Обобщенные кронекеровские произведения матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.И. Литвин, Л.А. Писаренко ОБОБЩЕННЫЕ КРОНЕКЕРОВСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ

Рассматриваются свойства обобщенных кронекеровских произведений (ОКП) матриц, в сравнении с обычными кронеке-ровскими произведениями матриц. Используя эти свойства, указывается ряд факторизаций матриц ОДП, которые удобны для реализации их в реальном режиме времени и в векторном режиме на вычислительных устройствах типа ОКМД.

Пусть А и В - матрицы размерности т х п и к х г соответственно над коммутативным кольцом

< :

" а11 а12 . . а1п " " Ь11 Ь12 . . Ь1г "

А= 21 а 2 2 а п 2 а ; в = 21 •С 2 2 -С 2 -С

_ат1 ат2 . . атп _ і О 1 Ьк 2 . 1 -с

Определение 1. Кронекеровским произведением матриц А и В называется матрица С размерности тк х пг вида

а11В а12В . . а1пВ

С = А ® В = а21В а22В . . а2пВ

_ат1В ат 2 В . . атпВ

Обозначим строки матрицы В через В1,В2,..,Вк, а

столбцы - В1, В2,..., Вг.

Определение 2. Кронекеровским произведением матриц А и В по строкам называется матрица С вида

А ® В1

С=А®В=

А ® В2

А ® Вк

Определение 3. Кронекеровским произведением матриц А и В по столбцам называется матрица С

вида С = А ® В = [А ® В1А ® В2...А ® Вг ].

В дальнейшем для упрощения выкладок будем рассматривать только квадратные матрицы. Пусть

где

Г, і

т

ї} =

С = А®В = (ск1),

С '= А ® В = (ск ч.),

С " = А ® В = (с'к"1 -).

Из определений 1 - 3 установим явный вид элементов матриц С , С", С" :

ск1 = аггЬ5] ,

где

где

к = (. -1) т + г , І = (і -1) п + у ;

ск'І' = апЬу- ■

к' = (г - 1)п + s , Г = (у - 1)т + і;

ск"І' = апЬ.] ,

где к" = (г -1) п + s, I" = (-1) п + ] .

Теорема 1. Пусть

С = А®В, С = А ® В, С '= А ® В.

Матрица С” приводится к матрице С ( С" ) перестановкой строк (столбцов).

Доказательство. Покажем, что существует перестановка строк матрицы С , которая приводит ее к

матрице С (для матриц С и С доказательство ана-

логично). Заметим сразу, что порядки матриц С и С” равны тп. Сравним явный вид элементов этих матриц. Легко заметить, что произвольный элемент аиЬу матрицы С”, находящийся в этой матрице на

месте (к", Г), в матрице С оказывается на месте

(к, I), где

к” = (г -1) п + 5 , к = (5 - 1)т + г,

I” = (/-1) п + ] , I = (- 1)п ^ ] .

Так как I = I", то номер столбца элементааг^Ь5]- в

матрице С равен номеру столбца этого же элемента в матрице С. Рассмотрим отображение Ф: {1, ..., тп} ^ {1, • • •, тп}, которое ставит в соответствие номеру строки элемента агЬ5]- в матрице С" номер строки этого элемента в матрице С согласно следующей формуле ф: к" ^ к, где к" = (5 -1) п + г , к = (г -1) п + 5 . Непосредственно проверяется, что ф

- инъективное отображение и, следовательно, ф -биекция (так как ф - отображение конечного множества в себя). Это означает, что ф есть искомая перестановка строк матриц С , приводящая к матрице С .

Рассмотрим некоторые свойства обобщенных кро-некеровских произведений матриц:

1. аА®В = А®аВ = а(А®В), (а)

аА ® В = А ® аВ = а (А ® Ь);

2. А®( В + С) = А®В + А®С,

А ® (В + С) = А ® В + А ® С;

3. (А + В)®С = А®С + В®С,

(б)

(а)

(б) (а)

(А + В) ® С = А ® С + В ® С. (б)

Свойства 1 - 3 следуют из определений обобщен-

ных кронекеровских произведений матриц.

