ОБОБЩЕННЫЕ СИММЕТРИЧНЫЕ F-ПРОСТРАНСТВА ОРЛИЧА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 519.55/56

MSC2010: 46E30, 46E35,46D10

ОБОБЩЕННЫЕ СИММЕТРИЧНЫЕ F-ПРОСТРАНСТВА ОРЛИЧА © Э. А. Бербат, М. А. Муратов, Ю. С. Пашкова

Крымский ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Generalized symmetric Orlioz F-spaces.

Berbat E. A., Muratov M. A., Pashkova Yu. S.

Abstract. The paper is devoted to the consideration of a class of examples of symmetric F-spaces of measurable functions on spaces with finite or infinite ст-finite non-atomic measure.

We do not assume separability conditions for the measure. Moreover, we use the correspondence between symmetric spaces on general spaces with a measure and their «standard» copies on a semiaxis or segment.

Every symmetric F-space is a linear metric space. The definition of linear metric spaces was first given by Frechet in 1926. Later, Stefan Banach and his students proved the basic facts of the theory of linear metric and Banach spaces.

At the beginning, normalized and locally convex spaces were studied.

The development of the theory of integral operators and the theory of random processes aroused interest in the theory of non-locally convex spaces. The theory of non-locally convex spaces has been intensively developed. New applications have been obtained in probability theory, integral operator theory, and analytic function theory.

Recently, many papers have appeared on quasi-normalized spaces, non-interpolation spaces, and spaces that do not have the property of local convexity. A general view of such spaces led to the study of F-spaces of measurable functions on spaces with finite and infinite measure. In the works of E. M. Semenov, connected with the theory of interpolation of linear operators in spaces of measurable functions, symmetric Banach spaces were investigated, which in the foreign literature were called rearrangement invariant spaces. The theory of symmetric spaces has been intensively developing over the last century, contains many interesting and profound results and has important applications in various fields of function theory and functional analysis, in particular in ergodic theory, harmonic analysis and mathematical physics. Therefore, it is natural to study symmetric F-spaces of measurable functions.

In this paper, as well as for symmetric Banach spaces, for symmetric F-spaces, the concept of equimeasurablity is introduced. It is proved that each class of equimeasurable symmetric F-spaces contains a standard symmetric space, while all equimeasurable standard symmetric spaces coincide.

Classical examples of symmetric Banach spaces of measurable functions are the Banach Orlicz spaces. The Orlicz spaces are described in detail in the paper M. A. Krasnoselskii and Ya. B. Rutitzkii «Convex functions and Orlicz spaces» (1961). When constructing the Orlicz space, the so-called N-function, which is convex, plays an essential role. The paper considers a class of examples of F-spaces called generalized Orlicz spaces, which are constructed by functions that are not generally convex, but have only the monotonicity property.

Keywords: symmetric F-space, measurable function, Orlicz space, a-finite measure, F-norm

Введение

Работа посвящена рассмотрению симметричных F-пространств измеримых функций на пространствах с конечной или бесконечной ^-конечной не атомической мерой и построению класса примеров таких пространств.

Никаких условий сепарабельности меры не предполагается. Более того, мы используем соответствие между симметричными пространствами на общих пространствах с мерой и их «стандартными» копиями на полупрямой или отрезке.

Каждое симметричное F-пространство является линейным метрическим пространством. Определение линейных метрических пространств впервые было дано Фреше в 1926 г. [1]. Позднее Стефаном Банахом и его учениками были доказаны основные факты теории линейных метрических и банаховых пространств [2]. Соответствующие ссылки можно найти также, например, в работах [3] и [4].

Первоначально, главным образом, исследовались нормированные и локально выпуклые пространства. Новые приложения были получены в теории вероятностей, теории интегральных операторов и теории аналитических функциях.

