'noe modelirovanie dvizheniy robotov, imeyushchikh razlichnuyu strukturu kinematicheskikh tsepey: monografiya [Virtual modeling movements of robots with different structures kinematic chains]. Omsk: Izd-vo OmGTU, 2014. 172 p. : il.
4. Denavit, J. J. Appl. Mech. 1955. Vol. 77. pp. 215-221.
5. Wihtney, D. E. Tpons. ASME, Ser G, J Dymamic, Just, Meas and Control. 1972. Vol. 94, № 4. pp.19-27.
6. Korendyasev A. I., Salamandra B. L., Tyves L. I. Manipulyatsionnye sistemy robotov [Manipulation of robots]. M. : Mashinostroenie, 1989. 472 p.
7. Pritykin, F. N., Chukavov E. A. Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie. 2013. № 1. pp. 35-39.
8. Pritykin, F. N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, № 2. URL: indon.ru/ magazine//archive/n2y2014/2363/.
9. Pritykin, F. N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, № 2. Chast' 2, URL: indon.ru/magazine//archive/n2y2015/3007/.
10. Zenkevich S. L., Yushchenko A.S. Upravlenie robotami. Osnovy upravleniya manipulyatsionnymi robototekhnicheskimi sistemami [Robot control. Fundamentals of management manipulation robotic systems]. M: MVTU, 2000. 400 p.
