Обобщение двуиндексных максиминных моделей транспортного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

экономического развития и конкурентноспособности страны, необходима долгосрочная стратегия преобразований;

■ совершенствование указанной системы не должно допускать снижения достигнутого уровня регулирования государственных расходов (управления результатами), включая сбалансированность бюджетов, а также высокую бюджетную и налоговую дисциплину;

■ институционально-информационные экономические подходы в создании перспективной автоматизированной информационной системы оптимизации регулирования государственных расходов предполагают эффективное решение научно-экономической и народно-хозяйственной задач.

■ перспективные АИС экономических институтов играют ведущую роль в системно-информационном накоплении, обработки и передачи научных знаний, направленных на исследование информационных отношений в экономике, объединяя их отдельные финансово-хозяйственные и экономические аспекты, в единый экономический объект, функционирующий в системе рынка и государственного регулирования;

■ главенствующая роль АИС - в форсировании изучения закономерных тенденций раз- П вития экономических составляющих и экономики России в целом, на основе информа- ¡5 ционно-технологической базы, а также институциональных условий и факторов эф- о фективного выполнения этих задач. Т

ЛИТЕРАТУРА

П

а

z

1. БрильД.В. Применение информационных технологий в целях совершенствования проце- Ш дур казначейского исполнения бюджета // Финансы. 2004. № 4. 2

2. Егоров B.C. Рационализм и синергизм. М., 1997. I-

3. Кастельс .^.Информационная эпоха: экономика, общество и культура / Под ред. А. Шкара-тана. М.: Изд-во ГУ - ВШЭ, 2000. □

4. лебедев д.о. Образование резервных фондов федерального бюджета на уровне управле- □ ний федерального казначейства // Финансы. 2004. № 4. ^

5. одинцев с.в. Место и роль интеллектуального капитала предприятия в современном мире О // Наука и промышленность России. 2002. № 10(66). D

6. соменков А.д. Государственное регулирование бюджетных отношений в условиях интег- ф рации // Финансы. 2004. № 1. s

7. фишер C., дорнбуш р., шмалензи р. Экономика. М.: Дело, 2002. а

8. Формирование национальной финансовой стратегии России: Путь к подъёму и благососто- g янию / Под. ред. В.К. Сенчагова. М.: Дело. 2004.

9. Mulgan GJ. Блеск и нищета информационных технологий. М.: Секрет фирмы, 2005. о

0

1 I

_ ф

m I—

О

НЕЧИТАЙЛО Н.М. g-

<

>

ОБОБЩЕНИЕ ДВУИНДЕКСНЫХ МАКСИМИННЫХ МОДЕЛЕЙ о

ТРАНСПОРТНОГО ТИПА о

о О

_ со

О

I—

О

В отличие от классической транспортной задачи по критерию минимума общего времени £ [1, 2, 4], предполагается дополнительная обработка ресурсов в пунктах назначения, продолжительность которой линейно зависит от объёма обрабатываемой партии. Наиболее простой случай - обработка каждой партии ресурса начинается по её прибытии в пункт назначения. ф

m

В случае же соизмеримости затрат на транспортировку и на обработку ресурсов появляется

необходимость учёта очередей на обслуживание. Рассматриваемая задача имеет много обще- ^

го с транспортной задачей с фиксированными доплатами [3], для решения которой использу- си

ются либо приближённые методы (за счёт линеаризации целевой функции), либо трудоёмкие |

комбинаторные методы поиска точного решения. Решение рассматриваемой задачи, ввиду о

минимаксного характера целевой функции, удалось свести к конечной последовательности о

задач, вычислительная сложность которых не выше полиномиальной. 0)

Модели без учёта очередей на обработку

Задача заключается в определении такого плана перевозок Цд^-Ц, при котором выполняются ограничения

Е j = 1 Х1 < а , г = 1 .. т ;

т

£ i = 1 X, < j = 1 и ;

X, > о, г = 1 . .. т ; j = 1 .. п

П

_о ь 0 to J

СП

а

z ш

о I-

где ai - величина ресурса в исходном пункте Ai;

bj - потребности в ресурсе в пункте назначения Bj;

Xij - количество ресурсов, перемещаемых по маршруту Ai-Bj; При этом минимизируется функция

F = max t (х„)

I 7 J

|\ где t(Xij)- функция, определяемая следующим образом: □

0 Г

ш „ если Ху > О,

^ ^ 1 0, если Ху = 0;

о

I— ф

I—

s О

а ф

I

>

Ь] - время доставки ресурсов по маршруту АиВ]; Ь - время, затрачиваемое в пункте В] на обработку единицы ресурса.

