Обобщения биномиального распределения и возможности его применения в транспортной отрасли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21 Миндеева Светлана Вильсуровна,

старший преподаватель, кафедра «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8-902-7-614-369, e-mail:pasha15032007@yandex.ru Толстых Ольга Дмитриевна, к. ф.-м. н., доцент, кафедра «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8-914-906-4624, e-mail:tolgad05@mail.ru

ОБОБЩЕНИЯ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ВОЗМОЖНОСТИ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ В ТРАНСПОРТНОЙ ОТРАСЛИ

S. V. Mindeeva, O. D. Tolstykh

GENERALIZATION OF BINOMIAL DISTRIBUTION AND ITS APPLICATION

IN TRANSPORTATION INDUSTRY

Аннотация. Для нормального функционирования транспортных систем требуется знать законы их функционирования. Требуемые законы, как правило, неизвестны, поэтому необходимо применение статистических подходов. Наиболее часто используемыми на транспорте, в механике, в математике и др. являются законы распределения: нормальный, логнормальный, биномиальный, Эрланга и пр. В статье рассмотрен классический биномиальный закон распределения и его основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение). Результаты экспериментов не всегда подчиняются известным классическим законам, вследствие чего в статье исследована возможность применения на практике отрицательного биномиального закона распределения, модифицированного биномиального закона распределения. Далее авторами представлен вывод числовых характеристик отрицательного биномиального закона распределения как в частных случаях, так и в общем виде. Приведены основные понятия и свойства модифицированного биномиального распределения.

Ключевые слова: классическое биномиальное распределение, отрицательное биномиальное распределение, модифицированное биномиальное распределение, математическое ожидание, дисперсия, транспортные системы.

Abstract. For the normal functioning of transport systems, it is required to know the laws of their functioning. The required laws are usually unknown, so it is necessary to use statistical approaches. The most frequently used laws in transport, mechanics, mathematics etc. Are the distribution ones: normal, lognormal, binomial, Erlang, etc. In the article, the classical binomial law of distribution and its main numerical characteristics (expectation, variance, standard deviation) are considered. The results of experiments not always obey the known classical laws, so the article investigates the possibility of applying in practice the negative binomial distribution law and modified binomial distribution. Further, the authors present the numerical characteristics of negative binomial distribution law, both in particular cases and in general. As well, basic concepts and properties of modified binomial distribution are given.

Keywords: classical binomial distribution, negative binomial distribution modified binomial distribution, mathematical expectation, dispersion, transport system.

Введение

В экономике страны транспортная отрасль занимает весомое место. Транспорт является частью производительных сил общества и представляет собой самостоятельную отрасль материального производства, обеспечивающую нормальную деятельность экономической системы в целом. Сама по себе транспортная система обеспечивает условия экономического роста, повышения конкурентоспособности национальной экономики и качества жизни населения.

Наиболее часто используемыми в транспортной отрасли, в механике, в математике являются следующие законы распределения: нормальный, логнормальный, биномиальный, Эрланга и пр. [1]. Наша задача в рамках данной статьи - рассмотреть классический биномиальный закон распределения, его обобщения и возможности их применения.

Общеизвестно, что теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в массовых случайных явлениях. До появления тео-

рии вероятностей в науке господствовал детерминизм, согласно которому осуществление определенного комплекса условий однозначно определяет результат. По мнению Т. В. Веремеенко [2] классическим примером является механика: «Например, на основании законов небесной механики по известному в некоторый момент положению планет Солнечной системы могут быть очень точно предсказаны солнечные и лунные затмения. Подобные законы называются детерминированными законами. Однако практика показала, что этот подход далеко не всегда применим. Не все явления макромира поддаются точному предсказанию, несмотря на то, что наши знания о нем непрерывно уточняются и углубляются. Еще менее детерминированы законы и закономерности микромира. Математические законы теории вероятностей отражают реальные статистические законы, объективно существующие в массовых случайных явлениях» [1].

В самом начале формирования основных понятий теории вероятностей выяснилась фундамен-

Транспорт

тальная роль одной математическом схемы, изученной известным швейцарским математиком Якобом Бернулли (1654-1705). Эта схема состоит в следующем: производится последовательность испытаний, в каждом из которых вероятность наступления определенного события неизменна, причем испытания предполагаются независимыми. В это вкладывается следующий смысл: вероятность появления некоторого события в каждом из испытаний не зависит от того, появилось или нет это событие в других испытаниях.

