CC BY
20
ОБЕСПЕЧЕНИЕ СКРЫТНОСТИ ДЕКОДИРОВАНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ СРЕДСТВАМИ КОММУТАЦИИ ВХОДНЫХ ЦЕПЕЙ ДЕКОДЕРА А.А. Мельников, Е.В. Рукуйжа, А.А. Ушаков
Обеспечение скрытности декодирования циклических кодов (ЦК) осуществляется в рамках асимметричных криптографических представлений, при которых кодирование производится с использованием открытого ключа, а декодирование - с помощью закрытого ключа, причем закрытость ключа обеспечивается пользовательскими средствами коммутации входных цепей декодера.
Введение
На возможность обеспечения скрытности декодирования ЦК в рамках асимметричных криптографических представлений [1], при которых кодирование производится с помощью открытого ключа, а декодирование - закрытого, закрытость которого обеспечивается пользовательскими средствами коммутации входных цепей декодера оптимальных ЦК, указано в работе [2]. Эта возможность связывается с такой коммутацией входных цепей циклического декодера, которая приводит к модификации матрицы входа при дивидентной реализации декодера оптимального кода. В работе ставится задача переноса указанных возможностей на случай укороченных циклических кодов (УЦК). Причем задача решается применительно к случаю декодера ЦК, цикл деления в которых согласован с длиной укороченного кода. Таким образом, в декодерах укороченных кодов (УК) коммутация входных цепей должна решать две задачи: первая - согласование цикла деления с длиной УК, вторая - обеспечение скрытности.
Коммутация входных цепей для целей обеспечения скрытности декодеров
оптимальных циклических кодов
Рассматривается задача обеспечения скрытности декодеров оптимальных ЦК, использующих дивидентный способ декодирования и реализованных в виде двоичных динамических систем (ДДС), имеющих векторно-матричное описание
x(k +1) = Ax(k) + BU (к) (1)
где x,U - соответственно вектор состояния циклического декодирующего устройства (ЦДУ) и входной двоичный сигнал, поступающий из канала связи (КС), dim x = m;dimU = 1; A, B - соответственно матрица состояния и матрица входа ЦДУ размерности (mxn) и (m x 1), к - дискретное время, выраженное в числе тактов длительности T. Для целей предпринятых исследований в дальнейшем будем использовать положение следующего утверждения, доказательство которого можно найти в [2] и [3].
Утверждение 1. Пусть входная последовательность U (к) представляет собой аддитивную смесь входных последовательностей
U (к) = f(k) + %(к) (2)
где f (к)- параметризованное дискретным временем к представление оптимального по-мехозащищенного ЦК (n, к) - кода f, % (к) - параметризованное дискретным временем к представление n - кода ошибки % . Тогда результаты преобразования входной последовательности (2) с помощью векторно-матричного преобразования (1), начиная со второго цикла деления длительности n , будут совпадать с результатами преобразования вида
U (к )=%(к ). (3)
Нетрудно видеть, что если код f - нулевой, то фиксируемый утверждением результат выполняется в первом цикле деления. Отметим также, что для наглядности ре-
шаемой задачи целесообразно ограничиться случаем ЦК, исправляющего ошибки первой кратности, т.е. когда последовательность £:(к) в течение первых п тактов содержит только одну единицу. Воспользуемся положением утверждения 2.
Утверждение 2. Корректирующие способности оптимальных ЦК при использовании дивидентных способов декодирования реализуются на каждом цикле деления
длительностью п тактов в форме синдрома Е и квазисиндрома Е, вычисляемых в случае искажения I - того разряда передаваемого оптимального ЦК в силу соотношений
Е = хт (Ш) = (А"'+-1 В)т, (4)
Е = хт п + п-1) = (АМВ)т , (5)
где ^ - номер цикла деления.
Доказательство утверждения 2 можно найти в работе [2].
В выражениях (4) и (5) используется замечательное свойство матриц состояния ДУ (1), характеристический полином которых D(Л) = ёе1;(Л! + А) степени т = п - к принадлежит показателю п так, что
Ап = I. (6)
Если воспользоваться (6), то выражения (4) и (5) допускают упрощение:
Е = хт Ы) = (А1 -1 В)т
~ т . (7)
Е = х1 (п + п -1) = В
Итоговое соотношение (7) может быть положено в основу модификации матриц входа В с целью обеспечения скрытности декодирования, как с использованием синдрома так и квазисиндрома. В этой связи встает задача оценки свободы выбора матриц В, для чего сформулируем утверждение.