4. А®В = В ® А, (а)

А ® В = В®А; (б)

5. A®( B®C) = (A®B)®C,

A ® ( B ® C ) = ( A ® B) ® C;

6. (A®B)T = AT ® BT,

( A ® B)T = AT ®BT.

(а)

(б)

(а)

(б)

Для доказательства свойств кронекеровских произведений матриц введены перестановки P и F следующим образом. Определим

P(m, n) = Em ®En ; F(m, n) = Em ® En, где Em и En - единичные матрицы порядка m и n соответственно. Будем пользоваться в основном перестановками вида P . Пусть матрица A имеет порядок m, а матрица B имеет порядок n . Тогда перестановку P будем обозначать P (N, n), где N = mn . Тогда

каждой перестановке P (N, n) соответствует перестановочная матрица. Ее будем обозначать также (если это не приводит к недоразумению). Например, пусть N = 4 , а n = 2, тогда

P(4,2) = E2 ®E2 =

1 0" 6à “1 0"

0 1 Yy 0 1

1 0 0

0 0 0 1

1

0 0

0 0 0 1

P(4,2)x =

Заметим, что

F(т, п) = PT (т, п);PPT = E; PT = P_1;

P( А ® В) = А®В; (А ® В) PT = А ® В.

Очень важное свойство кронекеровских произведений матриц (А ® В)(С ® В) = АС ® BD для обобщенных кронекеровских произведений матриц не выполняется. Но, тем не менее, следующие свойства для введенных обобщенных кронекеровских произведений матриц выполняются.

Теорема 2. Если матрица А имеет порядок М, матрица В - порядок N, а векторы а и Ь длиною М и N соответственно, то тогда

a) (А ® В)(а ® Ь) = Аа ® ВЬ;

b) (А®В)(а ® Ь) = Аа®ВЬ = ВЬ ® Аа;

c) (А ® В)(а ®Ь) = ВЬ ®Аа = Аа ® ВЬ.

Используя теорему 2 и введенные выше перестановки, можно доказать теорему.

Теорема 3. Пусть Матрицы А и С - матрицы порядка Ь , а матрицы В и В - матрицы порядка М , тогда:

a) (А ® В)(С ® В) = АС ® ВВ;

b) (А®В)(С ® В) = (АС ®ВВ);

c) (А ® В)(С ® В) = АС ® ВАВ;

а) (А ® В)(С®В) = АС ® ВВ.

е) (А®В)(С ® В) = ВВ ® АС.

Доказательство. а) Пусть векторы а и Ь имеют размерности Ь и М соответственно. Тогда

(А ® В)(С ® В)(а ® Ь) = (А ® В)(Са ® ВЬ) =

= АСа ® ВВЬ.

Ввиду произвольного выбора векторов а и Ь утверждение а) доказано.

b) Обозначим N = Ь * М . Тогда

(А®В)(С ® В) = Р(N, М)(А ® В)(С ® В) =

= Р( N, М)(АС ® ВВ) = АС ®ВВ.

c) (А ® В)(С ® В) = (А ® С)( В ® В) Р( N, Ь) =

= (АС ® ВВ) Р( N, Ь) = (АС ® ВВ).

а) (А ® В)(С®В) = (А ® С)Р(N, Ь)Р(N,М)(В ® В). Как будет показано ниже

Р (N, Ь ) Р (N, М ) = Р N ) = Еп

- единичной перестановке. Поэтому (А ® В)(С®В) =

= (А ® С)Р(N, Ь)Р(N,М)(В ® В) = АС ® ВВ.

