CC BY
93
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
ISSN 1994-0448
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 10. С. 152-178.
Б01: 10.7463/1014.0729606
Представлена в редакцию: 16.09.2014
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 629.78
Обеспечение качества процессов управления в релейной системе без датчика скорости
Симоньянц Р. П. ----
:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Рассматриваются актуальные вопросы построения релейных систем управления ориентацией и стабилизации без использования датчиков угловой скорости (ДУС) за счёт применения внутренней обратной связи (ВОС), формируемой внутри контура управления. Предложен «метод диаграммы совмещений» (ДС), основанный на топологических преобразованиях фазового пространства и вве-дении относительного времени, позволяющий эффективно решать инженерные задачи анализа и синтеза. Показано, что применением ДС можно синтезировать ВОС, удовлетворяя требованиям как в установившихся, так и в переходных процессах. При помощи ВОС, без ДУС, на ДС можно реализовать законы выключения управляющего воздействия такие же, как в и случае, если бы ДУС использовался. Показано, что неудовлетворительные по качеству переходных процессов скользящие режимы могут быть полностью исключены надлежащим выбором формы и параметров переходной функции ВОС.
Ключевые слова: релейная система, внутренняя обратная связь, без датчика скорости, угловая стабилизация, управление ориентацией, переходные процессы, скользящие режимы, автоколебания.
Введение.
Рассматривается релейная система управления движением, в которой отсутствуют датчики скорости. Типичный пример - реактивная система управления ориентацией космического аппарата (КА). Для обеспечения требуемых характеристик системы по качеству переходных и установившихся режимов обычно используют полную информацию о текущем состоянии управляемого процесса. С этой целью применяют как позиционные датчики (астрономические, оптические, инфракрасные, гироскопические и проч.), так и датчики угловой скорости (ДУС). При этом из-за шумов и нелинейности дифференцирование сигнала позиционного датчика признаётся нецелесообразным.
Стремление отказаться от ДУС, сохранив при этом высокое качество динамических процессов за счёт использования дополнительной информации, получаемой в замкнутом контуре системы управления, сохраняется уже многие десятилетия. Существующие в настоящее время релейные системы без ДУС, обеспечивают высокую экономичность в
режимах автоколебаний, но по качеству переходных процессов значительно уступают системам с полной информацией.
Наилучших результатов позволяют получить релейные системы с внутренней (местной) обратной связью (ВОС), охватывающей регулятор. ВОС формирует сигнал, заменяющий информацию об угловой скорости. Например, релейная система управления ориентацией и стабилизации КА, использующая в качестве ВОС апериодическое звено (АОС), уже с 1960-х годов широко применялась на многих зарубежных и отечественных КА [1, 6-11], в том числе и на КА, созданных под руководством В.Н. Челомея.
АОС обеспечивает высокую экономичность в режиме автоколебаний с малыми длительностями импульсов и устойчивость по начальным условиям в достаточно широкой области значений. Но переходные процессы при этом протекают в многоимпульсном скользящем режиме, что, как показано ниже, нельзя считать удовлетворительным.
Актуальность вопроса.
В настоящее время интерес к релейным системам управления без датчиков скорости, резко возрос. Известный специалист в области космической техники Н.Н. Севастьянов 1) в работах [2, 3] справедливо утверждает, что использование на КА бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС) и цифровых управляющих машин (БЦВМ) позволяет минимизировать приборный состав, вес и потребление энергии. Требования к датчикам при этом могут быть существенно упрощены за счет применения новых алгоритмических решений, а количество датчиков ориентации можно сократить. Такое упрощение повышает надёжность систем управления.
На примере спутника связи «Ямал-200» Севастьянов подтвердил возможность и целесообразность построения в современных системах управления КА на базе БИНС режимов ориентации без датчиков угловой скорости. На аппарате «Ямал-200» было решено использовать новые, но уже апробированные научно-технические подходы [2]. При этом управление осуществляется по информации о значениях углов, измеряемых звёздным датчиком, и значениях угловой скорости, вычисляемых БЦВМ в процессе реального движения КА. К внедрению таких подходов, как отмечает автор, побудили катастрофические отказы ДУС - прибора «ГИВУС» (разработчик - НИИ ПМ им. В.И. Кузнецова), случившиеся в процессе эксплуатации КА «Ямал-201».
Разработка алгоритма поддержания орбитальной ориентации без использования ДУС в контуре управления была одной из основных целей и диссертационной работы [4]. При этом информация о скорости движения заменялась расчётной оценкой на основе показаний датчиков углового положения.
В научной литературе встречаются работы, в которых авторы предлагают, казалось бы, иной подход к построению релейного управления с неполной информацией об управляемом процессе. Так, в [5], используют системы с «переменным гистерезисом». Предусмотрено управляемое изменение границ зоны гистерезиса в зависимости от уровня входного сигнала. Однако такие системы, по существу, сводятся к системам с ВОС,
поскольку для изменения границ зоны гистерезиса в них вместо ДУС также используется информация, формируемая внутри контура системы управления.
Релейное управление с внутренней обратной связью часто называют управлением с широтно-импульсной, частотно-импульсной модуляцией (ШИМ, ЧИМ), а также с широтно-частотно-импульсной модуляцией (PWPF - сокращение английских слов Pulse-Width, Pulse-Frequency). Опубликовано большое число исследований динамических свойств как непрерывных, так и дискретных систем управления ориентацией КА с PWPF. При этом, как показано, например, в [16], степень приближения дискретного управления к непрерывной системе может быть сколь угодно большой, даже если частота дискретизации принимается относительно малой.
В [21] представлены некоторые результаты исследований дискретного управления КА с ВОС без ДУС при использовании гироскопических исполнительных органов. В качестве примера рассмотрены мини-спутники массой 100-500 кг на орбитах с высотой 550-800 км. Алгоритмы управления исполнительными органами, включая магнитные и реактивные (плазменные) приводы, построенные на основе ШИМ, обеспечили высокую экономичность расходования бортовых ресурсов энергии и топлива.
С 60-х годов 20 столетия по настоящее время интерес к проблеме синтеза релейного управления с ВОС не ослабевает. Многие годы системы с ВОС в форме PWPF-модулятора используют для сброса кинетического момента [19], для повышения точности установившихся режимов, снижения расхода топлива и энергии [20], для управления ориентацией и стабилизации деформируемых КА и подавления упругих колебаний [1518]. В течение нескольких десятилетий многие исследователи стремились повысить эффективность аналитических методов исследования этих систем. Однако до сих пор проблема обеспечения качества процессов управления решена не в полной мере.
Постановка задачи.
В приведённых выше и иных известных автору литературных источниках по исследованию релейных систем управления без датчиков скорости, выбор корректирующих устройств и их параметров осуществляется, в основном, эвристически и не в достаточной мере отвечает практическим требованиям по обеспечению качества динамических процессов. В связи с актуальностью вопроса и новыми возможностями реализации управления при помощи современных бортовых вычислительных средств, возникла необходимость сформулировать основные принципы практически неизвестного читателям метода диаграммы совмещений [6], показав его высокую эффективность в решении проблемы синтеза и простоту применения в инженерной практике.
