CC BY
2
МНОГОМАСШТАБНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ И ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
MULTISCALE MODELING FOR INFORMATION CONTROL AND PROCESSING
05.13.01 СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ
И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
SYSTEM ANALYSIS, MANAGEMENT AND INFORMATION PROCESSING
DOI: 10.33693/2313-223X-2020-7-2-29-33
Обеспечение достижимости и устойчивости при синтезе робастного дискретного управления с прогнозирующей моделью в условиях неполной информации
Нгуен Хак Тунг1, а ©, А.А. Жиленков2, b ©, Данг Бинь Хак1, с ©
1 Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики ( ИТМО)
г. Санкт-Петербург, Российская Федерация
2 Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, г. Санкт-Петербург, Российская Федерация
a E-mail: nguyenkhactunghvhq1994@gmail.com b E-mail: zhilenkovanton@gmail.com с E-mail: dangkhacbinh90@gmail.com
Аннотация. Целью работы является исследование методов синтеза управления разномасштабными процессами с прогнозирующими моделями для линейных систем дискретного времени. Результатом исследования стало описание схемы управления, в которой текущее управляющее действие получается путем решения в каждый момент выборки задачи оптимального управления с конечным горизонтом без обратной связи и с использованием текущего состояния объекта в качестве начального состояния. Кроме того, описана задача оптимизации, дающей оптимальную последовательность управления, когда к объекту применяется управление, полученное для первого шага последующей последовательности. Также дан анализ проблем достижимости и устойчивости синтезированных управлений с прогнозирующей моделью в условиях возмущений и неопределенностей. А также проблем обеспечения заданных показателей качества управления и сравнения показателей при управлении УПМ в разомкнутой и замкнутой системах. Обозначены актуальные вопросы, требующие исследований в рамках рассмотренной системы управления. Предложенные решения крайне актуальны задачах моделирования и управления технологическими процессами выращивания наноразмерных структур.
Ключевые слова: достижимость, устойчивость, управление, прогнозирующая модель, возмущения, неполнота информации
f -\
ССЫЛКА НА СТАТЬЮ: Nguyen Khac Tung, Жиленков А.А., Dang Binh Khac. Обеспечение достижимости и устойчивости при синтезе робастного дискретного управления с прогнозирующей моделью в условиях неполной информации // Computational nanotechnology. 2020. Т. 7. № 2. С. 29-33. DOI: 10.33693/2313-223X-2020-7-2-29-33
V J
DOI: 10.33693/2313-223X-2020-7-2-29-33
Ensuring reach ability and stability in the synthesis of robust discrete model predictive control in conditions of incomplete information
Nguyen Khac Tung1, a ©, A.A. Zhilenkov2, b ©, Dang Binh Khac1, c ©
1 ITMO University,
St. Petersburg, Russian Federation
2 St. Petersburg State Marine Technical University, St. Petersburg, Russian Federation
a E-mail: nguyenkhactunghvhq1994@gmail.com b E-mail: zhilenkovanton@gmail.com c E-mail: dangkhacbinh90@gmail.com
Abstract. Methods of synthesis of control of multiscale processes with predictive models for linear discrete time systems are considered. A description is given of a control scheme in which the current control action is obtained by solving at each instant of the sample the optimal control problem with a finite horizon without feedback and using the current state of the object as an initial state. An optimization problem is described that gives an optimal control sequence when the control obtained for the first step of the subsequent sequence is applied to the object. The analysis of the reachability and stability problems of synthesized controls with a predictive model under conditions of disturbances and uncertainties is given. As well as the problems of providing preset indicators of the quality of management and comparing indicators in the management of MPC in open and closed systems. The urgent issues requiring research in the framework of the considered management system are identified. The proposed solutions are extremely relevant to the problems of modeling and control of technological processes of growing nanoscale structures.