° Предлагается, определив нижнюю границу целевой функции ¥п, вычислить ограниче-ф ния на величину перевозимого продукта по каждому маршруту й] и свести решение зада-£ чи к конечной последовательности подзадач о максимальном транспортном потоке в сети ^ с ограниченными пропускными способностями коммуникаций. Ограничимся применением ^ венгерского метода, поскольку для его реализации нет необходимости ни в сведении задачи о к сбалансированному виду, ни в принятии мер борьбы с вырожденностью. о Если в результате решения задачи о потоке все столбцы матрицы перевозок окажутся 9 закрытыми (потребности пунктов назначения окажутся удовлетворёнными), либо будут вы-§ везены все ресурсы из исходных пунктов, то оптимальное решение найдено. Если же закры-£ тыми окажутся не все столбцы матрицы перевозок, то значение ¥н необходимо увеличить о на величину а¥, исходя из этого нового значения нижней границы произвести пересчёт ^ й], и снова решить задачу о максимальном транспортном потоке. При отрицательном итоге £ снова увеличивается значение ¥и и повторяются указанные шаги алгоритма. Процедуру опей ределения ¥н рассмотрим на примере, представленном в виде сети на рис. 1 и в виде матриц >з: перевозок (табл. 1-4). Цифры над линиями, соединяющими пункты сети, и цифры в правых ^ верхних углах ячеек матриц перевозок представляют собой времена движения между соот-ю ветствующими пунктами. Цифры в окружностях на рис. 1 - ресурсы и потребности соответс-| твующих пунктов. В пунктах Вг, В2 , Вз в окружностях в виде знаменателя указано время

£ обработки единицы полуфабриката. о

0)

20Э

4

8

12/0,2

В*=

Рис. 1. Сеть иллюстративного примера. Исходя из (2, 3), предлагается определить Fn по формуле:

Fn = max {min [tv + min( а ,,bj) * i y ]}

Для иллюстративного примера Fn, будет равна tn+Bj*ti= 6,7. Для уточнения Fn вычислим dy (i=l...nt, j=l...h) по правилу:

di-

min {a, bj,(Fn Чг.) div (Г)}, еслиЛ>0, ty<Fn ; тт{а, h¡}, если t=О, t<Fn ; О, если L>Fn,

где йЬх - операция целочисленного деления (с отбрасыванием остатка).

Пропускные способности маршрутов

ь, Ь2 Ьз

dl 5 17 6 3 1 0

а2 7 0 2 12 3 20

а3 8 0 4 10 5 10

Затем проверим выполнение условий разрешимости задачи:

п

£ d > a .,i= 1 ...т ,

3 = 1 т

I а , > b ,j= 1 ...п .

i = 1

CD

Л h ü (□ J

СП

а

z

ш

о b

N □

□

Ш

О

Ö

I—

ф

о а ф

I

>

Матрица 1 о

0

1 I

ф

со

I—

О

а

ö <

>

о

0

1_

0

1_

о о

са

О

I—

О

о

CL

О ф

са

О Ф т

0

1

О

Из табл. 1. видно, что установленные йц делают невозможным вывоз ресурсов из первого исходного пункта. При невыполнении хотя бы одного из неравенств (6) необходимо увеличить значение ¥и на величину ь¥. Затем, исходя из нового значения ¥и произвести пересчёт йц в соответствии с (5) и вернуться к проверке выполнения условий (6). Для иллюстративного примера ¥и после уточнения стала равна 7,4. Затем составляется исходный план перевозок, при этом назначение величины перевозки Хц для очередной клетки матрицы перевозок должно производиться по правилу:

