CC BY
7
УДК 621.391.83
ОБОБЩЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА МОДЕЛИ ДИСКРЕТНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО КАНАЛА СВЯЗИ
К. А. Батенков
GENERALIZED PROBLEM DEFINITION OF CONTINUOUS CHANNEL DISCRETE MAPPING SYNTHESIS MODEL
K. A. Batenkov
Аннотация. В работе представлена обобщенная постановка задачи синтеза модели дискретного отображения непрерывного канала связи. В качестве критерия синтеза используется широко известный критерий минимума среднего байесовского риска, а варьируемыми переменными являются условные плотности, представляющие собой в общем виде рандомизированные операторы модуляции и демодуляции.
Ключевые слова: дискретное отображение непрерывного канала связи, критерий минимума среднего риска, оператор, модуляция, демодуляция, условная плотность вероятности.
Abstract. Generalized problem definition of continuous channel discrete mapping synthesis model is introduced. Well-known minimum-risk criterion is applied as synthesis criterion, and variables are conditional probability densities per se representing generally randomized modulation and demodulation operators.
Key words: continuous channel discrete mapping, minimum-risk criterion, operator, modulation, demodulation, conditional probability density.
Как хорошо известно [1], для стохастических систем, а также систем детерминированных, подверженных случайным воздействиям, применяют статистические критерии качества, на основе которых оценивают эффект функционирования системы в среднем для достаточно большого количества реализаций как входных сигналов, так и внутренних процессов самой системы. Следовательно, синтез подобных систем должен быть обязательно статистическим, а критерий качества должен соответствовать функциональному предназначению.
С точки зрения предназначения любая система связи разрабатывается для передачи некоторой информации, вследствие принципиальной случайности которой, а также стохастичности канала связи неизбежны расхождения переданной информации от принятой: в общем случае возникают ситуации, при которых сигнал на входе модулятора x не соответствует сигналу на выходе демодулятора x'. Степень же расхождения переданной и принятой информации (эффект от принятия того или иного решения) характеризуется количественной мерой, задаваемой функцией потерь (штрафа) g(x, x'). По сути, функция потерь является априорной оценкой величины убытков от появления сигнала на выходе демодулятора x' при условии, что передавался вектор x.
Наличие определенной непрерывным многопараметрическим каналом связи H, а также операциями модуляции Ф и демодуляции Ф' взаимосвязи
между сигналом на входе дискретного канала связи х и его выходе х позволяет рассматривать вероятностную меру, заданную на этих множествах сигналов и представляющую собой двухпараметрическую многомерную совместную плотность вероятности векторов на входе модулятора и выходе демодулятора юх, х'(х, х'). В результате ожидаемая величина расхождения между переданной и принятой информацией вычисляется как математическое ожидание функции потерь, называемое также риском, и характеризует данную неточность в среднем:
Я = Ц^(х, х')юх, х (х, х')dxdx',
(1)
где интегрирование трактуется в рамках всего заданного множества переменных интегрирования, что подразумевает наличие интегралов, кратности, равной размерностям сигналов х и х', т.е. N и N соответственно.
Следовательно, задача синтеза оптимального дискретного отображения непрерывного многопараметрического канала заключается в минимизации среднего риска (1) по набору в общем случае стохастических операторов модуляции Ф и демодуляции Ф', представляющих собой условные плотности вероятностей:
Ф: ю х/х [ х, , г} }] иф: Ю
: (х, х')ю
х'/ х
х',х' ,г' }]:
(х, х') dxdx' ^ шт.
4 ' ф ф'
(2)
При этом как совместная плотность вероятностей, так и функция потерь могут зависеть от операторов модуляции и демодуляции. Так, условная плотность вероятностей вектора на выходе демодулятора при известном векторе на входе модулятора юх'/х (х', х) определяется на основе уравнения
Колмогорова-Чепмена, поскольку отдельные блоки системы связи соединены последовательно и обладают свойством марковости:
юх'/ х х) = | юх'/ х' [х ^х; {* ,г'}] | юх'/х [ ^ х; {*'], г'} , г}}]х
хю
х/х
х, х; {*у, г у}] dxdx'
(3)
где Н: ю
х / х
х , х
; ,гУ }, {*у, Г'}
= Р
ху = х|
((,г' )xJ = х ((, Г')
условная
плотность вероятности сигнала на выходе канала связи х'(*',г') при известном входном х(*, г), по сути описывающая в общем виде модель непрерывного многопараметрического канала связи.