Keywords: reachability, stability, control, predictive model, disturbances, incompleteness of information
FOR CITATION: Nguyen Khac Tung, Zhilenkov A.A., Dang Binh Khac. Ensuring reach ability and stability in the synthesis of robust discrete model predictive control in conditions of incomplete information. Computational nanotechnology. 2020. Vol. 7. No. 2. Pp. 29-33. (In Russ.) DOI: 10.33693/2313-223X-2020-7-2-29-33
ВВЕДЕНИЕ
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ В УПМ
Хотя описание проблемы в непрерывном времени кажется более естественным, поскольку модель объекта как правило непрерывна, в конечном итоге такой подход приводит к более сложной эволюции закона управления с прогнозирующей моделью (УПМ). Это связано, в первую очередь, с необходимостью решения задач функциональной оптимизации при реализации УПМ. На самом деле, если функционал качества, который должен быть минимизирован, определяется в режиме непрерывного времени, и предполагается, что общая процедура оптимизации непрерывно повторяется после любого исчезающе малого периода выборки, на практике приводит к слишком трудоемким вычислениям.
Напротив, алгоритмы УПМ, основанные на представлении системы в дискретном времени, вычислительно проще [1]. Управляемая система, которая обычно описывается или аппроксимируется обычным дифференциальным уравнением, в УПМ, как правило, моделируется разностными уравнениями, поскольку управление обычно является кусочно-аффинным. Поэтому далее рассматриваются системы дискретного времени.
Базовая структура УПМ приведена на рис. 1, где х1 и х2 -соответственно данные в прошлом и прогноз; у - это сигнал управления на выходе системы УПМ; d - желаемое состояние или уставка; е - отклонение: е = d - у.
Рис. 1. Базовая структура УПМ Fig. 1. Base structure of MPC
В настоящее время теория линейного УПМ стала достаточно зрелой. Она позволяет решать задачи синтеза управления с множеством параметров и с учетом ограничений и неопределенностей, что характерно для множества объектов систем автоматизации и прочих систем. Актуально
30
Computational nanotechnology
Vol. 7. № 2. 2020
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДОСТИЖИМОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ СИНТЕЗЕ РОБАСТНОГО ДИСКРЕТНОГО УПРАВЛЕНИЯ
С ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛЬЮ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ Нгуен Хак Тунг, Жиленков А.А., Данг Бинь Хак
использование УПМ и в случае, когда синтез закона управления в аналитическом виде затруднен или невозможен [2].
При этом, вопросы достижимости оптимальных решений в реальном времени в литературе описаны как правило для линейных систем. Аналогичная картина наблюдается и в вопросах обеспечения устойчивости средствами УПМ.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
Преимущество подхода с использованием УПМ состоит в том, что синтез управления не детерминирован строго конкретной моделью системы, при этом реализация УПМ зависит от описания модели. При синтезе систем УПМ разработчик может использовать описание в пространстве состояний, с применением передаточной матрицы, с моделями типа свертки [3; 4] и т.д.
Анализ научных источников показывает, что при использовании УПМ практически всегда используется описание модели в пространстве состояний. Поэтому, в настоящем исследовании система также описывается в пространстве состояний, причем дискретной линейной моделью вида
х (к + 1) = Ax (к) + Bu (к), x (0) = x0, (1)
где x(k) е Я", - вектор состояния во времени к; ^к) е Яг -вектор изменяемых переменных, определяемый контроллером. Последовательности управления и состояния должны удовлетворять ^к) е и, x(k) е X.
Обычно, и является выпуклым компактным подмножеством в Я", а X- выпуклым замкнутым подмножеством в Я" [5]. Целью управления обычно является приведение состояния в исходное или в состояние равновесия xr, для которого выходной сигнал уг = h = г. Подходящее изменение координат сводит вторую задачу к первой, поэтому мы рассмотрим ее в дальнейшем.
Предположим, что в текущий момент времени к доступно полное измерение состояния x(k). Тогда для события к) реализация удаляющегося горизонта обычно формулируется путем введения следующей задачи оптимизации без обратной связи.
(Р, m)
(x (k)),
при условии
u (k) е U, x (k) e X,
(2)
(3)
при ф > m), где p - глубина горизонта прогнозирования или горизонта выхода; m - глубина горизонта управления или горизонта входа. При p = говорят о проблеме бесконечного горизонта, и аналогично, когда р конечна, говорят о проблеме конечного горизонта.
Чтобы задача имела смысл, мы предполагаем, что начало координат ^ = 0, u = 0) находится внутри допустимой области [4].