В частности, покажем, что надлежащим выбором ВОС в системе релейного управления без датчика скорости можно реализовать желаемый (с точки зрения качества процесса) закон выключения управляющего воздействия как функцию фазовых координат (линию выключения на фазовой поверхности) практически точно такой же, как в случае
использования датчика скорости. Подобные результаты, по располагаемой автором информации, в научной литературе публикуются впервые.
Для реализации управления без использования датчика скорости, релейный элемент (РЭ) общего вида охвачен внутренней обратной связью (ВОС) [6-10]. Управляющий сигнал а на входе РЭ аддитивно формируют два сигнала: сигнал с датчика положения x и корректирующий сигнал ВОС z. ВОС представляет собой некоторое устройство, формирующее корректирующую функцию z = Z (в) как реакцию на скачкообразный входной сигнал (где в- относительное время, отсчитываемое от момента включения РЭ). При реализации ВОС аналоговыми средствами корректирующим сигналом является переходная функция устройства. В случае цифрового формирования а корректирующую функцию z = Z (в) реализует микропроцессор или БЦВМ. При этом ВОС, по существу, является программным устройством, запускаемым управляющим импульсом РЭ и формирующим закон изменения z в функции в.
Концептуально предлагаемый подход к решению задачи синтеза управления без датчика скорости основан на утверждении: между качеством динамических режимов в системе управления и характеристиками корректирующей функции z = Z (в) существует однозначная зависимость. Синтез управления сводится к решению задачи: по заданным требованиям к динамике управляемых процессов найти удовлетворяющие им вид и параметры корректирующей функции z = Z (в). В случае применения аналоговых корректирующих устройств необходимо дополнительно решить ещё и обратную задачу: по виду и параметрам корректирующей функции выбрать структуру и параметры ВОС.
Математическая модель.
Для обоснования принципиальных основ метода диаграммы совмещений достаточно рассмотреть упрощенную модель динамики КА. Полагаем, что движения по каналам управления (тангаж, курс, крен) независимы. Исполнительные органы (ИО) создают управляющее воздействие u = —a ■ F(а), где a = const > 0 - эффективность ИО. Возмущение g: |g| = const << a или « 0. F (а) - управляющая функция: F = ±1, 0; а (x, z) - аддитивный управляющий сигнал.
Обозначив через x угловое отклонение, запишем упрощённые уравнения движения:
dx dy
~r = У, ~т = g + u, u = —a ■F (а). (1)
dt dt
Логика работы РЭ задается управляющей функцией F (а). Изменения F происходят скачкообразно, когда а достигает пороговых значений ±а, ±а + h, где h -гистерезис. Функция F (а) внутри петли гистерезиса неоднозначна. Доопределим её значением F(a(t)) в предшествующий момент t — 0 = t — s, s^ 0 , т.е. значением F0 (а (t)) = F (a(t — 0)) . С учётом F0 запишем:
F(с) = 1/2\_sgn(с-а + И) +^¿и(с + а + И• ^)] . (2)
В системах с полной информацией переменная х измеряется датчиком угла, а её производная у = х - датчиком скорости (ДУС). Часто полагают, что датчики идеальны (без инерции, статические характеристики линейны), управляющий сигнал формируется как линейная комбинация:
с (г) = х (г) + ку • у (г). (3)
В системах без ДУС производная у = х не измеряется. Второе слагаемое в (3) заменяется искусственно созданным внутри системы управления корректирующим сигналом г (г), формируемым контуром отрицательной ВОС:
с (г) = х (г)- г (г). (3а)
В системе с БЦВМ сигнал г (г) формируется произвольно, в любой форме как функция 2 (о). В аналоговой системе г = 2 (о) - переходная функция, зависящая от устройства ВОС. Так, в системах с апериодической обратной связью (АОС) используется электрическая ЯС-цепь, на выходе которой сигнал г (г) описывается уравнением
¡2
Т^ + г = к • F (с (г)), (4)
п
где Т = ЯС . Возможно применение п цепей г (г) = ^ г (г), например, в [7] п = 2.
1
Упрощенная математическая модель позволяет представить динамические процессы управления в наглядной и физически понятной форме. В то же время, она достаточно точно отражает реальные движения.
Фазовые поверхности системы без ДУС и без ВОС.
Представим движение на трёхлистной фазовой поверхности:
F+={x,у:F(х,у) = +1}, F0 ={х,у:F(х,у) = 0}, ^={х,у:F(х,у) = -1}. (5)
Границы листов на основании (2) при значениях к = 0, г = 0, с = х запишутся в
виде
Ьх з : х = ±а , Ь24:х = ±а + И, (6)
причём з F0 с , с F+, с F- . На листах (5) движение системы отображается перемещением изображающей точки (х, у) по траекториям:
Г : х = +а-(2а)-1 (у2 - у2) У( х, у)е F+, <Г°: у = у У(х,у)еF0, (7)
Г- : х = -а + ( 2а )-1 (у2 - у2) У( х, у )е F.
Начальные точки (х, у )е Ц. Совокупность значений {у } / = 1, п порождает на (5) семейства траекторий (7), определяющие фазовый портрет системы (рис.1).
Для построения динамического процесса Г( х, у) с началом в точке 1(хх, у1) применим алгоритм припасовывания дуг фазовых траекторий (рис.2):
Г( y):
1(^1,У1 = Уо)е —2(х2,y2)е L2 —^3(^У3)е L3 ^ ——4(х4,y4)е L— ——1'(Xi,,yr)—— 2'(Х2-,yr)e L2 ^...
Полученная припасовыванием траектория объединяет сопрягающиеся дуги:
Г (х, у) = Г" (х0, у0) Тк (х, ><),
<
(8)
(8а)
у
F L F
LS
л 1 '■1 ПК
F° —
(„ л, \ / * 0 о
. К У о) . оД А *
!Г* 1 f [град]
Г ' 1
3 -л \ 1 2 4 МП »2 /
■ - =
| ^
Рис. 1. Фазовый портрет без ДУС
Рис. 2. Фазовая траектория без ДУС
Одно к-е колебание в неустановившемся режиме отображается траекторией разомкнутого цикла Г (х, y). Характер траектории (рис. 2) указывает на неустойчивость процесса: ни при каком к траектория Гк (х, y) не замыкается, т.е. предельного цикла
Г* = lim Гк (х, y) (8б)
в рассматриваемой системе без ДУС и без ВОС не существует.
Коррекция управления.
Для оценки динамических свойств релейной системы без ДУС, целесообразно сравнить реализуемые в ней режимы с динамикой типичной релейной системы с ДУС. В качестве эталона возьмём релейную систему с линейным формированием управляющего сигнала (3). В этом случае корректирующая функция в виде сигнала z = к • y
формируется при помощи ДУС и усилителя.
