Исследование интеллектуальных методов решения оптимизационных задач транспортного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

ИССЛЕДОВАНИЕ

ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ТРАНСПОРТНОГО ТИПА

ГВОЗДИНСКИЙА.Н., ОБОЗНАЯ М.Ю.__________

Рассматривается класс оптимизационных задач транспортного типа. Исследуется классический способ решения - метод потенциалов, предлагается новый алгоритм на основе генетических алгоритмов, позволяющий находить оптимальный план перевозок с большей продуктивностью. В качестве объекта исследования рассматривается задача управления воздушным транспортом [1].

1. Введение

Сейчас, во времена свободного рынка, очень острой стала проблема оптимизации на производстве, в бизнесе. Из-за сильной конкуренции все стремятся минимизировать свои затраты на производство, перевозку, тем самым повысить конкурентоспособность своего продукта или услуги. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу действий. Раньше план в таких случаях составлялся «на глаз». В середине ХХ века был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать обоснованно, с максимальным результатом. Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Транспортная задача является представителем класса задач математического программирования, поэтому обладает всеми качествами линейных оптимизационных задач. Одновременно она имеет ряд дополнительных свойств, которые позволили разработать специальные методы ее решения.

Анализ исследуемой проблемы. Транспортная задача - это один из первых примеров оптимизации на линейных сетях. В настоящее время она стала типовой для промышленных фирм, имеющих несколько предприятий, складов, рынков сбыта и оптовых баз. Модель применяется главным образом при решении плановых задач. В этом случае стратегические решения сводятся к выбору транспортных маршрутов, по которым продукция различных предприятий доставляется в различные конечные пункты назначения.

Состояние проблемы. Под названием «транспортная задача» объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица систем ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

В общей постановке транспортная задача состоит в отыскании оптимального плана перевозок некоторого однородного груза с баз потребителям.

Различают два типа транспортной задачи: по критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию), по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).

Актуальност ьрассмотренной задачи состоит в том, что в наше время составление расписания очень важно, как его правильность, так и количество задействованного транспорта (ресурсов). Очень важным является вопрос о составлении актуального плана с точки зрения минимизации времени простоя ресурсов и использования оптимального их количества.

Сущность исследования заключается в поиске наиболее эффективных математических алгоритмов и программных методов для решения задач транспортного типа со спецификой рассматриваемой задачи.

Цели исследования заключаются в минимизации времени выполнения цикла рейсов и оптимальном использовании транспортных ресурсов. Для достижения целей решаются такие задачи: анализ алгоритмов, которые помогли бы решить поставленные задачи; адаптация выбранного алгоритма для решения проблемы; составление подсистемы, которая на основе адаптированного алгоритма выводит перечень рейсов, решающих поставленную задачу за минимально оптимальное время; обеспечение «понимания» подсистемой вводимого расписания для корректного решения задачи; определение количества требуемых ресурсов для выполнения составленного расписания.

2. Постановка задачи

Исследуемый в статье класс оптимизационных задач транспортного типа является типичным представителем специальных задач математического программирования. Эти модели часто описывают перемещение (перевозку) какого-либо товара из пункта отправления (исходный пункт, например, место производства) в пункт назначения (склад, магазин, грузохранилище).

Назначение транспортной задачи - определить объем перевозок из пунктов отправления в пункты назначения с минимальной суммарной стоимостью перевозок. При этом должны учитываться ограничения, налагаемые на объемы грузов, имеющиеся в пунктах отправления (предложения), и ограничения, учитывающие потребность грузов в пунктах назначения (спрос). В транспортной модели предполагается, что стоимость перевозки по какому-либо маршруту прямо пропорциональна объему груза, перевозимого по этому маршруту. В общем случае транспортную модель можно применять для описания ситуаций, связанных с управлением запасами, движением капиталов, составлением расписаний, назначением персонала.

РИ, 2013, № 4

35

Транспортная задача может быть рассмотрена как обычная задача математического программирования, ее специальная структура позволяет разработать алгоритм с упрощенными вычислениями, основанный на симплексных отношениях двойственности.

Решение задачи состоит в определении неизвестного плана перевозок, минимизирующего суммарные транспортные расходы и удовлетворяющего ограничениям, налагаемым на объемы грузов в пунктах отправления (предложения) и пунктах назначения (спрос).

