Научная статья на тему 'Обобщение неравенства Левина–Стечкина'

Обобщение неравенства Левина–Стечкина Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
104
33
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МЕТОД МОМЕНТОВ / ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ЛЕВИНА–СТЕЧКИНА / ОДНОВЕРШИННАЯ ФУНКЦИЯ / ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ / MOMENT METHOD / GENERALIZATION OF LEVIN-STECHKIN INEQUALITY / UNIMODAL FUNCTION / CONVEX FUNCTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мирошин Роман Николаевич

Обобщается классическое интегральное неравенство Левина–Стечкина на более широкий класс подынтегральных функций. Интеграл от произведения двух непрерывных функций, одна из которых одновершинна, а вторая выпукла, ограничивается суммой произведений линейных комбинаций первых двух моментов вышеупомянутых функций. Доказательство использует метод моментов и процесс ортогонализации для трех функций. Результат иллюстрируется тремя примерами.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Generalization of Levin-Stechkin inequality

The classical integral Levin-Stechkin inequality on a wider class of integrands is generalized. The integral of the two continuous functions product one of which being unimodal, but not symmetric as in Levin-Stechkin and the second one being convex, is bounded by a sum of products of linear combinations of the first two moments above functions mentioned. The proof uses the moment method and the process of orthogonalization for three functions. The result is illustrated with three examples.

Текст научной работы на тему «Обобщение неравенства Левина–Стечкина»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2013. Вып. 1

> 0, (1)

УДК 519.24 Р. Н. Мирошин

ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ЛЕВИНА-СТЕЧКИНА

Упомянутое в заголовке неравенство из области функций вещественной переменной было доказано В. И. Левиным и С. Б. Стечкиным в дополнении Д. 8 к русскому переводу классической монографии Г. Харди и др. [1]. Впоследствии на нем демонстрировалась мощь метода моментов (см., например, [2, с. 412]). В настоящей статье установим новое неравенство для более широкого класса функций, пользуясь приемами метода моментов [2], дополненного процессом ортогонализации [3].

Рассмотрим вещественную непрерывную выпуклую функцию д(Ь), Ь € [0,1]. Очевидно, при 0 ^ ¿1 <¿2 < Ь ^ 1

1 1 1

и (г) = ¿1 ¿2 г

д(^) д(Ь2) д(Ь)

т. е., согласно терминологии [2], {1,Ь,д(Ь)} - чебышевская система функций на [0,1]. Раскладывая определитель в (1) по последнему столбцу, находим, что

и(Ь) = (¿2 - Ь1)д(Ь) - Ь[д(Ь2) - д(Ьг)] + [г1д(Ь2) - Ь2д(Ь)]. (2)

Если некоторая функция ^(Ь) ортогональна к 1 и Ь, т. е.

1 1 J ^(t)dt = 0, Jtф)dt = 0, (3)

о о

то, интегрируя (2) в [0,1] с весом р(Ь), получаем

1 1 У и(Ь)ф№ = (Ь2 - Ь1)/д(Ь)ф№. (4)

оо Уравнение и(Ь) = 0 имеет только два корня Ь1 и Ь2, причем и(Ь) < 0 при Ь1 <Ь <Ь2 и и(Ь) > 0 при 0 ^ Ь <Ь1 и Ь2 <Ь ^ 1. В случае, когда ^(Ь) = 0, тоже есть только два корня Ь\ и Ь2 и при этом ^(Ь) < 0 в интервале (Ь*,Ь*) и р(Ь) > 0 в интервалах [0,Ь*) и (Ь*, 1], то, полагая Ь1 = Ь*, Ь2 = Ь2, определяем из (4), что

1

! д(Ь) > 0. (5)

о

Мирошин Роман Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник кафедры гидроаэромеханики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 170. Научные направления: аэродинамика разреженных газов, случайные процессы, специальные функции математической физики, нелинейная динамика. E-mail: miroshin-roman1938@yandex.ru.

© Р. Н. Мирошин, 2013

(Таким рассуждением мы обязаны [2, с. 407-408].)

Как показано в [1, с. 408], при наличии двух соотношений ортогональности (3) у функции в (0,1) есть, по крайней мере, два нуля, и, следовательно, для справедливости неравенства (5) требуется только доказать, что эти два нуля - единственные в (0,1). Построим такую у>(Ь), взяв за основу вещественную непрерывную в (0,1) функцию р(Ь), возрастающую при 0 ^ Ь < й и убывающую при й < Ь ^ 1 и для которой известны два момента:

1 1 со = J р(Ь)йЬ, С1 = J Ьр(Ь)йЬ. (6)

о о

Стандартная процедура ортогонализации (см., например, [3, с. 157]) приводит функции {1,Ь, —р(Ь)} к ортогональной системе {1,Ь — 1/2,у(Ь)}, где

= С - + 12 (С1-!)(*-!), (7)

что, кстати, легко проверить непосредственным интегрированием по определению ортогональности функций и(Ь) и у(Ь):

J u(t)v(t)dt = 0,

о

используя (6). Для y(t) выполняются и равенства (3).

Как видно из (7), с одной стороны, функция y(t) имеет не более двух нулей, так как прямая со + 12(ci — co/2)(t — 1/2) не может пересекаться более двух раз с унимодальной функцией p(t). С другой стороны, при наличии у y(t) двух соотношений ортогональности (3) этих нулей не менее двух, т. е. у y(t) точно есть два нуля в (0,1). Неравенство (5), следовательно, будет справедливым, если или у>(0) > 0, или у>(1) > 0 (в силу (3), у y(t) есть и отрицательные значения). Пусть

p(0) = p(1) (8) (это условие вводилось и Левиным-Стечкиным [1, Д. 8]). Как следует из (7),

1

у(0) + v(1) = 2j[p(t) — p(0)]dt > 0, (9)

о

ибо p(t) > p(0) при 0 < t < d и p(t) > p(1) = p(0) при d < t < 1. Неравенство (9) и показывает, что одна из констант у(0),у(1) положительна (на самом деле, конечно, положительны обе).

