ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2008 Математика и механика № 1(2)
УДК 621.372
А.И. Литвин ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ПРОБЛЕМЕ АДАМАРА
Указаны алгоритмы построения матриц Адамара в виде разреженных матриц.
Ключевые слова: матрица Адамара, кронекеровское произведение
Определение 1. Матрицей Адамара называется квадратная матрица порядка N элементами которой являются числа ±1, удовлетворяющие условию
И (Я) Яйг (N) =ЫЕН ,
где Иь(Щ - матрица Адамара, НI (Я) - сопряжённая матрица для Иь(Щ, N - порядок матрицы, EN - единичная матрица порядка N [1 - 6]. Термином КПМ обозначаем кронекеровское произведение матриц.
Матрицу Адамара можно нормализовать, т.е. элементарными действиями (перестановкой строк и столбцов, умножением на -1 строк и столбцов) привести к матрице, у которой первая строка и первый столбец состоят из единиц.
В одной из работ Ж. Адамара было установлено: если
А = (щ) %=1,
где |ау| < 1, ау - вещественные числа, то
N
^ А |< N 2 ,
причём равенство достигается только для матриц Адамара и только для них. Очевидно, что с этим результатом связано название матриц Адамара.
Позже было установлено, что порядки матриц Адамара кратны четырём, кроме одной матрицы
(см.[6,7]). Некоторые проблемы, связанные с матрицами Адамара, до сих пор не решены. Так, неизвестно, существуют ли матрицы Адамара порядка N для всех N, кратных четырём. Эта задача получила название проблемы Адамара.
В данной работе указаны алгоритмы построения матриц Адамара порядков кратных четырём, а также способы их факторизации.
Рассмотрим сначала способы построения матриц Адамара порядков N=2", где п - натуральное число. В этом случае матрицы Адамара можно получить, используя кронекеровские и обобщённые кронекеровские произведения матриц. Например, существует рекуррентный способ построения матриц Уолша - Адамара порядка N = 2":
^(N1=® "И(2)=И(2) ®И(2)...®И(2), где ®" - п-я кронекеровская степень матрицы И(2) [1 - 3, 7].
В работах [1 - 3] описан аналогичный алгоритм Уолша - Пэли и Уолша -Качмана.
Обозначим строки матрицы В через Вь В2,...,В№ а столбцы - символами В(1), В(2),...,Вте .
Определение 2 ([1 - 3]). Кронекеровским произведением матриц А и В по строкам называется матрица вида
Если матрица А имеет порядок и, а матрица В - порядок и, то матрица С имеет порядок ии.
Определение 3 ([1 - 3]). Кронекеровским произведением матриц А и В по столбцам называется матрица С вида
С = А ® В = [ А ® В(1)А ® В(2)...А ® В(ж) ].
Определение 4. Почти кронекеровским произведением матриц А и В по строкам называется матрица С вида С=А®В, в которой матрица А кронекеровски перемножается на первую строку матрицы В в прямом порядке, а на вторую строку матрицы В в обратном порядке и.т.д.
"1 1" "1 1" 11 -1 -1
0 =
1 -1_ 1 -1_ 1 -1 -1 1
1111
Пример.
^1 -1 1 -1 Теорема 1 [1 - 3, 7]. Справедливы равенства
ЩЛ) = ®" И(2),
ИДЖ) = ® "И(2) = ® "И(2),
ИД^) = ®"И(2),
где И^^), И^^), - матрицы Уолша - Адамара, Уолша - Пэли, Уолша -
Качмара соответственно.
Более подробно построение и факторизация матриц Адамара описаны в работах [1 - 4].
Определение и свойства кронекеровских произведений матриц имеются в работах [5 - 7].
Построение матриц Адамара при N Ф 2" представляет определённые трудности (см. [4, 6]).
Будем производить построение матриц Адамара в факторизованном виде, то есть
Щ#) = Х1®И1^Х2®И2, где И1 и И2 - матрицы Адамара второго порядка, удовлетворяющие условию
н Т я2+я 2 н1 = о,
а XI и Х2 - разряженные матрицы, которые удовлетворяют условию
Х1Х2 - Х2Х[ = 0.
Выберем пары матриц Адамара второго порядка, удовлетворяющие условию Например,
н Т н2+н 2 н1 = о.
