Обобщение неравенства Левина–Стечкина Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2013. Вып. 1

> 0, (1)

УДК 519.24 Р. Н. Мирошин

ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ЛЕВИНА-СТЕЧКИНА

Упомянутое в заголовке неравенство из области функций вещественной переменной было доказано В. И. Левиным и С. Б. Стечкиным в дополнении Д. 8 к русскому переводу классической монографии Г. Харди и др. [1]. Впоследствии на нем демонстрировалась мощь метода моментов (см., например, [2, с. 412]). В настоящей статье установим новое неравенство для более широкого класса функций, пользуясь приемами метода моментов [2], дополненного процессом ортогонализации [3].

Рассмотрим вещественную непрерывную выпуклую функцию д(Ь), Ь € [0,1]. Очевидно, при 0 ^ ¿1 <¿2 < Ь ^ 1

1 1 1

и (г) = ¿1 ¿2 г

д(^) д(Ь2) д(Ь)

т. е., согласно терминологии [2], {1,Ь,д(Ь)} - чебышевская система функций на [0,1]. Раскладывая определитель в (1) по последнему столбцу, находим, что

и(Ь) = (¿2 - Ь1)д(Ь) - Ь[д(Ь2) - д(Ьг)] + [г1д(Ь2) - Ь2д(Ь)]. (2)

Если некоторая функция ^(Ь) ортогональна к 1 и Ь, т. е.

1 1 J ^(t)dt = 0, Jtф)dt = 0, (3)

о о

то, интегрируя (2) в [0,1] с весом р(Ь), получаем

1 1 У и(Ь)ф№ = (Ь2 - Ь1)/д(Ь)ф№. (4)

оо Уравнение и(Ь) = 0 имеет только два корня Ь1 и Ь2, причем и(Ь) < 0 при Ь1 <Ь <Ь2 и и(Ь) > 0 при 0 ^ Ь <Ь1 и Ь2 <Ь ^ 1. В случае, когда ^(Ь) = 0, тоже есть только два корня Ь\ и Ь2 и при этом ^(Ь) < 0 в интервале (Ь*,Ь*) и р(Ь) > 0 в интервалах [0,Ь*) и (Ь*, 1], то, полагая Ь1 = Ь*, Ь2 = Ь2, определяем из (4), что

1

! д(Ь) > 0. (5)

о

Мирошин Роман Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник кафедры гидроаэромеханики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 170. Научные направления: аэродинамика разреженных газов, случайные процессы, специальные функции математической физики, нелинейная динамика. E-mail: [email protected].

© Р. Н. Мирошин, 2013

(Таким рассуждением мы обязаны [2, с. 407-408].)

Как показано в [1, с. 408], при наличии двух соотношений ортогональности (3) у функции в (0,1) есть, по крайней мере, два нуля, и, следовательно, для справедливости неравенства (5) требуется только доказать, что эти два нуля - единственные в (0,1). Построим такую у>(Ь), взяв за основу вещественную непрерывную в (0,1) функцию р(Ь), возрастающую при 0 ^ Ь < й и убывающую при й < Ь ^ 1 и для которой известны два момента:

1 1 со = J р(Ь)йЬ, С1 = J Ьр(Ь)йЬ. (6)

о о

Стандартная процедура ортогонализации (см., например, [3, с. 157]) приводит функции {1,Ь, —р(Ь)} к ортогональной системе {1,Ь — 1/2,у(Ь)}, где

= С - + 12 (С1-!)(*-!), (7)

что, кстати, легко проверить непосредственным интегрированием по определению ортогональности функций и(Ь) и у(Ь):

J u(t)v(t)dt = 0,

о

используя (6). Для y(t) выполняются и равенства (3).

Как видно из (7), с одной стороны, функция y(t) имеет не более двух нулей, так как прямая со + 12(ci — co/2)(t — 1/2) не может пересекаться более двух раз с унимодальной функцией p(t). С другой стороны, при наличии у y(t) двух соотношений ортогональности (3) этих нулей не менее двух, т. е. у y(t) точно есть два нуля в (0,1). Неравенство (5), следовательно, будет справедливым, если или у>(0) > 0, или у>(1) > 0 (в силу (3), у y(t) есть и отрицательные значения). Пусть

p(0) = p(1) (8) (это условие вводилось и Левиным-Стечкиным [1, Д. 8]). Как следует из (7),

1

у(0) + v(1) = 2j[p(t) — p(0)]dt > 0, (9)

о

ибо p(t) > p(0) при 0 < t < d и p(t) > p(1) = p(0) при d < t < 1. Неравенство (9) и показывает, что одна из констант у(0),у(1) положительна (на самом деле, конечно, положительны обе).

Таким образом, было доказано утверждение:

если p(t) - непрерывная вещественная функция в [0,1] такая, что p(t) возрастает при 0 ^ t ^ d и убывает при d ^ t ^ 1, причем p(0) = p(1), то для любой выпуклой в [0,1] функции q(t) справедливо неравенство

1 111 1 J p(t)q(t)dt < Jp(t)dt J q(x)dx + J (t - ^jp(t)dt J (x - ^jq(x)dx. (10)

0 0 0 0 0

1

Действительно, неравенство (10) получается из (5) при замене р(Ь) формулой (7) и расшифровке с0 и с1 по (6).

