CC BY
48
Математические структуры и моделирование 1998. Вып. 1, с.103-109.
УДК 530.51
ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО
БАЛАНСА
Р.Т. Файзуллин
Application of nonsymmetric eigenvalue’s problem for interindustry analysis with variable coefficients of productivity.
1. Введение
Одной из основных линейных макроэкономических моделей является модель межотраслевого баланса (interindustry analysis) [1], [2]. Метод, разработанный американским экономистом В.В. Леонтьевым, родившимся в России, позволяет дать последовательный и численно определенный ответ на вопросы, связанные с межотраслевыми взаимодействиями. Математически дело сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений специального вида. Базовая стационарная модель описывается системой линейных алгебраических уравнений вида:
У = АХ + F, (1)
где вектор X показывает распределение выпуска каждого вида продукции, правая часть F представляет собой сумму промежуточного и конечного спроса, состоящих из инвестиций, закупок продукции, экспорта-импорта, матрица А определяет прямые затраты, или, как иначе говорят, - технологические коэффициенты. Одним из основных допущений в данной модели является предположение о неизменности матрицы А, что вполне оправдано в силу того, что технологические изменения или прямые затраты меняются несравненно медленней, чем выпуск различного рода изделий.
Но данное допущение может оказаться неприемлемым при появлении нового вида продукции или при переходной экономике. Кроме того, и малое изменение А может вызвать неадекватно большой отклик в выпуске продукции и в
© 1998 Р.Т. Файзуллин
E-mail: faizulin@univer.omsk.su
104
Р.Т. Фаизуллин. Обобщенная задача на собственные значения...
структуре, которая, казалось бы, должна быть устойчивой. В представленной работе сделана попытка описания нестационарного межотраслевого взаимодействия, базирующаяся на специальной системе линейных дифференциальных уравнений.
2. Динамическая модель
С точки зрения математики, достаточно естественно предположить, что если в некоторой прикладной области встречается задача решения систем линейных уравнений, то следует ожидать появления и второй основной задачи линейной алгебры - задачи на собственные значения и вектора.
В известных динамических моделях, описывающих сбалансированный рост, используется лишь первое собственное число А и представляется, что информация о структуре и скорости ее эволюции более полно будет описываться, если мы воспользуемся и последующими собственными числами.
Рассмотрим модель межотраслевого баланса в два последовательных момента времени t и t + St. Будем считать, что нам известно поведение вектора F в рассматриваемый промежуток времени и изменение прямых затрат в зависимости от времени - А = Ait). При достаточно малом 8t можно приближенно записать:
A[t + 8t) = A[t) + 8tdA[t) / dt (2),
X[t + 8t) = X[t) + 8tdX[t)/dt (3).
Предполагая, что (1) выполняется в каждый момент времени, мы можем получить систему линейных дифференциальных уравнений в момент времени t:
(Е - A)dX/dt = ВХ + dF/dt, (4)
где матрица В = dA(t)/dt и вектора dF/dt, 46(0) считаются заданными. Отметим, что дальнейший анализ проводится в предположении малости рассматриваемого интервала времени, более того, мы будем рассматривать лишь постоянные матрицы А и В. Прямое интегрирование системы (4) по времени для A(t) и Bit) не имеет смысла, так как все величины завязаны нелинейным образом. Все, на что можно рассчитывать, - выявление тенденций и однозначность развития.
Если представить решение однородной системы в виде суперпозиции экспонент, то мы получим характеристическую систему
\г{Е - А)Ц = ВЦ, (5)
где вектор Vi - собственный вектор обобщенной задачи на собственные значения (4), а Аг' - соответствующее собственное число.
В механике эта задача хорошо известна [3], правда, при специальных положительных и положительно определенных матрицах. Матрице В в механике отвечает структурная матрица жесткости, получающаяся при аппроксимации
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
105
оператора Лапласа или оператора теории упругости, матрице Е — А отвечает так называемая матрица масс или матрица Грамма системы базисных функций, через которые описывается механическая система. Матрица жесткости практически всегда положительно определенна. Условие положительной определенности индуцируется краевыми условиями Дирихле и Неймана. Говоря проще, если механическая система где-либо жестко закреплена, то она не может двигаться без напряжений как единое целое, то есть вектор, состоящий из констант, не является собственным вектором. Следовательно, и нуль не является собственным числом. Матрица масс положительно определена в силу того, что базисные функции не выражаются друг через друга. Известно, что в случае симметричных матриц обобщенная задача на собственные значения имеет решение тогда, когда хотя бы одна из матриц положительно определена.