Несколько вариантов целевой функции Jip ^(к)), в уравнении оптимизации (2) были описаны в [1-4] и сравнены в [7]. В этой главе мы рассмотрим следующую квадратичную цель
J
( т) (x (k )) = min[ xT (k + p|k ) x (k + p|k ) +
p -1
SxT(k + '|k)x(k + /|k)+£ uT(k + /|k)Ru(k + /|k)
(4)
где u (.) = ^ (к)7, ... , u (к + m - 1 | к)7]7" - упорядоченный набор управляемых переменных оптимизации; x (к + / | к),
/ = 1, 2, ... , p - прогноз состояния, полученный на модели (1) на основе информации о состоянии в момент времени к действия последовательности управления u (к), ^к + 1|к), ... , u(k + m - 1|к); P0, О, Я - являются строго положительно определенными симметричными весовыми матрицами.
Пусть ^^ гп)(/1к), 'I = к, ... , к + m - 1 - минимизирующая последовательность управления для J{p ^ (к)) с учетом динамики системы (1) и ограничений (3), а J*
(p, m)
- функция оптимизации значений. Процесс управления с удаляющимся горизонтом осуществляется путем реализации только первого управления ^^ т)(к | к) из полученной последовательности управлений, чтобы получить x(k + 1) = Ax(k) + Bu"ip ^(кЩ. Остальная часть управляющей последовательности ^^ гп)(/ |к), i = к + 1, ... , к + m - 1 отбрасывается и x(k + 1) служит для актуализации (2), выступая в роли нового начального условия.
Далее описанный механизм повторяется, при этом на каждой итерации используется только первое управляющее действие для получения обновленного начального условия, а затем вычисляя функцию качества на один шаг вперед и повторяя процесс. Именно по этой причине УПМ также называют управлением с удаляющимся горизонтом или управлением движущегося горизонта.
Целью проведения новых измерений на каждом временном шаге является компенсация неизмеренных помех и неточностей модели, которые приводят к тому, что выходная информация системы отличается от прогнозируемой моделью.
На рис. 2 приведена поясняющая УПМ иллюстрация.
История
Состояние с обратной связью (измеренное)
Будущее/Прогноз
Желаемая уставка
Состояние (прогноз)
Горизонт управления p ■"1...L-.— Горизонт прогноза m
k k + 1
k + р k + m
Рис. 2. Принцип управления в системе УПМ Fig. 2. The control principle in the MPC system
Для описанной схемы управления в первую очередь актуальны следующие вопросы:
1. Достижимость сформулированной задачи, то есть при каких условиях алгоритм синтеза управляющего воздействия может быть реализован?
2. При каких условиях последовательность вычисленных управляющих воздействий приводит к устойчивому состоянию замкнутой системы?
3. Какие показатели качества управления в замкнутом контуре являются результатом повторного решения указанной задачи оптимального управления для разомкнутой системы?
Рассмотрим проблемы, поднятые данными вопросами.
ДОСТИЖИМОСТЬ
Ограничения, указанные в (3), могут сделать задачу оптимизации неосуществимой. Например, при возникновении возмущения изложенная выше задача оптимизации станет недостижимой на определенном временном шаге [3].
Т. 7. № 2. 2020
Computational nanotechnology
31
Может также случиться, что алгоритм, который минимизирует целевой функционал для системы с разомкнутым контуром, непреднамеренно выведет систему с замкнутым контуром за пределы области допустимых значений. Данный вопрос требует отдельного подробного исследования.
УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
В случае ограниченного или бесконечного горизонта становится неясно, при каких условиях замкнутая система устойчива. Многие исследования линейного УПМ сосредоточены именно на этой проблеме. В итоге, на сегодняшний день для обеспечения устойчивости были предложены два основных подхода [2; 4; 5]: первый основан на исходной задаче (1)-(3), а второй - на добавлении ограничения на сходимость.
Для упрощения изложения подхода предполагаем р = т = N, тогда Jip т) = , как определено в уравнении (2). Ключевым моментом при этом является использование оптимальной конечной функции качества J"N для вычисления горизонта. В качестве функции качества используется при этом функция Ляпунова.