Линии переключения на фазовой плоскости для (3) - наклонные прямые:
1Лъ : x + kv ■ у = ±а; L24:x + kv-y = ±a + h . (9)
Степень опережения по фазе моментов переключения F (а( х, y)) задают величиной ку . Для заданной области начальных значений {х0, y0}, выбрав такое ку, которое обеспечивает наилучший переходный процесс, получают предельный цикл Г*, не удовлетворяющий требованиям экономичности. Противоречивость требований по качеству переходных и установившихся режимов вынуждает выбор к осуществлять
компромиссно. В работе [15] предложен иной подход, с применением регулятора переменной структуры. Он управляет раздельно движениями «в большом» и «в малом». Такой подход и будем подразумевать, рассматривая варианты как без ДУС, так и с ДУС. На рис. 3 приведён пример переходного процесса системы с ДУС для случая:
a = 1,454-10"5 \c 2]; а = 0,5°; h = 0,1°; g = 0; < t л (10)
К,У0 : (^У0) е FУ | * (Ус)тах}; (Ус)тах - 0,047\0k ].
Выбрано значение к = 12 \c ], обеспечившее процесс без скользящего режима. За 1-й
виток колебаний скорость гасится ( s = y/y-) в 4,5 раза, за второй - в 5 раз. Численное
моделирование выполнялось с помощью программы «Model» [13].
Теперь рассмотрим вариант с ВОС, без ДУС. Для устойчивого движения системы по скручивающейся траектории, в управляющий сигнал а (3) введен корректирующий сигнал ВОС z . Это привело к повышению порядка динамической модели до 3. Скачки переключения функции (2) происходят на фазовых поверхностях [8]:
\LFV (^у z) : у z) = х-z = v = 1,4
F = 0,±1, c13 = ±a, c24 = ±a + h.
Повышение порядка системы делает трудной задачу её исследования точными методами, например, методом точечных отображений [9,10,14]. Однако проблема резко упрощается, если учесть обычно вполне справедливое допущение о пренебрежении малой величиной z0 функции z(в) к моменту включения РЭ (условие обнуления). При его
выполнении поверхности L 3 : а (х, y, z) = ±а совпадают с линиями L з : х = .
Возможность понижения порядка динамических моделей является важнейшей особенностью рассматриваемых релейных систем. Условие обнуления может выполняться при сколь угодно большом числе дополнительных степеней свободы. В частности, при n
n
переменных ВОС апериодических цепей z (t) = ^ zq (t). Эту особенность использовали,
1
начиная с М.В. Попова [8], все авторы работ [7-11], исследовавшие системы с ВОС.
В аналоговых системах требуемую степень обнуления сигнала можно обеспечить введением в контур ВОС параметрического управления. В цифровых контурах все эти вопросы решаются алгоритмически, поэтому проблем с формированием функций z (в) и их обнулением практически не существует.
Предварительный анализ динамики системы с ВОС.
Рис. 1 и 2 показывают, что для скручивания переходного процесса необходимо, чтобы в каждом управляющем импульсе значения координаты х (о) в моменты
включения х = х(0) и выключения х^ = х(ОJ■) находились бы в отношении |х^| > |хг|, что возможно лишь при условии г. > И ^ к > И .
Требование по экономичности автоколебаний сводится к обеспечению наперёд заданной величины длительности управляющего импульса О*. По О* легко выбрать характеристики ВОС к, И . В случае АОС имеем аналитическое выражение, связывающее
параметры АОС с О* [6]. Задавшись к/И (из условий обеспечения устойчивости в заданной области начальных условий), можем вычислить Т :
Т = -О*-[ 1п (1 - И/к)]-1. (9)
Однако требования по длительности импульса в предельном цикле - необходимое, но не достаточное условие обеспечения качества динамических режимов. Необходимо ещё решить вопрос о качестве переходных процессов.
Как и в случае системы с ДУС, в системе с ВОС требования по экономичности автоколебаний и требования по качеству переходных процессов противоречивы и решаются компромиссно. Непротиворечивые решения этого вопроса можно получить применением регулятора с переменной структурой [15], либо выбором ВОС, путём наложения на форму и параметры переходной функции г (о) определённых требований. Последнее ни одним из известных методов в достаточно полной мере получить не удавалось. Метод диаграммы совмещений (ДС) излагаемый автором в настоящей работе, составляет, пожалуй, исключение.
Допустим, что применением метода ДС или перебором значений из множества {а, а, И, к, Т} параметров релейной системы с АОС, нами выбраны значения к, Т, удовлетворяющие тем же требованиям по качеству переходных процессов, что и в случае рассмотренной выше системы с ДУС. Для исходных данных (10) найдено: к = 0,01 [рад\,
Т = 40 сек. На рис. 4 представлена фазовая траектория переходного процесса. Начальные условия идентичны. Сопоставим переходные процессы с АОС и с ДУС (рис 3 и 4).
Отметим характерные особенности. Из заданной области начальных значений
переменных {х0, у0 }е F0 фазовая траектория не более как за два колебательных цикла
Г*
____ _ _ _ _ _ _ ______ _ _ , , причём ни при каких
значениях {х0, у0 }е F0 скользящий режим не возникает.
Отметим также негативную особенность системы без ДУС: реализуемый в системе с ВОС переходный процесс аналогичному процессу в системе с ДУС уступает по точности. Как видно, размах первого цикла колебаний в системе с ВОС примерно в 1,7 раз больше, чем в системе с ДУС. Объясняется это тем, что в системе с ВОС опережение по фазе
реализуется только в моменты выключения управляющего воздействия, а с ДУС опережение по фазе реализуется и в моменты включения, и в моменты выключения.
Рис. 3. Фазовая плоскость. Вариант с ДУС Рис.4. Фазовая плоскость. Вариант с АОС
О недопустимости скользящих режимов.
Обеспечение качества переходных процессов связано, прежде всего, с необходимостью предотвратить типичное явление - скользящие режимы. Отметим, что скользящий режим в ряде нелинейных систем может рассматриваться как желательный. Например, в работе [12 (с.74)] он представлен некоторой специально создаваемой «траекторией вырожденных движений».
В системах управления ориентацией КЛА скользящие режимы нельзя считать целесообразными, тем более в случае реактивных ИО. Во-первых, реактивный двигатель (РД) в скользящем режиме дополнительно расходует ограниченный запас ресурса по количеству включений. Во-вторых, при малых длительностях импульсов тяги, расход топлива РД увеличивается. В-третьих, возникающие в скользящем режиме возбуждения объекта могут вызвать резонансные колебания упругих элементов конструкции. И, наконец, скользящие режимы в системах без ДУС увеличивают и время переходных процессов, и ошибки управления в них.
Выполним моделирование системы (1)...(4а) для случая исходных данных (10) и начальных условий: хо = 0; у0 = 0,019955 [град ■ с]. Рассмотрим переходные процессы в системе с АОС, параметры которой выбраны из условия реализации предельного цикла Г* с заданной длительностью импульса, например, в" = 0,71 с. При этом, полагаем заданной величину к = 0,1 рад. По (9) находим Т « 40 с.
Результаты численного моделирования представлены на рис. 5. Отметим, что полученная картина переходного процесса в скользящем режиме типична для релейных систем стабилизации КЛА с АОС. Например, аналогичный процесс исследовал методом точечных преобразований А.Ф. Фролов в работе [13].