Постановка классической транспортной задачи звучит так: от m поставщиков (А1,А2,.. ,,Ат) с некоторой грузоподъемностью предприятие перевозит однородные грузы n потребителям (В1,В2,...,Бп). Объемы поставки и потребления, а также стоимости транспортировки приведены в таблице.

Поставщики Потребители Запасы

Б1 Б2 Бп

A1 С11 c12 c1n a1

А2 с21 c22 с2п a2

Am cm1 cm2 cmH am

Заявки b1 b2 Ьп

Необходимо определить потребности транспортных средств, которые нужны для выполнения плана перевозок. В случае закрытой модели весь имеющийся в наличии груз развозится полностью и все потребности заказчиков удовлетворены:

m п

Ёa = Ё bj, (і)

1=1 j=i

где ai - количество груза на і-м складе; bj - потребность в грузе j-го потребителя.

Количество груза, имеющегося на каждой из m баз, обозначается а1, а2, ... ,ат. Заказы каждого из потребителей обозначаются как b1, b2, ..., bn. Соответ-

сіь с^ ... , с1n, с21, с22, ••• , стп -

стоимости перевозки единицы груза от 1- го поставщика к j-му потребителю. Требуется найти такой план перевозок, при котором все запасы будут израсходованы, заявки удовлетворены, а общая стоимость транспортировок была бы минимальной.

Авиакомпания хочет организовать полеты «туда» и «обратно» так, чтобы минимизировать время простоя каждого самолета, который выполняет рейс на авиалинии, перевозит пассажиров и груз. Во время рейса используется определенное количество ресурсов (горючее, смазочные материалы, затраты на обслуживание), которые составляют в стоимостном выражении себестоимость рейса. Необходимо исследовать распределение самолетов по авиалиниям, при котором выполняются запланированные показатели перевозок при минимальной общей стоимости перевозок.

Транспортная задача линейного программирования в настоящее время широко распространена в теоретических обработках и практическом применении на транспорте и промышленности. Особенно важное значение она имеет в деле рационализации поставок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта.

3. Математическая модель задачи

Для построения математической модели введем следующие обозначения: п - количество типов транспортных единиц n=5, m - количество маршрутов т=3. Индекс будем использовать для указания маршрутов и для указания типов транспортных средств: вместимость (чел.); грузоподъемность самолета (т); план перевозки пассажиров за месяц на i-й авиалинии (тыс. чел./мес.); стоимость эксплуатации j - го самолета на 1- й авиалинии за один месяц (млн. грн./мес.); план перевозки грузов за месяц на 1-й авиалинии (т/мес.); максимальное количество рейсов j-го типа самолета на і-й авиалинии за один месяц; имеющееся в наличии у авиакомпании количество самолетов; коэффициент исправности. Целевая функция, задающая критерий минимизации, имеет вид:

m п

F(x) = E!xijcij ^ max, (2)

i=i j=i

где F(x) задает общую стоимость перевозок за один месяц.

Определим ограничения, присутствующие в условии задачи: s- = qiJui, V- - объем перевозок пассажи-

ров (тыс. чел./мес.), Oij = q1jV1, V1j - объем перевозок грузов (т/мес.)

Хотя самолет перевозит и пассажиров и груз одновременно, ограничения по выполнению перевозок для пассажиров и для груза можно рассматривать отдельно:

Ё xijsij - ai

j=i

Ё XjOj- bi

1=1

M = 1,m ,

Ё- a1

j=1

Ёx-v-q.. -b-

1j 1j 1j 1

M = 1, m.

5 5

1 = 1

(3)

(4)

Также учитываются ограничения на количество самолетов каждого типа, которые имеются у авиакомпании, и ограничение на неотрицательность искомых переменных. Учитывая тот факт, что некоторые самолеты могут иметь неисправности, эти ограничения имеют вид:

36

РИ, 2013, № 4

Exij - Pijk4’j = 1,n

1=1

Хч> 0, Vi,J

1,1 = 1,m

(5)

Заметим, что суммарный возможный объем перевозок всеми самолетами превышает суммарный план и, следовательно, требование целочисленности можно опустить. При этом дробные значения xij будут означать частичное использование одного самолета J- ого типа на 1-й авиалинии.

Полная математическая модель поставленной задачи выражается так:

m n

F(x) = EEj ^ max

1=1 j=i

(6)

при условиях

Ex4u4q4 >ai

J=1

m

E jjj bi

j=1

m

E xu- Pijkij,j=1,n

j=1

xij> 0, Vi,j

1,i = 1, m . (7)

4. Методы и алгоритмы решения задачи

Для решения исследуемых задач существует не один метод, но транспортные задачи являются глубоко вырожденными, так как одна работа должна выполняться только одним исполнителем, и не всякий алгоритм сможет решить их. Рассмотрим некоторые из методов [1].

