CC BY
19
УДК 621.833
С. Н. Хатетовский, канд. техн. наук, доц., П. Н. Громыко, д-р техн. наук, проф.,
М. С. Павлович
ОБЕСПЕЧЕНИЕ НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЦЕВОЧНОЙ ПЕРЕДАЧИ К ПОГРЕШНОСТЯМ МОНТАЖА
В статье приводится сравнительный анализ чувствительности цевочных передач с параллельными и пересекающимися осями к погрешностям монтажа. Исследования проведены как численным методом, так и при помощи твердотельного моделирования. Передаточное отношение зубчатой передачи рассматривается как отношение момента общей нормали к контактирующим поверхностям относительно оси вращения ведомого колеса к моменту этой нормали относительно оси вращения ведущего колеса.
Введение
Зубчатые передачи, нечувствительные к погрешностям монтажа, широко применяются в самых различных сферах техники. Эти передачи обеспечивают постоянство, по крайней мере, передаточного отношения при возникновении погрешностей относительного положения осей вращений колес как при сборочных операциях (погрешности монтажа), так и в процессе эксплуатации. Одной из таких передач является эвольвентная передача. Очевидно, что зубчатые передачи, нечувствительные к погрешностям монтажа, - привлекательное решение для инженера. Однако они не всегда могут быть использованы, т. к. не всегда обладают требуемыми характеристиками. Например, если необходимо обеспечить большое передаточное отношение, то инженеру часто приходится применять эксцентриковую передачу с разницей в один зуб между числами зубьев центрального колеса и сателлита. Спроектировать такую зубчатую передачу на основе эвольвентно-го зацепления проблематично, поэтому приходится применять цевочное зацепление, хотя известно, что оно чувствительно к погрешностям монтажа, т. е. при отклонении межосевого расстояния от теоретически точного значения передаточное отношение становится зависимым от относительного положения
зубчатых колес. В настоящее время, чтобы минимизировать чувствительность цевочной передачи к погрешностям монтажа, приходится прибегать к дорогостоящим методам обработки зубьев, а также повышать точность сборки. В итоге все эти меры приводят к удорожанию проектного решения. Однако существует и другое решение проблемы обеспечения постоянства передаточного отношения цевочной передачи, которое и рассматривается в работе.
В [1] показано, что нечувствительность зубчатой передачи к погрешностям монтажа может быть обеспечена, если для каждой контактирующей поверхности выполняется условие
Г, «о, к
= М,
(1)
где г - радиус-вектор точки поверхности, проведенный из фиксированного центра, лежащего на оси вращения; п0 -
единичная нормаль к поверхности; к -единичный вектор оси вращения поверхности; М - конечная константа, не равная нулю.
Условие (1) позволило получить уравнения контактирующей поверхности [1]:
йі
0
йі
0
йі ’
X0 + Y0 • Р0 + M -V1 + р2 + 0О2 = 0; С1 = агс1§(/,о); С2 = ^ • с°8(С1);
С = M - С1 - C2 _ 7 .
'—'13 I--------- ч
V1 + С
0 5
м
^(ф д/Г+С
^ = 1§(5 + С1);
С 2
соб(5 + С1)
((1 + С22) • ^(СТ) _ С1);
г = _
мс
V1 + с2
• (5 + С!) + С3;
м
•((1 + С22) -8Ш(5 + с1) _
л/1+С^
_ (5 + С1) • С08(5 + С1)) + С4 • С08(5 + С1);
м
х = —
((1 + С22) • С08(5 + С1) +
V1 + С2
+ (5 + С1) • 8ш(5 + С1)) _ С4 • 8т(5 + С1), (2)
где Х0, 70, 70 - уравнения кривой, через которую проходит поверхность, Х0 = Х0(0, 70 = ¥0®, 70 = ^(0; 5 и
I - независимые параметры.
Одной из контактирующих поверхностей в цевочной передаче является поверхность цевки. Следовательно, для обеспечения нечувствительности цевочной передачи к погрешностям монтажа она должна описываться уравнениями (2). Если положить 70 = 0, то
уравнения Х0 = Х0 (^), ¥0 = ¥0 (^) должны описывать плоскую кривую, через которую проходит контактирующая поверхность цевки - окружность. При этом сама поверхность цевки получается достаточно сложной, чтобы ее можно было изготовить и реально использовать в цевочной передаче. Поэтому описанный в [1] способ обеспечения нечув-
ствительности цевочной передачи к погрешностям монтажа на практике вряд ли применим.
Однако поставленная цель может быть достигнута, если принять следующую гипотезу: передаточное отношение цевочной передачи, состоящей из цилиндрических цевок, и шестерни, оси вращения которых пересекаются, при возникновении погрешностей монтажа изменяется меньше, чем передаточное отношение цевочной передачи с параллельными осями вращения.