Таким образом, было доказано утверждение:

если p(t) - непрерывная вещественная функция в [0,1] такая, что p(t) возрастает при 0 ^ t ^ d и убывает при d ^ t ^ 1, причем p(0) = p(1), то для любой выпуклой в [0,1] функции q(t) справедливо неравенство

1 111 1 J p(t)q(t)dt < Jp(t)dt J q(x)dx + J (t - ^jp(t)dt J (x - ^jq(x)dx. (10)

0 0 0 0 0

1

Действительно, неравенство (10) получается из (5) при замене р(Ь) формулой (7) и расшифровке с0 и с1 по (6).

Пример 1. Конкретизируем убывающую ветвь р(Ь), положив р(Ь) = р(к(1 - Ь)) при d ^ Ь ^ 1, где к > 0, так что d = к/(к +1). Такие функции введены при решении обратной задачи нелинейной динамики [4] и названы линейно асимметричными. Когда к = 1, как в [1, Д. 8], то со = 2с1, что влечет равенство нулю второго слагаемого в правой части (10), и тогда (10) превращается в неравенство Левина-Стечкина [1, Д. 8]. Для к = 1

а 1 а

А = с !-| = + 1^(1-*))(* = Л, (И)

о а о

если сделать во втором интеграле замену переменной х = к(1 - Ь). Интегрируя в (11) по частям, находим, что

а а а ь

в = I Р(г)(г = рШу " рШу- (12)

о о о о

ь

Так как р(Ь) возрастает в [0^], интеграл г(Ь) — §p(y)dy выпуклая функция в [0^].

о

Поэтому при 0 ^ Ь ^ d

1 1 1 0 ь d

0 г(ь) т(щ)

= т(Щ)Ь - т(Ь)Щ > 0. (13)

Проинтегрировав неравенство (13) по Ь в (0, d), видим, что

а ь ь

р{у)<1у < 2 /р(у^у

о о о

и, следовательно, интеграл (12) неотрицателен:

В > 0. (14)

Таким образом, в силу (11) и (14), знак интеграла (11) А совпадает со знаком (к-1). Если к < 1, то

^(0) = со - р(0) - 6А> 0, поскольку из-за возрастания р(Ь) в [0, с]]

а

с0-р{0) = -л Iр{г)<н-р{о) >0.

о

Аналогичным образом, при к > 1 находим, учитывая знак А и р(1) = р(0), что

^(1) = со - р(0) + 6А> 0. Тем самым неравенство (10) справедливо.

Пример 2 (частный случай примера 1). Пусть р(Ь) = Ь при 0 ^ Ь ^ 3 и р(Ь) = к(1 — Ь) при 3 ^ Ь ^ 1, к > 0. Как показывают простые вычисления,

к 3 к(2к +1) л к(к — 1)

® = Т—Г > со = — , С! = , А —

к + 1 0 2' 1 6(к +1)2' 12(к + 1)2'

к к2 2к

2

= Т^Т? > 0. = п , 149 . = -

(к + 1)2 ' ^ 7 (к + 1)2 ' ^ 7 (к + 1)3 '

Отсюда, в силу непрерывности у>(Ь), следует существование по одному нулю функции у(Ь) в интервалах (0,3) и (3,1), которые нетрудно найти:

6А-с0 к + 6 А — со + к к + 2

12А- 1 = ЗА: Н-1 < ' ±2= 12А + к = к + 3

Впрочем, важно лишь их существование, а не значения. Правую часть (10) можно записать в виде

1 1 к ¡' , к (к — 1) /V

к +1 J

о

q(t)dt + к<£+ ^ у (í - i)9(í)dí, fe > о.

Пример 3. Пусть p(t) = a0 + a1t + a2t2/2, t G [0,1], т. е. p(t) - парабола. Вычисления по формулам (6) и (7) дают следующий результат:

Если 0,2 < 0, то y(t) имеет единственный минимум в (0,1) и два нуля:

(V3 - 1)/2л/3

и (л/3 + 1)/2а/3, причем ^(0) = у(1) = |a2|/12. Когда a1 > 0, то в (0,d) функция p(t) возрастает, а в (d, 1) она убывает, d = a1/|a2|. В данном примере p(0) = p(1) только при d = 1/2, т. е. при остальных d условие (8) не выполняется, а неравенство (10) по-прежнему справедливо. На самом деле, условие (8) понадобилось только при доказательстве, что y(t) = 0 имеет лишь два корня. Как видим, это свойство может быть справедливым и при других условиях.

Замечание. Очевидно, знак неравенства в (10) изменится на противоположный, если q(t) вогнутая функция, так как -q(t) - выпуклая функция.

Литература

1. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства / пер. с англ. В. И. Левина с дополнениями В. И. Левина и С. Б. Стечкина. М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1948. 456 с. (Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities.)

2. Карлин С., Стадден В. Чебышёвские системы и их применение в анализе и статистике / пер. с англ.; под ред. С. М. Ермакова. М.: Наука, 1976. 568 с. (Karlin S., Studden W. J. Tchebycheff systems: with applications in analysis and statistics.)

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: в 2 т. / пер. с англ. Н. Я. Виленкина. М.: Наука, 1966. Т. 2. 205 с. (Bateman H, Erdelyi A. Higher transcendental functions.)

4. Мирошин Р. Н. Простейшая обратная задача нелинейной динамики // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1996. Вып. 2. С. 44—49.

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья принята к печати 19 мая 2011 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.