Симплекс-метод хорошо справляется с т-задачами, но так как эта задача транспортного типа особого назначения, т. е. на каждый заказ назначается только один исполнитель, то она глубоко вырождена, и симплекс-метод не применим.

Венгерский метод основан на некоторых довольно трудных и нетривиальных комбинаторных свойствах матриц. Он дает хорошие результаты, но его трудно программировать. Преобразование матриц происходит таким образом, чтобы найти в ней нули, которые были бы единственными в строке и в соответствующем столбце, которые и будут искомым планом.

Метод Мака, имеет преимущество более простого интуитивного обоснования. Это логический процесс. Данный метод основан на идее выбора в каждой строке минимального элемента. Минимальные элементы строк не распределены по всем стол-

бцам матрицы. Здесь используется идея сложения (или вычитания) одного и того же значения со всеми элементами строк по столбцам. Если в каждом столбце имеется подчеркнутый элемент, работа алгоритма закончена. По элементам, которые соответствуют оптимальному выбору, может быть вычислена соответствующая стоимость.

Для использования метода потенциалов будем строить опорный план методом северо-западного угла[3]. Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. Сущность метода состоит в следующем. Пользуясь таблицей, будем распределять груз, начиная с загрузки левой верхней, условно называемой северо-западной ячейки, двигаясь затем от нее по строке вправо или по столбцу вниз. В клетку (1;1) занесем меньшее из чисел ax, bi, т.е. хп = min (abbi). Если ai >bi , то хп=Ьі и первый потребитель В1 будет полностью удовлетворен. В дальнейшем 1 -й столбец таблицы в расчет не принимается; в нем переменные х! 1 = 0 для i = 2, m . Двигаясь вправо по первой строке таблицы, заносим в соседнюю клетку меньшее из чисел (a1-b1) и b2, т.е. х12 = min (arb1 , b2). Если (arb1)< b2, то запасы первого поставщика исчерпаны и первая строка таблицы в дальнейшем в расчет не принимается. Переходим к аналогичному распределению запаса груза второго поставщика.

Если b1 > a1, то х11 = min (a1,b1) = a1. При этом запас первого поставщика будет исчерпан, а потому х^= 0 для k = 2, n . Первая строка из дальнейшего рассмотрения исключается. В клетку (2;1) заносим наименьшее из чисел (a2,b1 - a1). Процесс распределения по второй, третьей и последующим строкам (столбцам) производится аналогично распределению по первой строке или первому столбцу до тех пор, пока не исчерпаются ресурсы. Последней заполняется клетка^^). После того, как опорный план построен, вычисляется оценочная матрица С1. Для расчета элементов матрицы необходимо сначала определить все потенциалы р j и ai. Строим

схему перевозок, которая отвечает начальному опорному плану х0, т. е. соединяем коммуникациями пункты отправления и назначения, для которых xij . Определяем последовательно все потенциалы пунктов отправления и назначения, принимая для удобства a i = 0. Потом по формуле находим элементы матрицы С1, которые отвечают базисным элементам плана х0 и должны быть заняты нулями.

При последующих итерациях используются такие алгоритмы.

РИ, 2013, № 4

37

1. Если в оценочной матрице С(к+1) все элементы положительны, план х(к) - оптимальный, в противном случае следует приступить к его улучшению.

2. Избираем наибольший по модулю отрицательный элемент оценочной матрицы, и начиная из соответствующего ему элемента хй, строим замкнутую цепочку. Потом определяем минимальный элемент среди всех нечетных по порядку расположения в цепочке, считая первым хй элемент.

3. Строим новый план х(к+1) , прибавляя 0 ко всем четным элементам цепочки и отнимая от нечетных. Элементы матрицы х(к), которые не попадают в цепочку, перемещаются в матрицу х(к+1) без изменений.

