Обобщенная биномиальная модель для прогноза цены на акции Роснефть Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Проблемы экономики и менеджмента

В.В. Васильев

магистрант, ФГБОУВПО «Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова»

К.С. Саушкина

магистрант, ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова»

В.И. Стрелкова

магистрант, ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова»

ОБОБЩЕННАЯ БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ПРОГНОЗА ЦЕНЫ НА АКЦИИ РОСНЕФТЬ

Аннотация. В данной статье мы изучим биномиальную модель эволюции цены акции. На основе данной модели выведем ее обобщение и применим для прогноза цены на акции Роснефть.

Ключевые слова: биномиальная модель, эволюция цены акции, биномиальная модель эволюции цены акции, прогноз цен акции.

V.V. Vasiljev, Kalashnikov Izhevsk State Technical University

K.S. Saushkina, Kalashnikov Izhevsk State Technical University

V.I. Strelkova, Kalashnikov Izhevsk State Technical University

GENERALIZED BINOMIAL MODEL FOR THE FORECAST OF THE PRICES FOR SHARES OF ROSNEFT

Abstract. In this article we will study the binomial model for the evolution of the share price. Based on this model we will bring it’s a generalization and we will apply for the forecast of the prices for shares of Rosneft.

Keywords: binomial model, the evolution of the share price, the binomial model for the evolution of the share price, forecast of the prices of shares.

Современный финансовый рынок является одним из наиболее ярких примеров глобализации и модернизации мировой экономики. Инфраструктура финансовых рынков представлена большим разнообразием финансовых посредников,

выполняющих как брокерские, так и дилерские функции, огромным количеством биржевых и внебиржевых финансовых операций, а также широким спектром новых финансовых инструментов, позволяющих не только получать высокие доходы, но и снижать финансовые риски. Участникам рынка требуются эффективные инструменты, позволяющие проводить глубокий экономический анализ финансового рынка и прогнозировать динамику его развития. Для финансовых временных рядов характерен эффект памяти, когда изменение цены зависит от величины предыдущего изменения. Среди трейдеров получил широкое распространение «технический анализ», при котором предполагается, что при определенном поведении цен на финансовом рынке можно с достаточно высокой определенностью прогнозировать дальнейшее направление движения цены. Поэтому является актуальным рассмотрение вероятностно-статистических моделей, описывающих эволюцию финансовых временных рядов с учетом выявленного эмпирически эффекта памяти [1].

118

№ 12 (28) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

Формализованные методы прогнозирования цены акции могут успешно использоваться для автоматизации торговых стратегий на бирже [2, 3].

Биномиальная модель эволюции цены акции. Рассмотрим временные ряды цен фондового рынка. Если взглянуть на графики цен акций, то нетрудно заметить, что их поведение носит хаотический характер. Поэтому значение цены акции St в момент времени t принято считать случайной величиной. Если к тому же рассмотреть эволюцию цены акции во времени St, t е [0, +го), то она определяет некоторый

случайный процесс.

Разобьем промежуток времени [0, t] на n промежутков одинаковой длины At: t = n At. Рассмотрим модель эволюции цены конкретной акции, когда нас будут интересовать только цены в начале и конце каждого полученного промежутка (цена открытия и цена закрытия). Предполагая, что цена открытия следующего периода равна цене закрытия предыдущего, в рамках нашей модели нас будут интересовать только n +1 значение цены акции.

Цена акции внутри каждого промежутка времени может только либо вырасти с коэффициентом и, либо упасть с коэффициентом d. Если обозначить через S цену акции в начале периода [t, t + At] (St = S), то цена акции St+At в конце равна либо Su, либо Sd. Предположим, что у любого инвестора в каждом промежутке времени имеется возможность получения гарантированного процента rf = rf (At) . Коэффициент

роста при инвестировании в безрисковый актив обозначим через r = 1 + rf.

