Обобщение теоремы Лежандра о трёх квадратах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 25. Выпуск 1.

УДК 511 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-127-137

Обобщение теоремы Лежандра о трёх квадратах

X. Аль-Ассад

Хафез Аль-Ассад — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва).

e-mail: lhbrhO@gmail.com

Аннотация

В данной работе представлено обобщение теоремы Лежандра о трех квадратах на представления двух натуральных чисел в виде сумм трех квадратов, для которых имеется общий квадрат.

Ключевые слова: Теорема Лежандра о трёх квадратах, принцип Хассе для систем двух квадратичных форм.

Библиография: 8 названий. Для цитирования:

X. Аль-Ассад. Обобщение теоремы Лежандра о трёх квадратах // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 1, с. 127-137.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 1.

UDC 511 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-127-137

A generalisation of Legendre's three-square theorem

H. Al-Assad

Hafez Al-Assad — Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: lhbrhO@gmail.com

Abstract

In this paper a generalisation of Legendre's three-square theorem to representations of two positive integers as sums of three squares for which the first square of each representation is the same is presented.

Keywords: Legendre's three-square theorem, Hasse's Principle for systems of two quadratic forms.

Bibliography: 8 titles. For citation:

H. Al-Assad, 2024, "A generalisation of Legendre's three-square theorem" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 1, pp. 127-137.

1. Введение и постановка задачи

Основной результат этой работы, теорема 2, приведенная ниже, был предложен с помощью компьютерных расчетов, выполненных Али Дибом (dib_a@spbstu.ru), Высшая школа управления кибер-физическими системами, Институт компьютерных наук и кибербезопасно-сти, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (СПбПУ).

Проблема представления целого положительного числа в виде суммы трёх целых квадратов решается следующей теоремой Лежандра ([2], ст. 47).

Теорема 1. (Лежандр) Пусть т — целое положительное число. Уравнение

2 2 2 т = х2 + у2 + г2

имеет решение в х,у,х € Ъ если и только если т удовлетворяет условию

т = 4а(8Ь + 7); а,Ь € Ъ, а,Ь > 0.

Мы обобщим этот классический результат, рассматривая представления двух натуральных чисел в виде сумм трех квадратов, так что эти два представления имели общий квадрат.

Т.е. мы рассматриваем решения системы

т = а2 + &О + с1,

т' = а2 + Ь2 + с2 (1)

в целых числах а, Ъ\,Ъ2,с\,С2-

Для удобства будем называть целые числа, пред ставимые в виде суммы трёх квадратов, Л ежандровыми.

Кроме того, мы заключаем следующее полезное соглашение: мы говорим, что две пары целых чисел (т^т^) и (ш2, т'2) сравнимы по модулю целого числа п, если либо

т\ = т2шоёп, т\ = т'2тоёп,

или

т\ = т'2шо&п, т[ = т2шоёп. Наш основной результат - следующая теорема.

Теорема 2. Пусть т,т' € Ъ — пара Лежандровых положительных целых чисел. Система

д2т = а2 + Ь\ + с\,

д2т' = а2 + &2 + с2 (2)

имеет решение в положительных ц, а, Ь\, 62, с\, С2 тогда и только тогда, когда пара (т, т') не сравнима с (0, 3) или (3, 4) по модулю 8 и не сравнима ни с одной из пар

(0, 3 ■ 2к-3), (0, 3 ■ 2к-2), (0, 7 ■ 2к-3),

(2к-3,3 . 2к-2),

(5 ■ 2к-3, 3 ■ 2к-2)

по модулю 2к, для любого четного целого к > 4.

Более того, существует решение системы (2) такое, что q нечетно и взаимно просто с а. План доказательства следующий.

Рассматриваем систему (1) в рациональных числах a,b\,b2,ci,c2.

Сначала мы покажем, что для любой пары (m,m'), система (1) имеет нетривиалньое решение в кольце Ъ/рЪ для любого простого числа р.

Потом мы покажем, что для любой пары (т, т'), система (1) имеет нетривиалньое решение в кольце Ъ/рк Ъ для любого нечетного простого числа р и любого целого числа к > 1.

Затем мы покажем, что если ^2(gcd(m, т')) < 1, то система (1) имеет нетривиалньое решение в кольце Ъ/2кЪ для любого целого числа к > 1 тогда и только тогда, тогда пара (т, т') удовлетворяет условиям теоремы 2.