СП

л ь Ü (□ X

СП

а

z

ш

о ь

N □

□

Ш

О

Ö

I— ф

о а ф

0

1 I

ф

со

I—

О

а

ö <

>

о

0

1_

CD

I_

О

о

са О

I—

О О CL

о ф

са

О Ф т

0

1 О

Ху = min (a\,b'nd

lJ

где a'i, b'j - ресурсы и потребности соответствующих исходных пунктов и пунктов назначения с учётом уже назначенных перевозок. Исходный план иллюстративного примера представлен в матрице 2. В центре каждой клетки проставлены величины перевозок. Полученный план не является решением задачи, так как остались вывезенными 6 единиц груза из первого исходного пункта и остались неудовлетворёнными потребности третьего пункта назначения. В матрице 2 в соответствующих строках и столбцах проставлены знаки «-». В соответствии с [4], закрытыми оказались только первый и второй столбцы, а поскольку среди чисел Ш' есть отличные от нуля, транспортный поток может быть увеличен. Построение цепочки для увеличения транспортного потока начинается с ячейки незакрытого столбца (для иллюстративного примера - третий столбец), через которую возможны перевозки. Для иллюстративного примера построенная цепочка обозначена знаками «+» и «-», расположенных в правых нижних углах ячеек. Перераспределение перевозок заключается в изменении величины перевозок Xij на величину АХ в соответствии со знаком цепочки для соответствующей ячейки. Дополнительное ограничение, накладываемое на АХ:

Ах = min {min xVf, min[(a v, b v), (diV* - xiV*)]},

где a*i*, b*j* - ресурсы и потребности исходных пунктов и пунктов назначения, относящихся к ячейкам, помеченным знаками «+»; с учётом уже назначенных перевозок; i*, j*, - ячейки цепочки, помеченные знаками «+»; ij', - ячейки цепочки, помеченные знаками «-». Результат перераспределения представлен в матрице 3. Этот план перевозок удовлетворяет ограничениям (1) и, следовательно, является оптимальным. Анализ полученного плана показывает, что маршрутом с наибольшим суммарным временем (транспортировка + обработка) является маршрут Ai-Вз , поскольку Xi3=di3 , а значит для этого маршрута ¥=¥и.

Матрица 2

ъ, ъ2 Ьз

Ol 5 17 17 6 7 + 1 4 4 —

а2 7 4 2 12 12 _ 3 8 20 +

аз 8 0 4 10 5 10 10

—

Матрица 3

ь, ь2 Ъ3

at 5 17 17 6 6 7 7 4 4

а2 7 4 2 б 12 3 14 20

а3 8 0 4 10 5 10 10

Особенностью полученного решения является то, что число базисных переменных (в которых Х]>0) превышает т+п-1. Можно попытаться избавиться от замкнутого цикла, образованного переменнымиХ12,Х13,Х22 иХ23. Однако любая такая попытка приводит к недопустимому увеличению (превышающему ^П) либо переменной Х1 либо Х13 , то есть к увеличению времени реализации плана перевозок.

Модели с учётом очередей на обработку

Минимизируется функция (2), где 1(Хц) определена следующим образом:

% *Хи

если Ху >0,

0, если Ху =0,

где

ицу-

О, если / =шт Д. либо t..<t, .+t *X.,.О,

У | и 9 и 7 V

п

л ь 0 (□ х

СП

Ь] - время доставки ресурсов по маршруту Аь-В] ;

Ь - время, затрачиваемое в пункте В] на обработку единицы ресурса.

Значение целевой функции при решении задачи без учёта очередей не превышает величины целевой функции в случае их учёта. В этой связи оптимальное решение такой задачи может быть получено на основе решения задачи без очередей с последующим пересчётом времён движения ресурсов до пунктов назначения и их последующей обработки в этих пунктах с учётом очередей. Затем следует попытаться уменьшить (в предельном случае - исключить из плана перевозок) критическую перевозку, перераспределив ресурсы по маршрутам, тем самым, уменьшая значение целевой функции. Такая цель может быть достигнута за счёт уменьшения й*] критического маршрута до величины й*]=Х*]-1 (где Х*] - критическая перевозка) и повторного решения задачи. Если значение целевой функции нового решения после пересчёта времён с учётом очередей не превышает значения целевой функции предыдущего плана, то уменьшение величины критической перевозки прошло успешно и процедуру следует продолжить. В противном случае либо в случае отсутствия допустимого решения следует вывод о невозможности уменьшения критической перевозки и о том, что на предыдущем шаге получен оптимальный план.

Процедуру определения нижней границы целевой функции рассмотрим на примере, представленном в виде сети на рис. 2 и в виде матриц перевозок (табл. 4-6). В пунктах В1, В2 в окружностях в виде знаменателя указано время обработки единицы полуфабриката в соответствующем пункте.

Рис. 2. Сеть иллюстративного примера.

Ш О

ь

N □

□

Ш

О о

I—

ф

о а ф

I

>

0

1 I

ф

са

I—

О

а

о <

>

о

0

1_

0

1_

о

о о о.