Чтобы исключить возможность арбитража, будем предполагать, что

d < 1 < r < и. (1)

Обозначим через p вероятность того, что цена изменится вверх. Тогда 1 - p -вероятность того, что цена пойдет вниз:

P{S,+At = Su|S, = S} = p, P{S,+At = Sd|S, = S} = 1 - p.

Предположим, что выполнена гипотеза о нейтральности к риску инвесторов при заданном текущем значении цены S и возможных будущих ценах Su и Sd с учетом безрискового коэффициента r . То есть инвестор не переплачивает за риск, связанный с приобретением данной акции. Тогда покупка акции по цене S является эквивалентной операцией инвестированию суммы S в безрисковый актив. Это означает, что выполнено равенство:

S = M(St+At|St = S) S = Su ■ p + Sd ■(1 - p)

r r

Отсюда получаем, что r = up + d(1 - p) . Выражая p из этого равенства, окончательно находим, что вероятности p и (1 - p) равны

r - d u - d ’

1-p

u - r

u - d

(2)

Заметим, что условия отсутствия арбитража (1) обеспечивают положительность

№ 12 (28) - 2013

119

Проблемы экономики и менеджмента

выписанных величин. Таким образом, определенные вероятности принято называть нейтральными к риску вероятностями.

Пусть ii - индикатор случайного события, состоящего в том, что цена выросла в течение периода [(i - 1)At,iAt], i = 1,...,n. Тогда нетрудно вычислить, что

s U

SiAt = S(i-1)Atusd ^ и, прологарифмировав, имеем ln—= i • ln—ъ ln d . Полагая

JiAt i'J(i-1)At

S

(i—1 )At

d

значение текущей цены акции неслучайной величиной, равной S0 = S, из полученных формул находим, что

n n

А s li Is Z(|-s)

S, = SnA = SoП(usd ') = S• u- • d" .

i=1

Обозначим через vn число периодов до момента времени t, в которых цена двигалась вверх. Тогда (n -vn) будет числом единичных периодов до момента времени t, в которых цена двигалась вниз. Случайная величина vn представима в виде суммы бернуллиевских случайных величин %1,...,%n:

vn = IS , n-vn =Z(1 -i ).

i=1 i=1

В итоге получаем, что

v„ ЛИ-v„

S = S uv d

(3)

Так как случайная величина vn принимает целые значения от 0 до n, то возможные значения цены акции в конце n -го периода равны S uk dn-k, где k = 0,., n.

Чтобы получить вероятностное распределение случайной величины St, обратимся к классической модели теории вероятностей, именуемой схемой Бернулли. Представим себе, что каждый рассматриваемый единичный промежуток времени есть эксперимент, «успехом» которого является движение цены вверх, а «неуспехом» -движение цены вниз. Тогда мы имеем n независимых экспериментов с вероятностью «успеха», равной p. Введенная случайная величина vn будет числом «успехов» в

схеме Бернулли с заданными параметрами. Согласно теории вероятностей такая случайная величина имеет биномиальное распределение:

p{v„ = к}= C • pk (1 - рГ‘,

k n!

где Cn =------:-- - биномиальные коэффициенты, k = 0,1,.,n. Из формулы (3)

k !(n - k)!

вытекает, что

Р {St = Sukdn-k} = Ckn ■ pk (1 - p)n-k. (4)

Найдем математическое ожидание случайной величины Sn:

M St = I Sukdn-kCkn ■ pk (1 - p)n-k

k=0

SI C • (up)k (d (1 - p)f

k=0

120

№ 12 (28) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

Воспользуемся формулой бинома Ньютона и получим

M St = S (up + d (1 - p))”.

Но в силу нейтральности к риску заданной вероятности p из равенства (2)

следует, что M St = Srn = S(1 + rf )n. Таким образом, вероятность p соотносится с

величинами u, d и r так, что ожидаемая величина цены акции в момент времени n равна инвестиции в безрисковый актив. Это еще раз подтверждает ее название нейтральной к риску вероятности.