Для проверки гипотезы были разработаны математические и твердотельные модели цилиндрической (оси вращения цевок и шестерни параллельны) и конической (оси вращения цевок и шестерни пересекаются) цевочных передач.
Математические модели. Для
дальнейших рассуждений введем следующие системы координат (рис. 1 и 2): Охуг - неподвижная система, ось Ог
которой совпадает с осью О12(1) вращения цевок; О1 х (1)у(1) г(1) - подвижная система, жестко связанная с цевками;
Онх(н) у(н) г(н) - неподвижная система, ось Онг(н) которой совпадает с осью
(2)
вращения
шестерни;
О2 х(2) у(2) г(2) - подвижная система, жестко связанная с шестерней.
В [2] получены уравнения цевки в системе отсчета, которая жестко связана с самой цевкой:
х1(1) = гс _ р • соб(9) ;
у1) = р • б1п(9) ;
г (1) = 0,
(3)
где 9 - полярный угол; р - полярный радиус (радиус цевки); гс - радиус окружности, на которой расположены цевки.
Проекции нормали в системе
О1 х(1) у(1) г(1):
2
ПУ = - cos(9);
п(У =sin(9);
(4)
Параметры 9 и р = const определяют точку контакта при некотором угле ф1 поворота цевки в передаче, собранной без погрешностей.
а)
б)
Рис. 1. Неподвижные системы отсчета: а - системы отсчета цевочной передачи с параллельными осями; б - системы отсчета цевочной передачи с пересекающимися осями
а)
б)
Рис. 2. Подвижные системы отсчета: а - система отсчета, жестко связанная с шестерней; б - система отсчета, жестко связанная с цевками
Аналогично опишем реальную поверхность цевки, т. е. цевки реальной передачи, собранной с погрешностями:
у™ =рг • sin(9r);
z °) = 0-
L\T ^ 5
x? = rc- Pr • cos(9r);
nS = - cos(9r);
п!УГ = sin(0r);
1 yr
,0) = 1 zr
(б)
Параметры 9 r и р r = const определяют точку контакта при некотором угле ф1г поворота цевки в передаче, собранной с погрешностями. Считаем, что в общем случае р ^ р r.
Для дальнейших рассуждений векторы ri(Xi(1), у(1), Zi(1)), n™ n!Z}) ,
rlr(x!!), y!!), zl(rJ), nlr (п!
1(l) n(l) 1xr’f lyr 5
nl(z)) пред-
ставим в виде соответствующих матриц:
R,(1) =
Д1)
y;
(l)
,(l)
(7)
n,(1) =
R(!) =
(l)
lx
(l)
ly
(l)
lz
о
/1)"
y?
z,(!)
l
(8)
(9)
Nl(r} =
n
n
(l) 1 xr (l) l yr
(l)
о
(10)
Координаты контактной точки, лежащей на поверхности зуба идеальной шестерни, в системе координат
02 х(2) у(2) г(2), жестко связанной с самой шестерней, представим следующим образом:
Й2) = М,„ х М„о хМо, х Л,а), (11)
где М2н - матрица перехода от неподвижной системы координат
Онх( )у( )г( ) к системе О2х( )у( )г( ); Мн 0 - матрица перехода от неподвижной системы координат Охуг к системе координат Онх(н)у(н)г(н); М01 - матрица перехода от системы О1 х(1)у(1) г(1), жестко связанной с цевками, к системе Охуг.
Аналогично определим в системе О2 х(2)у(2) г(2) компоненты нормали п2 к поверхности зуба идеальной шестерни в рассматриваемой контактной точке, приняв во внимание очевидное равенство #22) = ^(2):
#221 = М1Н х М„ 0 х М„, х #,(|>. (12)
Переходя к рассмотрению реальной передачи, получим в системе Охуг координаты точки рабочей поверхности реальной цевки:
Rlr = M0lr Х Rlr
(і)
(13)
где М01г - матрица перехода от системы 01 х(1)у(1) г(1) к системе Охуг с учетом реального угла поворота ф1г.
Аналогично определяем в системе 0хуг компоненты нормали к рабочей поверхности реальной цевки в рассматриваемой точке:
= m x n,;1 .
(l4)
Определяем также в системе Охуг координаты точки рабочей поверхности зуба реальной шестерни и компоненты соответствующей нормали:
R2r M о Hr x MH 2r x R2 ’
N2r = M0Hr X MH2r
(2) ; 2 з
x N22),
(15)
(16)
где MoHr - матрица перехода от систе-
мы координат 0нх( )у( )г( ) к системе 0хуг с учетом рассматриваемых в работе погрешностей монтажа; Мн 2г -матрица перехода от системы
иб
1
lr
02 х(2) у(2) г(2) к системе 0нх(н) у(н) г(н) с учетом реального угла поворота ф2г шестерни в передаче, собранной с погрешностями.