4. С помощью подобных преобразований матрицы С(к) находим оценочную матрицу С(к+1) для нового плана х(к+1) . Для этого подчеркиваем в матрице С(к) все элементы, которые отвечают ненулевым элементам матрицы х(к+1) (они обяза -тельно равняются 0). В матрице С(к) зачеркиваем строку, которая содержит элемент Cst. Если в этой строке имеют место подчеркнутые элементы, то зачеркиваем соответствующие этим элементам столбцы. Если же в каждом зачеркнутом столбце имеют место подчеркнутые элементы, зачеркиваем соответствующие им строки, и так до тех пор, пока описываемая процедура может выполняться. После этого ко всем элементам зачеркнутых строк прибавляем |Cst|, от элементов зачеркнутых столбцов отнимаем | Cst|. Получаем новую оценочную матрицу. Если в матрице С(к+1) нет отрицательных элементов, то план х(к+1) - оптимальный, иначе переходим к следующей итерации. На этом итерации завершаются.

5. Генетический алгоритм

Генетические алгоритмы (ГА) есть поисковые алгоритмы, основанные на механизмах натуральной селекции и натуральной генетики. Они реализуют «выживание сильнейших» среди рассмотренных структур, формируя и изменяя поисковый алгоритм на основе моделирования эволюции поиска. В каждой генерации новое множество искусственных последовательностей создается, используя части старых и добавляя новые части с «хорошими свойствами». ГА - это не просто случайный поиск. Он эффективно использует информацию, накопленную в процессе эволюции.

Цель Г А двояка: абстрактно и формально объяснить адаптацию процессов в естественных системах; спроектировать искусственные программные системы, которые содержат механизмы естественных систем. Центральная система поиска в ГА - поиск баланса между эффективностью и качеством для выживания в различных условиях. ГА отличаются от других оптимизационных и поисковых процедур следующим: работают в основном не с параметрами, а с закодированным множеством параметров; осуще-

ствляют поиск из популяции точек, а не из единственной точки; используют целевую функцию, а не ее различные приращения для оценки информации; используют не детерминированные, а вероятностные правила.

ГА берет множество натуральных параметров оптимизационной проблемы и кодирует их как последовательность конечной длины в некотором конечном алфавите. В естественных системах общая генетическая упаковка называется генотип. В натуральных системах организм формируется посредством связи генетической упаковки с окружающей средой и называется фенотип. В естественной терминологии хромосомы состоят из генов, которые могут иметь числовые значения, называемые «аллели».

Начальное условие задачи - распределение транспортных средств. Необходимо закодировать это условие в хромосому. Для этого план перевозок нужно представить в виде развернутой строки. Генами в данном случае будут выступать элементы ячеек плана. При генерации популяции будем использовать случайные значения генов. Размер популяции для матрицы стоимостей размерностью m на n элементов необходимом брать в районе m*n. Количество генов в хромосоме соответственно будет равняться m*n.

Фитнесс-функцией (целевой функцией) для популяции является суммарная стоимость перевозки всех грузов:

m n

f(k) = ZZjj. (8)

i=1 j=1

Для каждой сгенерированной особи считаем значение целевой функции, после чего вычисляем отношение ее приспособленности к суммарной приспособленности популяции:

Ps(i) =-к^ (9)

I f(k)

i=1

Полученное значение определяет вероятность выбора особи для дальнейших операций - кроссинговера и мутации. К хромосомам с наилучшей фитнессфункцией (Г(к) ^ min) применяется оператор кроссинговера, который заключается в попарном «скрещивании» выбранных на предыдущем этапе особей. Например, имея хромосомы А = 10, 11, 12, 8, 7 и В = 1, 2, 3, 4, 5, после применения к ним оператора кроссинговера мы получим хромосомы С = 10, 11, 12, 4, 5 и D = 1, 2, 3, 8, 7. После скрещивания применяем к отобранным хромосомам оператор мутации. Он заключается в случайном изменении одной или нескольких позиций в хромосоме. Например, хромосома А = 10, 11, 12, 8, 7 после мутации может принять вид А = 10, 8, 12, 11, 7.

Оператор кроссинговера применяется с вероятностью 60%, мутации - 40%. Как ни странно, именно

38

РИ, 2013, № 4

вероятностный подход позволяет генетическим алгоритмам достигать оптимума в решаемой задаче.

Применив разработанный алгоритм к задаче транспортного типа, получили следующий результат: на каждой итерации особи в популяции улучшали свою целевую функцию, стремясь к оптимальному решению, и на четырнадцатой итерации было получено решение задачи, в то время как при использовании метода потенциалов оптимальное решение было найдено только на двадцать второй.

Рассмотренные вычислительные алгоритмы были исследованы и апробированы для различных типов транспортных задач [4, 5].