Из этого получим условия нетривиальной разрешимости системы (1) в р—адических полях Qp при V2(gcd(m,m')) < 1, и, поскольку разрешимость в R очевидна, мы используем форму локально-глобального принципа Хассе ([5], ст. 22, теорема 3.2) для перехода к решениям системы (1) в Q, при v2(gcd(m, т')) < 1.

После этого, мы используем теорему Давенпорта-Касселса ([2], ст. 46) для перехода от решений системы (1) к решениям системы (2), при V2(gcd(m,m')) < 1.

Наконец, воспользуемся леммой для перехода от решений системы (2) в случай, когда V2(gcd(m,m')) < 1 к решениям системы (2) в общем случае.

2. Задача по модулю простого числа

Пусть р — некоторое простое число. Мы рассматриваем систему

t2 + х2 + у2 = mmodp,

t2 + z2 + w2 = m'modp, (3)

в t, x, y,z,w £ Ъ/рЪ.

Покажем, что (3) разрешимо для всех т,т'.

Разрешимость (3) в случае р = 2 тривиальна, а 0 нетривиально представляется как 0 = 1+1 mod 2. Поэтому предположим, что р > 2. Лемма 1. Если т ф Omodp, то сравнение

х2 + у2 ф mmodp (4)

разрешима.

Доказательство. Если т — квадратичный вычет по модулю р, то можно взять у = 0. Предположим, что т — квадратичный невычет.

р-1

Пусть Q\ = {Qi}i=2i — множество квадратичных вычетов по модулю р.

" р-1 " Покажем, что множество Q2 = {qi + 1}^=1 содержит хотя бы один квадратичный невычет.

Действительно, если Q2 не содержит квадратичных невычетов, то Q2 = Qi, и мы можем

рассматривать элементы Q2 как перестановку эле ментов Q\.

Рассмотрим цикл перестановки, содержащей элемент q\

qi+i ф qi + 1, 1 < i < k — 1, ^ ф qk + 1,

для некоторого 1 < k < . Однако это дает, что

qi ф Qk + 1 ф Qk-i + 2

к ф Omodp,

что является противоречием.

Следовательно, множество ^2 содержит некоторый квадратичный невычет г, скажем с

г = д + 1 = Г2 + 1, (5)

для некоторого г.

Пусть д — примитивный корень по модулю р. Поскольку таг — квадратичные невычеты, мы можем написать

т ф д2а+1,г ф д2Ь+1, (6)

для некоторых 0 < а, Ь < Из (5) и (6) мы видим, что

т ф Гд2(а~ь) ф г2д2(а~ь) + д2(а~ь) ф х2 + у2.

□

Теперь докажем основной результат данного раздела. Теорема 3. Система (3) разрешима для всех т, т'. Доказательство. Если т, т' ф Ошоёр, то берем í = 0, и теорема следует из леммы 1.

Если, скажем, т' ф ^о берем í = 0 такой, что ¿2 ф т, и теорема опять следует из леммы □

3. Задача по модулю степени нечетного простого числа

Пусть р — нечетное простое число, а к > 2 — целое число. Мы рассматриваем систему

I2 + х2 + у2 ф тшоо&рк,

г2 + х2 +-ш2 ф т'шо<1рк, (7)

в I, х, Е Ъ/ркZ.

Покажем, что (7) разрешимо для всех т,т'. Теорема 4. Система (7) разрешима для всех т, т'.

к к = 1

Предположим сначала, что т, т' ф Ошоёр. Доказательство теоремы 3 показало, что в к = 1 = 0 По индукции мы предполагаем, что это верно по модулю рк~1, так что

х2 + у2 ф тшо(1рк~г х2 +у2 ф т + грк~1шо(1рк; 0 < г < р — 1, (8)

где, поскольку т ф 0шоёр, мы можем считать, что х ф 0шоёр.

г

2хг ф — гшо(р.

Тогда согласно (8) имеем

(х + грк~1)2 + у2 ф х2 + у2 + 2хгрк~1 ф тшо(рк,

что завершает индукцию в этом случае и показывает, как и при доказательстве теоремы 3, что система (7) разрешима с £ = 0, если т, т' ф 0шоф.

Предположим теперь, что т ф 0шоёр, т' ф 0шоёр. Мы выбираем любой £ ф 0шоёр такой, что Ь2 ф тшо(р, и рассматриваем эквивалентную систему

х2 + у2 = т — ¿2шофй, г2 + w2 = т' — ¿2шофй, (9)

в х, у, х, ■ш.