Для обеих передач (как с параллельными, так и с пересекающимися
осями) матрицы М01 , М2н Мн 2г имеют следующий вид:
М
и
М 01 =
М_ =
2н
М 01Г =
М_. =
н2г
С08(ф1) - ^Чф^ 0 0“
8ІП(ф1) С°8(ф1) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
С°8(ф 2 ) 8Іп(ф2 ) 0 0“
8Іп(ф2 ) С°8(ф 2 ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
С0Б(ф1г ) - 8Іп(ф1г ) 0 0“
) С08(ф1г ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
С°8(ф2г ) - 8Іп(ф2г ) 0 0
8ІП(ф2г ) С°8(ф2г ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
; (17)
; (18)
; (19)
,(20)
где ф2 - угол поворота идеальной шестерни, который определим по следующей формуле:
Ф1
Ф2 = ~,
^12
(21)
где и12 - идеальное передаточное отношение.
Если передача собрана с погрешностями и при данном значении ф1 существует точка контакта, то должны быть справедливы следующие равенства:
где г1г - радиус-вектор точки контакта, лежащей на рабочей поверхности реальной цевки в системе Охуг; г2г - радиус-вектор точки контакта, лежащей на рабочей поверхности зуба реальной шестерни в системе Охуг; п1г и п2г -соответствующие нормали, которые должны лежать на одной прямой.
Векторы ^ (х1Г у, г1Г), 4 (х2Г, у2г, г2Г),
А1г (nlxr, ^уп А1гг) и п2г (п2хг, п2уп П2гг ) соответствуют следующим матрицам (см. формулы (13).. .(16)):
=
х1г
у1г
г1г
1
(23)
ІЇ1Г =
п
1хг
п
1уг
^2г =
N2г =
«1гг
0
" х2г
у 2г
г2г
1
(24)
(25)
п
п
2 уг 2 гг 0
(26)
С учетом компонентов матриц (23)...(26) равенства (22) перепишем следующим образом:
х1г- х2 г =0;
у1г- у 2 г =0;
г1г- г2 г =0;
«1хг • п2уг - п1 уг • п2хг = 0; П2 г = 0.
(27)
П1г х «2г = 0 :
В процессе решения системы уравнений (27) определяем пять неиз-
г1г г2г ;
вестных: ф1, ф1г, ф2г, 9, 9г , а значение угла ф1г задаем.
При этом, согласно [1], реальное передаточное отношение определяем по формуле
и — 2г
12г
(г2г Х «2г ) • к
2г
(г1г Х «1г ) • к1
(28)
где к2г - единичный вектор оси вращения шестерни при наличии погрешностей сборки; к1 - единичный вектор оси вращения цевок.
Твердотельные модели. Для получения твердотельных моделей можно использовать одну из САО-систем, поддерживающих моделирование кинематики и механического взаимодействия моделей.
Исходные данные для моделирования цевочных передач с параллель-
ными осями (передача I) и с пересекающимися осями (передача II): радиус цевки р = 5 мм; радиус окружности, на
которой находятся цевки, гс = 100 мм.
Для передачи I межосевое расстояние А = 53 мм.
Для передачи II угол пересечения осей £ = 100, расстояние от начала координат системы О2х(2)у(2)г(2) до ближайшего нормального сечения шестерни 302,3 мм, что примерно соответствует межосевому расстоянию 53 мм передачи I. Ив одном, и в другом случае идеальное передаточное отношение и12 = 0,5 .
Проектирование передачи I велось согласно [3], а передачи II - согласно [2]. Схемы полученных твердотельных моделей представлены на рис. 3.
а)
б)
Рис. 3. Схемы твердотельных моделей: а - передача I; б - передача II
Исследования. Исследовались
следующие погрешности: погрешность межосевого расстояния АЛ — 0,5 мм передачи I; погрешность межосевого угла АЕ — 0,1° передачи II. Данные погрешности можно считать приблизительно сопоставимыми.