е) (А®В)(С (§) В) = Р(N, М)(А ® В)(С (§) В) =

= Р( N, М)(АС ® ВВ) = Р( N, М )(ВВ®АС) =

= ВВ ® АС.

Пусть ЕМ и ЕЬ - единичные матрицы порядков М и Ь .

Из вышедоказанных свойств следует Следствие 3.1 (факторизация).

(А ® В) = (Ем ® В)(А ® Еь ) = (А ® Еъ)(Ем ® В); (а)

(А®В) = (Ем ®В)(А ® Еь ) = (А®Еь )(Ем ® В); (Ь)

(А ® В) = (Ем ® В)(А (® Еь ) = (А ® Еь )(Ем ® В). (с)

Докажем некоторые свойства введенных выше перестановок в виде утверждений, которые будут использоваться в дальнейшем. Пусть N = тп , тогда перестановки Р = ( т, п) будем обозначать через

Р (N, п).

Обозначение перестановок в виде Р (N, п),

где N = тп , отчасти удобно, так как показывает сдвиг вправо на п элементов в матрице Р от обычного кронекеровского произведения единичных матриц. Предложение 1. Пусть N = Я8Т . Тогда

Р (N, 8Т) = Р (N, £ )Р (^ Т).

Доказательство. Заметим, что в левой части доказуемого равенства, т. е. в матрице Р, происходит циклический сдвиг вправо на число элементов £Т, а справа в матрицах - сдвиг вправо сначала на £ элементов, а затем на Т элементов, и что при умножении матриц сдвиги матриц увеличиваются в £Т раз. Таким образом,

Р (N, £Т) = Р (N, £ )Р (^ Т).

Из предложения 1 следует, что, например,

Р (8,2 )2 = Р (8,4); Р (8,2 )3 = Р (8,8) = Е8 и т. д. В частности, из утверждения 1 следует, что

Р (М, М )-1 = Р (М, N ).

Предложение 2. Пусть A - матрица порядка M , а B - матрица порядка N, тогда

P (A ® B)P- = B ® A.

Доказательство. Заметим, что перестановка P производит перестановку строк, а обратная ей перестановка производит перестановку столбцов, так как P- = PT . Доказательство утверждения 2 следует из замечания к теореме 1. Пусть в кронекеровском произведении матриц A и B перемножаются элементы aribs]-, тогда ему будет соответствовать элемент ckl, где k = (r -l) n + s, l = (i -l) n + j . В результате перестановок получим новый элемент cki , где k ' = (s - l)m + r, l ’ = (j - l)m + i. При кронекеров-ском перемножении матриц B и A получим ckï » , где k" = (s - l)m + r, l” = (j - l)m + i. Таким образом,

элемент слева равняется элементу справа. Предложение 2 доказано.

Предложение 3.

P(A®B) P- = B®A = A ® B; (а)

P( A ® B) P- = B ® A = A®B. (б)

Доказательство. Доказательство предложения 3(а) следует из предложения 2 и свойства 4. Доказательство предложения 3 (б) аналогично.

Из предложений 2 и 3 следует, что для того, чтобы поменять в кронекеровских произведениях матрицы местами, надо произвести две перестановки (слева и справа). Перестановка P (N, n) меняет местами строки матриц, а перестановка P- (N, n) = P(N, m) справа меняет местами столбцы матриц.

Рассмотрим следствия из предложений 2 и 3. Пусть матрица A имеет порядок R , а матрица B -порядок S. Тогда

Следствие 3.2.

P(Er ® B)P- = B ® Er ;

(A ® B) = (A ® Es )P(N,R)(B ® Er )P~'(N,R);

(A ® B) = P(N,R)(Es ® A)P-1(N,R)(Er ® B).

Следствие 3.3.

P(Er ®B)P- = B®Er = (Er ® B);

( A®B) = ( A®Es ) P( N, R)( B ® Er ) P - ( N, R);

(A®B) = P(N,R)(Es®A)P-1 (N,R)(Er ® B).