б)
а)
Рис.5. Переходные процессы в системе с АОС: а) I - в скользящем режиме; II - без скользящего режима; б) фрагмент траектории скольжения Г+
Проанализируем результат. (Все обозначения, используемые ниже, поясняются на рис. 5.) На фазовой плоскости построен один полный виток колебаний в переходном процессе Г( х, у), который состоит из двух многоступенчатых отрезков «скользящих
я+ п
траекторий» г+ = У(Г+ иг° ) и Г~ = [^(Г" иг° ), как совокупности всех «ступеней»
5+=1 5_=1
(г; |бГ+и (Г^ иГ° |еГ . Кусок (з)-ступени Г^ , соответствующий движению при ¥ = +1, начинается в точке (х^ , У\х ) и оканчивается в точке (, у^ ) . Второй кусок ( ¥ = 0 ) имеет начало и конец в точках (х2 , у2 ) и (х1 , у1 ) соответственно.
Для оценки негативных последствий реализации скользящего режима, сравним его с вариантом без скольжений. Достаточно рассмотреть лишь один начальный участок траектории до экстремального отклонения тах |. Вместо серии коротких импульсов
управления и чередующихся с ними пауз скользящих движений, на листе ¥ + будет единственная траектория Г+. После попадания изображающей точки на лист ¥+ экстремальное отклонение наступит через Л? = у0 • а 1 = 24 сек (вместо 109 сек в скользящем режиме). При этом «заброс» ( Лхт = хтах - х ) составит Лх+ = у1 • (2а)-1 = 0,240 (вместо 1,140 в скользящем режиме). Таким образом, в сопоставляемых вариантах участки переходных процессов при отсутствии скользящих движений от точки 1 у^ ) до
максимального отклонения, т.е. до точки т ( х+ ,0), сократятся: время в 4,5 раза, угловой
заброс в 4,8 раз, количество включений ИО в 27 раз. Заметим, что с уменьшением требуемой величины 0* негативное влияние скользящих режимов усиливается.
На рис. 5 показаны переходные процессы двух вариантов реализации системы с АОС. Рассмотренный выше вариант I, обеспечивающий заданную длительность импульса 0* в предельном цикле: к = 0,1 рад, Т « 40 с. И - вариант II: к = 0,01 рад, Т « 40 с для тех же исходных данных, но исходя из требований полного отсутствия скользящего режима (требования по предельному циклу при этом не рассматриваются). Сравним траектории одного витка переходного процесса из одного и того же начального состояния, но при разных значениях параметров АОС.
В таблице 1 приведены значения параметров этих процессов, позволяющие оценить характерные отличия вариантов: относительная величина гашения скорости е = у/у -;
максимальный заброс Ахт; общее количество импульсов п; суммарное время управляющего воздействия .
Таблица 1
Параметр Вариант I: скользящий режим Вариант II: без скользящих движений Отношение сравнив аемых параметров
е = ут 3,82 12,63 3,3
Ахт [град] 1,14 0, 24 4,75
п 92 2 46
[сек] 54,8 9,68 5,6
Анализ результатов моделирования показывает, что в рассматриваемой релейной системе управления скользящие режимы нежелательны. В настоящей работе требование отсутствия скользящих режимов рассматривается как одно из основных при решении задачи синтеза ВОС, а для его обеспечения предлагается метод диаграммы совмещений, обоснование и основные положения которого изложены ниже.
Топологические преобразования фазовых поверхностей.
Условия обнуления сигнала г(^) на границах Цъ :ст(х,г) = ±а и условие g « 0
придают рассматриваемой релейной системе свойство динамической симметрии, которое позволяет существенно упростить операции припасовывания при построении кусочно-непрерывных решений. Применением к фазовым поверхностям простых топологических преобразований симметрии, можно их привести к виду, позволяющему не только выполнять построения переходных процессов без скользящих режимов, но и независимо от таких построений находить периодические решения, определять их устойчивость.
Суть топологических преобразований заключается в том, что фазовые поверхности со всеми принадлежащими им элементами - семействами траекторий, выделенными на
них точками и различными геометрическими объектами, связанными с траекториями определёнными условиями, - представляются в виде, удобном для реализации процедуры припасовывания дуг фазовых траекторий. Алгоритм припасовывания ориентирован на такое сопряжение дуг траекторий, которое обеспечивает целостность динамического процесса. Прототипом алгоритма операции припасовывания может служить диаграмма Кёнигса-Ламерея в теории точечных отображений [14].
В результате топологических преобразований получаем поверхность, обладающую как свойствами фазовой плоскости, так и свойствами диаграммы Кенигса-Ламерея. Тогда задача исследования динамики рассматриваемой релейной системы с ВОС (выше второго порядка) сводится к построению решений на плоскости с той же степенью сложности, что и методом точечных отображений для систем второго порядка.
Однако исследование рассматриваемой системы методом точечных отображений, даже при столь существенных упрощениях математической модели, представляет серьёзные трудности. Трудности связаны с тем, что применение точечных отображений приводит к необходимости решать трансцендентные уравнения, что возможно лишь приближенно. Особые трудности вызывают задачи синтеза ВОС.
Идея, позволившая преодолеть указанные трудности, заключается в следующем. Фазовая пространство, в котором обычно представляется движение рассматриваемой релейной системы, подвергается определённым топологическим преобразованиям и вводится дополнительная фазовая координата - относительное время. В результате получается плоское поле состояний, названное «диаграммой совмещений», которое обеспечивает построения решений применением простых алгоритмов.
Диаграмма совмещений обладает замечательной особенностью: геометрические элементы на её поле, отображающие состояние объекта и состояние ВОС, не зависят друг от друга и не деформированы. Это обстоятельство создаёт исключительные удобства при решении задач как анализа, так синтеза ВОС.
Преобразования симметрии.
^ Р0 (х, у, г) Р +(х, у, г) Р"(х, у, г)
Фазовые поверхности , , , с границами
т _1_ т _1_ -Г 7 Г+С Р + Г- С т-,0 7-М)
1Л} -.х-г = ±а , ь24:х-г = ±а + И и с траекториями , и 1 с: г , в
случае g = 0, 20 0 симметричны относительно осей координат фазового пространства. При малых g « 0, какие и имеют место в реальных системах управления ориентацией КЛА, условие симметрии выполняется с достаточной точностью.
Сначала рассмотрим случай движения системы без ВОС, т.е. в плоскости (х,у), г (^) = 0 . Оператор зеркального относительно оси 0у взаимно однозначного отображения
симметрии элемента ^ (х'у) плоскости (х, у) в самое себя символически запишем в виде
Фх : / (х, у ) ^^ /_х (х, у ) = / (-х, у ). (10)
Выполнив преобразование Ф х листа ¥ , получим образ ¥_х(х, у) = ¥ (-х,у), содержащий в себе образы семейства фазовых траекторий и линий переключения: |Г-х (х, у, у,) = Ф-хГ- (х, у, у,) = Г- (-х, у, у,): х = +а - (2а )-1 (у2 - у2), ((х, у)) = Ф_хЬ4 (х, у) = (-х, у): х = +а - к, V/ = 1, п
Преобразуем и ¥0: ¥°х (х, у) = ¥° (-х, у), Г-х (х, у) = Г0 (-х, у) .