6. Выводы

В результате проведенного исследования была проанализирована оптимизационная задача транспортного типа, рассмотрена ее математическая модель, а также один из основных методов ее решения - метод потенциалов. Рассмотрены понятия эволюционного подхода к решению задач и, в частности, разработан алгоритм решения оптимизационной задачи транспортного типа на основе генетических алгоритмов. В ходе исследования сделаны выводы о том, что несмотря на сложность программной реализации, новый алгоритм является более производительным и позволяет находить оптимальное решение за более короткий срок.

Научная новизна. В ходе исследования впервые применен эволюционный подход к рассматриваемому классу задач. Таким образом, создан первый алгоритм решения оптимизационных задач транспортного типа на основе генетических алгоритмов.

Практическим значением полученных результатов является то, что разработанным методом можно решать транспортные задачи на любом предприятии

УДК 519.7

ИССЛЕДОВАНИЕ

ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ВЫБОРА РЕШЕНИЙ В СИСТЕМАХ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ

ГВОЗДИНСКИЙ А.Н., ЛИТВИНОВСКИЙ А.Ю.

Исследуются методы решения задач в производственном планировании современного промышленного предприятия. Предлагаются оптимизационные методы решения задач производственного планирования, позволяющие оптимально распределять ресурсы и выявлять «узкие места» предприятия.

Введение

В современном мире человек, стараясь сделать все наилучшим образом, в основу любой целенаправленной деятельности закладывает процессы при-

транспортного типа и в отличие отуже существующих методов решения новый алгоритм является более производительным и не требует закупки более дорогостоящей вычислительной техники.

Литература: 1. Гвоздинский А.Н. Разработка информационной подсистемы управления воздушным транспортом/ А. Н Гвоздинский, Е. А. Гольцев//Радиоэлект-роника и информатика. 2010. №2. С. 47-51. 2. Гвоздинсь-кий А.М. Методи оптимізації в системах прийняття рішень: навчальний посібник /А.М. Гвоздинский, Н.А. Якімова, В.О. Губін // Харків : ХНУРЕ, 2006 С.325. 3. Гвоздинський А.Н. Эволюционный подход к решению оптимизационных задач транспортного типа // А. Н Гвоздинский, С. В. Мельник // АСУ и приборы автоматики. 2009. №147. С. 76-80. 4. Гвоздинский А.Н. Об одном подходе к решению задач составления расписания в системах управления объектами транспортного типа./ А. Н. Гвоздинский, А. А. Куликова // АСУ и приборы автоматики. 2010. №150. С. 101-106. 5. Гвоздинский А.Н. Исследование и разработка методов решения задач закрепления потребителей за поставщиками с учетом возврата транспортных средств / А. Н. Гвоздинский, М. А. Гаврюшенко // АСУ и приборы автоматики. 2010. №150. С. 106-111.

Поступила в редколлегию 15.10.2013

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Танянский С.С

Гвоздинский Анатолий Николаевич, канд. техн. наук, профессор кафедры искусственного интеллекта ХНУ-РЭ. Научные интересы: оптимизация процедур принятия решений в сложных системах управления. Адрес: Украина, 61166, Харьков, ул. Академика Ляпунова, 7, кв. 9. тел. 702-38-23, моб. 096-304-76-02.

Обозная Мария Юрьевна, студентка специальности «Искусственный интеллект» факультета компьютерных наук ХНУРЭ. Научные интересы: методы принятия решений в системах искусственного интеллекта. Адрес: Украина, 61183, Харьков, ул. Метростроителей, 4, кв. 111, тел. 716 - 78 - 57, моб. 095-008-77-81.

нятии решений. Теория принятия решений - быстро развивающаяся наука. Задачи, которыми она занимается, порождены практикой управленческих решений на различных уровнях - от отдельного подразделения или малого предприятия до государств и международных организаций. В научных областях она позволяет выделить наиболее важные проблемы, способы их изучения и эффективного устранения. Процессы принятия решений являются важным этапом при проектировании новой техники, разработке технологии ее создания и последующей эксплуатации. В экономике - обеспечивают оптимальное функционирование и взаимодействие производственных и хозяйственных организаций. В статье рассмотрим применение данных процессов. Ведь задача планирования организационной деятельности предприятия приобретает все более широкие масштабы. Эффективная работа организации без методов принятия решений теперь так же невозможна, как и без внедрения новейших технологий.

РИ, 2013, № 4

39