CC BY
24
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 539.3
ОБЪЕМНОЕ ФОРМИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ИЗДЕЛИЯ С УЧЕТОМ ДАВЛЕНИЯ
Н. А. БЕЛЯЕВА, Е. С. ДОВЖКО
Сыктывкарский государственный университет, г. Сыктывкар kmmik@syktsu.ru
Представлена термовязкоупругая модель формирования полимерного цилиндрического изделия в условиях объемного режима отверждения. Напряженно-деформированное состояние определяется с учетом ненулевой критической глубины конверсии твердеющего материала. На границах сосуществования твердой и жидкой фаз учитывается давление со стороны жидкого слоя на формирующуюся твердую часть изделия. Представлены результаты численного анализа напряженного состояния и давления.
Ключевые слова: термовязкоупругость, отверждение, критическая глубина конверсии, давление, напряжение
N.A. BELYAEVA, E.S. DOVZHKO. VOLUME FORMATION OF CYLINDRICAL PRODUCT CONSIDERING PRESSURE
The widespread use of polymeric materials with different viscoelastic properties justifies the development of mathematical modeling of processes of products from these materials. Methods of investigation of the stress-strain state of polymer products with different geometries are developed in the solving of problems in various fields of engineering, electronics [1], construction [2], medicine [3], etc. In the papers [4-10] the mathematical models of polymer axisymmetric products formation are described in the implementation of the various polymerization reaction modes — volume, single-sided front, the front two-way front [11]. The volume mode is characterized by flowing of hardening reaction (temperature rise and deepening of polymerization degree) throughout the volume of the formed product. Front mode is noted for wave propagation (front) of hardening from one boundary surface of the product to another (single-sided frontal mode), or from the central region of the product to the boundary surface (bilateral front). Determining of the level of internal stresses is based on the use of the law of hereditary elasticity — Volterra integral equations written in tensor form. When considering the volume hardening mode [4] critical conversion depth of material was assumed to be zero. The critical conversion depth is the polymerized monomer concentration a = a(r,t), at which the determination of viscoelastic stresses and strains begins in a hardening material.
In the analysis of the frontal regime [7-9], [11] there were considered the conditions of coexistence of solid and liquid regions of formed product. On the border of coexistence the complete stress tensor was set. Condition for the emergence of the solid part and its growth is to achieve a depth of polymerization of the critical value. A similar approach can be implemented in a volumetric reaction mode [10]. Determination of the dynamics of temperature and conversion fields is based on the heat equation and two kinetic equations for the degree of polymerization and crystallization.
This paper presents a thermoviscoelasticity model of the polymeric cylindrical product formation in a volume mode of the hardening with nonzero critical conversion depth. The process of volume formation is characterized by the gradual deepening of the polymerization and the accompanying crystallization throughout the volume of the formed product. Borders of a solid layer and the moment of the hardening start are determined by the condition a(r, t) = a*, where a* — critical conversion depth.
The stress-strain state of the formed product is determined by taking into account the pressure of the liquid layer to a formed solid part. The results of the numerical analysis of the formed product stress state and pressure of the liquid layer on the product solid part are presented and discussed.
Keywords: thermoviscoelasticity, hardening, critical depth of conversion, pressure, tension
Введение
Широкое использование полимерных материалов с различными вязкоупругими свойствами обосновывает развитие математического моделирования процессов получения изделий из данных материалов. Методы исследования напряженно-деформированного состояния полимерных изделий различной геометрии разрабатываются при решении задач в области электроники [1], строительства [2], медицины [3] и т.д.
В работах [4-10] рассмотрены математические модели формирования полимерных осесим-метричных изделий при реализации различных режимов проведения реакции полимеризации (отверждения)— объемный, односторонний фронтальный, фронтальный с двусторонним фронтом [11]. Для объемного режима характерно протекание отверждения — повышение температуры и углубление степени полимеризации — во всем объеме формируемого изделия. Фронтальный режим отличается распространением волны (фронта) отверждения от одной граничной поверхности изделия к другой (односторонний фронтальный режим) либо из центральной области изделия к граничным поверхностям (двусторонний фронт). Разработанные модели объединены в единый программный комплекс [12].
Определение уровня внутренних напряжений основано на использовании закона наследственной упругости— интегральных уравнений типа Вольтер-ра, записанных в тензорном виде [13]. При рассмотрении объемного режима отверждения [4] критическая глубина конверсии материала предполагалась равной нулю. Под критической глубиной конверсии следует понимать степень полимеризации (концентрация заполимеризованного мономера а = a(r,t), при которой в твердеющем материале определяются вязкоупругие напряжения и деформации. При анализе фронтального режима — как одностороннего [7-9], так и двустороннего [11] — учитывались условия сосуществования твердой и жидкой областей формируемого изделия. При этом на границе сосуществования задавался полный тензор напряжений. Условием возникновения твердой части и ее роста является достижение глубиной полимеризации a(r,t) критического значения. Естественно считать, что аналогичный подход может быть реализован и в объемном режиме реакции. Теоретические вопросы рассмотрения такого подхода изложены в работе [14].