В последнее время появилось много работ, посвященных квазинормированным пространствам, не интерполяционным пространствам и пространствам, которые не обладают свойством локальной выпуклости [5, 6]. Общий взгляд на такого рода пространства привел к исследованию F-пространств измеримых функций на пространствах с конечной и бесконечной мерой [7]. В работах Е. М. Семенова, связанных с теорией интерполяции линейных операторов в пространствах измеримых функций, были исследованы симметричные банаховы пространства, которые в иностранной литературе получили название перестановочно инвариантных пространств [8]-[10]. Теория симметричных пространств последнее столетие интенсивно развивается, содержит множество интересных и глубоких результатов и имеет важные приложения в различных областях теории функций и функционального анализа, в частности в эргодической теории, гармоническом анализе и математической физике [11]—[13].

Поэтому естественным является изучение симметричных F-пространств измеримых функций.

В работе, так же как для симметричных банаховых пространств, для симметричных F-пространств введено понятие равноизмеримости. Доказано, что каждый класс равноизмеримых симметричных F-пространств содержит стандартное симметричное пространство, в то время как все равноизмеримые стандартные симметричные пространства совпадают.

Классическими примерами симметричных банаховых пространств измеримых функций являются банаховы пространства Орлича. Впервые они появились в работах Орлича [14, 15]. Пространства Орлича подробно описаны в [16]—[20]. При построении пространства Орлича существенную роль играет так называемая N-функция, которая является выпуклой.

В работе рассматривается класс примеров F-пространств, называемых обобщенными пространствами Орлича, которые строятся по функциям, не являющимся в общем случае выпуклыми, а обладающим только свойством монотонности.

1. СИММЕТРИЧНЫЕ F-ПРОСТРАНСТВА

Пусть X — линейное пространство над полем комплексных чисел K = C или полем действительных чисел K = R.

Определение 1. Неотрицательная функция

X э x ^ ||x|| е R+ = [0, то)

называется F-нормой, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) ||x|| =0 тогда и только тогда, когда x = 0;

2) ||ax|| = ||x|| для любого x е X и любого a е K такого, что |a| = 1;

3) ||x + y|| < ||x|| + ||y|| для любых x, y е X;

4) lim ||anx|| = 0 для любого x е X и {an} С K такой, что lim |an| = 0;

n—^^o n—^^o

5) lim ||axn|| = 0 для любого a е K и {xn} С X такой, что lim ||xn|| = 0;

n—ro n—ro

6) lim ||anxn|| ^ 0 для {an} С K и {xn} С X таких, что lim |an| = 0 и

n—ro n—ro

lim ||xn|| = 0.

n—ro

Линейное пространство X с F-нормой || ■ || называется F-пространством, если оно полно относительно метрики 5(x,y) = ||x — y||.

Пусть (fi, F, — пространство с конечной или бесконечной ^-конечной не атомической мерой F— пространство всех вещественных измеримых функций на Q, эквивалентных по mod

Соответствующее пространству ^, стандартное пространство с мерой (I, Вт,т) определяется как I = [0, то), если = то, и I = [0,а], если

= а < то, где т — обычная мера Лебега на I, и Вт — т-пополнение боре-левской ст-алгебры В = В(/) относительно меры т.

Для каждой функции / € ^, функция распределения п/,м модуля |/1 определяется следующим образом:

П/Ах) := ^ {|/1 > х} х > 0,

где

{|/1 >х} := € П: |/М| >х}.

Функция п/,^ — убывающая непрерывная справа функция на [0, +то), такая, что П/,м(х) € [0,МЭД для всех 0 < х < то.

В случае = то возможно, что п/,Дх) = то для некоторых и даже для всех

х € [0, то).

Обозначим через ^пространство всех функций / € ^таких,

что п/,^(х) < то для некоторого х > 0.

Для каждой функции / € Ь0(^, существует единственная функция

на [0, то), которая является убывающей, непрерывной справа и п/ м,т = П/,м, м,т = Функция называется убывающей перестановкой функции /.