Классический биномиальный закон

распределения

Учитывая цель данной статьи, считаем необходимым рассмотреть биномиальный закон распределения, прежде чем перейти к обобщениям. Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биномиальным законом распределения В(п, р) . Входящие в формулу Бернулли постоянные п и р называются параметрами биноминального распределения. Проводятся п независимых опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с постоянной вероятностью р, независимо от номера испытания и результатов других испытаний, или не произойти («неудача») с вероятностью д = 1 - р . Таким образом, схему Бернулли можно схематично представить в следующем виде (табл. 1).

Т а б л и ц а 1

п независимых испытаний «успех» «неуспех»

результат 1 0

вероятность р д = 1 - р

Одна из основных задач в схеме Бернулли -определить вероятности того, что определенное событие (успех) произойдет к раз, определяется по формуле [2]

Рп (к) = скпр" (1 - р)--" = п! р" (1 - р)п-к,

к\ (п - к)!

к = 0,1, ...,п . (1)

Отметим, что схема Бернулли важна в прикладных вопросах не только сама по себе, но и в силу возможных обобщений [3, 4], например в дисциплине «Системы массового обслуживания» при проведении независимых испытаний с т исходами (полиномиальное распределение) [5], а также в дисциплине «Основы теории транспортных систем». Об этом более подробно см. в пособии А. Э. Горева [6].

Название «биномиальное распределение» связано с тем, что правая часть в равенстве (1) - это общий член разложения бинома Ньютона (д + р)п, т. е.

(д + р)п = С:рп + СГр'-1 д +... + Скркдп-к +... + Сдп.

Так как р + д = 1, то правая часть равенства равна 1. Это означает, что

I Рп (к) = 1 Скркдп-к = 1

к=0

к=0

Таким образом, первый член разложения р п определяет вероятность наступления рассматриваемого события п раз в п независимых испытаниях;

« п-1

второй член пр д определяет вероятность наступления события (п -1) раз; последний член д" определяет вероятность того, что событие не появится ни разу. Получим биномиальный ряд распределения В(п, р) :

X 0 1 к п-1 п

Р д" прдп-1 Ср-д-" пр-'д рп

Нельзя не упомянуть об основных числовых характеристиках: математическое ожидание -среднее значение числа появлений события (числа успехов); дисперсия - рассеивание или разброс значений числа успехов вокруг среднего значения, которые в данном случае определяются по формулам М(X) = пр; Б(Х) = прд; а(Х) = Отрицательный биномиальный закон распределения

Далее рассмотрим обобщения биномиального распределения - это отрицательное биномиальное распределение, модифицированное биномиальное распределение.

Отрицательное биномиальное распределение - это распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целые неотрицательные значения к = 1, 2,3, ... в соответствии с формулой

Р(Х = к) = С"г+к 1 ргдк1 (2)

при любых действительных значениях параметров 0 < р < 1 и г > 0 [7].

Отрицательное биномиальное распределение при г е N может получиться следующим образом.

Пусть в последовательности испытаний Бер-нулли с параметром p случайная величина Y обозначает общее число испытаний, необходимых для того, чтобы получить значение 1 ровно r раз. Если X есть число испытаний, в которых появилось значение 0, прежде чем 1 появилась r раз, то X = Y - r и X подчиняется отрицательному биномиальному распределению, задаваемому формулой (2). Это распределение возникает также в некоторых случайных процессах; оно было применено Мостелле-ром и Уоллесом (1964) для представления частот слов.

Рассмотрим случаи при r = 1, 2, 3, ... и общий случай.

При r = 1 отрицательное биномиальное распределение часто называют геометрическим распределением, которое возникает в задачах на проведение испытаний до первого появления события.

При r = 1 из (2) получим:

P(X = k) = c:+k-ip1qk-1 = C4y-1 p = qk 1 p, где X = k - число проведенных испытаний, включая первое появление события (например, бросание мяча в корзину до первого попадания, испытания приборов на надежность до первого отказа, стрельба до первого попадания). При этом закон распределения примет вид:

X 1 2 3 k

P p q-p q2 • p q-1- p

Если количество испытаний не ограничено, т. е. если случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, ..., то математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения можно найти по формулам, известным из теории вероятностей:

М(X) = 1; Б(Х) = 4. Р Р

Следует отметить, что если случайная величина - число неудачных попыток до первого появления события с вероятностью Р(Х = к) = ■ р , где к = 0,1,..., может принимать значения 0, 1, 2, ...,

да, то математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения можно найти по формулам

М (X) = 4; О( X) = ^. Р Р

Обратимся к практической составляющей: игральная кость подбрасывается до выпадения одного очка. Необходимо построить распределение

числа испытаний и найти соответствующие числовые характеристики распределения.

