CC BY
38
Близорукова Марина Сергеевна к. ф.-м. н., доцент Институт математики и механики УрО РАН
Россия, Екатеринбург e-mail: msb@imm.uran.ru
Marina Blizorukova
candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer
Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS Russia, Ekaterinburg e-mail: msb@imm.uran.ru
УДК 517.977
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ВИРТИНГЕРА
ВАРИАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ 1
© Г. П. Бочкарёв
Ключевые слова: интегральное неравенство; оператор; \¥-подстановка; квадратично суммируемая функция; сопряжённый оператор; собственное значение; спектральный радиус.
Аннотация: На примере неравенства Виртингера рассматривается применение методов, разработанных Пермским семинаром по ФДУ, к доказательству интегральных неравенств.
При исследовании неравенства Виртингера [2, с. 245]
П П П
</&№,!*№ =0 (1)
оо
удобно рассмотреть вариационную задачу в Н1 = Н1 [а,Ь], пространстве функций, чья вторая производная принадлежит пространству Ь2 = Ь2[а,Ъ], квадратично суммируемых функций:
b
Фx = У (x2(t) — p(t)x2(t)^jdt ^ min,Jx(t)dt = 0. (2)
a a
Если эта задача имеет решение, то значение минимума функционала равно 0.
Обозначим через D = D[a,b] = |х Е H 1[a,b] | x(t)dt = oj, AC = AC[a,b] - пространство
абсолютно непрерывных функций. Следуя подходу, разработанному Пермским семинаром [1],
сведём рассматриваемую проблему к задаче в L2[a,b] с помощью подстановки, определяющей взаимно однозначное соответствие между пространствами D и L2 (х Е D, z Е L2):
b
X(t) = z(t), j x(t)dt = 0, (3)
1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 07-01-96060.
b
b
x(t) = j G(t,s)z(s)ds = (Gz)(t),
где 0(1, в) - функция Грина задачи (3).
Таким образом для г Е Ь2 имеем следующую задачу на безусловный экстремум:
b
Ф1 z = J z(t)^z(t) — (G*PGz)(t)^Jdt ^ min. (4)
a
Здесь
b t
(G'y)(t) = b—a Iy(s)ds — }y(s)ds (5)
aa
— сопряжённый к оператору G оператор, a P — оператор умножения на p : (I3y)(t) = p(t)y(t).
В [1] указаны необходимые и достаточные условия существования минимума для задач типа (4). Для нахождения условий существования минимума задачи (2) необходимо следующее утверждение.
Утверждение. Пуст^ь w(t) Е AC. Тогда, из G*y = w следует w(a) = w(b) = 0, y(t) = = —w'(t) + C .
Из этого утверждения следует, что
G*PGz = z ^ p(t)(Gz)(t) = —Xz'(t) + C(6), z(a) = z(b) = 0.
Для доказательства неравенства (1) имеет смысл сузить задачу: положим p(t) = p = const = = 0 C = 0
z(t) = — ^ (7)
p
Из формулы (7) получаем задачу на собственные значения для дифференциального уравнения второго порядка:
z"(t) = — -pz(t), z(a) = z(b) = 0.
Л
Её решение:
. (b — a)2 (b — a)2
Л — 22 p(n Е Z^ ^max — 2 p'
n2n2 П
Так как операторы G и G* компактные, а для вполне непрерывного оператора справедливо утверждение о том, что его спектральный радиус не больше максимального по модулю собственного значения, то нижеследующее выражение гарантирует единственность решения задачи (2)
п2
Amax ^ 1 ^ p ^ (b—af • (8)
Если в (8) подставить a = 0,b = n,p = 1, то можно убедиться в справедливости неравенства Виртингера.
ЛИТЕРАТУРА
1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.
2. Беккенбах 9., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1985. 280 с.
Abstract: On Virtinger’s inequality as an example it is considerated using techniques, developed by Perm FDE seminar, to proof of integral inequalities at this article.
Key words: integran inequality; operator; W-substitution; quadratic summable function; conjugate operator; eigenvalue; spectral radius.
Бочкарёв Григорий Павлович м.и.с.
Пермский государственный технический университет Госсия, Пермь e-mail: grpb@list.ru
УДК 517.929
ON THE SOLVABILITY OF RESONANCE BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH MONOTONE OPERATORS 1
© E. Bravyi
Key words: periodic boudary value problem; resonance boudary value problem; functional differential equations; Favard constants, Green function.
Abstract: For a wide class of resonance boundary value problems for scalar functional differential equations with positive operators necessary and sufficient conditions of the unique solvability are obtained.
Feriodic boundary value problems for different functional differential equations have attracted great attention during recent years (see [13] and lists of references). On the basic of the results of [2] some conditions of solvability for periodic problems were obtained in terms of maxima and minima of some polynomials. The optimality of solvability conditions and a recurrence relation for these maxima and minima were proved for all orders n only for some additional suppositions.
Here necessary and sufficient conditions of uniquely solvability for some classes of resonance boundary value problems (including periodic ones) are obtained.
Consider the boundary value problem for a linear scalar equation:
x(n)(t) = (T+x)(t) — (T-x)(t) + f (t), t e [0,1], (1)
£ix = Ci, i = 1,...,n — 1, £nx = x(n—1)(0) — x(n—1)(1) = cn, (2)
where n ^ 2; ci e R, i = 1,... ,n; f e L[0,1^ the linear operators T+/— : C[0,1] ^ L[0,1] are positive; the functionals
n— 1
£ix = '^2 (Aijx(j,)(0) + Bijx(j)(1)) , i = 1,...,n — 1, (3)
j=0
1 Supported by Grant 07-01-96060 of The Russian Foundation for Basic Research.
Grigoriy Botschkaryov younger scientific employee Ferm State Technical university Russia, Perm e-mail: grpb@list.ru