Распределение температуры T = T(r, t), глубины полимеризации а = a(r,t) и глубины кристаллизации п = n(r,t) определяется на основе макрокинетической модели совмещенного процесса [15]: уравнения теплопроводности и двух кинетических уравнений относительно степеней полимеризации и кристаллизации. В зависимости от условий проведения реакции отверждения реализуется объемный или фронтальный режим реакции. В настоящей работе не обсуждается метод определения температурных и конверсионных полей в процессе от-
верждения: вопросы, касающиеся этой части работы, подробно обсуждены в цитируемой литературе.
Рис. 1. Динамика степени полимеризации а = а{т,£)\ ^с): 292(1), 300(2), 308(3), 315(4), 322(5), 330(6), 338(7), 345(8), 352(9); г? = т?(£) , т*2 = т*2(1) — границы твердого слоя О в момент времени £ = 292 с.
Рассмотрим объемные режимы формирования с ненулевой критической глубиной конверсии. Процесс объемного формирования изделия характеризуется постепенным углублением полимеризации (формирование твердого слоя П) и следующей за ней кристаллизации по всему рассматриваемому объему
Границы r* = r*(t) и r* = r*(t) твердого слоя и момент присоединения t*(r) произвольной точки r формируемого изделия к слою П определяются условием a(r,t) = а*, где а* — критическая глубина конверсии, (а* = 0.5 + 0.7) (рис. 1).
Формирование цилиндрического изделия
Напряженно-деформированное состояние твердеющего материала (область П) можно полностью описать следующей системой определяющих соотношений:
дог
dr de
фф
'фф
(1)
(2)
дг г
(1)— уравнение равновесия, (2)— условие совместности деформаций; агг, афф — радиальная и окружная компоненты тензора напряжения; егг, ефф — соответствующие компоненты тензора деформации. Полные компоненты деформации в (2) являются суммой вязкоупругой е*, температурной ет = а0 (Т — Т0) и химической есН = ер + есг составляющих (ер = к 1 а, есг = к2п — усадки вследствие полимеризации и кристаллизации, соответственно):
£* + eT + ech.
(3)
Здесь а0 — аналог коэффициента линейного температурного расширения материала; для простоты будем считать его постоянным; к 1, к2 — константы.
Будем считать слой О твердым, а остальную часть объема — жидкой. Тогда в двумерном случае вязкоупругая компонента деформации е* связана с напряжениями выражением:
е"
'TT(r,
ефф(г,г)) -
фф
Офф — о
е
arr(r,t)
)
+
(4)
+
= ( 1/E —v/E\ ( \—v/E 1/E ) ^
t
i (frr (t — t) frV (t — t)\ iarr (r,r)\
j \Ur (t — t ) ф (t — t )) \афф(Г,т)) '
t* (r)
где s!
— радиальная и окружная вязкоупру-
'фф
— соответ-
гие компоненты деформаций; аг ствующие компоненты напряжений; V — коэффициент Пуассона; Е — модуль упругости среды Гука; г* (г) — момент присоединения точки г к твердому слою и.
Запишем (4) покомпонентно:
£*„. = Е (°тт (г, Ь) - Жфф(г, г)) +
t
+ J frr(t — т)arr(г,т)dT +
t*(r) t
(5)
+ / frф(t т)avv(r, т)dT,
t*(r) 1
s
(avv(r,t) — varr(r,t)) +
фф e фф t
+ J fфг(t — т)arr(r,T)dT +
t*(r) t
(6)
+ / fФФ(t т )афф('^,т )dT-
t*(r)
Применим к (5)-(6) преобразование Лапласа
Srr (p) = arr (p)[ — + Frr(p) ) +
Frr (p)y
+афф(р^ Fr-ф(p) — E^ =
= Krr (p)arr (p) + Krф(p)aфф(p),
sфф(p)=aфф(p)( Рфф(pu+
(7)
+arr (p)(^ Рфг (p) — =
= Кфф^)афф^) + Кфг (p)arr (p). В соотношении (7) Srr(p), srф
( p ) , s фг (p), Sфф (p), arr(p),arv(p), афГ(p), афф(p) —изображения соответствующих деформаций и напряжений; Frr(p), Fr^>(p), F,фГ(p), Fфф(p) — изображения неизвестных функций frr (p), fr-ф (p), fфr (p), fфф(p)■
Для упругого (бесконечного) цилиндра, находящегося в условиях плоского напряженного состояния, закон Гука запишется как
srr = ¡(arr — vaфф) ,
В изображениях, т.е. для вязкоупругого цилиндра, зависимости(8) примут вид
1
Srr (p) = Ep) ^arr (p) — v(p)aфф(p)),
Sфф(P) = Ep ^фф(p) — v(p)arr W) •
(9)
Сравнивая (7) и (9), получим формулы для неизвестных операторов К^ (р) :
Krr (p)
— к (p) = -,Krf(p)= e (pp)'
1
—p) •
E(p) v(p)
кфг (p) = — ep ,kфф(p) =
Следовательно,
Frr(p) = Fфф(pp) = E(p) e, frr = fфф', Frф (p) = ^r (p) = — E(pp) + — f Гф = f фг •
(10)
Найдем выражение для неизвестного оператора V(р). Воспользуемся условием несжимаемости материала. Для упругого материала с учетом = 0 выполняется соотношение
Егг + £фф — 0,
а для вязкоупругого —
£*гг (г,Ь) + £*фф(г,ь) = 0
С учетом (5), (6), (10) последнее соотношение в изображениях запишется:
Кт (р)(Стт (р) + &фф(р)) +
(р) + °фф (р)) = 0.