н1 =
н1 =
-1 г 1 1
1 1' 1 -1
и н2 =
и н2=
-1 -1
-1 1
1 -1'
-1 -1
Лемма 1. Указанные выше пары матриц удовлетворяют равенству
И Т И2 + И 2 И1 = 0.
Справедливость этой леммы проверяется непосредственно. Заметим, что эти матрицы являются симметричными.
Можно указать и другие пары таких матриц. Например,
И1=
"1 1" "-1 1"
и н2=
1 -1_ _ 1 1_
Образующие матриц Х1 и Х2 выберем в виде
Х1=
" А Е " " 0 В
, Х2=
_ Е - А_ -В 0 _
N
где матрицы А, В и Е - матрицы порядка — (напомним, что N кратно четырём).
4
Рассмотрим следующие последовательности чисел:
П1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
N / 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54
N 12 20 28 36 44 52 60 68 76 84 92 100 108
и т.д.
Замечание к таблице. Пусть п1=1, тогда N=4. Матрица И^(4) имеет вид
1 1 1 1
1 -1 1 -1
1 1 -1 -1
1 -1 -1 1
Последовательность чисел и1 состоит из всех нечётных чисел, начиная с 3. Очевидно, что этого множества чисел достаточно для построения матриц Адамара порядка N где NФ 2", N кратно четырём. Если и1 = 2, 4, 8,..., то N = 8, 16, 32,., т.е. N = 2". Если и = 6, то Щ24) = Щ12) ® н(2), если и = 10, то Щ40) = нй(20)®н(2), и т.д.
Матрица Х1 по построению является симметрической, а Х2 - кососимметрической. Обе они - блочные матрицы. Блоки А и В будем выбирать симметрическими
и циркулярными (со сдвигом влево или вправо). Пусть матрицы Я1 и Я2 удовлетворяют лемме 1. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Имеют место равенства
'2 0'
0 2
Доказательство:
Я^ЯТ (^)=(Х10Я1^Х2®Я2) (Х10Я1^Х2®Я2)Г=
= (Х10Я1^Х20Я2)(ХТ ® ЯТ +Х2 ® Я2).
В этом выражении используется тот факт, что (А®В)Т = АТ®ВТ. Воспользуемся также основным свойством КПМ: (А®В)(С®В)=АС®ВВ при условии, что выражения АС и ВВ существуют. Таким образом,
ЯА(^) ЯТ (#) = XXТ ® Я1ЯТ +Х2ХТ ® Я2ЯТ +ХХ2 ® Я1Я2 +Х2ХТ ® Я2Я2 =
0 2'
-2 0 2 0'
0 2
= [X 2 - X 2 ]
"2 0"
) 0 0 2_ +да т
"2 0" " 0 2"
+0
0 2_ -2 0_
= [X 2 - X 2 ]
При этом, в силу построения матриц Х1 и Х2, получаем соотношение
х2х Т - хх 2 =х2х1+х1х2=о.
Обратим внимание на равенство [ХХ2+Х2Х1] =
о В 0
+
і -В 0 _ -В 0 _ і
- в АВ" + " В - ВА
_ АВ В _ - ВА - В _
Полученное выражение равно нулю при условии, что матрицы А и В перестановочны. Но это свойство у матриц А и В имеется, так как по предположению эти матрицы симметрические и циркулярные. С другой стороны,
X 2 - X 2 =
А2 + В2 + Е 0
0
А2 + В2 + Е
Матрица правой части этого равенства должна иметь вид
' N
0
N
о о ... N
2 .
-у
2
Теперь задача построения матриц Адамара сводится к построению матриц А и В определённого вида. Предположим дополнительно, что матрицы А и В таковы, что
' N 4 а ' а Г- -1 4 -а . . -а
А2 = а N 4 ' ' а , В 2 = -а N -1 . 4 . -а
а а. N ' 4 _ -а -а . . N -1 4 _
При этих предположениях, как легко проверить, справедливо равенство
X 2 X 2 — Е Л г — х 2 ~~ ЕШ2.
Указанные выше матрицы А и В найти не так уж трудно. Покажем это на примерах.
Пусть
«1=3, А =
" 1 -1 -1" " 0 -1 -1"
-1 1 -1 , В = -1 0 -1
-1 -1 1 _ -1 -1 0 _
" 3 -1 -1" "2 1 1"
тогда А2 = -1 3 -1 , В2 = 1 2 1
-1 -1 3 _ _1 1 2_
X 2 - X 2 — 6Е6.