Совместив образы ¥-х (х'у) , ¥-х (х'у) с поверхностями ¥ (х, у), ¥ (х'у), получим
¥ ±( х, у )
топологическую поверхность :
^ (х,у) = (-х,у)и^ (-х,у)и^+ (х,у)и^° (х,у) . (12)
Теперь выполним преобразование симметрии относительно оси 0 х. Его оператор:
Ф-у : /(х,у) = /(х-у). (13)
Применив к ¥±(х, у) (12) и ко всем его элементам преобразование Ф (13), получим некоторую многослойную «совмещённую фазовую поверхность»:
Р+- (х,у) = (х,у) = F± (х, -у). (14)
Движение рассматриваемой системы обычно представляется перемещением изображающей точкой (х, у) по фазовым траекториям Г+ , Г-, Г0 в четырёх квадрантах поверхности .Р(х,у). На поверхности г (х, у) его представляем перемещением точки только в четвёртом квадранте по траекториям Г+ = Ф Г (, Г = Ф Г и Г° =Ф ^Г" . на листах, ограниченных «совмещёнными линиями» Ц и ¿3 и ¿,11 ¿4.
Совмещённая фазовая поверхность.
В качестве примера рассмотрим неустойчивое движение в системе без ДУС и без ВОС, фазовая траектория которого Г( х, у) приведена на рис.2. Отобразив эту траекторию
на г (х, у), получим её образ, показанный на рис. 6.
На совмещённой фазовой поверхности образом динамического процесса является криволинейная лестница между линиями и 111)£4, построенная по алгоритму:
го ~ , , ~ , ч Г° ~ г I Ч 05)
У[°/сек] а-и а в, В, В,. Вг ВуХ рот©
■аббмб аб1"б7э •о'б1б19
402698 •(Шз7 Шп1
0.04317 ; ; ^ ^ ; ;
Рис. 6. Совмещённая фазовая поверхность. Система без ДУС и без ВОС
Траектория-образ Г(х,у) динамического процесса, построенная из (-Х"0,-.У0) на совмещённой фазовой поверхности Р± (х, у) по алгоритму (15), эквивалентна фазовой траектории Г( х, у), построенной из (х0, у0) по алгоритму (7 а). Процесс, представлен криволинейной лестницей Г(х,у), опирающейся на соответствующие границы листов в узлах: {1,3,1', 3', 1",...} е ^ (х, у) и 4 (х, у) и {2,4,2', 4',...} сД (х,у)1Я4 (х,у) . Точкам {В,В,В,В,...}с{(х,у): х >а,у = 0} отвечают экстремальные отклонения х .
Анализ динамики системы с АОС на поверхности Р± (х, у).
Рассмотрим приведённый выше пример реализации релейного управления с АОС при отсутствии скользящих режимов (вариант II: к = 0,01 рад, Т « 40 с).
Условия переключения функции Р (2) представлены в фазовом пространстве
поверхностями сг(х, у, г) = су, у = 1,4, которые, при отсутствии скользящих режимов и выполнении условий обнуления сигнала г (?), вырождаются в линии на плоскости (х, у):
: х = а, у > 0; :ст = х - г (0) = «- Ь;
: х = -а, у < 0 ; : <у = х - г (0) = -а + Ь .
Совмещённая линия выключения на Р± (х,у) задана трансцендентным уравнением
4 У4 -У = <р(х,г). (16)
Структура поверхности Р± (х, у) системы представлена на рис. 7. Видно, что линия Р и ¿4 создаёт опережение по фазе моментов выключения, обеспечивая устойчивый переходный процесс, сходящийся к предельному циклу Г*(х, у). Криволинейная лестница, отображающая переходной процесс в системе, объединяет дуги траекторий, лежащих своими концами на линиях Ц и ¿3, и I,-, У /~4. Ступени лестницы группируются
незамкнутыми циклами Г^ и Г2 и Г3 ииз 4-х дуг витка колебательного движения. Отображение к -ого цикла Г к (х, у): Гк = иг° и?3 и Г .
Построение лестницы ведётся по алгоритму припасовывания (17), а геометрически интерпретируется на рис. 7.
(17)
Траектория-образ состоит из п циклов: Г(х,у): . Начинаясь в (х0,}/0)е^0,
траектория Г(х, у) сжимается в предельный цикл: | Гд = Г \ Для каждого цикла ГА =[Г| иГ° и?з иГ°]А совмещённая фазовая поверхность доставляет информацию, достаточную для построения обычной траектории Г^ на фазовой плоскости ¥ (х, у) .
Действительно, представленный на рис.5 цикл Г^ (вариант II), однозначно задан координатами узловых точек ^1,2,3,4}. Все координаты текущего состояния системы определены и на совмещённой фазовой поверхности Р± (х,у). Например, экстремальные значения фазовых координат определяют точки В3к}. Следовательно, соответствие этих отображений однозначно и взаимно (автоморфизм).
у[°/сек] д.. в., Я, Я. Я X
70 ооооо ОС-И
■0 0058' ~
А и А
•а сл т.....•.....^
•0 01766
■0 02355
•0 02943
•0 03532
•0.04120 ;
Рис. 7. Совмещённая фазовая поверхность. Система с АОС, вариант II
Трудности использования фазовой поверхности.
Два основных вопроса, связанных с обеспечением качества динамических процессов в системе, определяются формой и параметрами линии ¿^ и ¿4 • Первый вопрос -отсутствие скользящих режимов - может быть решён путём такого выбора параметров системы, при котором функция (16) удовлетворяет необходимым условиям:
шах^( х, г, к, Т, к, а )< 0. (18)
Можно показать, что достаточные условия отсутствия скользящих режимов сложнее: они должны учитывать динамику процесса обнуления сигнала ВОС. Но и в упрощенном варианте задача синтеза параметров, удовлетворяющих условию (18), требует аналитического решения уравнения (16). Однако для рассматриваемого трансцендентного уравнения возможно лишь приближенное решение. Конечно, возможен и тривиальный поиск его путём подбора значений в 4-мерном пространстве параметров.
Второй вопрос - обеспечение требуемых режимов автоколебаний - также решается на основе уравнения (16). Как следует из анализа совмещённой фазовой поверхности, переходный процесс завершается установлением предельного цикла:
¡1тГ,=Г(х*,/). (19)
Предельный цикл Г* может быть найден без построения лестницы сжимающихся циклов на совмещённой фазовой поверхности, из уравнения, содержащего функцию %(у, г), обратную к функции ср( х, г ) (16)
х( у, г)-к =
Очевидно, что такая задача может быть решена также лишь приближенно.
Относительное время в как фазовая координата.
Идея применить в качестве фазовой координаты относительное время возникла в связи с возможностью представить уравнение линии Ь4 в параметрической форме. Вводя дополнительную фазовую координату в, приходим к 4-мерному фазовому пространству (х,у,г,в). Но, поскольку принятые ранее допущения позволяют линии
переключения рассматривать на плоскости, увеличение размерности фазового пространства не осложняет задачу, а напротив, позволяет резко упростить её.