Утверждение 3. Если матрица входа В ДДС (1) является собственным вектором матрицы А , то ДДС не является полностью управляемой. Доказательство утверждения можно найти в работе [4]. Для целей дальнейших исследований воспользуемся следующим утверждением.
Утверждение 4. Если характеристический полином ёе1;(Я1 + А) матрицы состояния А ДДС (1) является неприводимым, то любая из матриц В размерности (т х1) , отличная от нулевой, не является собственным вектором матрицы А , что гарантирует полную управляемость пары матриц (А, В) в случае указанных свойств характеристического полинома.
Доказательство утверждения строится на определении собственного вектора п матрицы А .
Ап = ^Л (8)
где Л - собственное значение матрицы А, которое ищется из решения характеристического уравнения
ёе^Л! + А) = 0. (9)
Однако характеристический полином матрицы А является неприводимым, так как ОЕ(р) = ОЕ(2) не имеет корней, следовательно, не существует такого Л над полем ОЕ , при котором выполнялось (8). Доказанное утверждение определяет свободу выбора матриц В на предмет их реализации при коммутации входных цепей. Очевидно, в качестве матрицы В может быть выбрана любая из матриц, которая построена на массиве т - мерных двоичных векторов на все сочетания, мощность множества которых за вычетом нулевого составляет п=2т -1.
Коммутация входных цепей в задаче обеспечения скрытности декодеров укороченных ЦК. Основной результат
Поставленная задача решается для случая укороченных ЦК, длительность цикла деления которых согласована с размерностью укороченного ЦК. Рассмотрение проблемы начнем со следующего утверждения.
Утверждение 5. Пусть (п, к) - оптимальный ЦК, порождающий укороченный на
| разрядов (пц, ки) код, где
пи = пк|= к-1 (Ю)
при этом
ти = п - к =пк +|=п - к = т (11)
так, что сохраняется число проверочных разрядов т . Тогда для согласования длительности циклов деления укороченного (пи, ки) кода при декодировании в структуру устройства (1) необходимо ввести коммутирующий сигнал, так что декодирующее устройство будет задаваться векторно-матричным представлением
х(к +1) = Ах(к) + Ви (к) + Вкик (к), (12)
где коммутирующий сигнал ¡ик должен переводить декодирующее устройство из состояния
х(к) = Ап-1-и В (13)
в состояние
х(к+1)=В, (14)
причем матрица коммутации Вк формируется в силу соотношения
Вк = (Ап-и+1)В, (15)
а сигнал коммутации ик формируется в виде основной конъюнкции на наборе переменных, образующих вектор х(к)=Ап-1-и В, так что он может быть записан в форме
ик = &( Ап-1-и В)Т = 1 (16)
Доказательство утверждения строится на непосредственной подстановке в (12) следующих условий: и (к) = 0; ик (к) = 1; (13) и (14), что в итоге дает (15). Циклическое
ДУ в форме (12), обладающее свойством согласованности длительности цикла деления с размерностью укороченного кода, характеризуется теми же корректирующими способностями, что и оптимальный ЦК. ДКУ в форме (12) формирует синдром и квазисиндром, определяемые используемой матрицей входа В в форме соотношений (7), где вместо п следует положить пи. Сохраняется в декодирующем устройстве укороченных
кодов и свобода выбора матрицы В , причем эта свобода гарантируется полной управляемостью пары (А, В) так как у ДУ (12) матрица А не претерпевает изменений. Число вариантов реализаций матриц В сокращается и для укороченных кодов составляет пи= п - и. Следует заметить, что, так как в силу соотношения (15) матрица Вк связана
с матрицей В , то всякий раз при модификации матрицы В приходится модифицировать матрицу коммутации Вк в соответствии с выражением (15) с тем чтобы согласовать у укороченных кодов цикл деления с числом разрядов УК пи.
Литература
1. Баричев С. Г., Гончаров В. В., Серов Р. Е. Основы современной криптографии: Учебный курс. 2-е изд. М.: Горячая линия - Телеком, 2002.. 175 с.
2. Рукуйжа Е. В. Сравнительный анализ матричных и дивидентных процессов кодирования и декодирования в задачах помехозащиты информации. // Современные технологии: сборник статей Под ред. С.А. Козлова и В.О. Никифорова. СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 2002.
3. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.
4. Мельников А.А., Рукуйжа Е.В., Ушаков А.В. Использование свойств матриц над конечными полями для обнаружения неустойчивых циклов и неподвижных состояний двоичных динамических систем // Научно-технический вестник СПб ГИТМО(ТУ). Вып. 6. Информационные, вычислительные и управляющие системы / Главный редактор В. Н. Васильев. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2002.
