Обобщенная математическая модель разделения суспензий в гидроциклоне Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621,928.37

в. а Яблонский

ОБОБЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗДЕЛЕНИЯ

СУСПЕНЗИЙ В ГИДРОЦИКЛОНЕ

(Волгоградский государственный технический университет)

Разработана обобщенная математическая модель разделения суспензий напорной флотацией и осаждением в поле центробежных сил в гидроциклоне. Для трех практически важных случаев, в зависимости от соотношения концентраций частиц твердой фазы и пузырьков газа, численным методолг решено уравнение неразрывности потока частиц твердой фазы при течении неньютоновско й суспензии в гидроциклоне. Определено поле концентрации частиц твердой фазы в пленке суспензии, Исследовано влияние определяющих критериев подобия на распределение концентрации<

В настоящее время многочисленными исследованиями установлено, что эффективное разделение суспензий можно проводить в гидроциклонах с дополнительной подачей диспергированного газа. Существуют различные способы подачи газа в аппарат. Наиболее широкое распространение получили методы напорной флотации [1,2], как обеспечивающие наибольшую эффективность захвата частиц твердой фазы пузырьками газа в центробежном поле, Процесс напорной флотации, реализованный в центробежном поле, может применяться в производстве белково-витаминных концентратов, суспензий биомассы и глазури, а также в технике очистки сточных вод от нефти, жиров и других веществ,

В работах [3 ?4] на основании решения уравнения радиального движения комплекса частица-пузырек предложена методика расчета показателей разделения гидроциклона-флотатора, а также диаметра цилиндрической части аппарата, при котором обеспечиваются заданные показатели разделения и минимальные капитальные и энергетические затраты.

Однако существующие методы моделирования разделения суспензий в гидроциклонах, основанные на рассмотрении движения частиц твердой фазы или комплекса частица-пузырек в поле центробежных сил, не учитывают особенностей гидродинамики закрученной пленки суспензии со свободной поверхностью, стекающей по стенкам гидроциклона, что приводит к значительным отклонениям от реальных показателей. Кроме того, до сих пор не разработана общая методика моделирования процессов разделения суспензий в поле центробежных сил, применимая как к процессам осаждения в поле центробежных сил, так и к разделению напорной флотацией или другими способами.

Моделирование гидро динам и ки течения пленки неньютоновской суспензии в цилиндрическом прямоточном гидроциклоне с привлечением полных уравнений реодинамики было выполнено в работах [6,7], Для описания реологических свойств суспензии использовано степенное реологическое уравнение Оствальда де Билля. Получены зависимости толщины пленки суспензии от осевой координаты, а также поля распределения составляющих скорости и давления в аппарате при различных значениях определяющих критериев подобия и реологических свойствах среды.

Для решения задачи о распределении концентрации частиц твердой фазы в гидроциклоне были получены аналитические выражения, аппроксимирующие осевую и окружную составляющие скорости, а также толщину пленки суспензии в зависимости от осевой координаты. Выражения для осевой и окружной составляющих скорости имеют вид:

ответственно осевая и окружная составляющие скорости жидкости, м/с; 1!0 — средняя скорость потока во входном патрубке гидроциклона, м/с; г, г, ф — соответственно радиальная, осевая и окружная координаты, м; г - г^К, ъ = у^ - безразмерные радиальная и осевая координаты; К -радиус корпуса гидроциклона, м; ш, I" -константы, харак-

теризующие форму радиального профиля осевой и окружной составляющих скорости; 5 = ^^ — безразмерная толщина пленки суспензии; 5 - толщина пленки суспензии, м; индексы: Ь - твердая фаза; g - газ; / - дисперсионная среда.

Математическая постановка задачи производится при следующих допущениях [2]:

1) при посту плении аэрированной суспензии в гидроциклон происходит выделение монодисперсных пузырьков воздуха, равномерно распределенных по всему объему пленки и имеющих одинаковый размер;

2) формирование пузырьков воздуха осуществляется на пренебрежимо малом отрезке высоты гидроциклона при столь же малом периоде формирования;

3) коалесценция пузырьков воздуха отсутствует;

4) частицы извлекаемого вещества распределены равномерно во входном патрубке гидроциклона, их концентрация при входе в гидроциклон равна Ско-

При разделении тонко дисперсных суспензий в гидроциклоне напорной флотацией для математического моделирования поля концентрации используются уравнения неразрывности потока частиц твердой фазы и пузырьков газа, которые могут быть записаны следующим образом:

где Уь -вектор скорости частиц твердой фазы; -вектор скорости пузырьков газа; Сь — концен-

трация частиц твердой фазы в суспензии, м /м ; С,- концентрация пузырьков газа в суспензии, м /м3; 4 =ВьС),С}1 , ^ =ВёС8Сь — интенсивности объемного стока частиц и пузырьков, с"'; Вь В§ -кинетические константы процесса напорной флотации, с'1, определяемые количеством столкновений частиц твердой фазы с пузырьками газа, зависящие от диаметра частиц твердой фазы и пузырьков газа, физических свойств частиц твердой фазы, пузырьков газа и дисперсионной среды, определяемые согласно данным работы [8].