По определению í мы знаем, что

т' — ¿2 ф Ошоёр, т — ¿2 ф Ошоёр

и, таким образом, решение (9) сводится к предыдущему случаю.

Наконец, доказательство случая т, т' ф Ошоёр полностью аналогично доказательству предыдущего случая, надо только выбирать любое Ь ф Ошоёр. □

4. Задача по модулю степени 2

Пусть к > 1 — целое число. Мы рассматриваем систему

¿2 + х2 + у2 ф тшоё2й,

¿2 + г2 + w2 ф т'шоё2й, (10)

в 1,х,у, е Ъ/2кZ.

В этом разделе мы будем предполагать, что т, т' — Лежандровые целые числа, и что г>2^сё(т, т')) < 1.

Случай к = 1 тривиален (он был рассмотрен в начале раздела 2), и нетрудно видеть, что при к = 2 система (10) разрешима для всех (т, т'), не сравнимых с (0, 3) по модулю 4.

В дальнейшем мы будем обозначать то и т\ соответствующие приведения т и т' по модулю 2^-1 и будем рассматривать приведение (10) по модулю 2^-1:

1? + х2 + у2 ф т0шо&2к-1,

г2 + г2 + w2 ф т1шо^2к-1. (11)

Если (11) имеет решение, то можем записать (10) в виде

¿2 + х2 + у2 ф то + г2к-1шо&2к,

г2 + г2 + w2 ф Ш1 + в2к-1шо^2к, (12)

где г, 8 е {0,1}.

Всего существует четыре возможных пар (г, в), и основная идея, лежащая в основе данного раздела, заключается в том, что решение (11) дает решение (12) ровно для одной пары (г, в), и мы хотим использовать это решение (12) для перехода к соответствующим решениям (12) для трех оставшихся пар (г, в).

При необходимости, сделав замена переменных

т0 ^ т0 + 2Й-1, т1 ^ т1 + 2к-1,

можно считать, что данное решение всегда имеет г = 8 = 0. Для любой компоненты и с

к — 3

Ъ(и) < ^, (13)

замена переменных

дает

Кроме того, если

тогда замена переменных

дает

и' = и + 2к-'и2(и)~2

и'2 фи2 + 2к-1шо(2к.

к нечетно, ь2(и) > к—3, (14)

. к-1 и = и + 2 2

и'2 фи2 + 2к-1шо(2к.

Компоненты, удовлетворяющие (13) или (14), мы называем поднимаемыми компонентами. Решение (12) назовем применимым, если хотя бы одна из Ь,х,у и одна из Ь, х, и> поднимае-

и

Ф(и) = -I к_

{к — у2(и) — 2 если и удовлетворяет (13), если и удовлетворяет (14).

Предложение 1. Если существует применимое решение (12) для г = в = 0, то существует решение (12) для любой пары (г, в) Е ,1.

Доказательство. Если ио,и1 е {£,х,у,г,~ш} — разные поднимаемые компоненты данного решения (12), то замена переменных

и'0 =ио + ео2ф(и°) , и1 = и1 + 12'ф(и1), (15)

гдк ео, £1 означают либо 0, либо 1, если фиксировать остальные компоненты, как легко

видеть, дает решения (12) для различных пар (г, в) € , при вариациях значений во, £1 Е {0,1}. □

Лемма 2. Если т, т' нечетны, то (10) разрешимо.

х

При к = 3 это можно проверить вычислительно.

к — 1

х

ио = х, и1 =

(г, в) Е ,, а и0, и1 остаются нечетными для всех значений во, еь □

Предложение 2. Пусть к > 3. Нечетный вычет и Е Z/2fcZ является квадратичным вычетом тогда и только тогда, когда и ф 1шоё8.

1

нечетный квадратичный вычет по модулю 8.

и

и ф (—1) V5к(и); 0 < Н(и) < 2к-2.

Следовательно, несложно увидеть, что и является квадратичным вычетом тогда и только тогда, когда и Н(и) четны, что дает ровно 2к-3 = ^ квадратичных вычетов, и с учетом

обратной импликации отсюда следует, что любой и ф 1шоё8 является квадратичным вычетом. □

Предложение 3. Если существует решение (12) при г = в = 0 с хотя одним из х, у, г, ад нечётным, то существует решение (12) для любой пары (г, в) е .

Доказательство. Без ограничения общности предположим, что х нечетно. Это позволяет перейти к решению (12) при г = 1 при фиксировании в, применив замену переменных в (15) с и0 = без и1.