Определение 2. Нетривиальное ^-пространство (Е, ||-||е) = (Е(^, ^,м)) измеримых функций на пространстве с мерой ^, называется симметричным, если Е С Ь0 и выполнены следующие два условия:

1. Если / € Ьо , д € Е и |/1 < |д|, то / € Е и ||/||е < ||^Пе-

2. Если / € Ьо , д € Е и п/,м = Пу,м, то / € Е и ||/||е = ||д||е.

Пространство Ь0 = Ь0(^, ^с обычными линейными операциями и порядком на функциях является К-пространством, т. е. условно полной векторной подрешет-кой решетки ^С другой стороны, существует естественная метрика на Ь0(^, ^такая, что (Ь0, ) — полное линейное метрическое пространство. Метрика , в свою очередь, индуцирована нормой

И/ 1к = / 1+Ых) (1+ х)2 Йт<х' ,/ € ^ ^ ^ ,

I

т. е.

¿и (/,д) = ||/ - д|к.

Теорема 1. Верны следующие утверждения:

1. (Ь0, || ■ ||ь0) является симметричным ^-пространством.

2. Топология, индуцированная метрикой оп Ь0, совпадает с топологией сходимости по мере на &, и, в свою очередь, с порядковой топологией К -пространства Ь0 = &

3. Пространство (Ь0, || ■ 11) не является нормируемым и даже квазинормиру-емым. Более того, соответствующая топология не является локально выпуклой и локально ограниченной.

Определение 3. Симметричное ^-пространство Е(^, называется стандарт-

ным, если соответствующее пространство с мерой стандартно.

Для симметричного ^-пространства Е = Е(^, рассмотрим множество

Н(Е) := {/ € Ьо(/, Вт,ш): / € Е(П,

Функция || ■ ||е: Е ^ [0, то) индуцирует отображение

|| ■ ||е(е): Н(Е) ^ [0, то)

на множестве Н(Е), где ||д||-(Е) = ||/||е, если д = е Ь0(/, Вт, т) для некоторой функции / е Е(^,

Определение 4. Два симметричных ^-пространства Ех = Ех(^х, , и Е2 = Е2(^2, , ^2) называется равноизмеримыми, если

Н(Ех) = ЭД). Если помимо условия равноизмеримости

II ■ ||=(е1) = || ■ ||е(е2) ,

то пространства Ех = Ех(^х, и Е2 = Е2(^2, ,^2) называются строго рав-

ноизмеримыми.

Следующие две теоремы показывают, что каждый класс равноизмеримых симметричных ^-пространств содержит стандартное симметричное ^-пространство, в то время как все равноизмеримые стандартные симметричные ^-пространства совпадают.

Теорема 2. Пусть Е(1, Вт,т) стандартное симметричное ^-пространство и произвольное измеримое пространство с (конечной или бесконечной а-конечной неатомической) мерой и пусть

Е(П, &:= {/ € Ьо(П, / € Е(1, Вт,т)}

и

II/= ||f/je(/,Bm,m), / е E(fi

Тогда пространство (E(fi, || ■ ||E(n,FM,^)) является симметричным F-прост-

ранством на (fi, При этом симметричные F-пространства E(1, Bm,m) и

E(fi, строго равноизмеримы.

Теорема 3. Пусть E(fi, симметричное F-пространство на пространстве с

мерой (fi, и пусть

E(1, Bm, m) := {g е L0(1, Bm,m) : = для некоторой функции / е E(fi, и

||g||e(l,Bm,m) = ||f ||е(^млЬ если fa,m = f и / е E(fi

Тогда пространство (E(1, Bm, m), || ■ ||E(i,,Bm,m)), является стандартным F-симметричным пространством. При этом симметричные F-пространства E(fi, и E(1, Bm, m) строго равноизмеримы.