Прологарифмируем равенство (3):

ln

S

vn lnu + (n-vn)lnd

, u vn ln — n d

+ n ln d.

(5)

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, биномиальное распределение с параметрами n и p, равны Mvn = np и Dvn Поэтому из свойств математического ожидания и дисперсии вытекает, что

M ln —- = np ln —+ n ln d, D ln —- = np(1 - p) - I ln —

S

d

S

u

d

2

имеющей

np(1 - p).

(6)

Рассмотрим некоторый уровень возможных значений цены акции X. При различных финансовых расчетах важной является вероятность того, что в момент времени t цена акции не превосходит заданный уровень X : P |St < X]. Такая

величина является вероятностной характеристикой случайной величины St, которую принято называть функцией распределения. Так как условие St < X эквивалентно

S , X

неравенству ln —- < ln —, из формулы (5) и положительности величины lnu/i (в силу S S / а

d ) следует, что P {St < X} = P \vn ln — + n ln d < ln — = P {vn < x}, где

^ d S J

= ln(X / S) - n ln d (_)

x = ln(u / d) ' )

Обозначим через B( x, n, p) функцию биномиального распределения с

параметрами n и p . По определению эта величина равна вероятности того, что число «успехов» в схеме Бернулли не превзойдет x . Следовательно,

X

u > I

B(x, n, p) = Р {vn < x} = ^ Ckpk (1 - p)n k,

k=0

где [x] означает наибольшее целое число, не превосходящее x. Тогда искомая вероятность P {St < X} находится по формуле:

P {St < X} = B(x, n, p), (8)

здесь x удовлетворяет (7).

Наиболее статистически значимыми величинами при исследовании эволюции конкретного финансового ряда являются так называемые логарифмическое среднее а и

№ 12 (28) - 2013

121

Проблемы экономики и менеджмента

волатильность а2, показывающие среднестатистические изменения математического ожидания и дисперсии случайного процесса за единицу времени. Более строго эти параметры определяются по следующим формулам:

1 S. 2 1 S.

а = -M 1п^ , а2 =-D 1п^

T L s J T L s J

Зная распределение случайной величины ST - значения цены финансового ряда

в момент времени T, нетрудно получить численную оценку параметров а и а2 заданного ряда.

Согласно формуле (8), зная параметры биномиальной модели u, d, p и n, нетрудно построить распределение цены акции в момент времени t. Возникает простая проблема, каким образом выписанные параметры модели должны зависеть от вычисленных характеристик а и а2.

Параметр а2 является волатильностью акции. Дадим определение зависимости коэффициентов u и d от него:

u = exp (ал/At j, d = exp (-ал/At j. (9)

В таком варианте биномиальной модели безрисковый коэффициент роста r за один промежуток удобнее выражать, пользуясь непрерывно начисляемой процентной ставкой л. По определению этой величины за время At безрисковый актив

увеличивается в exp (л-At j раз. Следовательно, r = exp (л-At j. Вероятности p и 1 - p могут быть вычислены по формулам:

f

P =

2

1-iP

Л

f

1 - p = 2

1 -'Л - f P

Л

(10)

Обобщенная биномиальная модель эволюции цены акции отличается от классической тем, что в ней учитывается эффект памяти. Пусть, как и ранее, случайная величина mt принимает два возможных значения и и d, d < 1 < u . Предположим, что

1

вероятности того, что изменение цены будет равна и или d, зависят от предыдущих l изменений mt-l, mt-l+1,..., mt-1, где l - заданное натуральное число.

Пусть W = (u, d} - пространство слов длины l, состоящих из двух букв и и d. Элементом этого пространства является вектор-строка w = ( w1, w2,..., wt j, где wi G (u, d}.