Предположим, что X - случайная величина, равная числу броска, где впервые появилась 1. X может принимать значение 1, 2, 3, . и имеет вид геометрического распределения с параметром

р = — . Вероятности этих значений находятся по

формуле Р^ = к) = (1 - р)к-1 ■ р :

Р(X = 1) = р = - Р(X = 2) = (1 - р) ■ р = 5 ■— , 6 6 6

р( .г =3) = у - р) ■ 0 - р).р = б5 ■ 6-(6)". 6

и т. д.

Таким образом, закон распределения примет

вид:

x 1 2 3 к

p. 1 6 5 1 66 (5 H (!)"• ä

Числовые характеристики соответственно равны:

М(X) = — = 6, О^) = 4 = 30, о(X)« 5,4. р р

Величина о « 5,4 говорит о том, что возможные значения X имеют достаточно большой разброс.

Далее рассмотрим случай при г = 2 и случайную величину X - число испытаний, в которых появилось значение 0, прежде чем 1 появилась 2 раза:

Р^ = к) = Скшр2 дк-1 = (к +1) ■ р2 дк-1, к = 1,2,...

Определим числовые характеристики. Математическое ожидание:

ад ад

MX = £ кР( X = к) = £ к (к +1)р2 4к-1 =

k=1

k=1

= p 2 £ (k + 1)kqk-1.

k=1

Заметим, что

« i

£ q"1 =7^

k=1 1 - q

0 < q = 1 - p < 1.

Почленно продифференцировав степенной ряд, получим:

r 1 V

£ q

v1 - q у

£ (k + 1)qk =

1

(1 - q)2

k=0

Транспорт

I (к + 1)дк =

1

]Г (к + 1)кдк1 = -

2

Д1 - д)2) ^ ' * (1 - д)3 Математическое ожидание примет вид:

2 2 МХ = р2--,1 - д = р ^ МХ = —.

(1 - д)3 р

Для дисперсии получим следующее:

МХ =

2!

3( 1 ^

///

3!

V 1 - д) 2! (1 - д)4 3

-,1 - д =

Ш 4

ЭХ = МХ2 - (МХ)2, БХ = р21 к2 (к + 1)дк-1---.

к=1 р

Вычислим сумму ряда: I к2 (к + 1)дк-1 =Л (к (к + 2) - 2к )(к + 1)дк-1 =

к=1

к=1

к-

= 1 (к + 2)(к + 1)кдк-1 - 21 к (к + 1)дк-1. к=1 к=1

Аналогично можно показать, что первая сумма равна

т /■

1 1 ( 2 1 2 • 3

I д

1 - д

(1 - д)3 у (1 - д)4

то есть

I к 2(к + 1)дк 1 =

к=1

(1 - д)4 (1 - д)3 р4 ~3'

6 4

Тогда дисперсия

(

ЭХ = р2

6 4

V р4 р3у

4 2 4

2 2 р р р

БХ =

2(1 - 2р)_2(д - р)

рр

По определению БХ > 0 ^ 0 < р < 0,5 . Итак, при г = 2 получаем распределение с вероятностью

Р ( х = к) = (к +1) р2 дк 1, к = 1,2,... с числовыми характеристиками:

МХ = БХ = ,0 < р < 0,5.

р р

Рассмотрим случай г = 3 . Случайная величина Х - число испытаний, в которых появилось значение 0, прежде чем 1 появилась 3 раза:

Р(Х = к) = Ск3+к_хр3дк-1 = СкрЗдк1, к = 1, 2,...

Определим числовые характеристики. Математическое ожидание:

МХ = Iк • (к + 2)(к +1) р3дк-1 =

к=1 _ 3 ш

2!

^ I (к + 2)(к + 1)кдк-1, 2! к=1

= р ^ МХ =

р

Дисперсия БХ = МХ2 - (МХ)2: МХ2 =Ц к2 • (к + 2)(к +1) рздк-1 =

к=1

2!

р

I (к(к + 3) - 3к)(к + 2)(к + 1)дк, 2! к=1

МХ2 =

2!

3 ({ 1 У™

V1 - д у

- 3

1 ///

V1 - д у

2!

3

4!

3 • 3!

(1 - д)5 (1 - д)4 у

у

12 9

„2

БХ = МХ2 - (МХ)2 =

12 9

2

р р

V р У

3(1 - 3 р) р2 "

Итак, при г = 3 числовые характеристики: МХ = -, БХ = ,0 < р < 1.