Суть упрощения заключается в следующем. Поверхности и геометрические элементы на них, полученные путём зеркальных отображений и совмещений, проецируются на плоскость переменных (х,в). При этом, линии Л, и¿3 проецируются в
точку с координатами (х = а,в = 0). Все кривые Г1 (х,в, у ) (/ = 1, п ) образуют
однопараметрический пучок с центром в точке . Траектории Г0, которые на листе ¥0
- прямые, параллельные оси 0 х, на плоскости (х, в) - пучок изоклин Г1 (х,в, у^).
При ¥ = 11 движения объекта управления и ВОС в параметрическом виде описываются функциями х = X (в) , у = У (в) ; г = 2 (в). Поскольку в момент выключения управляющего воздействия выполняются условия (8), все координаты этого состояния определяются решением уравнения
X (в, у,)-2 (в)-а+к = 0 Vy¡, / = 1П. (21)
Из (21) следует, что линией является кривая г = 7.(0), смещённая
относительно оси ординат на величину +а- к, т.е.:
Ь2и14: ¿(в) = г(в) + а-И. (22)
Диаграмма совмещений.
Итак, введя относительное время в как дополнительную фазовую координату рассматриваемой динамической системы, применив определённые топологические преобразования, нами получена плоскость переменных ( х, в) , которую условимся называть диаграммой совмещений (ДС). Совокупность интегральных кривых и изоклин с параметрами у и у образует бинарное поле в виде сетки криволинейных координат. Для упрощения записи введем обозначения:
^О^М.У,); р^оГ^хАу); : х = х, + X (в, уг); pJ : х = ^ + X (в, у.); Б : = X (в, у. = 0); (23)
2:1(0) +а-И; Х¥:х = а; Н : х = а -И.
На рис. 8 приведена структура ДС. Основные её элементы: qi - интегральная кривая с параметром у; р. - изоклина с параметром у.; Б - «нулевая изоклина»; ¥ -«зеркальная линия»; Н - базовая линия выключений; г - линия выключений (¿-функция). «Нулевая изоклина» Б - образ оси абсцисс фазовой плоскости (х, у). Точки Б е Б
, = 1, п отвечают экстремальным значениям (х) . Особый элемент ДС - «зеркальная линия» ¥. На линии ¥ сопрягаются интегральные кривые и изоклины с равными значениями параметров у[ = у ^. Она имеет начало в точке ¥ (х = а,в = 0) .
Зеркальным отображением точек е определяются координаты точек г ,
последующего включения ИО. Ещё один из основных элементов ДС - базовая линия выключений Н: х = а-к, определяемая гистерезисом к релейной функции ¥(2). При условии 2 = 0 г = {а — , где и происходят все выключения ^(<х) .
При наличии ВОС сигнал 2 = 2(0), обеспечивая опережение каждого момента выключения, условно перемещает линию выключений ¿4 <=> # навстречу точке,
движущейся по интегральной кривой. Эта логика рассуждений - интерпретация физической сущности процесса управления в релейной системе с ВОС.
Изображающая точка фазовой поверхности ¥ (х, у) диаграммой совмещений
расщепляется на две компоненты: одна их них (д,в), вторая - (2,0). Они движутся навстречу друг другу. В точке встречи управление выключается.
Элементы ДС определены в пределах области значений переменных О = О( q, р,в). Две интегральные кривые определяют верхнюю С и нижнюю О границы бинарного поля, С соответствует параметру (у), О - параметру у =-(у) . Линия ¥
сопрягает с верхней границей С нижнюю границу О . Таким образом, криволинейным четырёхугольником АБСО определена рабочая область О бинарного поля.
Рис.8. Диаграмма совмещений. Система с АОС, вариант II
Алгоритм построения динамических процессов на ДС.
Рассмотрим тот же пример системы с АОС, что представлен на фазовой плоскости (рис. 4) и на совмещённой фазовой поверхности (рис. 7). Соответствующая диаграмма совмещений приведена на рис. 8.
Имеем два пучка кривых с/,, р1 и функцию 2 :
дг : х = а + у • 0 -0,5• а• 02,
р :х = а-у -0 + 0,5• а•02,
(22)
г :г = к-(1-е-в/т) + а-к
Каждому отрезку траектории Г(х,у) на фазовой плоскости Р(х,у) , равно как и на совмещённой фазовой поверхности Р±(х,у), соответствует определённый отрезок в пучках интегральных кривых и изоклин на ДС. Поскольку (х0,у0, г0 )е Р0, а Ц3 э г0 = 0, не нарушая общности, рассмотрение начнём с точки (х0, у0) е Ц. На ДС зеркальный образ этой точки будет на линии ¥, его координаты: (х0 = а, 0 = у0 • а"1).
Алгоритм припасовывания дуг траекторий на ДС можно записать в виде:
1...^-т ^
(23)
<
Построенная по алгоритму (23) криволинейная лестница узловыми точками 2^^ ] лежит на линиях 2(0),4^(0). Точки £ (х, определяют все параметры
динамического процесса, необходимые для его однозначного построения в функции времени или фазовых координат. Последовательности {¿^ => , {¥. } =>¥*
сгущаются, сливаясь в одну неподвижную точку, которая является образом автоколебательного состояния системы.
Характер переходного процесса, его качественные характеристики определяются видом и параметрами криволинейной лестницы. В окрестности неподвижной точки меняется характер переходного процесса и, соответственно, вид лестницы (рис. 8).
Наличие бинарного поля криволинейных координат позволяет пользоваться номографическими методами при построении переходных процессов. Однако главная ценность ДС в её аналитических возможностях.
ДС как аналитический инструмент.
Линия выключения на ДС представлена переходной функцией ВОС 2(0). Периодическое решение определяется из уравнения 2(0)-х¥(0) = О. Для рассматриваемого случая это уравнение аналитически решается элементарно. В более общих случаях его решение легко найти приближёнными методами.
Если характеристики ВОС не обеспечивают отсутствия скользящих режимов, при помощи ДС может быть определена область их существования. Вопрос решается при помощи уравнения 2(0) —В(0) = 0, которое имеет два корня {6^,$,}. Скользящие режимы
в переходных процессах возникают при (х, у ) е 3 Vyг. е[а • вх, а • в2 ].
Вопрос отсутствия скользящих режимов решается условием касания кривых 2(0) и Б (в). В случае аналоговой ВОС, например АОС, вопрос усложняется требованием учёта динамики процесса обнуления переменной г (в), где в - относительное время после выключения управляющего сигнала.
При синтезе ВОС большое значение имеет тот факт, что бинарное поле ДС - есть топологическое отображение фазовой поверхности. Ортогональная прямоугольная координатная сетка плоскости ^(х, у), как и плоскости /■' (х,у), отображается на ДС в
виде ортогональной сетки однопараметрических пучков парабол jq (в, у ), р (в, у])}. Это
означает, что каждый отрезок прямой параллельный оси 0х на плоскость ДС отображается в отрезок параболической дуги.