Следствие 3.4.

P(Er ® B)P= B ® Er = (Er ®B);

( A ® B) = (A ® Es )P( N, R)(B ® Er ) P-1( N, R);

(A ® B) = P(N,R)(Es ® A)P_1(N,R)(Er ® B).

Теорема 4. Пусть N = N1N2 N3, тогда

P(N,N3) = (P(NiN3,N3)®EN2)(ENi ®P(N2N3,N3)) =

= ( P( N1 N3, N3 )®En2 )( P(N2 N3, N3 )®En1 ) =

= (ENi ® PNlN3 )(Eni <8 P(.N2N3 , N3 )).

Доказательство. Возьмем три вектора а , Ь , с длиною Л1,Ы2,Л3 соответственно. Тогда

Р(N,Л3)(а ® Ь ® с) = с ® а ® Ь

(Р(N N3, N3) ® ЕА2)(® Р(N2N3, Л3))(а ® Ь ® с) = = (Р( N1 N3, N3) ® Ещ)(а ® с ® Ь) = (с ® а ® Ь). Первое выражение доказано. Далее,

(Р( N1 N3, N3 )®Е^)(Р( N2 N3, N3 )®Ещ) =

= Р( N, N2 N3) P(N, N1 N3) = Р( N, N3) =

= (Е^ ® РМіщ)(ENl ® P(.N2N3, N3)).

Теорема доказана.

Замечание. Ранее было доказано, что выражение Еы^ ® Р(N2N3,N3) переставляет векторы Ь и с местами, а вектор а оставляет на месте. Выражение (Р(N1 N3, N3) ® Ещ )(а ® с ® Ь) переставляет векторы

а и с местами.

Пусть N1, N2, N3 - целые положительные числа, N = NЛ2Л3,АЛ означает матрицу порядка N. Тогда справедлива Теорема 5.

Ащ ® AN2 ® АЛ3 = Р(N, Л1)(ЕЩN3 ® AN1) х

хР(N,N2'}(еа1Л3 ® А^РN,® ANз) =

= (ЕА2А3 ®AN1 )(EN1N3 ®AN2 )(ЕЛ1Л2 ® АЛ3 ) =

= (АЛ1 ® Еа2а3 )(АЛ2 ® ЕЛ1Л3 )(АЛ3 ® еа1а2 ). Доказательство.

АЛ1 ® АЛ2 ® АЛ3 = АЛ1 ®(АЛ2 ® АЛ3 ) =

= (АЛ1 ®еа2а3 ).(ЕЛ1 ®(АЛ2 ® АЛ3 )) =

= (АЛ1 ® ЕЛ2Л3 ).(еа1 ® аа2 ® ЕЛ3 )(ел1л2 ® АЛ3 ) =

= Р1 (ЕА2А3 ® АЛ1 )Р1 -Р2 (ЕЛ1Л3 ® АЛ2 )Р2 1 (ЕЛ1Л2 ® АЛ3 ),

где Р = Р(N, Л1), Р2 = Р(N, N Л2).

Известно, что Р-1 = Р (Л, Л2, Л3), Р2-1 = Р (N, Л3). Тогда

АЛ1 ® аа2 ® АЛ3 = Р(Л, Л1 )(еа2а3 ® АЛ1) х

хР(N, N2)(Еа1а3 ® Аа2 )Р(N, N3)(Еа1 ® Ащ3) =

= (еа2а3 ®аа )(еа1а3 ®аа2 )(еа1а2 ® АЛ3 ) =

= (Аа1 Еа2а3 )(аа2 еа1а3 )(аа3 еа1а2 ). Теорема доказана.

Пусть теперь М = Л1 = Л2 = Л3 Тогда Следствие 5.1.

А ® В ® С = Р(ЕМ2 ® А)Р(ЕМ2 ® В)Р(ЕМ2 ® С),

где Р = Р(М3, М).