Следовательно, нам достаточно найти решения уравнения (12) для = 1, поскольку мы можем перейти между решениям для г = 0 и г = 1, сохраняя при этом фиксированным, как было только что показано.

Если бы одно из Ь, х, ад было поднимаемым, то у нас было бы применимое решение, и предложение следует из предложения 1.

Поэтому предположим, что ни один из Ь, х, ад не поднимаемый. Рассматриваем два случая. Случай 1. к четно:

Тогда 12,г2,ад2 е {0,2к-2} и, следовательно, т1 е {0, 2к-2,2к-1,3 ■ 2к-2}, что дает

т1 + 2к-1 е {0, 2к-2, 2к-1, 3 ■ 2к-2}.

Следовательно, мы всегда можем взять г2 = 0 или г2 = 2к-2 в представлении т1 + 2й , и, таким образом, решение (12) для в = 1 всегда можно найти либо взяв г' = г, если I2 = 0, либо

г'2 ф г2 — 2к-2шой2к

если I2 = 2^-2, что возможно по предложению 2, поскольку имеем х2 — 2к-2 ф х2 ф 1шоё8, так как к > 5 и г нечетно. Случай 2. к нечетно:

Тогда I2 = х2 = ад2 = 2к-3, и поэтому т1 = 3 ■ 2к-3, что дает т1 + 2к-1 ф 7 ■ 2к-1.

Поскольку к нечетно, мы видим, что т,1 +2^-1 не является Лежапдровым, и поэтому в = 1 □

Сформулируем и докажем основной результат данного раздела. Теорема 5. Пусть т, т' — Лежандровые целые числа, и что v2(gcd(m, т')) < 1. Тогда система (10) разрешимо если и только если (т, т') не сравнима с (0, 3) или (3, 4) по модулю 8, и не сравнима ни с одной из (0, 6), (0,14), (2,12), (10,12) по модулю 16. Доказательство. При к = 3,4 это можно проверить непосредственным вычислением. Предположим, что к > 5.

Докажем теорему по индукции. Предположим, что (10) разрешимо для к — 1, так что нам дано решение (14), которое, не ограничивая общности, можно считать с г = в = 0. Если данное решение поднимаемое, то теорема следует из предложения 1. Предположим, что данное решение не является поднимаемым. Если один из х,у, г, ад был нечетным, то теорема следует из предложения 3.

Если все х, у, г, ад четные, а Ь нечетно, то т и т' оба нечетны, и теорема следует из леммы

Если бы все Ь, х, у, г, ад были четными, то мы имели бы Ь2(§('Л(ш, т!)) > 2, что противоре-□

5. Доказательство основного результата

Доказательство теоремы 2 займет весь данный раздел.

Сначала докажем третье утверждение теоремы 2. Допустим, что нам дано решение системы (2) такое, что д четно. Тогда ц2 ф 0шоё4, а приведение (2) по модулю 4 показывает, что а, Ь1, Ь2, С1, С2 обязательно четны, поэтому мы можем разделить все члены обоих уравне-

предположить нечетным. Это доказывает третье утверждение теоремы 2.

Рассмотрим систему двух диагональных квадратичных форм с целыми коэффициентами

ти2 — 12 — х2 — у2 = 0,

т'ь2 — г2 — г2 — из2 = 0. (16)

Если т и т' оба рациональные квадраты, то (16) имеет нетривиальное решение

и = 1, х = у/т, г = у/т', £ = у = ■ = 0,

и поэтому в дальнейшем мы предполагаем, что хотя бы один из т и т' не является рациональным квадратом.

В разделах 2,3,4 мы рассматривали разрешимость системы (16) в кольцах Ъ/ркЪ для всех простых р и целых чисел к > 1, при условии, что г>2^сё(т, т')) < 1.

Для перехода к пересечениям в р—адических полях Qp воспользуемся следующей простой леммой ([2], ст. 14, предложение 6).

Лемма 3. Пусть Е Ър[Х1,..., Х^] — однородные многочлены с целыми р—адическими коэффициентами, и пусть ¡^^ Е (Ъ/ркZ)[Хl,..., Х^] обозначают их приведения по модулю рк. Тогда /г имеют общий нетривиальный нуль в тогда и только тогда, когда /ц^ имеют

общий примитивный нуль в (Ъ/ркЪ)н для всех к > 1.

Чтобы убедиться, что лемма 3 применима к нашему случаю, рассмотрим приведение системы (16) по модулю рк.