При необходимости реализовать, например, «уголковый» закон управления с ортогонально расположенными линиями переключения, необходимо, чтобы I -функция совпала с соответствующей изоклиной на ДС, т.е 2(0)оВ^0). Таким образом, любой
линии выключения Ц (х, у), Ц (х, у) на фазовой поверхности Р (х, у) может быт поставлена в соответствие линия 2 = ¿(0) на ДС.
Выводы.
В современных системах ориентации и стабилизации КА актуальны вопросы построения релейного управления без использования датчиков угловой скорости (ДУС) за счёт применения внутренней обратной связи (ВОС), формируемой внутри контура управления.
На основе новых научно-технических подходов предложен метод топологических преобразований фазового пространства, названный автором «метод диаграммы совмещений» (ДС), который позволяет эффективно решать задачи анализа и синтеза ВОС.
Показано, что применением ДС можно синтезировать ВОС, не компромиссно удовлетворяя как требованиям установившихся режимов, так и требованиям переходных процессов. При помощи ВОС, без ДУС, на основе ДС можно реализовать законы выключения управляющего воздействия практически такие же, как в и случае наличия
ДУС.
Показано, что недопустимые по качеству переходные процессы в скользящем режиме могут быть полностью исключены надлежащим выбором формы и параметров переходной функции ВОС.
Список литературы
1. Симоньянц Р.П. Расчёт и проектирование систем стабилизации (Релейные системы с внутренней обратной связью): учеб. пособие по курсу «Динамика движения и системы управления», под ред. И.М. Шумилова. М.: МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1988. 41с.
2. Севастьянов Н.Н. Построение режимов ориентации без датчиков угловой скорости на СС «Ямал-200» // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 3 (23). С. 104-110.
3. Севастьянов Н.Н. Повышение точности режима инерциального управления «Прогноз» // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 6 (26). С. 88-95.
4. Сумароков А.В. Резервные режимы ориентации спутников связи серии "Ямал" с использованием наземных радиоизмерений: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., МФТИ, 2008. 115 с.
5. Рагазин Д.А. Анализ и синтез самонастраивающихся систем управления с переменным гистерезисом: автореф. дис. ... канд. техн. наук. Самара, СГТУ, 2011. 19 с.
6. Симоньянц Р.П., Аверьянов П.В. Методы исследования релейной системы стабилизации космического аппарата с внутренней обратной связью // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2013. № 2. С. 113-128.
7. Попов М.В. Использование комбинированной обратной связи в системе стабилизации ИСЗ // Механика космического полета: сб.статей / под ред. В.В. Добронравова. М.: Машиностроение, 1969. С. 204-211.
8. Попов М.В. Использование апериодической обратной связи в системе стабилизации ИСЗ // Механика космического полета: сб. статей / под ред. В.В. Добронравова. М.: Машиностроение, 1969. С. 194-204.
9. Фролов А.Ф. Исследование нелинейной системы одного типа методом точечных преобразований //Автоматика и телемеханика. 1971. № 2. С.15-23.
10. Фролов А.Ф. Динамика релейной системы с апериодической обратной связью, охватывающей релейный элемент //Автоматика и телемеханика. 1972. № 8. С. 59-69.
11. Самойлов В.Е., Ильин И.П. Исследование релейной системы с апериодической обратной связью // Методы синтеза нелинейных систем автоматического управления / под ред. С.М. Федорова. М.: Машиностроение, 1970. С. 355-388.
12. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. 336 с.
13. Симоньянц Р.П., Будыка С.М. Компьютерная модель нелинейной динамики угловой стабилизации космического аппарата // Всероссийская научно-техническая конференция «Аэрокосмические технологии»: тр. / под ред. Р.П. Симоньянца. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. С. 197-204.
14. Нелепин Р.А. Метод точечных отображений // Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука, 1975. С. 25-65.
15. Симоньянц Р.П. К вопросу алгоритмического обеспечения исследований релейных динамических систем // Вторая Международная научно-техническая конференция «Аэрокосмические технологии» (Реутов-Москва, 19-20 мая 2009 г.): тр. / под ред. Р.П. Симоньянца. Том 2. М.: ОАО «ВПК «НПО машиностроения»; МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. С. 65-91.
16. Agrawal B.N., Mcclelland R.S., Song G. Attitude control of flexible spacecraft using pulse-width pulse-frequency modulated thrusters // Space Technol. 1997. Vol. 17, no. 1. P. 15-34.
17. Bernelli-Zaiczera F., Mantegazza P., Nurzia V. Multi pulse-width modulated control of linear systems // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1998. Vol. 21, no. 1. P. 64-70.
18. Song G., Agrawal B.N. Vibration reduction for flexible spacecraft attitude control using PWPF modulator and smart structures // Proceedings. 1999 IEEE Aerospace Conference. Vol. 2. IEEE, 1999. P. 161-172. DOI: 10.1109/AERQ.1999.793157
19. Qing-lei Hu, Guang-fu Ma. Flexible spacecraft vibration suppression using PWPF maneuver input component command and sliding mode control // Asian Journal of Control. 2007. Vol. 9, iss. 1. P. 20-29.
20. Xingyuan Xu, Yuanli Cai. Pulse-Width Pulse-Frequency Based Optimal Controller Design for Kinetic Kill Vehicle Attitude Tracking Control // Applied Mathematics. 2011. Vol. 2. P. 565-574. DOI: 10.4236/am.2011.25075
21. Ehsan Chegeni, Mehdi Zandieh, Javad Ebrahimi. Attitude Control of Satellite with Pulse-Width Pulse- Frequency (PWPF) Modulator Using Generalized Incremental Predictive Control // Majlesi Journal of Electrical Engineering. 2014. Vol. 8, no. 3. P. 25-31.
22. Сомов С.Е. Экономная разгрузка силового гироскопического комплекса системы ориентации спутника при широтно-импульсном управлении с запаздыванием // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ-2014) (Москва, 1619 июня 2014 г.). М.: ИПУ РАН, 2014. С. 3475-3488.
Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 10, pp. 152-178.
DOI: 10.7463/1014.0729606
Received:
16.09.2014
Science ^Education
of the Bauman MSTU
ISSN 1994-0448 © Bauman Moscow State Technical Unversity
Ensuring Control Processes Quality in Relay System Without Speed Sensor
R.P. Simonyants
akf_dekanSmail.ru
:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: relay control system, internal feedback, without speed sensor, the angular stabilization,
attitude control, transient processes, modes of sliding, autooscillations
The paper considers topical issues of constructing relay systems to control spacecraft attitude and stabilization with no speed sensors (SS) owing to use of internal feedback (IF). To research this system by point methods, e.g. a point mapping method, is difficult because of the need to solve the transcendent equations containing parameters both of control object and of IF. We propose the "diagram of superimpositions" (DS) method based on topological transformations of the phase space and introduction of a relative time, which enables us to solve engineering problems in analysis and synthesis effectively.
The concept of the method is based on the assertion that there is an unambiguous dependence between quality of dynamical regimes in the control system and characteristics of IF transition function. To justify the method a simplified mathematical model of spacecraft motion is applied. The following conditions are accepted: perturbations can be neglected; when the control function is activated, the signal of IF is equal to zero. To the phase surfaces are applied topologi-cal symmetry transformations, alignment and projection onto the plane with one of its coordinates being the relative time.