Система дифференциальных уравнений (2) может быть преобразована к следующему виду:

УьЕгас1Сь +СкСКУУЬ = -В.С „С, __ _ (3)

Поскольку радиальные составляющие скорости частиц твердой фазы и пузырьков газа отличаются от радиальной составляющей скорости

неразрывного потока дисперсионной среды, и радиальной составляющей скорости жидкости мы пренебрегли ввиду ее малости, будем иметь:

1 5(1-4,)

г дт 1 5(гУ

(4)

где Угь - радиальная составляющая вектора скорости твердой фазы суспензии, м/с; - радиальная составляющая вектора скорости пузырьков газа, м/с.

Уравнения (3) принимают следующий вид;

як

ах

от

дС ас 1 0(гУ 1 У„. —+ V.,. —5- + С. = -в с с„.

(5)

Зг * дг 8 г Эг

Скорость радиального осаждения частицы определялась по формуле, приведенной в работе 191;

У

гЬ

2(6

«-и

ь

91 2

Р

(6)

где рь - плотность частиц твердой фазы суспензии, кг/м3; р| - плотность дисперсионной среды, кг/м3; дь—диаметр частиц твердой фазы суспензии, м; к — индекс консистентности, Па с"; п - показатель нелинейности кривой течения, описываемой законом Оствальда де Билля; \у(п) - поправочный коэффициент,

Решение системы дифференциальных уравнений в частных производных (4) проводилось для трех важных в практике разделения суспензий случаев;

1. Концентрация пузырьков газа значительно превышает концентрацию частиц твердой фазы Сй>Сь , при этом можно полагать Се=сопз1. Это наиболее распространенный в практике флотации случай, когда одна частица извлекается несколькими пузырьками в поле центробежных сил. Для этого случая второе уравнение системы (5) можно исключить, принимая Сш =сотг, и система (5) сводится к одному уравнению. Ввиду того, что применение процесса напорной флотации наиболее эффективно при незначительной разности плотностей частиц твердой фазы и дисперсионной среды, с достаточной степенью точности можно предположить, что в осевом направлении частицы твердой фазы движутся без инерции, то есть что осевые составляющие скорости частиц твердой фазы и дисперсионной среды совпадают У^У,,. При этом допущении после приведения первого уравнения системы (5) к безразмерному виду с

учетом формулы (6), вычисления производной в правой части уравнения и выполнения преобразований, получим;

~~ дСь

дСн —_ +

H(r,z)

д г

--l2/n —-¡/п

--Chi

Recnc[(p(r,z) I г

_1

i. р---,2/n—l/г,

г

dz

(7)

2f(

r-i

пб[1-(1

1-T-f

+ r (I •—)}

У]

n

где Re

ос n

/

d

tt-rl

(Ph-P.)

V

крите-

2 } " " ' " Кк

рий Рейнольдса, характеризующий процесс осаждения частицы твердой фазы в центробежном поле в неньютоновской дисперсионной среде; Яе01 II

п _ п о _ безразмерный комплекс; А=В,С -

AR

модифицированная кинетическая константа процесса напорной флотации, с"1; Сь =СЬ /Сьо-

безразмерная концентрация частиц твердой фазы; СЬо - концентрация частиц твердой фазы во вход-

3 3

ном патрубке гидроциклона, м /м .

2. Концентрации пузырьков газа и частиц твердой фазы равны Сё=Сь Этот случай соответствует модели монофлотации в поле центробежных сил, когда одна частица извлекается одним пузырьком. В этом случае первое и второе уравнения системы (5) эквивалентны и система сводится также к одному уравнению, которое может быть записано в безразмерном виде с учетом того, что ¥,ь = У2] :

ас

+

H(r,z)

дС

h

дr Re~[q>(rtz)

1

r OZ

Chi

4 t г--—i/r!