Пример 1. Конкретизируем убывающую ветвь р(Ь), положив р(Ь) = р(к(1 - Ь)) при d ^ Ь ^ 1, где к > 0, так что d = к/(к +1). Такие функции введены при решении обратной задачи нелинейной динамики [4] и названы линейно асимметричными. Когда к = 1, как в [1, Д. 8], то со = 2с1, что влечет равенство нулю второго слагаемого в правой части (10), и тогда (10) превращается в неравенство Левина-Стечкина [1, Д. 8]. Для к = 1

а 1 а

А = с !-| = + 1^(1-*))(* = Л, (И)

о а о

если сделать во втором интеграле замену переменной х = к(1 - Ь). Интегрируя в (11) по частям, находим, что

а а а ь

в = I Р(г)(г = рШу " рШу- (12)

о о о о

ь

Так как р(Ь) возрастает в [0^], интеграл г(Ь) — §p(y)dy выпуклая функция в [0^].

о

Поэтому при 0 ^ Ь ^ d

1 1 1 0 ь d

0 г(ь) т(щ)

= т(Щ)Ь - т(Ь)Щ > 0. (13)

Проинтегрировав неравенство (13) по Ь в (0, d), видим, что

а ь ь

р{у)<1у < 2 /р(у^у

о о о

и, следовательно, интеграл (12) неотрицателен:

В > 0. (14)

Таким образом, в силу (11) и (14), знак интеграла (11) А совпадает со знаком (к-1). Если к < 1, то

^(0) = со - р(0) - 6А> 0, поскольку из-за возрастания р(Ь) в [0, с]]

а

с0-р{0) = -л Iр{г)<н-р{о) >0.

о

Аналогичным образом, при к > 1 находим, учитывая знак А и р(1) = р(0), что

^(1) = со - р(0) + 6А> 0. Тем самым неравенство (10) справедливо.

Пример 2 (частный случай примера 1). Пусть р(Ь) = Ь при 0 ^ Ь ^ 3 и р(Ь) = к(1 — Ь) при 3 ^ Ь ^ 1, к > 0. Как показывают простые вычисления,

к 3 к(2к +1) л к(к — 1)

® = Т—Г > со = — , С! = , А —

к + 1 0 2' 1 6(к +1)2' 12(к + 1)2'

к к2 2к

2

= Т^Т? > 0. = п , 149 . = -

(к + 1)2 ' ^ 7 (к + 1)2 ' ^ 7 (к + 1)3 '

Отсюда, в силу непрерывности у>(Ь), следует существование по одному нулю функции у(Ь) в интервалах (0,3) и (3,1), которые нетрудно найти:

6А-с0 к + 6 А — со + к к + 2

12А- 1 = ЗА: Н-1 < ' ±2= 12А + к = к + 3

Впрочем, важно лишь их существование, а не значения. Правую часть (10) можно записать в виде

1 1 к ¡' , к (к — 1) /V

к +1 J

о

q(t)dt + к<£+ ^ у (í - i)9(í)dí, fe > о.

Пример 3. Пусть p(t) = a0 + a1t + a2t2/2, t G [0,1], т. е. p(t) - парабола. Вычисления по формулам (6) и (7) дают следующий результат:

Если 0,2 < 0, то y(t) имеет единственный минимум в (0,1) и два нуля:

(V3 - 1)/2л/3

и (л/3 + 1)/2а/3, причем ^(0) = у(1) = |a2|/12. Когда a1 > 0, то в (0,d) функция p(t) возрастает, а в (d, 1) она убывает, d = a1/|a2|. В данном примере p(0) = p(1) только при d = 1/2, т. е. при остальных d условие (8) не выполняется, а неравенство (10) по-прежнему справедливо. На самом деле, условие (8) понадобилось только при доказательстве, что y(t) = 0 имеет лишь два корня. Как видим, это свойство может быть справедливым и при других условиях.

Замечание. Очевидно, знак неравенства в (10) изменится на противоположный, если q(t) вогнутая функция, так как -q(t) - выпуклая функция.

Литература

1. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства / пер. с англ. В. И. Левина с дополнениями В. И. Левина и С. Б. Стечкина. М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1948. 456 с. (Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities.)

2. Карлин С., Стадден В. Чебышёвские системы и их применение в анализе и статистике / пер. с англ.; под ред. С. М. Ермакова. М.: Наука, 1976. 568 с. (Karlin S., Studden W. J. Tchebycheff systems: with applications in analysis and statistics.)

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: в 2 т. / пер. с англ. Н. Я. Виленкина. М.: Наука, 1966. Т. 2. 205 с. (Bateman H, Erdelyi A. Higher transcendental functions.)

4. Мирошин Р. Н. Простейшая обратная задача нелинейной динамики // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1996. Вып. 2. С. 44—49.

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья принята к печати 19 мая 2011 г.