2. Обобщенные пространства Орлича

Пусть N(u) — непрерывная неотрицательная неубывающая функция действительного переменного, определенная для u > 0 и такая, что

N(u) = 0 ^ u = 0.

Определим на L0(^, Е, функцию

PN (/) = | N (|/И|)^. я

В следующих теоремах доказываются основные свойства функции pN (/).

Предложение 1. Функция pN (/) удовлетворяет следующим свойствам:

1) pN (/) = 0 тогда и только тогда, когда / = 0;

2) Pn(a/) = Pn(/) при |а| = 1;

3) Pn (а/ + bg) < Pn (/) + Pn (g) при a, b > 0, a + b =1;

4) Pn (an/) ^ 0, если an ^ 0 и pn (/) <

Доказательство. 1. Так как

N(u) = 0 ^ u = 0,

то

N (/И) = 0 ^ / И = 0.

Поэтому

т. е., когда

Рм (/) = 0 ^ / = 0, М{и : /(и) = 0}) = 0.

2. Пусть |а| = 1. Тогда

Рм(а/) = у N(|а/(и)|)^ = у N(|/(и)|)^ = рм(/). а а

3. Пусть а, Ь > 0, а + Ь = 1. Рассмотрим два множества:

= {и : |/(и)| > |д(и)|}, ^2 = {и : |/(и)| < |д(и)|}.

Ясно, что П1 ]?2 = 0 и П1 и =

Функция N (и) неубывающая. Следовательно,

рм (а/ + Ьд) = J N (|а/(и) + Ьд(и)|)^ < а

<

N(|а/(и) + Ьд(и)|) < N(|а/(и)| + |Ьд(и)|)

<

< у N(а|/(и)| + Ь|д(и)|)^ = ) N(а|/(и)| + Ь|д(и)|)^ =

а а1иа2

= У N(а|/(и)| + Ь|дИ№ + /N(а|/(и)| + Ь|д(и)|)^ = Д + /2.

а1 а2

Для и € 01 выполнено неравенство |/ (и)| > |д(и)|. Поэтому

/1 = / N (а|/(и)| + Ь|д(и)№ < ! N (а|/(и)| + Ь|/(и)№ = / N ((а + Ь)|/(и)|)^ =

а1

а1

а1

= у N(|/(и)|)^.

а1

Аналогично для и € выполнено неравенство |/(и)| < |д(и)|. Поэтому

/2 = 1N (а | / (и)| + Ь|д(и)|)^ ^ N (а|д(и)| + Ь|д(и)|)^ = | N ((а + Ь)|д(си)№ =

а2 а2 а2

= | N (|д(и)|)ф.

а2

Наконец

Р^(а/< /1+/2 <1N(|/И|)^+УN(|зИ№ <1N(|/М|)^р+УN(|зИ№

«2 « «

= Р^ (/) + Р^

4. Пусть {ап} — числовая последовательность, стремящаяся к 0. Без ограничения общности считаем, что |ап| < 1,п € N. Тогда почти всюду

Нш ап/(ш) = 0.

п—^^о

В силу непрерывности функция N (и) имеем:

Иш N(|ап/И|) = 0. Так как функция N (и) неубывающая, то

N(К*(*)|) < N(|/(ш)|). Потому, по теореме Лебега,

Р^(ап/) = J N(|ап/^ 0 «

при п ^ то.

□

Говорят, что функция N (и) удовлетворяет (Л2)-условию, если существует положительная константа к такая, что выполняется

(Л2) : N(2и) < kN(и). Приведем еще несколько свойств функции р^ (/). Предложение 2. 1. Если 0 < а < 1, то для любого / € Е, р)

Р^(ах) < Р(/).

2. Функция р^(а/) является неубывающей функцией аргумента а € [0, то).

3. Если функция N (и) удовлетворяет (Л2)-условию, то следующие условия эквивалентны

• Р^(а/п) ^ 0 при р^(/п) ^ 0;

• Р^ (/п) ^ 0 ^ Р^ (2/п) ^ 0.