Fh <p(r,z) I г

Сь-

(8)

2f(

I-r

+ r~ (1—)},

n8[l-(l

■у:

n

Re*cU0

где

Ä

AhR

безразмерный комплекс;

BhCh0

в суспензии равна нулю Сд=0, Этот случай соответствует

модели разделения суспензии в гидроциклоне осаждением в поле центробежных сил. Второе уравнение системы (5) можно исключить и система дифференциальных уравнений (5) сводится к одному уравнению в безразмерном виде с учетом того, что У^УуГ-

эск н(гд) ас

дт

+

h

Rer I <p(r,z) | г

¡2/t! —|/

OZ

-Ck{

2f(1 - - )

о

r.r-1

(9)

-1

n6[l-(I

1-r.r-

5

)'J

-fr (]--)},

П

Граничное условие для обыкновенных дифференциальных уравнений (7), (8) и (9) имеет следующий вид:

1 -b<г <U Cho = U (10)

где b ~ b/R ; b — горизонтальный размер входного патрубка, м.

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (7), (8) и (9) использовался метод характеристик, позволяющий свести дифференциальное уравнение в частных производных к эквивалентной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, одно из которых определяет траекторию движения частицы в суспензии, зависящую от места входа частицы в аппарат, то есть задает направление характеристики, а второе - значения функции, то есть концентрации частиц твердой фазы на характеристике. Полученные системы дифференциальных уравнений решались по методу Рунге-Кутта с фиксированным шагом.

Моделирование поля концентрации частиц твердой фазы при разделении суспензии в гидроциклоне напорной флотацией и осаждением в поле центробежных сил заключалось в численном решении полученных систем дифференциальных уравнений, эквивалентных дифференциальным уравнениям (7), (8) и (9), при граничных условиях (10) для различных значений определяющих критериев подобия и реологических свойств суспензии при изменении их в широком диапазоне. Течение суспензии в гидроциклоне характеризовалось [6,7] центробежным критерием Фруда Fr (фактором разделения), аналогом критерия Рейнольдса для степенных жидкостей Rей, безразмерным расходом Q, а также показателем нелинейности кривой течения п.

Приведенные в настоящей работе результаты математического моделирования поля концентрации в гидроциклоне относятся к наиболее

распространенному в практике разделения суспензий случаю Сд>Сь при допущении Св"сопб1.

На рис. 1 а, б приведено распределение концентрации частиц твердой фазы при разделении неньютоновской суспензии напорной флотацией во вращающейся пленке, стекающей по стенке гидроциклона при значениях критерия Рг соответственно 32,6 и 293,6.

т

т

ад

ад ÜS5 0.3 %

Рис. I, Распределение концентрации частиц твердой фазы в пленке ненькггононской суспензии при Fr=32„6, Refr

Q "3,98-10'2, n 0,9 (а) и Fr-293.6. /te„=40Q0* Q =3.91

/7=0.9 (б). Линии равных концентраций при значении С : а) 0,9; 2-0.7: 3-0.5: 4-0.3: 5-0,2; 6-0Л5: б) N0,9; 2-0,7: 3-0,5; 4-0J: 5-0.2: 6-0,1; 7-0,05; 8-0; 0-граница пленки суспензии.

Fig, !. Distribution of concentration of hard phase particles in non-newtonian suspension film with Fr-32Д &/г-4000,

Q =3.98- «=0?9 (a) and Fr-293Д tfe„=4000, Q =3,98

«=0,9 (b). Lines of equal concentrations with С ; a) 1-0,9; 2-0,7; 3-0,5; 4-0.3; 5-0,2: 6-0J5: b) 1-0,9; 2-0,7: 3-0.5; 4-03; 5-0,2; 6-0Л; 7-0.05: 8-0; 0-suspension film bound.

сравнения рис. 1 а и рис. ] б следует, 410 с возрастанием критерия Рг, сопровождающимся увеличением толщины пленки суспензии [6, 7], концентрация частиц твердой фазы в пленке суспензии на нижней границе расчетного участка течения повышается. Это вызвано увеличением количества частиц твердой фазы, приходящихся на единицу длины пленки в осевом направлении

вследствие увеличения толщины пленки, что обусловлено ростом производительности гидроциклона при возрастании средней скорости суспензии во входном патрубке Uo>

На рис. 2 а„б приведено распределение концентрации частиц твердой фазы в пленке суспензии при значениях критерия Ren соответственно 2260 и 18070.

т

а

№

4P

же

б

I

Рис. 2, Распределение концентрации частиц твердой фазы в тткс неньютоновской суспензии при /->-73,4, /?е^2260,

Q =3,98-10"2. «=0Ч9 (а) и Fr-73,4, 18070. О = 3.98-НУ \

/7-0,9 (б), Линии рашшх концентраций при значении С : а) 1-0,9; 24),7; 3-0,5; 4-0,3; 5-0,2; 6-0s 1; б) 1-0,9; 2-0,7; 3-0,5; 4-0,3: 5-0,2; 6-0,1; О-граннца пленки суспензии.