Теорему 5 можно обобщить.

Пусть Л1, Л2,..., Лт - целые положительные числа. Матрица АЛ^ - матрица порядка Лк . Пусть

N = N1 Л2...Лт, Л(к) = N1 Л2...Лк; N(0) = 1.

Тогда

т

АЛ1 ® АЛ2 ®...® АЛт = П Еа (к-1) ® АЛк ® ЕЛ / N (к ). {*} к=1

Но выражение {*} можно представить как в теореме 5: Еп(к_!) ® ANk ® En/N(к) = Рк (En/Nk ® ANk)Рк ', где Рк = Р( N, N (к)). Доказана

Теорема 6. Если Рк = Р( N, N (к)), то

m

AN1 ® An2 ® ... ® ANm =П Р(^ Nk )(EN / Nk ® ANk ) =

к=1

m __ m

= П (EN / N ®AN;; ) = П (^к ® EN / Nk ). к=1 к=1

Рассмотрим свойства применяемых перестановок в рамках теории групп.

Покажем, что множество G = {Р (N, S), где S -

делитель N, является группой. Множество G изоморфно множеству моноидных матриц порядка N, которые смещены от единичных матриц того же порядка на величину п вправо. Такого вида матрицы называются перестановочными матрицами с п -ичным сдвигом. Это множество образует группу, так как элементы его ортогональны и их определители равны ±1. Ввиду ортогональности перестановочных матриц РРТ = Е. Отсюда Р_ = Рт. Замкнутость умножения перестановок вытекает из предложения 1; из этого же предложения вытекает коммутативность их умножения. Таким образом, рассматриваемое выше множество G является абелевой группой.

Теорема 7. Пусть N = 2м , тогда множество {Р(2м ,2m )|0 < m < M} является циклической группой с образующей Р(2м ,2). В частности,

Р(2м ,2m )Р(2м ,2к) = Р(2м ,2m+k), где (m + к) -

сравнение по mod M .

Теорема 8. Если p - простое число, то множество

{Р(pM, pS |S/ N)} есть циклическая группа порядка

M с образующей Р(pM, p).

Подойдем к этому вопросу с другой стороны .

Пусть Z - кольцо целых чисел с условием деления. Если а и b - целые числа, b Ф 0, то а = bq + r , 0 < r < b, где q и r - единственно определенные целые числа. Число q называется частным от деления а на b , r - остатком. Величина r = а _ bq ; если r = 0 , то а = bq и целое число b называется делителем числа а и записывается в виде b / а . Число p > 1 называется простым, если делитель у него ±1, ± p . Пусть а и b - целые числа. Число с называется общим делителем, если с / а и с / b . Если с = ±1, то числа а и b называют взаимно простыми. Наибольший общий делитель чисел а и b будем обозначать через (а, b). Если b = p и (а, p) = 1, то числа а и p - взаимно простые; если (а, p) = p , то p / а . Рассмотрим множество (n) = nZ = {пк, к е Z} . Множество nZ есть идеал в кольце Z . Оно замкнуто относительно операций сложения и умножения:

a) пк + п1 = п (к +1);

b) т (пк) = (тп)к = п (тк) .

Лемма 1. Всякий идеал в 2 имеет вид п2 для всех п > 0.

Лемма 2. Пусть а и Ь - целые числа, не равные нулю, тогда (а,Ь) = ах0 + Ьу0, для некоторых целых чисел х0, у0.

Лемма 3. Если а / Ьс и (а, Ь) = 1, то а / с . В частности, если р - простое и р / Ьс , то р / Ь или р / с .

Теорема 9. Если п > 1, то целое число п можно единственным образом представить в виде

п = Р^1 Ра2...Раг, где Р1, р2,..., рг - различные целые числа, а а1,а2,...,аг ф 0 - целые.

Следствие 9.1. Если а / с , Ь / с и (а, Ь) = 1, тогда

аЬ / с .