Решение понимается в том смысле, что соответствующие квадратичные формы одновременно сводятся к диагональному виду и решение системы (4) может быть однозначно представлено как суперпозиция собственных векторов, умноженных на некоторые коэффициенты.
Для задачи (5) ситуация намного сложнее, мы даже не имеем симметричности рассматриваемых матриц.
Мы будем последовательно усложнять рассматриваемые примеры с целью получения качественных результатов. Рассмотрим в качестве В диагональную матрицу с отрицательными и малыми по модулю числами — ег-. Тем самым мы моделируем уменьшение прямых затрат производства, связанных с уменьшением потребности производства г с продуктом г. Положительные числа означали бы, что суммарно производство расширяется, хотя на единицу продукции, может быть, и приходится меньше затрат. Если к тому же числа на диагонали одинаковы, мы получим задачу(6):
(Е - A)Vi =-е/ЗМ, (6)
где (3{ - число обратное к Аг-. Очевидно, что можно решить задачу при е = 1, а затем пересчитать собственные числа. Относительно левой части (5) можно утверждать, что Е — А не вырождена или, иначе говоря, матрица А продуктивна .
Естественно, что выпуск продукции будет падать в отсутствие положительной правой части. Скорость падения, как и в модели равновесного роста, будет определяться наибольшим собственным числом матрицы А. Равновесный рост будет сдерживаться падением прямых затрат. Усложним нашу модель введением новых связей в матрицу В. Пусть структура представляет собой кольцо, в котором технологические коэффициенты значимы лишь для ближайших соседей. То есть необходимыми компонентами для производства продукта i являются он сам и продукты i + 1, г — 1. Тогда при равномерном уменьшении потребности в данных товарах мы получим новый результат - неравномерность падения производства в зависимости от вектора, характеризующего выпуск продукции в начальный момент времени. Также в данной модели может наблюдаться и рост выпуска некоторой продукции, компенсируемый сильным падением производства другого, «соседнего» по связи, продукта. Тем самым
106
Р.Т. Фаизуллин. Обобщенная задача на собственные значения...
в модели учитывается инерция выпуска, чего нет в общепринятом квазистационарном подходе. Ситуация предполагает структурную консолидацию, что влияет и на быстрые, по сравнению с изменением прямых затрат, инвестиции. Поэтому нельзя формально подходить к интегрированию (4) на продолжительном интервале времени.
Рассмотрим несимметричную матрицу В, отвечающую специальной линейной структуре. Производство представляет собой конвейер, где потребность г производства состоит лишь в продукции i — 1. Если в модель внести малое отличие от строгого конвейера, то поведение X становится просто непредсказуемым, так как матрица В представляет собой пример Форсайта. Таким образом, появление новых связей или нового вида продукции может вызвать сильные колебания выпуска, на что могут реагировать опережающим образом инвесторы.
3. Метод решения задачи на собственные значения
Воспользуемся фактом из линейной алгебры, позволяющим сделать вывод о поведении решения, основанный на известном наборе собственных векторов. Если задача на собственные значения:
Rv = XGv, (7)
где матрица G не вырождена, имеет в качестве решения п различных собственных чисел, то соответствующий набор собственных векторов образует базис. В этом случае начальный вектор X и вектор правой части однозначно раскладываются по данному базису, и можно проследить эволюцию решения на некотором интервале времени. В нашем случае в качестве G фигурирует матрица (Е — А), которая, очевидно, не вырождена. Совпадение собственных чисел означало бы, что в структуре производства, которая представляет собой взвешенный граф, имеется строгая симметрия, что в реальных задачах, по всей видимости, не встречается. Таким образом, задача сводится к выбору достаточно эффективного метода решения проблемы собственных значений для несимметрической матрицы. Как уже упоминалось ранее, одновременное приведение к диагональному виду, аналогично тому, как это делается в механике, - задача довольно затруднительная. Кроме того, совокупность методов одновременной диагонализации для симметричных матриц ориентирована на ленточные матрицы большой размерности, что не всегда существенно для данной задачи. Подобие ленточности можно достичь, соответствующим образом перенумеровав отрасли: чтобы близкие номера к i отвечали наиболее значимым для i компонентам производства, а это не всегда легко осуществить.