На этом пространстве введем следующие преобразования. Пусть Ru : W ^ W

таково, что Ru (wj = (w2,...wt,uj . Это означает, что слово Ru (wj получается из слова w = (w1, w2,., wt j сдвигом влево букв и приписыванием справа буквы u . Аналогично

пусть Rd (W j = ( W2 , * * * W, d j .

Обозначим через mt =( mt +1,..., mt j вектор изменений цены финансового ряда в

122

№ 12 (28) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

последние l моментов времени. Нетрудно убедиться, что mt gW . Допустим, что последовательность случайных векторов \mt}, t е{0,1,...} , образует однородную цепь

Маркова. Множество W будет пространством состояний такой цепи Маркова. Чтобы определить вероятности перехода данной цепи Маркова, зададим некоторую числовую функцию a: W —> [0,1]. Тогда вероятности перехода из состояния w в состояние w для

цепи Маркова {mt} определяются по формуле:

a(w), p (w, w ) = < 1 - a(w), 0

если w = Ru (w), если w = Rd (w), иначе.

(11)

Из формулы (11) вытекает, что функция a(w) определяет вероятность того, что на следующем шаге цена пойдет вверх, если цена до этого имела изменения как в слове w. Например, реализуя фигуру разворота «голова-плечи» (см. рис. 1), a(w) = 0, если w = (u, u, d, u, u, d, d, u, d) . Другими словами, мы определили условные вероятности

P jmt = u|mt-1 = w } = a(w). (12)

Существует единственное начальное стационарное распределение, которое будем обозначать через q(w). Данная функция является неотрицательной и удовлетворяет двум условиям:

X q(w) ■ p(w, w)=q(wх X q(w)=1. (13)

wgW wgW

В дальнейшем будем рассматривать только стационарную цепь Маркова \mt ] .

В отличие от классической биномиальной модели в этом случае случайный процесс St не образует цепь Маркова.

Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательную цепь Маркова (St, mt) .

№ 12 (28) - 2013

123

Проблемы экономики и менеджмента

Предположим для простоты, что S0 = 1. Пространством состояний такой цепи Маркова

будет декартово произведение L xW, где L - решетка чисел: L = {uk ■ dm, k, m = 0,1,2,_|. Вероятности перехода данной цепи Маркова

определяются с помощью формулы

a(w),

Р ( (х, w),( х, w ) ) = -j1 - a( w),

0

если x = xu, w = Ru (w), если x = xd, W = Rd (w), иначе.

(14)

Рассмотрим следующее обобщение биномиальной модели. Пусть вероятности для изменения цены на каждом последующем промежутке времени будут зависеть от того, в какую сторону произошло изменение цены на предыдущем шаге.

Сформулируем такую модель более строго. Промежуток времени [0, t ] разбит на n одинаковых промежутков длины At. Для простоты положим At = 1. Это означает, что t = n. Будем предполагать, что цена актива внутри каждого единичного промежутка времени может только либо вырасти с коэффициентом и, либо упасть с коэффициентом d. Предположим, что вероятность продолжения движения цены в том же направлении, что и на предыдущем шаге, равна 1 - c, c е [0,1]. Если c = 1/2 , то мы имеем простую классическую биномиальную модель. Если c = 0 или c = 1, то такой случайный процесс будет вырожденным. Таким образом, динамика вероятностных характеристик обобщенной модели задается параметрами и, d и c.

Опишем алгоритм нахождения математического ожидания и дисперсии случайной величины St.

Для этого введем следующие обозначения. Пусть

W = ( (1 - c)(u + d))2 - 4du(1 - 2c), X± = (1 - c)(u + d) ± ,

=

VW ± (d + cd - u + cu) _ = (1 - c)(u - d) + 2cd ±-JW

, P± _

WW ' ' x 2cd

Введем функцию G(u, d, c, t) , зависящую от параметров модели u , d, c и времени t следующим образом:

G(u, d, c, t) = cc+P+ (Л+ У + a-P- (X-).