Рассмотрим некоторые приложения введенных выше обобщенных кронекеровских произведений матриц. В настоящее время ортогональные дискретные преобразования применяются при обработке случайных сигналов, распознавании образов, в телевидении и т.д. Ввиду того, что, например, преобразования Уолша принимают всего два значения (+1,-1), они

очень удобны для цифровой обработки информации. Эффективность преобразований Уолша и ряда других ОДП заключается в том, что матрицы этих преобразований допускают факторизацию в виде произведения разреженных матриц. С другой стороны, факторизация матриц ОДП возможна тогда и только тогда, когда она представима в виде кронеровских произведений матриц. В следующей простой теореме покажем, что обобщенные кронекеровские произведения матриц не выходят из класса обычных кронекеровских произведений матриц.

Теорема 10. Пусть Н (N) и Н (^) есть Н-мат-рицы порядков Н (Щ)®Н (N2) ] порядка N N2.

Пусть N = 2 "1 1

N1 и N2 соответственно. Тогда [ H (Nj) ® H (N2) есть H-матрицы

где

n -

H (2) =

1 -1

натуральное число. - стандартная матрица Уолша - Пэли

второго порядка.

Известен рекуррентный алгоритм построения матриц Уолша - Адамара порядка N :

Нк (2п) = ®(п-1) Н (2) = Н (2) ® Н (2) ®... ® Н (2)

- (п -1) раз, где ®(п-1) - (п -1) -мерная кронекеров-

ская степень.

Используя теоремы 1 и 10, можно получить аналогичный алгоритм построения матриц Уолша - Пэли: Нр (4) = Н (2)®Н (2) = Н (2) ® Н (2);

Н „ (8) = Нр (4)®Н (2) = Нр (4) ® Н (2);

Hp (2n) = Hp (2n-1 )®H (2) = Hp (2n-1) (§) H (2).

Следствие 10.1.

Нр (2п) = Нр (2п-1 )®Н (2) = Нр (2п-1) ® Н (2) =

= ®(п-1) Н (2) = ®(п_1) Н (2),

где ®(п :), ®(п-1) - (п -1)-степени обобщенных

кронекеровских произведений матриц.

Используя обобщенные кронекеровские произведения матриц и их основные свойства, можно получать представления матриц ОДП (например, матриц Уолша) в виде произведения разреженных матриц. Матрицу Уолша - Адамара можно представить в виде

Нк (N) = [Е2(„_,) ®Н(2)]п = [Е2(„-,) ® Н(2)]п ,

где [ ]п - обычное произведение п -одинаковых матриц, Ек - единичная матрица порядка к . Матрицу Уолша - Пэли можно представить в виде

Нр (N) = П п=1 Е2( у-1) ® (Е2( п - у) ®Н (2)) =

= Пп=1 Е2(п-у) ® (Е2(у-1) с® Н(2)).

Рассмотренные способы факторизации матриц Уолша являются удобными для их реализации в режиме реального времени, так как для начала вычислений достаточно иметь на входе только два первых отсчета. Они являются также удобными для реализации их в векторном режиме для вычислительных устройств типа ОКМД.

ЛИТЕРАТУРА

1. Tolimieri R., An M., Iu C. Algorithisfor Discrete Fourier Transform and Convolution. N.Y.: Springer-Verlag. New York Ins., 1989. 350 p.

2. Быков В.И., Литвин А.И., Кожуховский А.Д. и др. Обобщенные кронекеровские произведения матриц и их применения // Электронное моделирование. 1991. Т.13. № 5. С. 14-19.

3. Литвин А.И. Структура ортогональных дискретных пребразований Уолша - Пэли //Автометрия. 1990. №3. С. 106-109.

4. Литвин А.И. Кронекеровские произведения матриц и их применения // Электронное моделирование . 1994. Т.16. №2. С. 91-93.

Статья представлена кафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 13 июня 2003 г.