Доказательство. 1. Так как при а, Ь > 0, а + Ь =1

Р^ (а/ + Ьд) < Р^ (/) + Р^ Ы,

то, полагая д = 0, получим:

Рм(а/) < Рм(/)

для любого а € [0,1].

2. Пусть 0 < а1 < а2, а2 = 0. Тогда

Рм(а1 /) = Рм ^а1 а2^ < Рм(а2/),

а1

так как 0 < — < 1.

а2

3. Импликация (рм(а/п) ^ 0 при Рм (/п) ^ 0) ^ (рм (/) ^ 0 ^ Рм (2/п) ^ 0) очевидна.

Пусть теперь выполнено условие Рм(/п) ^ 0 ^^ Рм(2/п) ^ 0 и {/п} — последовательность элементов из Ь0(^, Е, такая, что Рм(/п) ^ 0. Нам нужно доказать, что тогда Рм (а/п) ^ 0 для любого скаляра а. Ясно, что достаточно рассмотреть случай а > 0. Для некоторого натурального числа т будет выполнено неравенство

0 < а < 2т.

По условию (Л2):

Рм (2/п) < кРм (/п), Рм (22/п) < к2Рм (/п),.

Рм(2т/п) < ктРм(/п). В силу монотонности функции Рм (а/) по а имеем:

Рм (а/п) < Рм (2т/п) < ктРм (/п) ^ 0,

Следовательно,

Рм (а/п) ^ 0.

□

Замечание 1. Пользуясь терминологией работ [20, 21], можно утверждать, что функция Рм(/) является метризуемой модулярой на Ь0(^, Е,

В дальнейшем мы будем предполагать, что функция N (и) удовлетворяет (Л2 )-условию.

Определение 5. Пусть Ьм = Ьм(^, Е— множество всех таких функций / € , Е, что существует положительное число к > 0, при котором выпол-

няется неравенство

Рм (к/) < +то>,

и

||ж||м = 5 > 0: Рм ^0 < е} .

Пространство (Ьм, || ■ ||м) называется обобщенным пространством Орлича.

Замечание. Если функция N (и) — выпуклая, то пространство (Ь м, || ■ ||м) совпадает с классическим пространством Орлича (Ьм, || ■ ||м).

Теорема 4. Пусть Ьм = Ьм(^, Е, — множество всех / € Ь0(^, Е, таких, что существует положительное число к > 0, при котором выполняется неравенство

Рм (к/) <

и

||х||м = 5 > 0: Рм ^0 < е} . Тогда (Ьм, || ■ ||м) — симметричное ^-пространство.

Доказательство. I. Докажем сначала, что Ьм = Ьм (^, Е, — линейное пространство.

1.1. Пусть / € Ьм и пусть £ € К, £ = 0. Из определения Ьм следует, что существует к > 0 такое, что

Рм (к/) < +то>.

Поэтому

кк

' ' ' < +оо.

pn (к/)==|k| /

к

Полагая к1 = — > 0 получим, что

Рм (М/) <

т. е., £/ € Ьм.

1.2. Пусть теперь /, д € Ьм. Из определения Ьм следует, что существуют к1 > 0 и к2 > 0 такие, что:

Рм (к/) < Рм (к2д) <

Пусть к = ш1п(к1, к2). Тогда Р^2(/ + = Р^2к/ + 2< Р^(к/) + Р^(кр) < Р^(к1/) + Р^(к2д) < +то.

Значит, / + д € Ь^.

Таким образом, множество ЬN — линейное пространство.

II. Покажем, что

есть ^-норма на ЬN. 11.1. Так как

то

N = Ы | е > 0 : Р^ 0 < е | .

/ = 0 ^ РN (/) = 0,

/=0

N

= 0.