Fig. 2, Distribution of concentration of hard phase particles in non-newtonian suspension film with Fr=73A< /feif-226Q.

Q =3,98^ 1«=0,9 (a) and Fr-73 Д Re,r 18070, Q = 3,98-1 (Г2,

я=0,9(б), Lines of equal concentrations with С ; a) 1-0,9; 2-0,7: 3-0,5; 4-0,3; 5-0,2; 6-0J; h) 1-0,9: 2-0,7: 3-0,5: 4-0J: 5-0,2; 6-

0Л: O-suspension film bound.

Из сравнения рис. 2 а и рис, 2 б следует, что при возрастании критерия Rens сопровождающимся уменьшением толщины пленки суспензии [6, 7], вследствие снижения ее эффективной вяз-кости, зависящей от индекса консистентное™ к, и соответствующим возрастанием осевой состав-

лятощей скорости течения, концентрация частиц твердой фазы в пленке суспензии на нижней границе расчетного участка течения увеличивается. Это объясняется увеличением осевой составляющей скорости течения суспензии и соответствующим уменьшением времени пребывания частиц твердой фазы в зоне разделения. Следовательно, при разделении суспензий, обладающих большей эффективной вязкостью, можно добиться более высоких значений степени извлечения.

Согласно имеющимся расчетным данным

для значений безразмерного расхода С> от 3,09-1 (Г3

до 99,0-10", с возрастанием 0 , сопровождающимся

увеличением толщины пленки суспензии [6, 7], которое обусловлено возрастанием отношения площади сечения входного патрубка к площади сечения корпуса аппарата, концентрация частиц твердой фазы в суспензии возрастает. Это является следствием увеличения количества частиц твердой фазы, приходящихся на единицу длины плевкм суспензии в осевом направлении вследствие увеличения толщины пленки. Как видно из полученных расчетных данных, необходимая высота рабочей зоны гидроциклона определяется безразмерным расходом ()5 характеризующим соотношение основных геометрических размеров входного патрубка и корпуса аппарата, и заданной степенью извлечения на выходе из рабочей зоны гидроциклона, так как из анализа расчетных данных следует, что наиболее существенное изменение поля концентрации частиц твердой фазы в пленке суспензии наблюдается при изменении

безразмерного расхода р.

Как показывают расчетные данные для случаев Сё=Сь и необходимая высота рабо-

чей зоны гидроциклона в этих случаях должна быть увеличена.

Таким образом, разработанная математическая модель описывает процессы разделения суспензий в гидроциклоне напорной флотацией и осаждением в поле центробежных сил. Проведен анализ влияния критериев подобия, характеризующих гидродинамику течения пленки неньютоновс кой суспензии в гидроциклоне на поле концентрации частиц твердой фазы. Сформулированы рекомендации по совершенствованию конструкции гидроциклонов и оптимизации режимов их работы, направленные на улучшение основных показателей разделения. Полученные результаты после соответствующего экспериментального подтверждения могут быть положены в основу создания методики инженерного расчета гидроциклона-флотатора.

ЛИТЕРАТУРА

1, Орлов С, Л* В об: Развитие методов механической и биологической очистки сточных вод. Труды института «ВОДГЕО». М 1982, С. 132-136,

2, Алексеев В.И., Мясников И,Н», Найден ко В.В. В сб: Научные исследования в области физико-химической очистки промышленных сточных вод. Технология, автоматизация и анализ. Труды института «ВОДГЕО», М 1980. С. 87-95.

3, Лагуткии МХм Павловский Г.В* Химическая промышленность, 1997. № 8. С, 24-26.

4. Кутеиов A.M. и др. Теор. основы хим. технологии. 1999. Т, 33,ХЙ5,С 571-577.

5. Яблонский В.О. Журн. приют химии. 2000. Т. 73. Вып. 1С 95- 99.

6, Яблонский В.Ом Ряб чу к Г. В. Теор. основы хим, технологии, 2001. 1\ 35. № 5. С. 479 -484.

7. Тябин Н.В, я др, Теор. основы хим, технологии. 1979, Т. 13. С 880-884

8. Щукина AT, Математическое моделирование процессов разделения неоднородных систем с неньютоновской дисперсионной средой//Автореф. дне,.,, канд. техн. наук. Волгоград: ВолгГТУ. 1996.

Кафедра процессов и аппаратов химических производств