' 2 ' г 0

Г р 3

Теперь рассмотрим вывод числовых характеристик в общем виде:

Ш

МХ = I кСгк+к _^ргдк=

к=1

^ к (г + к -1)! к-р ¿1 к!(г-1)! 4 ,

р Ш

МХ = —р— I (к + г - 1)(к + г - 2 )...(к + 1)кдк 1. (г -1)! к=1

Последняя сумма представляет собой производную порядка г ряда

Ш 1

II дк+г-1 =г

к=-г+1 1 -

с 1 ^

1

С 1 ^

д гг

1 • 2

- д) (1 - д)2 VI- ду (1 - д)

С 1 1(г) 1 • 2 • 3 •... • г г!

V1 - д у

(1 - д)г

г+1 •

Тогда

р г! г

МХ = —р---- ^ МХ = — .

(г -1)! рг+1 р

Вычислим дисперсию:

МХ2 =£ к С+^р'д" = рг I к ^+ к - ')! дк-1. к=1 к=1 к!(г -1)!

3

3

Ш

оо

со

Ш

6

4

3

Ш2 = ^^ £ (к(к + г) - кг)(к + г - 1)(к + г - 2)...(к + 1)4к-1

„г ад ад

MX2 = ^ [ £ (к + г)(к + г-1)...к4к-1 - г-£ (к + г-1)..^ 1

MX2 =

(г -1)!

\(г+1)

1 - Ч

к=1 Г

-г

\(г) )

1 - ч.

(г +1)!

г +2

г г!

(г - 1)Н (1 - ч)г+2 (1 - ч)

г+1

MX2 =■

г (г +1)! г-гО

(г -1)!

Тогда

ОX = MX2 - (MX)2 =

2 _ г (г +1) г2

2

(¿V

Итак, числовые характеристики отрицательного биномиального распределения имеют следующий вид:

MX = г, ox = гО-тр! ,0 < р < 1.

р р2 г

Модифицированный биномиальный закон распределения

Следующим обобщением биномиального распределения является модифицированное биномиальное распределение. Данным вопросом более подробно занимается коллектив авторов А. В. Ори-щенко, В. В. Авдонин, Д. А. Орищенко [8].

На множестве действительных значений случайной величины может быть определена функция распределения типа

Р(х) = С (а, х)рх (1 - р)"-х, х < а, где биномиальный коэффициент С (а, х) выражен

не в виде соотношения факториалов, а в виде соотношений гамма-функций, где гамма-функция определяется по формуле

ад

Г (а + 1) = | еа Л, а е Я ,

0

а для целого положительного аргумента интегрированием по частям можно получить: Г(" + 1) = "!. В результате получится функция вида

Р(') =

Г (а +1)

Г (х +1) Г (а - х +1)

р' (1 - р)а-х, (3)

где х и а определены над полем действительных чисел.

Функция (3) названа коллективом авторов А. В. Орищенко, В. В. Авдонин, Д. А. Орищенко -модифицированным расширенным биномиальным распределением и обладает следующими свойствами:

1) определена на всей числовой оси;

2) непрерывна в каждой точке области определения;

3) при х е Z : х < " значения функции совпадают со значениями функции биномиального распределения (1);

4) нули функции: х = -1, х = " +1.

Более подробное исследование некоторых статистических свойств функции модифицированного расширенного биномиального распределения проведено в[9].

Существует множество практических задач, решение которых связано с использованием модифицированного расширенного биномиального распределения. Например, анализ широкодиапазонных данных как в области больших, так и в области малых значений исследуемой величины. В качестве аппроксимирующей функции чаще всего используют функцию логнормального распределения:

I (х) = ■

1

(^ х-а ) " 2о2

хо42к

где а, а - параметры распределения, определяющие центр распределения и разброс. В работе [7] показано распределение персонала по эффективным дозам внешнего гамма-облучения. Заключение

Диапазон результатов эксперимента, как правило, широк, и их распределение не всегда подчиняется известным классическим законам (нормальное, логнормальное, Эрланга и т. д.). При анализе таких экспериментальных данных особенность их распределения затрудняет аппроксимацию. Интерпретация статистических данных и обработка по линейной шкале чаще всего неприменима. В связи с этим метод исследования результатов измерений различных физических величин, изменяющихся на диапазоне нескольких декад, может быть основан на применении функции модифицированного расширенного биномиального распределения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. СПб. : Наука, 2001. 295 с.

2. Кузьмин О.В. Комбинаторные методы моделирования дискретных распределений : учеб. пособие. Иркутск, 2006. 138 с.

3. Докин В.Н., Кузьмин О.В. О рандомизации В-распределений // Комбинаторные и вероятностные проблемы дискретной математики : сб. науч. тр. Иркутск, 2010. С. 34-46.