Совместная же плотность вероятности определяется на основе правила умножения вероятностей:
Юх,х' ( х') = Юх'/х (х', х )Юх (х ),
(4)
где юх(х) - плотность распределения вероятности появления сигнала на входе модулятора х.
Таким образом, варьируемыми параметрами при отыскании решения задачи (2) являются многомерные плотности вероятности, описывающие в общем рандомизированном виде операторы модуляции Ф и демодуляции Ф'. В этой связи следует учесть наличие проблемы, предполагающей введение дополнительного ограничения на входы канала связи или выходы модулятора. Так, для операции демодуляции характерно стремление приблизить вектор на его выходе к исходным передаваемым векторам, что выливается в локализацию выходных сигналов вблизи области определения передаваемых сигналов. Причем степень локализации, определяющая точность воспроизведения информации, напрямую связана с соотношением между неопределенностью, вносимой каналом связи, и неопределенностью, обусловленной сто-хастичной природой самой информации. Поскольку оператор модуляции позволяет формировать сигналы на его выходе в общем случае произвольным образом, то естественно, что оптимальное решение будет соответствовать произвольно большому разнесению между различными передаваемыми сигналами. Данное обстоятельство приводит к необходимости использования бесконечно большой мощности (энергии) для формирования сигналов на выходе модулятора, что приводит к невозможности реализации подобных преобразований на практике. В результате следует рассматривать дополнительное ограничение на мощность (энергию) передаваемых сигналов по каналу связи.
Среднее значение сигнала на выходе модулятора определяется как первый начальный момент [2, 3] определенного сечения данного случайного поля х(х, г):
Мх (х, г ) = |ХЮх (х; X, г )йх, (5)
х
где юх (х; X, г ) - одномерная плотность распределения вероятностей
значений сигнала на выходе модулятора х(Х,г), задающая вероятностную меру в некоторой точке пространства г в определенный момент времени X:
Юх((к; {к, ч) = |... |... |...| Юх,г-}]^...^^...й^,
■Ч к-1 лк+1
к = 1, ~ . (6)
Тогда дисперсия сигнала на выходе демодулятора, соответствующая плотности энергии для пространственно-временного сигнала [4] или мощности для временного сигнала [5], вычисляется как второй начальный момент сечения [3, 6]:
Вх (х, г ) = | {х - Мх (х, г )}2 Юх (х; X, г )йх . (7)
х
Таким образом, в общем случае дисперсия сигнала на выходе модулятора зависит от рассматриваемой точки пространства и момента времени. Кроме того, реальные сигналы в большинстве случаев локализованы как во времени, так и в пространстве (например, в цифровых системах рассматривают сигнал на конечном временном промежутке, антенная система имеет
конечные линеиные размеры, следовательно, излучающая поверхность также ограничена). Поэтому нецелесообразно рассматривать величины, приведенные к единицам измерения как по временным, так и пространственным координатам, поскольку в этом случае плотность энергии будет стремиться к нулю. Более подходящей оказывается интегральная характеристика в форме энергии, имеющей конечные значения для локализованных сигналов:
Ех = ЦОх (г, г )йгйг. (8)
г г
Таким образом, ограничение на выход модулятора соответствует непревышению некоторого порога ех энергии передаваемых сигналов:
|||[х -Мх (г, г )2 Юх (х; г, г)йхШг < ех. (9)
г г х
Поскольку варьируемыми параметрами в задаче (2) являются, по сути, некоторые плотности вероятности, то для них должны выполняться условия нормировки:
|Юх/Х X,х; [г},гу} йх = 1, Ух, (10)
х
I Юх/х' х',Х; [г'у, г'у } йх = 1, Ух', (11)
х
а также условия неотрицательности условных плотностей:
Ю
х/х
Ю
х'/х'
х,х; [гу,гу }] > 0, Ух,х, (12)
1',х; [г;,г'}] > 0, Ух',х. (13)
Таким образом, задача синтеза дискретного отображения непрерывного многопараметрического канала связи для общих рандомизированных операторов модуляции и демодуляции имеет форму минимизации среднего байесовского риска (2) с ограничениями на энергию передаваемых сигналов на выходе модулятора (9), условиями нормировки (10), (11) и неотрицательности условных плотностей (12), (13).