Если р — нечетное простое число, то теорема 4 показала, что система (16) имеет нетривиальное решение в Ъ/ркЪ для всех пар (т,т'), и существует такое решение содержащее примитивный элемент из Ъ/ркЪ.

Если р = 2, то из предположения, что 1)2(§('Л(т,т')) < 1, следует, что хотя бы одно из т и т' не сравнимо с 0 по модулю 2^ при к > 1, а теорема 5 показывает, что (16) разрешимо в Ъ/2^Ъ для всех таких пар (т,т'), не сравнимых с исключениями из теоремы 2 (или, что то же самое, исключениями из самой теоремы 5). Такие пары (т,т') обладают тем свойством, что хотя бы одно из т и т' предполагается ненулевым в Ъ/2кЪ, мы всегда можем взять и = 1 при решении (16) в Ъ/2кЪ, и это, очевидно, дает примитивное решение.

Таким образом, мы показали, что для пар, не сравнимых с исключениями из теоремы 2, система (16) имеет нетривиальные решения во всех р—адических полях при условии, что v2(gcd(m, т')) < 1.

Система (16), очевидно, нетривиально разрешима в М.

Теперь нам нужен механизм перехода от решений во всех пополнениях а именно р—адических полях и М, к решениям в самом

Для этого воспользуемся следующим результатом Коллио-Телена, Корэ и Сансука ([5], ст. 22, теорема 3.2).

Теорема 6. Пусть К — числовое поле и ф,ф1,ф2 — невырожденные бинарные квадратичные формы с коэффициентами из К.

Рассмотрим трехмерное К—многообразие V в проективном прострапстве Р|К заданное пересечением двух квадратных уравнений

ф(их,Ух) = 01 (х,у), ф(и-,У-) = ф2(х,у).

Предположим, что ф\ или Ф2 анизотропны. Тогда если V имеет Кр-ую точку для каждого пополнения Кр поля К, то V имеет К-ую точку.

Взяв К = Q и

ф(и, у) = и2 + V2, ф\(х, у) = тх2 — у2, ф2(х, у) = т'х2 — у2,

мы видим, поскольку в начале данного раздела предполагалось, что хотя бы один изти т' не является рациональным квадратом, то один из ф\ и ф2 анизотропен.

Следовательно, теорема применима, и мы видим, что (16) имеет нетривиальное рациональное решение, при у2^с&(т, т')) < 1.

Если и = 0 в рациональном решении (16) в^^о Ь = х = у = г = ад = 0, что является тривиальным решением, и поэтому существует решение системы (16) в ^ с и = 0. Взяв такое решение и умножив (16) на и-2, получим

а2 а2 а- , а2 а2 а-т = -г + -1 + --, т' = -г + -3 + 4,

Я2 Я- Я- Я2 Яз Я--

где а,ц,йг,цг е Ъ, при этом можно предположить, что gcЛ(a,g) = 1, и это все можно записать как

2 з Я2а2- я2а- з ' 2 Я-а23 . Я-а2-д т — а = —2—|--к-, д т — а = —2—|--к-.

Я2! Ц- Я2- Я2-

Следовательно, целые числа д2т — а2 и д2т' — а2 представляются в виде суммы двух рациональных квадратов.

Чтобы показать, что д2т — а2 и д2т' — а2 представляются в виде суммы двух целых квадратов, нам нужно одно следствие теоремы Давенпорта-Касселса ([2], ст. 46), которая мы сейчас сформулируем.

Теорема 7. (Давенпорт-Касселс) Пусть / — положительно определенная квадратичная форма от к переменных с целыми коэффициентами.

Предположим, что для любого (у1,..., у^) е ^существует (х1,..., х^) е Ъ такое, что

/ ($ — У) < 1.

Тогда любое целое число, представимое / в представимое / в Ъ.

Лемма 4. Если целое число представляется в виде суммы двух рациональных квадратов, то оно представляется в виде суммы двух целых квадратов.

Лемма непосредственно следует из применения теоремы Давенпорта-Касселса с

/ ^ = ^ + У"2, Хг = Н^11,

гДе ||у»|| обозначает ближайшее целое число к у¿.

Таким образом, применяя лемму мы видим, что д2т — а2 и д2т' — а2 оба представляются как сумма двух целых квадратов, что дает (2):

д2т — а2 = Ь- + с-, д2т' — а2 = Ь- + с-,

что доказывает первое утверждение теоремы 2, при условии,

что у2^с&(т,т')) < 1.