11.2. Пусть |а| = 1. Тогда для любого / € ЬN получим:

||а/NN = ^ {е > 0 : Р^/ < е | = е > 0 : Р^0 < е} =

N.

11.3. Пусть /, д € ЬN. Из определения ||/1|N следует, что для любого сколь угодно малого 5 > 0 существует такое е > 0, что

Р^ Т ' < е

и

Н/Ь < е < + 5. Аналогично, из определения ||д|| для этого же 5 > 0 существует такое п > 0, что

РЧ п) <п

и

1Ык < П < 1Ык + 5.

Тогда

(/ + д ^ ( е / + п д \ . / / \ + / д \ . +

Р^ ( :— = Р^ ( :--+ —--< Р.м I — + Р^ ^ < е + П.

\е + п/ \е + пе е + пп/ \е/ \П/

Следовательно,

II/ + д|к < е + п <||/NN + ||д|к + 25. В силу произвольности 5, получаем, что

II/ + д|к < ||/NN + ||д|к.

П.4. Покажем, что

||/п NN ^ 0 ^ РN (/п) ^ 0.

Пусть рN(/п) ^ 0 и е > 0 — произвольное число. Тогда получаем, что

п

Р^ ^—^ ^ 0 при п ^ то.

Следовательно, для этого е > 0 существует такое К, что для любого п > К

^ (ф) < е.

Значит

||/п|к < е. В силу произвольности е получим, что

||/п|к ^ 0.

С другой стороны, пусть ||/п ||N < 1 и пусть а — произвольное число такое, что ||/п|и < а < 1. Тогда

РN (/п) < Р^^ < а.

Это показывает, что

РN(/п) < Н/п^.

Следовательно, если Н/Л^- ^ 0, то рN(/п) ^ 0. Таким образом,

||/п NN ^ 0 ^^ РN (/п) ^ 0.

Нетрудно видеть, что из этого предельного соотношения следуют свойства 4)-6) нормы (см. определение 1).

III. Докажем полноту пространства (ЬN, || ■ ||N).

Пусть {/п} — последовательность Коши в ЬN. Последовательность {/п} является последовательностью Коши относительно сходимости по мере. Это означает, что для

каждого а > 0 выполняется

lim ^({w : |/n(w) - /m(w)j > а}) = 0.

n.m-ioo

Следовательно, по теореме Риса, последовательность {/п} содержит подпоследовательность {/Пк}, сходящуюся почти всюду к измеримой функции / € , Е,

Пусть е — произвольное положительное число. Т. к. последовательность {/п} — последовательность Коши, то существует положительное целое число К такое, что при п, т > К выполняется неравенство:

Рм(/п - /т) = J N(|/п(^) - < е.

я

Полагая т = пк и переходя к пределу при к ^ то, по лемме Фату, получим

Рм (/п - /) < е.

Это означает, что

(/п - /) € £ N.

Т. к. ЬN — линейное, то / € ЬN. В силу произвольности е получим, что

11/п - /1к ^ 0.

IV. Докажем, что (ЬN, || ■ ||N) — симметричное ^-пространство.

1У.1. Пусть / € ЬN. Из определения ЬN следует, что существует к > 0 такое,

что

РN (к/) < +то. Пусть д € , Е, такая, что |д| < |/1. Тогда

РN(кд) = J N(к|дИ№ = / N(к|/М|)^ = pN(к/) < то.

Следовательно, д € Ь. Кроме того,

Нд^ = е > 0 : pN < е} < ^ |е > 0 : р^0 < е} 1У.2. Для любой функции / € Е, имеем:

PN(f) = J N(|f(w)|)dp = J П-No|f= J П|/idN> ß 0 0

где J П|/— несобственный интеграл Римана-Стилтьеса от убывающей функции о

П|/1 по возрастающей функции N.

Поэтому, если f G LN и g G L0(ß, E, разноизмеримая с f, то

cx> cx>

Pn(f ) = J nif |dN = J n|g|dN = PN (g). о 0

Отсюда g G L n и

llf IIn = ||g|N.