о ф

са

О Ф т

0

1

О

о

Исходя из (9, 10), достаточно обоснованное значение нижней границы целевой функции может быть найдено в соответствии с выражением:

Fn = max {min + bj * tj}

л h ü (0 X

СП

а

z Ш

Для иллюстративного примера нижняя граница целевой функции, определённая в соответствии с (11) равна ^22+^2*^2=44. В табл. 4 представлена матрица, в которой в правых верхних углах ячеек проставлены времена движения по соответствующим маршрутам, а в

левых нижних углах - пропускные способности маршрутов при условии, что ¥п=44. В этой же таблице представлен допустимый план перевозок для задачи без учёта очередей (в центре каждой клетки проставлены величины перевозок).

Для определения значения целевой функции представленного плана для случая учёта очередей на обработку ресурсов рассчитаем времена движения ресурсов по каждому маршруту:

*хц—5+16=21; 1(х2,)=тахр21, Цх„)}+и *х2,=21+20=41; Нх32)=132+Ь *хп=4+20=24; Цх12)=тах{и2, Цх32)}+г2*х12=24+22=46.

О

ь

N □

□

Ш

О

ö I—

ф

Таким образом, время реализации плана перевозок, представленного в матрице 4, составляет 46 единиц (¥=1(Х12)). Поскольку ¥>¥п следует попытаться улучшить решение за счёт уменьшения пропускной способности критического маршрута (для иллюстративного примера - маршрута ¥1 ^В2).

Установим й*12= Х*12- 1=10 и вновь решим задачу без учёта очередей. Полученный план перевозок представлен в матрице 5.

о а ф

I

>

0

1 I

ф

со I—

О

а

ö <

>

о

0

1_

CD

I_

О

о

са О

I—

О О CL

о ф

са

О Ф т

0

1 CD

Матрица 4

bi ъ2

ai 5 16 27 6 11 19

а2 7 20 20 2 20

а3 8 10 4 10 10

Матрица 5

bi ъ2

ai 5 17 27 6 10 10

а2 7 19 20 2 1 12

а3 8 10 4 10 10

Для нового плана перевозок рассчитаем времена движения ресурсов по каждому маршруту:

*хп=5+17=22; г(х2])=тах{12ь Цхц)}+и *хп=22+19=41; Цх22)=122+12 *хп=2+2=4; Цх32)= тахЦп, ((х22)}+(2*х32=4+20=24; Цхц)=тах{и2, Цх32)}+12*Хп=24+10=44.

Поскольку в полученном плане ¥п=44=¥п , можно сделать вывод об оптимальности полученного плана. Тем не менее, для избавления от замкнутых циклов процедуру уменьшения количества ресурсов, перебрасываемых по критическому маршруту можно продолжить. Так,

в матрице 6 представлен план перевозок, в котором й*12=0. Для этого нового плана перевозок рассчитаем времена движения ресурсов по каждому маршруту:

¡Ш^и+Ь *хп=5+27=32; Цх21)=тах{121, Цхи)}М1 *Х21=32+9=41; Цх22)=122+12 *Х22=2+22=24; «х32)= тахрп, Цх22)}М2 *х32=24+20=44.

ь, ь2

а; 5 27 27 6 0

<*2 7 9 20 2 11 12

а3 8 10 4 10 10

И, наконец, в общем случае каждый пункт назначения (обработки) должен рассматриваться как многоканальная система обслуживания. Эта система характеризуется не только суммарными возможностями по переработке ресурсов (В)), прибывающих из исходных пунктов, но и временем, затрачиваемым одним каналом на обработку единицы ресурса - # , не зависящим от пункта отправления этого ресурса, и числом таких каналов Иными словами, zj - количество ресурса, которое способен одновременно обработать у-й пункт за время ¿у.

Таким образом, задача заключается в определении такого плана перевозок ||Ху||, при котором выполняются ограничения (1) и при котором достигает своего минимально возможного значения функция (2), в которой функция ¿(ху) определена следующим образом:

= jtlj+tJ*(xij + zj-l) (Ну + если ха>0,

О, если х„ = О,

где

иЧ]) =

еСЛИ Х;г;>0,

и

О, если / • • =тт либо </.,*хп

П

Л

ь 0 (О X

СП

а

г ш

о IN □

□

т

о

о

I—

ф

о а ф

I

>

0

1 I

ф

со 1— О

а

о <

>

о

0

1_

0

1_

о <3

со О 1— О О о.