Более того, поскольку gcЛ(a,д) = 1, это доказывает второе утверждение теоремы 2, при условии, что и2(^сА(т,т')) < 1.

Это завершает доказательство теоремы 2 при условии, что v2(gcd(m,m')) < 1. Для доказательства первого утверждения теоремы 2 в общем случае, воспользуемся следующей леммой.

Лемма 5. Пусть m, m' G Z такие, что 4| gcd(m, m'). Тогда (2) разрешимо для (m, m') тогда и только тогда, когда оно разрешимо для ( ^, ^ ).

Доказательство. Предположим, что нам дано решение (2) для ( m, m'). Тогда приведение обоих уравнений (2) по модулю 4 показывает, что a, Ь/, b2, с/, С2 четные, и поэтому мы можем разделить все члены обоих уравнений в (2) на 4, и получим

) = ( I )2 + ( I Г + ( f )'• ) = ( I )2 + ( ! У2 + ( ? )•

что является решением (2) для (^, -)•

Наоборот, если нам дано решение (2) для (^, ), то умножение всех слагаемых на 4 дает

q2m = (2а)2 + (2 Ь/)2 + (2с/)2, q2m' = (2а)2 + (2 &2)2 + (2 С2 )2,

что является решением уравнения (2) для (m, m'). а

Из утверждения теоремы 2 легко видеть, что исключения для любого четного к > 6 являются образцами исключений к — 2 при умножении на 4. При к = 4 все исключения из теоремы 2 входят в теорему 5. Следовательно, лемма 5 показывает, что доказательство первого утверждение теоремы 2 при условии, что V2(gcd(m, m')) < 1, эквивалентно общему случаю.

Для второго утверждения теоремы 2, по лемме 5 можно предположить, что дано решение (2) для (^, ) с gcd( a, q) = 1, и по третьему утверждению теоремы 2, доказанному в общем

казало, что соответствующее решение (2) для (m, m') есть (q, 2а, 2Ь/, 2b2, 2С/, 2С2), и очевидно, что gcd(g, 2 а) = gcd(g, а) = 1. Это завершает доказательство теоремы 2 в общем случае.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Anthony Knapp. Advanced Algebra // Birkhäuser Boston, 2006.

2. Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic // Springer Verlag, New York 1973.

3. В. H. Чубариков. Обобщенная формула бинома Ньютона и формулы суммирования // Чебышевский сборник, 2020, т.00, с.1-18.

4. J.-L. Colliot-Thélène, J.-J. Sansuc, Sir Peter Swinnerton-Dyer. Intersections of two quadrics and Châtelet surfaces //J. für die reine und angew Math. I, Bd. 373(1987) 37-107; II Bd. 374(1987) 72-168.

5. Colliot-Thélène, Jean-Louis, and Coray, D. Descente et principe de Hasse pour certaines variétés rationnelles // Journal für die reine und angewandte Mathematik 320 (1980): 150-191.

6. Per SalbergerK) On the arithmetic of intersections of two quadrics containing a conic, 2023, arXiv:2305.02109vl [math.NT].

7. Виноградов И. M. Основы теории чисел // М.: Физ.-мат.лит. 1983.

8. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория Чисел // Москва, 1964.

REFERENCES

1. Anthony, Knapp, 2006. "Advanced Algebra", Birkhäuser Boston.

2. Jean-Pierre, Serre, 1973. "A Course in Arithmetic", Springer Verlag, New York.

3. Chubarikov, V. N., 2020. "A generalized Binomial theorem and a summation formulae", Chebishevskii Sbornik, Vol.21, Iss. 4, pp. 1—18.

4. Colliot-Thélène, J.-L., Sansuc, J.-J., Sir Peter Swinnerton-Dver, 1987. "Intersections of two quadrics and Châtelet surfaces", J. für die reine und angew, Math. I, Bd., 373, pp. 37-107; II Bd., 374, pp. 72-168.

5. Colliot-Thélène, Jean-Louis, and Corav, D., 1980. "Descente et principe de Hasse pour certaines variétés rationnelles", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 320, pp. 150-191.

6. Per Salberger, 2023. "On the arithmetic of intersections of two quadrics containing a conic", arXiv:2305.02109vl [math.NT].

7. Vinogradov, I. M., 1983. "Foundations of Number Theory", M.: Fiz.-Mat.lit..

8. Borevich, Z. I., Shafarevich, I. R., 1964. "Theory of Numbers", M: Moscow.

Получено: 18.12.2023 Принято в печать: 21.03.2024