Матрицы перехода между системами координат 0нх(н) у(н) г(н) и 0хуг передачи I:
М™ —
М 0 нг =
1 0 0 Л + АЛ
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(30)
Матрицы перехода между систе-
мами координат 0н х передачи II:
(н) у(н) г(н) и 0хуг
“1 0 0 - Л~ С08(Е) 0 - 8Іп(Е) 0“
0 1 0 0 0 1 0 0
; (29) Мн 0 —
0 0 1 0 н0 8Іп(Е) 0 С08(Е) 0
0 0 0 1 0 0 0 1
М0нг
С08(Е + АЕ) 0 8т(Е + АЕ) 0
0
1
0
Для передачи I
к 2 г = к2 = к1 = к
0
_8т(Е + АЕ) 0 С08(Е + АЕ) 0 0 0 0 1
.(32)
(33)
где к2 , к - единичные векторы осей
I
Для передачи II
О2 г (2) и Ог соответственно.
к2г = зт(Е + АЕ) • / + у + соз(Е + АЕ) • к ;(34)
к1 = к
(35)
где / , у - единичные векторы осей Ох
и Оу соответственно.
При значениях рг, равных 4,5 и
3,5 мм для передачи I и передачи II соответственно, удалось решить систему уравнений (27) численным методом. Результаты решения представлены на рис. 4 и 5.
Рис. 4. График функции и12 = и12(ф1г) передачи I, полученный численным методом
Анализ вышеприведенных графиков показывает, что максимальное изменение передаточного отношения передачи I равно 0,01336833, и оно на порядок больше, чем максимальное изменение передаточного отношения передачи II, которое равно 0,00177265.
Исследования твердотельных моделей, выполненные при помощи
средств СЛВ-системы, представлены на рис. 6 и 7. На этих графиках виден разброс значений передаточного отноше-
ния, что объясняется погрешностью геометрического моделирования цевочного зацепления. Данная погрешность появляется из-за того, что поверхность зуба шестерни представляется в виде дискретной совокупности нормальных сечений, а каждое нормальное сечение - в виде дискретной совокупности точек, координаты которых рассчитываются по соответствующим формулам. Объединение точек в непрерывную линию осуществляется автоматически СЛВ-системой
при помощи сплайнов. Объединение нормальных сечений в одну твердотельную модель также осуществляется САО-системой в соответствии с ее внутренними алгоритмами.
Линии тренда, построенные для
каждого из графиков, полученных при помощи средств САО-системы, соответствуют графикам, полученным при помощи численного метода решения системы уравнений (27).
Рис. 5. График функции и12 = и12 (ф1г) передачи II, полученный численным методом
0.5600 0,5500 0,5400 0.5300 0,5200 - 0,5100
0,5000 0,4900 Щг 0,4800 0,4700 0.4600 0,4500
0,4400
0.896 6.871 12.846
Рис. 6. График функции и12 = и12 (ф1г) передачи I, полученный при помощи средств САБ-системы
0,5200
0,5100
0,5000
0,4900
0,4800
0,4700
0.4600
0,4500
0,4400
j
—Vat/! ry^-A
0,9б0
б,815
12,180
Фіг
Рис. 7. График функции и12 = и12 (ф1г) передачи II, полученный при помощи средств САБ-системы
Заключение
Результаты исследования передаточного отношения цевочной передачи численным методом и методом твердотельного моделирования подтверждают выдвинутую гипотезу о том, что вариант передачи с пересекающимися осями может быть менее чувствителен к погрешностям монтажа, чем вариант передачи с параллельными осями.
Погрешность межосевого расстояния цевочной передачи с параллельными осями в определенных пределах не исключает контакт рабочих поверхностей в том случае, если межосевое расстояние увеличивается, а радиус используемой цевки меньше теоретически точного.
Погрешность межосевого угла це-
вочной передачи с пересекающимися осями в определенных пределах не исключает контакт рабочих поверхностей в том случае, если межосевой угол увеличивается, а радиус используемой цевки меньше теоретически точного.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хатетовский, С. Н. Обеспечение нечувствительности зацепления поверхностей к изменению их относительного положения / С. Н. Хатетовский // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. -2010. - № 2. - С. 122-131.
2. Хатетовский, С. Н. Повышение эффективности работы аппаратов пищевых производств путем использования в их конструкции прецессионной передачи / С. Н. Хатетовский, П. Н. Громыко, К. К. Гуляев // Вестн. МГУП. -2010. - № 1. - С. 104-112.
3. Литвин, Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений / Ф. Л. Литвин. - М. : Наука, 1968. - 584 с.
Белорусско-Российский университет Материал поступил 10.03.2011
S. N. Khatetovsky, P. N. Gromyko,
M. S. Pavlovich
Support of pin gear insensitivity to assembly errors
In the article comparative analysis of sensitivity to assembly errors of pin gears with parallel and intersecting axles is carried out. The research is carried out by means of numerical method and solid-body simulation. Reduction ratio of gearing is defined as ratio of moment of common normal to contacting surfaces about driven wheel rotation axle to moment of same normal about driving wheel rotation axle.