о ф

со

Из этого следует, что решение задачи с многоканальным характером обработки может быть сведено к решению задачи, имеющей по одному каналу обработки в каждом из пунктов назначения. При этом в простейшем случае можно считать, что время на обработку единицы

ресурса в многоканальном пункте обработки в & раз меньше времени, затрачиваемым одним

каналом и равно .

0

1

о О

ЛИТЕРАТУРА

1. Гольштейн Е.Г. Задачи линейного программирования транспортного типа. М.: Наука, ГРФМЛ, 1969.

2. Зуховицкий С.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, ГРФМЛ, 1969.

3. Корбут А.А. Дискретное программирование. М.: Наука, ГРФМЛ, 1969.

4. ТриусЕ.Б. Задачи математического программирования транспортного типа. М.: Наука, 1967.

НОВИКОВ А.А.

ЭКОЛОГО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА КОМПЛЕКСА ПРИРОДООХРАННЫХ

МЕРОПРИЯТИЙ В ПРОЕКТАХ СТРОИТЕЛЬСТВА

п ОБЪЕКТОВ ГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

л ь

Ü -

(О X

В настоящее время развитие отраслей топливно-энергетического комплекса происходит ? главным образом за счет собственных средств предприятий. При этом доля государственных ^ инвестиций постоянно снижается и составляет в настоящее время около 0,1%. Такое же поло-Ш жение наблюдается и в области инвестиций в природоохранную деятельность. | На рис. 1 представлена динамики инвестиций в природоохранную деятельность газовой I- отрасли и топливно-энергетического комплекса в целом за период 2002-2005 гг. и прогноз ^ на 2010 г. [3]. Приведенные данные позволяют сделать вывод о том, что рост этого показа-□ теля составил (по сравнению с предыдущим годом) в 2003 г. - 0,6 млрд. руб. (11,8%), в 2004 ^ г. - 0,1 (1,8%), в 2005 г. - 0,4 млрд. руб. (6,9%). Таким образом, хотя объем инвестиций за рассматриваемый период увеличивался, его прирост был незначительным. Суммарный объем инвестиций в природоохранную деятельность за период 2002-2005 гг. составил 22,8 млрд. ö руб. Прогнозируемое значение указанных инвестиций в 2010 г. составит 10,6 млрд. руб., т.е. £ превысит этот показатель за 2005 г. на 5,5 млрд. руб. (в 1,9 раза).

0 Оценка воздействия на компоненты окружающей среды при строительстве и эксплуата-ф ции объектов газовой отрасли производится по итогам комплекса инженерно-геологических,

1 гидрогеологических и инженерно экологических изысканий. Наиболее часто встречающие-о ся ошибки, недостатки и упущения в представляемой предпроектной и проектной докумен-

0 тации вызваны несколькими факторами [4].

^ Первый фактор - отсутствие комплекта карт (карт инженерно-геологических условий;

1 инженерно-геологического районирования; техногенной нагрузки; гидрогеологическая £1 карта; сейсмического микрорайонирования и др.) без которых невозможно ответить на при-< нципиально важные как с экологической, так и с экономической (для инвестора) точки зре-о ния вопросы: в каком состоянии находятся грунты зоны прокладки трубопровода, комплексы ф пород, подземные воды до начала строительства объекта (в т. ч. по содержанию предполагаем емых компонентов загрязнителей, которые будут образовываться в результате деятельности о объекта); как будут развиваться и активизироваться опасные для объекта экзогенные геоло-¡2 гические процессы и явления и др.

0 Второй фактор - недостаточное выделение средств для изучения компонентов окружаю-^ щей среды с целью оценки воздействия на нее объекта и воздействия компонентов среды на

1 объект. Это приводит к тому, что исполнители изысканий используют результаты выполнен-^ ных ранее на этой территории исследований (часто многолетней давности) без обновления

информации по состоянию на период проектирования. § Третий фактор - нормативно-правовой. Некоторые положения в нормативных докумен-ф тах и законах или противоречат друг другу, или в современных условиях невыполнимы пред-| писанными методами.

о Анализ приведенных факторов показывает, что при разработке предпроектной и про-9 ектной документации инвестор проектируемых объектов должен предусматривать средства, О необходимые для производства всех необходимых изысканий, которые являются основой