Тогда, полагая S0 = S , окончательно получаем, что

M

S

S

G(u, d, c, t), D

S

S

G(u2, d2, c, t) -(G (u, d, c, t) )2.

Применение обобщенной биномиальной модели эволюции цены акции для прогнозирования цены акции Роснефть. Цена акции зависит от большого количества факторов [5, 6]. Будем рассматривать в качестве единичного временного отрезка день. Данный график (рис.2) представляет дневные значения цены акций, всего на графике представлено 50 значений. Значения взяты с сайта компании «ФИНАМ» [7].

Видно, что в поведении акции периоды роста или падения будут существенно

124

№ 12 (28) - 2013

Проблемы экономики и менеджмента

консолидированы, поэтому она будет более соответствовать обобщенной биномиальной модели, чем классической.

Оценим параметры нашей модели для указанной выше акции. В качестве и и d имеет смысл брать среднегеометрические значения соответственно для коэффициентов роста и падения. В качестве вероятностей изменения направления возьмем соответствующие частоты. Параметры модели оцениваются как b=0.45, b - частота роста c=0.55, c - частота спада u=1.009, u - коэффициент роста d=0.987, d - коэффициент спада С=0,55, С - частота смены направления В соответствии с полученными в работе формулами и результатами, оценим доверительный интервал для будущих значений цены акции.

Итак, на 13 июня 2013 года цена на акции Роснефть составляла примерно 207,1 рублей за акцию. Взяв это значение в качестве нулевого, построим прогноз доверительного интервала для будущих значений исследуемого показателя.

При этом мода, верхняя граница и нижняя граница доверительного интервала для значения цены на данный сорт нефти в конечный момент примут значения 191,08; 260,86 и 151,75 рубля за акцию соответственно.

Рисунок 3 - Прогноз цены акции Роснефть при помощи ОБМ на 25 дней

№ 12 (28) - 2013

125

Проблемы экономики и менеджмента

Интересно сравнить эти прогнозы с предсказаниями простой биномиальной модели с теми же параметрами u, d, b, c.

Для сравнения построим теперь прогноз данной цены при помощи простой биномиальной модели также на 25 дней вперёд, с теми же параметрами. Получим результат, представленный на рисунке 4.

Рисунок 4 - прогноз цены акции Роснефть при помощи БМ на 25 дней

При этом мода, верхняя граница и нижняя граница примут значения 198,3, 250,43 и 158,07 соответственно.

Из представленных значений можно сделать вывод, что применение обобщённой биномиальной модели эволюции цены акции может довольно существенно уточнить прогноз доверительного интервала будущих значений цены. В частности, в данном случае обобщённая биномиальная модель эволюции цены акции предполагает менее широкий диапазон значений ряда в будущем.

Список литературы:

1. Лашкарев А.Н. Математическое моделирование динамики финансовых временных рядов с эффектом памяти: дис. ... канд. экон. наук. Ижевск, 2005. 103 с.

2. Файзуллин Р.В. Классификация систем помощи принятия решений на бирже // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2009. № 1 (41). С. 56-58.

3. Шибанова Ю.В. Классификация и методика построения автоматизированных систем поддержки принятия решений на бирже // Проблемы экономики и менеджмента. 2013. № 7 (23). С.76-85.

4. Файзуллин Р.В. Роль развития внутреннего срочного рынка для хеджирования рисков предприятий металлургии // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2009. № 3 (43). С. 114-116.

5. Давлетова Р.С., Файзуллин Р.В. Моделирование зависимости состояния нефтедобывающего предприятия от эндогенных и экзогенных факторов // Проблемы экономики и управления нефтегазовым комплексом. 2013. № 3. С. 33-37.

6. Пуряев А.С., Грахов В.П. Об оценке эффективности инвестиционных проектов глобального значения // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2012. № 2. С. 67-70.

7. ФИНАМ^и [Электронный ресурс]. URL: http://www.finam.ru

126

№ 12 (28) - 2013