Необходимо отметить, что
JN (х (к)) - JN(х (к + 1)) > 0, х * 0. (5)
Переформулирование J"N(х(к)) - J"N(х(к + 1)) дает
Гн(х(к))^'(х(к +1))= (6)
= [хт (к)Ох(к) + и'Т (х(к)№ (х(к))] + [J'N-1 (х(к +1))].
Если можно показать, что правая часть (6) положительна, то устойчивость доказана. Поскольку О > 0 и Я > 0, первое слагаемое [хг(к)Ох(к) + и'т(х(к))Яи(х(к))] положительно. В общем, нельзя утверждать, что второй член J"N (х(к)) - J"N (х(к + 1)) неотрицательный.
В литературе предложен ряд подходов, позволяющих убедиться, что правая часть (6) положительна. Различные ограничения, введенные для обеспечения устойчивости (терминальное ограничение для всех состояний, терминальное ограничение для неустойчивых состояний, терминальные ограничения и т.д.), потенциально могут быть причинами невыполнения достижимости. Например, может стать невозможным введение терминального ограничения, если не будет использован достаточно большой горизонт прогнозирования.
ЦЕЛЕВОЙ ПОКАЗАТЕЛЬ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ
В РАЗОМКНУТОЙ И ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМАХ
Необходимо учитывать, что при управлении с удаляющимся горизонтом применяется только первое управление из всех вычисленных до горизонта, остальные управления при этом отбрасываются. Как следствие, фактически примененные управления как правило значительно отличаются от рассчитанных на конкретном временном шаге [2; 4]. Следовательно, минимизируемый целевой функционал управления с конечным горизонтом может иметь только условную (прогнозируемую) связь со значением целевой функции, получаемой при реализации дискретных управлений.
ВЫВОДЫ
В статье продемонстрировано, что УПМ для систем с линейными ограничениями обеспечивает превосходное решение в реализации оптимального управления как теорети-
чески, так и практически. Это очень важный для понимания линейной УПМ вывод. В целом, полученные результаты согласуются с известными исследованиями по УПМ, показывая, что данный метод имеет потенциал к использованию во множестве применений. Следовательно, дальнейшие исследования должны быть проведены при более реалистичных условиях, характерных для физических, реальных систем.
Литература / References
1. Keerthi S., Gilbert E. Optimal infinite-horizon feedback laws for a general class of constrained discrete-time systems: stability and moving-horizon approximations. Journal of Optimization Theory and Applications. 1988. No. 57 (2). Pp. 265-293.
2. Nevistic V., Primbs J.A. Finite receding horizon linear quadratic control: A unifying theory for stability and performance analysis. Paper presented at Technical Report CIT-CDS 97-001. California Institute of Technology. Pasadena, CA, 1997.
3. Bolognani S., Bolognani S., Peretti L., Zigliotto M. Design and Implementation of Model Predictive Control for Electrical Motor Drives. IEEE Transactions on Industrial Electronics. June 2009. Vol. 56. No. 6. Pp. 925-1936. DOI: 10.1109/TIE.2008.2007547
4. Zhilenkov A., Chernyi S. Models and algorithms of the positioning and trajectory stabilisation system with elements of structural analysis for robotic applications. International Journal of Embedded Systems. 2019. No. 11 (6). P. 806. DOI: 10.1504/ijes.2019.104005
5. Zhilenkov A., Chernyi S., Sokolov S., Nyrkov A. Intelligent autonomous navigation system for UAV in randomly changing environmental conditions. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems. 2020. Vol. 38, No. 5, Pp. 6619-6625. Available: 10.3233/jifs-179741
6. Grimm G., Messina M.J., Tuna S.E., Teel A.R. Nominally robust model predictive control with state constraints. IEEE Transactions on Automatic Control. Oct. 2007. Vol. 52. No. 10. Pp. 1856-1870. DOI: 10.1109/TAC.2007.906187
7. Qi W, Liu J., Chen X., Christofides P.D. Supervisory Predictive Control of Standalone Wind / Solar Energy Generation Systems. IEEE Transactions on Control Systems Technology. Jan. 2011. Vol. 19. No. 1. Pp. 199-207. DOI: 10.1109/TCST.2010.2041930
8. Sadowska A., Schutter B.De., van Overloop P. Delivery-Oriented Hierarchical Predictive Control of an Irrigation Canal: Event-Driven Versus Time-Driven Approaches. IEEE Transactions on Control Systems Technology. Sept. 2015. Vol. 23. No. 5. Pp. 1701-1716. DOI: 10.1109/TCST.2014.2381600
9. Veksler A., Johansen T.A., Borrelli F, Realfsen B. Dynamic positioning with model predictive control. IEEE Transactions on Control Systems Technology. July 2016. Vol. 24. No. 4. Pp. 1340-1353. DOI: 10.1109/ TCST. 2015.2497280
10. Liu Jiangang, Huang Zhiwu, Peng Jun et al. An explicit predictive current-sharing control for parallel charging systems with nonlinear dynamics. American Control Conference (ACC). 2016. Pp. 6821-6826.