Матрицы А и В - циркулярные, то есть их строки получаются из первой строки сдвигом вправо или влево. При сдвиге влево получим
" 1 -1 -1" " 0 -1 -1"
А = -1 -1 1 , В = -1 -1 0
-1 1 -1_ -1 0 -1_
Матрицы А и В будем записывать, указывая только первую строку. Матрицы А формируются просто, а в отношении матриц В сделаем следующее замечание. В матрице В на первой позиции первой строки стоит 0, а на второй и последней позициях (кроме «1=3) находиться 1, а величины «—1» расположены с таким расчётом, чтобы из первой строки получить при сдвиге вправо симметрическую матрицу. Число элементов «—1» должно быть чётным и равняться целому чётному
числу
Например, при «1 = 5 чётное число
равно 2.
п
Вообще, при различных значениях п получим такие значения:
- 7 '
« = 7 « = 9
«1 = 11
«і = 13
и т.д.
2
9
2
11'
.2,
13
2
= 2 , = 4,
= 4,
= 6
Приведём примеры формирования матриц А и В.
г
г
г
г
щ = 5 Тт Тт сТ ==
щ = 7 А = [1, -1, -1, -1, -1, -1, -1] В = [0, 1, -1, 1, 1, -1, 1]
щ = 9 Ьэ ^ == 0, 1, тх ^ 1 1 1 1
щ = 11 7 7 7 7, ТЛ ЛТ 7 7, ТЛ ЛТ [1, [0, ==
щ = 13 Ьэ ^ == 0, 1, "И і і і і И ^ і і і
щ = 15 7 7 1-т 7 7 7 7, ті- 7 7 7 7, ТЛ Лт [1, [0, ==
и т.д.
Из леммы и теоремы 2 и вышеприведённых рассуждений следует Теорема 3. Справедливы равенства
Я^ЖЯ Т (N0 = (Х1®Я1^Х2®Я2) (Х1®Я1+Х2®Я2)1’=
2 0 0 2
=Ж„.
Алгоритмы формирования матриц А и В, а следовательно, и матриц Хь Х2, могут быть различными.
Пример.
"1 1" "-1 1"
X ® + X, 1 =
1 -1_ _ 1 1_
1 -1 -1 1 0 0 " '0 0 0 0 -1 -1
-і -1 1 0 1 0 0 0 0 -1 -1 0
-і 1 -1 0 0 1 '1 1 ■ 0 0 0 -1 0 -1
+
1 0 0 -1 1 1 1 -1_ 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 -1 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 -1 1 _ 1 0 1 0 0 0
-1 1' 1 1
Для получения матриц Уолша - Пэли и Уолша - Качмана можно использовать обобщенное кронекеровское произведение матриц:
И (N) = X ® Н1 + X 2 ®Н2, (N) = X ® И + X2 ® И2.
Представление матриц Адамара в факторизованном виде сокращает количество операций. Например, алгоритм быстрого преобразования Адамара для вычисления спектральных коэффициентов последовательности длиной N=12 требует всегда 72 операции (сложений и вычитаний) вместо 177 [7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Быков В.И., Литвин А.И., Иванов В.А., Росошек С.К. и др. Обобщенные кронекеровские произведения матриц и их применения // Электронное моделирование. 1991. Т. 13. № 5. С. 14 - 19.
2. Литвин А.И., Писаренко Н.А., Росошек С.К. Обобщенные кронекеровские произведения матриц и их применения// Исследованиея по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во ТГУ, 2001. Вып. 3. С. 240 - 251.
3. Литвин А.И., Симонженков С.Д. Ортогональные дискретные преобразования и их применение для решения научно-технических задач. Томск: Изд-во ТГУ, 2000. 150 с.
4. Лабунец В.Г. Алгебраическая теория сигналов и систем. Красноярск: Изд-во КГУ, 1984. 244 с.
5. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 424 с.
6. Агаян С.С. Оптимальные алгоритмы быстрых ортогональных преобразований и их реализация на ЭВМ // Кибернетика и вычислительная техника. М.: Наука, 1986. С. 231 -319.
7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1967. 315 с.
Принята в печать 10.04.08.