Подобную задачу целесообразно классифицировать как задачу вариационного исчисления (вариационную задачу) [7], где в качестве целевого используется интегральный функционал, представляющий собой средний байесовский риск (2). Поскольку варьируемыми параметрами являются условные плотности вероятности как оператора модуляции Юх/х, так и демодуляции Юх'/ х', то интегрант функционала зависит от двух данных функций переменных интегрирования х и х'. Так как их число определяется размерностями сигналов на входе модулятора N и выходе демодулятора N соответственно, то и целевой функционал оказывается определенным на множествах условных плотностей, являющихся функциями N и N переменных. В общем случае функция потерь £(х, х') может зависеть от варьируемых параметров, что приводит к нелинейному виду целевого функционала. Подобные ситуации воз-
никают, например, в случае, когда функция потерь представляет собой некоторую условную собственную информацию [8] или же информационные потери [9]. Линейность же возможна только в случае независимости функции потерь от операций модуляции и демодуляции, что предполагает строгую определенность функции потерь для любой комбинации сигналов на входе модулятора и выходе демодулятора. Также следует отметить, что поскольку в общем случае функция потерь может иметь не просто функциональные зависимости от условных плотностей вероятности, а и операторные, то отнести данную задачу к простейшей задаче вариационного исчисления не представляется возможным. Опять же, в случае линейности целевого функционала подобная трактовка вполне допустима.
Наличие ограничений приводит к задаче на условный экстремум. При этом ограничение на энергию (9) и условия нормировки (10) и (11) относятся к изопериметрическим (интегральным) связям, а условия неотрицательности (12) и (13) являются голономными (фазовыми) ограничениями [7]. Все условия имеют линейный вид, который может приобретать и ограничение на энергетику в случае равенства нулю математического ожидания сигнала на выходе модулятора (5). Для довольно обширного класса функций потерь данное допущение может предполагаться без потери общности.
Таким образом, задача синтеза дискретного отображения непрерывного многопараметрического канала связи для общих рандомизированных операторов модуляции и демодуляции (2), (9)-(13) классифицируется как нелинейная вариационная задача на условный экстремум с изопериметрическими и голономными связями. Поэтому, естественно, в общем виде решение подобной задачи получить не представляется возможным. Однако необходимые условия, которым должны удовлетворять рандомизированные операторы модуляции и демодуляции, в данной довольно абстрактной постановке задачи синтеза сформулировать и доказать вполне реально.
Список литературы
1. Репин, В. Г. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем / В. Г. Репин, Г. П. Тартаковский. - М. : Сов. радио, 1977. - 432 с.
2. Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устойчивых систем : учеб. пособие для вузов / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. - М. : Радио и связь, 1991. - 608 с.
3. Рытов, С. М. Введение в статистическую радиофизику / С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов,
B. И. Татарский. - М. : Наука, 1978. - Ч. 2. - 464 с.
4. Зоммерфельд, А. Электродинамика : пер. с нем. / А. Зоммерфельд ; под ред.
C. А. Элькинда. - М. : ИЛ, 1958. - 501 с.
5. Скляр, Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение / Б. Скляр ; пер. с англ. - Изд. 2-е, испр. - М. : Вильямс, 2003. - 1104 с.
6. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы : учеб. / С. И. Баскаков. - М. : Высш. шк., 1983. - 536 с.
7. Ванько, В. И. Вариационное исчисление и оптимальное управление : учеб. для вузов / В. И. Ванько, О. В. Ермошина, Г. Н. Кувыркин ; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. - 3-е изд., испр. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. -488 с.
8. Галлагер, Р. Теория информации и надежная связь : пер. с англ. / Р. Галлагер ; под ред. М. С. Пинскера и Б. С. Цыбакова. - М. : Сов. радио, 1974. - 720 с.
9. Пугачев, В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления / В. С. Пугачев. - М. : Физматгиз, 1962. - 883 с.
УДК 621.391.83 Батенков, К. А.
Обобщенная постановка задачи синтеза модели дискретного отображения непрерывного канала связи / К. А. Батенков // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2013. - № 4 (8). - С. 152-157.
Батенков Кирилл Александрович
кандидат технических наук, докторант, Академия ФСО России E mail: pustur@yandex.ru
Batenkov Kirill Aleksandrovich candidate of engineering sciences, doctoral candidate, Academy of Federal Guard Service of the Russian Federation