11. Ionescu C.M., Keyser R.D., Torrico B.C. et al. Robust predictive control strategy applied for propofol dosing using BIS as a controlled variable during anesthesia. IEEE Transactions on Biomedical Engineering. Sept. 2008. Vol. 55. No. 9. Pp. 2161-2170. DOI: 10.1109/ TBME.2008.923142
12. Zbede Y.B., Gadoue S.M., Atkinson D.J. Model predictive MRAS estimator for sensorless induction motor drives. IEEE Transactions on Industrial Electronics. June 2016. Vol. 63. No. 6. Pp. 3511-3521. DOI: 10.1109/TIE.2016.2521721
13. Shadmand M.B., Balog R.S., Abu-Rub H. Model predictive control of PV sources in a smart DC distribution system: Maximum power point tracking and droop control. IEEE Transactions on Energy Conversion, Dec. 2014. Vol. 29, No. 4, Pp. 913-921. DOI: 10.1109/ TEC.2014.2362934
14. Kouki Rihab, Salhi Hichem, Bouani Faouzi. Application of model predictive control for a thermal process using STM32 microcontroller. Control Automation and Diagnosis (ICCAD) International Conference. 2017. Pp. 146-151.
15. Omar M.S., El Deib Amgad, El Shafei A.L. et al. Comparative study between PI and fuzzy-logic controllers for three-phase grid-connected photovoltaic systems. Power Systems Conference (MEPCON) Eighteenth International Middle East. 2016. Pp. 380-386.
32
Computational nanotechnology
Vol. 7. № 2. 2020
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДОСТИЖИМОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ СИНТЕЗЕ РОБАСТНОГО ДИСКРЕТНОГО УПРАВЛЕНИЯ
С ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛЬЮ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ Нгуен Хак Тунг, Жиленков А.А., Данг Бинь Хак
Статья поступила в редакцию 18.05.2020, принята к публикации 26.06.2020 The article was received on 18.05.2020, accepted for publication 26.06.2020
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Нгуен Хак Тунг, аспирант Национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики ( ИТМО). Санкт-Петербург, Российская Федерация. E-mail: nguyenkhactunghvhq1994@ gmail.com
Жиленков Антон Александрович, кандидат технических наук, доцент; заведующий кафедрой морской электроники Санкт-Петербургского Государственного Морского Технического Университета. Санкт-Петербург, Российская Федерация. AuthorlD: 865291, Scopus ID 56560290200. ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1555-1318. E-mail: zhilenkovanton@gmail.com Данг Бинь Хак, аспирант Санкт-Петербургского Государственного Национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики ( ИТМО). Санкт-Петербург, Российская Федерация. E-mail: dangkhacbinh90@gmail.com
ABOUT THE AUTHORS
Nguyen Khac Tung, PhD student at the ITMO University. St. Petersburg, Russian Federation. E-mail: nguyenkhactunghvhq1994@gmail.com Anton A. Zhilenkov, Cand. Sci. (Eng.), Assoc. Prof.; St. Petersburg State Marine Technical University. St. Petersburg, Russian Federation. AuthorlD: 865291, Scopus ID 56560290200. ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1555-1318. E-mail: zhilenkovanton@gmail.com Dang Binh Khac, PhD student at the ITMO University. St. Petersburg, Russian Federation. E-mail: dangkhacbinh90@gmail.com
Т. 7. № 2. 2020
Computational nanotechnology
33