Мы будем рассматривать задачу вида:
XiVi = (Е — А)-1 ВЦ,
(8)
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
107
где получающаяся в правой части матрица заполнена и несимметрична. В качестве метода решения выбран метод Якоби-Эберляйн, позволяющий в общем случае получить комплекснозначные собственные числа и вектора. Отметим, что устойчивость определения спектра можно проверять, варьируя А и В.
4. Пример применения
В качестве примеров были рассмотрены частично агрегированные балансы японской экономики за 1975 и 1980 годы [4]. Матрицы А, (Е — А)~1 приведены ниже. Основная проблема заключается в определении матрицы В. Сравнивая соответствующие коэффициенты в леонтьевских матрицах А, можно определить степень увеличения прямых затрат и скорость этого увеличения.
Матрица (Е — А) 1 1975 год
1.157 .0486 .1538 .0668 .0453 .0132 .0290 .0289 .0231 .0529 .1117 .1012 .1109
.0303 1.0423 .1225 .0725 .164 .0114 .0314 .0252 .0197 .0286 .0893 .0814 .0869
.4647 .5542 1.9352.8037 .5443 .1475 .3467 .3436 .2571 .3886 1.399 1.269 .8646
.0087 .0133 .0127 1.011 .0345 .0250 .4215 .0175 .0167 .0150 .0162 .0153 .0217
.0143 .0404 .0419 .0285 1.0381.0127 .0158 .0275 .0191 .0319 .0335 .0345 .0624
.100 .1714 .1711 .1660 .1361 1.0880 .0788 .1075 .1443 .1075 .4159 .2205 .2906 .0133 .0212 .0201 .0211 .0193 .0535 1.009 .0251 .0166 .0205 .0292 .0287 .0390
.0381 .0693 .0632 .0637 .0492 .0368 .0280 1.142 .0590 .0385 .0929 .0712 .1153
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0.
.0135 .0261 .0411 .0461 .0338 .0434 .0285 .0343 .0353 1.053 .0415 .0365 .0975 .002 .0036 .0052 .0036 .0042 .0036 .0016 .0042 .0042 .0034 1.004 .0047 .0096 .0054 .0043 .0145 .0061 .0042 .0022 .0027 .0033 .0023 .0031 .0108 1.009 .0070
.0197 .0455 .0498 .0479 .0435 .0202 .0207 .0346 .0563 .0390 .0413 .0352 1.031
Матрица А 1975 год
.1069 .0026 .0695 .ООП 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 .0178 0.000 0.000 .0358 0.00 .0026 .0596 .0193 .1247 0.000 0.000 0.000 .0001 .0001 0.000 0.000 .0261 .2020 .2469 .4170 .3799 .2073 .0414 .0031 .1296 .0853 .1596 .6996 .6394 .3735 .0016 .0020 .001 .0002 .0239 .0017 .4162 .0049 .0082 .0045 0.000 0.000 .0013 .0026 .0245 .0169 .0075 .0197 .0065 .0033 .0154 .009 .0199 0.000 .0053 .0371 .0459 .1019 .0622 .0768 .0565 .0595 .0071 .0553 .0975 .0552 .2693 .0977 .1794 .0045 .0079 .0039 .0067 .0069 .0470 0.00 .0150 .0060 .0113 0.000 .0098 .0167 .0161 .0390 .0203 .0273 .0170 .0238 .0005 .1117 .0373 .0171 .0341 .0231 .0669 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
.0003 .0060 .0143 .0218 .014 .0335 .0083 .0177 .0198 .0379 0.000 .0044.0654
.0004 .0013 .0020 .0008 .002 .0027 0.000 .0025 .0027 .0017 0.000 .0009 .0061
.0016 0.000 .0072 0.000 0.000 .0010 0.000 .0006 .0002 0.00 0.000 0.000 .0001
.0055 .0271 .0206 .0235 .0233 .0130 0.00 .0205 .0456 .0253 0.000 0.000 0.000
Матрица (Е — А)~1 1985 год
1.161 .2594 .0313 .0642 .0199 .0243 .0287
.2075 1.391 .1478 .3248 .0885 .1136 .0960
108 Р.Т. Фаизуллин. Обобщенная задача на собственные значения...
