Обо общей краевой задаче для сингулярного обыкновенного дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ОБ ОБЩЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

И, Е, Егоров

Известно, что теория сингулярных и вырождающихся уравнений породила обширную литературу [1-7]. В настоящей работе исследуется общая краевая задача на полуоси для сингулярного обыкновенного дифференциального уравнения порядка 2т. При этом постановка краевой задачи включает т весовых граничных условий.

Рассмотрим сингулярный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

• •• ~г ат — 1 ат:

где В„ = + ы — вещественное число.

Предположим, что его характеристический многочлен

Щ)=А т + аг\2 т—2 + ■■■ + ат

удовлетворяет условию: уравнение

т = о (1)

не имеет чисто мнимых корней.

Для формулировки известных условий Лопатинского [1,6,7] обозначим через А—,..Ат корни уравнения (1), лежащие в левой полуплоскости. Тогда корни уравнения (1) А+ = —Х^, ] = 1, то, лежат в правой полуплоскости.

© 2008 Егоров И. Е.

Определим весовую функцию аи (Ь) по формуле

(Ь2" при и> О,

(-1пг)— при V = о,

1 при V < 0.

Рассмотрим краевую задачу

Б„) и = 0, 0<Ь, при Ь (2)

о = = 1 , то, (3)

где граничные дифференциальные операторы имеют вид

-(В^ Ь^- + ••• + Ьт, т- < т - 1.

Определим полиномы

т т

ь~ (л = П(Л -л-), = -.

Представим характеристические многочлены граничных операторов в виде

ЬА Л2) = Чз ЛЬ- (Л) + - Л, (4)

где с— (Л) и в- (Л) — полиномы, причем степень вд (Л) не превосходит т-

^ (А) = + А + • • • + /З^А™-1, 3=

Введем матрицу

В =

( $11 $12 • • • $1т

в21 $22 • • • т

\ вт1 вт2 • • • втт

Далее считаем, что для граничных операторов выполнено условие Лопатинского

В.

В работе [6] В. В. Катрахов ввел оператор типа Сонина и Пуассона, а также изучил их основные свойства. Обозначим через Б(Д+) множество всех функций из класса Сс (Д^) на полуоси [0, + <х) = Я+, убывающих при г ^ вместе со всеми производными быстрее любой степени г-1. Для V £ Б(Д^) определяем оператор типа Пуассона по формуле

сю

= ^гЦг2" [(у2 - 1 ¿У, * > о, (6)

Чъ-") {

где Г(^) — функция Эйлера.

Отметим, что формула (6) определена для Т1е V < ^, а для остальных V оператор Р^ определяется путем аналитического продолжения по параметру V и ветвь многозначной функции выбирается соответствующим образом [6].

Введем оператор

~ ( Р„ при Rev > О,

г-* Р-и при Т1е V < 0.

Обозначим через Б„(Д+) образ множества Б(Д^_) при отображении Р„.

Определим оператор типа Сонина по формуле

сю

о ВС _

SMt) = ^щ^J{y2-t2Y-^ya{y)dy, пев^ЯХ). (7)

Формула (7) определяет Б„ для Т1ег/ > — Теперь введем оператор

~ ( Б„ при Rev > 0,

Б-иг2* при Rev<0, определенный на множестве (Д+).

Теорема 1. Операторы Б„ являются операторами преобразования, при этом имеют место

~ ~ ~ ~ ~ ~ $ (Р ~

Ри^и = ^иРи = /, ВиРи = Б^В^ = —-^Бу.

аг£ аг

Справедливость теоремы 1 непосредственно следует из результатов работы [6].

Теорема 2. Краевая задача (2), (3) имеет единственное решение в классе ^(Дф) при любых ^р^, ] = 1, то, тогда и только тогда, когда выполнено условие Лоиатинского (5).