г

1

1

г

г + 2

г + 1

2

2

Г

г

2

Транспорт

4. Веремеенко Т.В. Высшая математика : учеб.-ме-тод. пособие. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. Минск : ГИУСТ БГУ, 2010. 130 с.

5. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М. : Юрайт, 2011. 404 с.

6. Горев А.Э. Основы теории транспортных систем. СПб. СПбГАСУ, 2010. 214 с.

7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учеб. пособие. М. : КНОРУС, 2010. 480 с.

8. Орищенко А.В. Авдонин В.В., Орищенко Д.А. Применение расширенного модифицированного биномиального распределения для обработки экспериментальных данных // Вестник Димитровград. инженерно-технологич. ин-та. 2013. № 1 (1). С. 75-19.

9. Орищенко А.В., Авдонин В.В., Орищенко Д.А. Некоторые статистические свойства функции модифицированного биномиального распределения // Вестник Димитровград. инженерно-технолог. ин-та. 2014. № 1 (3). С.55-63.

УДК 621.311 Закарюкин Василий Пантелеймонович,

д. т. н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения,

e-mail: zakar49@mail.ru Крюков Андрей Васильевич, д. т. н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения,

e-mail: and_kryukov@mail.ru Лэ Ван Тхао,

магистрант, Иркутский национальный исследовательский технический университет,

e-mail: vanthaoirk@mail.ru

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ОБСТАНОВКИ НА ТРАССАХ МНОГОФАЗНЫХ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ

V. P. Zakaryukin, A V. Kryukov, Le Van Thao

ELECTROMAGNETIC SITUATION MODELLING ON ROUTES OF MULTIPHASE POWER LINES

Аннотация. Многофазные линии электропередачи (ЛЭП) по сравнению с трехфазными обладают целым рядом преимуществ, к которым можно отнести: меньшие габариты, большую пропускную способность, минимизацию радиоизлучения и акустического шума от коронирующих проводов и т. д. При практической реализации многофазных ЛЭП особую актуальность приобретают вопросы электромагнитной безопасности, которая определяется электромагнитной обстановкой, т. е. совокупностью электромагнитных процессов в заданной области пространства. Основными характеристиками этих процессов являются напряженности электрического и магнитного полей (ЭМП). На трассах протяженных ЛЭП сложно получить экспериментальные данные, отвечающие максимальным напряженностям ЭМП, поэтому анализ ЭМП в таких условиях рекомендуется выполнять на основе математического моделирования.

В статье рассмотрены вопросы моделирования электромагнитной обстановки на трассах многофазных линий электропередачи. Разработанные в ИрГУПС методы и средства моделирования синусоидальных режимов в фазных координатах позволяют провести при определении режимов электроэнергетических систем одновременные расчеты напряженностей электрического и магнитного полей, создаваемых многопроводными линиями электропередачи. На этой основе реализован системный подход к анализу электромагнитной обстановки.

На уровень электромагнитных полей существенное влияние оказывает пространственное расположение проводов, которое меняется в циклах транспозиции. В статье приведены результаты компьютерного моделирования полей шести-, девяти-и двенадцатифазных линий электропередачи, показавшие важность учета транспозиции проводов.

На основе предлагаемой методики путем ограниченного перебора вариантов фазировки проводов ЛЭП может быть решена сложная задача выбора оптимального расположения проводов отдельных фаз многофазной линии с учетом транспозиции и различных экологических ограничений на отдельных участках. Технология компьютерного моделирования электромагнитных полей может быть распространена на многопроводные линии любых применяемых на практике конструкций.

Ключевые слова: электроэнергетические системы, многофазные линии электропередачи, электромагнитные поля, моделирование.

Abstract. Multiphase power lines in comparison with three-phase ones possess a number of benefits: smaller dimensions, big capability, minimization of radio emission and acoustic noise from a crown on wires, etc. In case of multiphase power lines practical implementation special, relevance is acquired by electromagnetic safety which is determined by a set of electromagnetic processes in the area of line space. The main characteristics of these processes are intensities of electric and magnetic fields (EMF). On routes ofpower lines it is difficult to obtain the experimental data of maximum EMF intensities; therefore, the EMF analysis in such conditions is recommended to be made on the mathematical modeling basis.

Questions of electromagnetic safety modeling on multiphase power lines routes are considered. The methods developed in Irkutsk state transport university of the sinusoidal modes in phase coordinates allow carrying out simultaneous calculations of EMF intensities created by multi wire power lines in case of determination of electrical power system modes. On this basis system approach to electromagnetic situation analysis is realized.