Следовательно, (LN, || ■ ||N) — симметричное F-пространство. □

Заключение

В работе рассматриваются симметричные F-пространства измеримых функций на пространствах с конечной или бесконечной ^-конечной не атомической мерой, которые являются линейными метрическими пространствами. Строится класс примеров таких пространств, называемых обобщенными F-пространствами Орлича, по монотонным и одновременно не выпуклым функциям.

Как и для симметричных банаховых пространств, для симметричных F-пространств вводится понятие равноизмеримости. Доказано, что каждый класс рав-ноизмеримых симметричных F-пространств содержит стандартное симметричное пространство, в то время как все равноизмеримые стандартные симметричные пространства совпадают.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. FRECHET, M. (1926) Les espaces abstrait topologiquement affine. Acta Math. №47. p. 25-52.

2. BANACH, S. (1932) Theorie des operations lineairess. Warszawa: Monografie Matematyczne I.

3. DAY, M. (1958) Normed Linear Spaces. Berlin: Springer-Verlag.

4. DUBFORD, N. and SCHWARTZ, J (1958) Linear Operators. Part 1. New-York: Interscience.

5. KALTON, N. (2003) Quasi-Banach spaces. In Handbook of the Geomety of Banach spaces, Elsevier. (Ch. 25). p. 1099-1106.

6. KALTON, N., PECK, N. and ROBERTS, J. (1984) An F-space sampler. London Math. Soc., Lec. Notes Ser., Camb. Univ. Press.

7. ROLEWICZ, S. (1984) Metric linear spaces. Warszawa: PWM.

8. BENNET, C. and SHARPLEY, R. (1988) Interpolation of operators. Boston: Pure Appl. Math. 129.

9. KREIN, S., PETUNIN, Yu., and SEMENOV, E. (1982) Interpolation of liniar operators. Trans. Math. Mon., 54, AMS, Providance.

10. LINDENSTRAUSS, J. and TZAFRIRI, L. (1979) Classical Banach Spaces II. Function Spaces. Springer.

11. MURATOV, M. & RUBSHTEIN, B.-Z. (2018) Main embedding theorems for symmetric spaces of measurable functions. . Proceedings of the 8th International Conference «Topological algebras and their Applications, 2014». Ed. by A. Katz, De Gruyter Proc. Math. p. 175-192.

12. MURATOV, M. & RUBSHTEIN, B.-Z. (2020) Symmetric spaces of measurable functions. Some new and old advances. . Comtemp. Math. Fundamental Directions (66). p. 221-271.

13. RUBSHTEIN B.-Z. et al. (2016) Foundations of Symmetric spaces of measurable functions. Development in Mathematics 45, Springer.

14. ORLICZ, W. (1932) Uber eine gewisse Klasse von Räumen von Typus B. . Bull. Int. Acad. Polon. Sci. (ser. A). p. 207-220.

15. ORLICZ, W. (1936) Uber Raume (LM). . Bull. Int. Acad. Polon. Sci. (ser. A). p. 93-107.

16. KRASNOSELSKII, M. and RUTITZKII, Ya. (1961) Convex functions and Orlicz spaces. Noordhoff.

17. MUSIELAK, J. (1983) Orlicz spaces and modular spaces. Lect. Notes in Math., 1034, Springer-Verlag.

18. MUSIELAK, J. & ORLICZ, W. (1959) On Modular Spaces. . Studia Math. (18). p. 49-65.

19. MUSIELAK, J. & ORLICZ, W. (1959) Some Remarks on Modular Spaces. . Bull. Acad. Pol. Sci. (7). p. 661-668.

20. MUSIELAK, J. (1978) Modular Spaces. Wyd. UAM, Pozna, 6.

21. NAKANO, H. (1950) Modular semiordered linear spaces. Tokio: Maruzen Co. Ltd..