.2914 .4354 2.050 .5612 .9873 .5964 .1811 .0072 .0098 .0109 1.008 .0177 .0129 .0240 .1045 .1425 .1998 .1221 1.305 .3376 .0763 .0834 .1178 .1011 .1284 .0908 1.182 .0912 .1846 .3163 .3408 .3069 .2690 .3276 1.241 Матрица А 1985 год .1078 .1645 .0004 .0012 .0005 0.000 .0078 .1156 .2311 .0433 .1980 .0035 .0034 .0439 .0683 .0980 .4529 .1935 .3869 .1435 .0326 .0018 .ООП .0012 .0003 .0086 .0026 .0183 .0346 .0370 .0647 .0192 .1630 .1953 .0236 .0376 .0440 .0283 .0612 .0248 .1125 .0541 .0666 .1246 .1173 .1231 .0655 .1431 .1494
Десятая строка в матрице за 1975 год отвечает услугам, то же относится к седьмой строке в матрице за 1985 год.
Из рассмотрения матриц очевидно, что развитие экономики определялось за эти годы развитием рынка услуг. Поэтому в первом приближении достаточно взять диагональную матрицу и добавить значимые внедиагональные члены, учитывающие изменение технологических коэффициентов, связанные непосредственно с услугами. Таким образом мы получим возмущение матрицы (Е — А)~1 и, соответственно, спектр матрицы, стоящей в правой части (8), качественно не изменится. Тогда рост решения также будет определяться максимальным собственным числом и соответствующим собственным вектором, вернее содержанием этого вектора в векторах начального распределения выпуска и инвестиций. Если же имеющиеся вектора содержат и последующий собственный вектор, то рост в какой-то мере определится и им. Ниже приведены собственные числа и векторы для определяющих поведение собственных чисел:
собственные числа для почти диагональной матрицы В 8.762568Е-03 9.816713Е-03 4.424383Е-02 8.731473Е-03 8.260831Е-03 1.044244Е-02 9.816700Е-03 9.704132Е-03 8.762575Е-03 1.088722Е-01 9.027042Е-03 8.971319Е-03 8.731471Е-03
собственные вектора, отвечающие двум наибольшим собственным числам собственный вектор 3
Real part 2.441167Е-01 2.684828Е-01 3.697668Е-01 3.155234Е-01 2.789752Е-01 1.557924Е-01 2.651417Е-01 2.193006Е-01 1.936987Е-01 -1.358589Е-01 4.829655Е-01 4.246980Е-01 3.559587Е-01
Imag part 2.915189E-05 3.209864E-05 4.418018E-05 3.771357E-05 3.333680E-05 1.863299E-05 3.138664E-05 2.620518E-05 2.355388E-05 -1.623618E-05 5.766001E-05 5.061066E-05 4.267315E-05 собственный вектор 10 Real part
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
109
5.977751Е-02 7.729032Е-02 1.091967Е-01 1.053702Е-01 8.677633Е-02 7.600030Е-02 7.907974Е-02 7.753917Е-02 7.439750Е-02 9.653247Е-01 1.293427Е-01 1.135298Е-01 1.654960Е-01 Imag part
5.547842Е-07 7.146718Е-07 1.009832Е-06 9.761117Е-07 7.913312Е-07 6.932414Е-07 7.270195Е-07 7.029679Е-07 6.675081Е-07 8.885840Е-06 1.204092Е-06 1.074966Е-06 1.505840Е-06
Отметим, что в данном примере скорость изменения прямых затрат мала и, соответственно, вариации роста, обусловленные этими изменениями, также малы. Но если эти изменения произошли бы не за пять лет, а, скажем, за несколько месяцев, то выпуск продукции мог бы определиться именно такими изменениями.
Литература
1. Leontief W.W. The Structure of American Economy. - New York, 1949.
2. Leontief W.W.Input-output Economics, London. - New York, 1966.
3. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. - М.: Наука, 1968.
4. Кубонива М., Табата М., Табата С., Хасэбэ Ю. Математическая экономика на персональном компьютере. - М.: Финансы и статистика, 1991.