The paper gives specific examples of systems with aperiodic feedback (AF) for two versions of parameters to satisfy the requirements: I - in quality of self-oscillation mode (by pulse width in the limit cycle); II - in quality of transition process (lack of sliding modes). It is shown that the requirements II and I are contradictory for the system with AF while the sliding modes are unacceptable.
It is shown that DS can be used to synthesize the IF to meet requirements of both steady and transient processes consistently. Using the IF it is possible to implement the shutdown laws of the control action on the DS without SS, the same as in case of using the SS. It is shown that in sliding modes transient processes poor in quality can be completely eliminated by choosing the proper form and parameters of the transition function of IF.
The DS topological structure features representing object and IF parameters separately are advantages of the method. A character of the transient process and its quality characteristics are
defined by the views and parameters of the curvilinear stairs to DS, squeezing into the limiting cycle. An available binary field of curvilinear coordinates makes it easy to do geometric constructions. DS is of great value for analytical solution of problems concerning IF analysis and synthesis.
References
1. Simon'iants R.P. Raschet i proektirovanie sistem stabilizatsii (Releinye sistemy s vnutrennei obratnoi sviaz'iu) [Analysis and design of attitude control systems (Relay systems with internal feedback)]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 1988. 41p. (in Russian).
2. Sevast'ianov N.N. Building of orientation modes on Yamal-200 communication satellite without angular speed sensors. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika = Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics, 2013, no. 3 (23), pp. 104-110. (in Russian).
3. Sevast'ianov N.N. Increasing the accuracy of the forecast inertial control mode. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika = Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics, 2013, no. 6 (26), pp. 88-95. (in Russian).
4. Sumarokov A.V. Rezervnye rezhimy orientatsii sputnikov sviazi serii "Iamal" s ispol'zovaniem nazemnykh radioizmerenii. Kand. diss. [Reserve regimes of orientation of communication satellites "Yamal" using terrestrial radio measurements. Cand. diss.]. Moscow, MFTI, 2008. 115 p. (in Russian).
5. Ragazin D.A. Analiz i sintez samonastraivaiushchikhsia sistem upravleniia s peremennym gisterezisom. Avtoref. kand. dis. [Analysis and synthesis of self-adapting control systems with variable hysteresis. Abstract of cand. diss.]. Samara, SSTU, 2011. 19 p. (in Russian).
6. Simon'iants R.P., Aver'ianov P.V. Methods for Investigation of Relay System for Spacecraft Stabilization with Internal Feedback. Vestnik MGTU. Ser. Priborostroenie = Herald of the Bauman MSTU. Ser. Instrument Engineering, 2013, no. 2, pp. 113-128. (in Russian).
7. Popov M.V. Stabilization of satellites using combined feedback. Mekhanika kosmicheskogo poleta: sb. statei [Space flight mechanics: coll. pap.]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1969, pp. 204-211. (in Russian).
8. Popov M.V. Stabilization of satellites using aperiodic feedback. Mekhanika kosmicheskogo poleta: sb. statei [Space flight mechanics: coll. pap.]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1969, pp. 194-204. (in Russian).
9. Frolov A.F. Investigation of nonlinear system of certain type by method of point-to point transformation. Avtomatika i telemekhanika, 1971, no. 2, pp.15-23. (in Russian).
10. Frolov A.F. Dynamics of a relay system with an aperiodic feedback relay element. Avtomatika i telemekhanika, 1972, no. 8, pp. 59-69. (English translation: Automation and Remote Control, 1972, vol. 33, no. 8, pp. 1301-1309.).
11. Samoilov V.E., Il'in I.P. The study of relay systems with aperiodic feedback. In book: Metody sinteza nelineinykh sistem avtomaticheskogo upravleniia [Methods for the synthesis of nonlinear systems of automatic control]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1970, pp. 355-388. (in Russian).
12. Emel'ianov S.V. Sistemy avtomaticheskogo upravleniia s peremennoi strukturoi [Automatic control system with variable structure]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 336 p. (in Russian).
13. Simon'iants R.P., Budyka S.M. A computer model for nonlinear dynamics of spacecraft attitude control. Trudy Vseros. Nauch.-Tekhn. Konf. "Aerokosmicheskie tekhnologii" [Proc. All-Russia Sci. Tech. Conf. "Aerospace technologies"]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2003, pp. 197-204. (in Russian).
14. Nelepin R.A. The method of point mappings. In book: Metody issledovaniia nelineinykh sistem avtomaticheskogo upravleniia [Methods for the study of nonlinear systems of automatic control]. Moscow, Nauka Publ., 1975, pp. 25-65.
15. Simon'iants R.P. On the question of algorithmic support of researches of relay dynamical systems. Vtoraia Mezhdunarodnaia nauchno-tekhnicheskaia konferentsiia "Aerokosmicheskie tekhnologii": tr. [Proceedings of the 2nd International Scientific and Technological Conference "Aerospace technologies"]. Reutov - Moscow, 19-20 May, 2009. Vol. 2. Moscow, JSC "Military and Industrial Corporation "Mashinostroyenie" Publ.; Bauman MSTU Publ., 2012, pp. 65-91. (in Russian).
16. Agrawal B.N., Mcclelland R.S., Song G. Attitude control of flexible spacecraft using pulse-width pulse-frequency modulated thrusters. Space Technology, 1997, vol. 17, no. 1, pp. 15-34.
17. Bernelli-Zaiczera F., Mantegazza P., Nurzia V. Multi pulse-width modulated control of linear systems. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 1998, vol. 21, no. 1, pp. 64-70.
18. Song G., Agrawal B.N. Vibration reduction for flexible spacecraft attitude control using PWPF modulator and smart structures. Proceedings. 1999 IEEE Aerospace Conference. Vol. 2. IEEE, 1999, pp. 161-172. DOI: 10.1109/AER0.1999.793157
19. Qing-lei Hu, Guang-fu Ma. Flexible spacecraft vibration suppression using PWPF maneuver input component command and sliding model control. Asian Journal of Control, 2007, vol. 9, iss. 1, pp. 20-29.
20. Xingyuan Xu, Yuanli Cai. Pulse-Width Pulse-Frequency Based Optimal Controller Design for Kinetic Kill Vehicle Attitude Tracking Control. Applied Mathematics, 2011, vol. 2, pp. 565-574. DOI: 10.4236/am.2011.25075
21. Ehsan Chegeni, Mehdi Zandieh, Javad Ebrahimi. Attitude Control of Satellite with Pulse-Width Pulse- Frequency (PWPF) Modulator Using Generalized Incremental Predictive Control. Majlesi Journal of Electrical Engineering, 2014, vol. 8, no. 3, pp. 25-31.
22. Somov S.E. Economical unloading of power gyroscopic complex of the system of satellite orientation with pulse-width control with delay. Trudy 12 Vserossiiskogo soveshchaniia po problemam upravleniia (VSPU-2014) [Proceedings of the 12 National Conference on Control Problems (VSPU 2014)], Moscow, 16-19 June, 2014. Moscow, Publ. of Institute of Control Sciences of RAS, 2014, pp. 3475-3488. (in Russian).