Доказательство. В силу теоремы 1 для V € Д^) имеют место равенства

о = С^ ( — «

(£

[ж

£

А-

4=0

Следовательно, разрешимость краевой задачи (2), (3) в классе (Д+) эквивалентна разрешимости следующей краевой задачи:

= 0, 0 < 1^(^)1 —► оо при £ —> оо, (2')

= си Ч>3, .7 = 1,»™, (3')

4=0

в классе Тогда па основании теории обыкновенных дифферен-

циальных уравнений [1,7] краевая задача (2'), (3') имеет единственное решение при любых (р^, ] = 1, то, тогда и только тогда, когда выполнено условие (5). Поэтому однозначная разрешимость краевой задачи (2),

(3) в классе (Д+) эквивалентна условию Лопатипского (5). Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть выполнено условие Лоиатинского (5). Тогда краевая задача (2), (3) однозначно разрешима в классе (Д+) при любых ] = 1, то, и имеет место оценка

т

К(г)и(г)\ < \<Рз\, (8)

¿=1

где константа С > 0 не зависит от ] = 1, то.

Доказательство. Пусть а . , ] = I, то, являются коэффициентами полинома

Ь- (Х) = \т + а-Ат-1 + ••• + ат. Обозначим через Ък3 элементы матрицы Б-1. Введем полиномы

т

Ьк(Х) = ^2акХк а0 = 1, /г = 0,т-1,

я=0

= 3 = 1, т.

к=1

Сначала доказательство теоремы 3 проведем в случае V ^ 0. Заметим, что в силу теоремы 2 достаточно показать существование решения краевой задачи (2), (3) в классе (Д+). Введем функцию

■ / ч ВД /1, " = 0,

М*) = 7,——, = \ 2-+1

где К(г) — функция Макдональда порядка V [8]. Тогда решение краевой задачи (2), (3) можно записать в виде

3=1 г

-

КОРПИ А-,... ,Хт-

Действительно, в силу равенства

Б1 к1 —АЬ) = А Зк„—АЬ) (10)

и теоремы Коши имеем

т ,,

Ь2т(В„)иЮ = Х)^ / К(-ЩЬ+(\Щ(\)с1\ = 0, * > 0. з=1 ™г -

С учетом (10) и свойств функции Ки (г) из формулы (9) получаем

<гЛФк(ви)и(г)\и=о = 2^2^ ]--[—щ--—^ =

к = 1,т, так как имеют место (4)

1 С &(А)ЛГД-(А) _ ^

Ь- (А)

(¿А = <$,-, к, ] = 1, т,

и (г)^(—Аг) = 1 при V < 0.

Следовательно, функция и(г) удовлетворяет граничным условиям (3). В силу асимптотического представления функции Макдональда [8]

1 + 0[ -

г

, | ащ г1 < п — а, а > 0.

Оценивая контурный интеграл в (9) получаем, что и(г) принадлежит классу Б„ (Д\.) и для нее справедлива оценка (8). При V > 0 рассмотрим функцию

3=1 г-

^ Ь-(А)

В силу равенств

Ы г-" = г-" в-и

из формулы (11) снова в силу теоремы Коши имеем

т ,,

ь2т(в„)и{ь) = У Р-г-2" / к^(-м)ь+(Х)Щ(Х) ¿х = о, * > о.

¿пг ,]

3=1

-

Теперь, как и выше, показываем, что функция и(г), определенная формулой (11), принадлежит классу Б„ (Д+) и для нее справедливы граничные условия (3) и оценка (8) при V > 0. Теорема 3 доказана. □

ЛИТЕРАТУРА

1. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

2. Левитан В. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

3. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973.

4. Егоров И. Е. О задаче Коши для сингулярного гиперболического уравнения четного порядка // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, 1981. С. 54-57.

5. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

6. Катрахов В. В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Мат. сб. 1980. Т. 112, № 3. С. 354-379.

7. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1998.

8. Кузнецов Д. С. Специальные функции. М.: Высш. шк., 1965.

г. Якутск

4 февраля 2008 г.