Следовательно,
(p)
1 — E(p).
E
(11)
Тогда из (10)
1
Frф (p) = Kr (p) —
1
E E (p)
—Frr (p). (12)
Следовательно,
frr — fфф — frф — •
Для стандартной модели [4] вязкоупругого тела
frr(t)
X—JJ, -
fit
(13)
(14)
Здесь
E = E1; A = E^-2; ц = —2.
p p
Для определения радиальной атт = атт(г,г) и окружной афф = афф(г,г) компонент напряжений введем в рассмотрение функцию напряжений Ф =
Ф (г, Ь) :
-фф
-(
aфф — var
Г ) •
. . Ф . . дФ
arr (r,t) = aФФ(r,t) = дт'
(15)
s
для которой уравнение равновесия (1), очевидно, выполняется. Подстановка полных компонент деформации (3) в уравнение совместности (2), с учетом введенной функции (15), приводит к следующему уравнению [14]:
д_ дг
дФ Ф
1Г + -+
дг r
+j ht - г)(дФ^П + Фпй, dT
д_ дг
E
дг
r \
^ + f Ьг-вфdr
+
V
/
где ¡(г) = Е/гг(г); в(г,г) = ет + £сН; < г < г* = г*(г) — момент присоединения точки г к твердому слою и. Интегрируя последнее равенство, получим следующее соотношение относительно функции напряжений:
дФ(г,г) + Ф(г,г) +
дг
- т)(^ + ^)
dr = (16)
E
( r \
^ + f в^ф dr
r
+ *(t).
\
/
Найдем функцию интегрирования Ф(г). Следуя (15), имеем:
ф(г,г) дФ(г,г) . . . .
+ д^ = а"'г г) + г Из соотношения (16):
ф(г) = агг (г, г) + &фф(г, г) +
следовательно,
p(r* ,t) = -
F (r *,t)
1-v '
(19)
Выберем в качестве функции интегрирования функцию, пропорциональную давлению, т^.
или
*(t) = -(1 - v)p(r*,t) *(t) = F (r*,t).
(20)
Тогда, следуя (17), на границе г = г* будет выполняться условие:
Orr (rl,t) + &w(r*,t) = 0,
(21)
поскольку в этом случае г = г* и интеграл в (17) обращается в нуль.
Рассмотрим границу твердого слоя г = г**. Аналогично предыдущим рассуждениям и формуле (19), получим
P(r*2 ,t) = -
F (r*,t) 1-v '
(22)
Так как функция ^(t) теперь известна (20), из формулы (17)находим,что
Orr(r*2,t) + ovv(r**,t) = F(r*,t) - F(r*2,t) (23)
или
Orr (r*,t) + Ovv(r2,t) = = (1 - v)(-p(r*,t) + p(r*,t)). Введем в рассмотрение функцию J (r,t) :
J(r, t) = Ф(г, t)+ f (t - т)Ф(г, t)dr.
(24)
Тогда уравнение (16) с учетом (20) представимо в виде дифференциального уравнения:
д3 (г,г) 3(г,г) . , ч
Я = -Е (г,г) + Е (г*,г). (25)
г г
Cоотношение (25) разрешается аналитически:
+ f(t - T)(orr (r,T) + ovv(r,T)) dT + (17)
+ F (r,t),
где функция
F(r, t) = E
( r \
^ + [вт-Ь. dr
r
V
/
(18)
определяется решением уравнения теплопроводности и кинетических уравнений; &г(г,г) = £сН + ет.
Со стороны жидкого слоя, в силу условия несжимаемости среды, на твердую часть материала действует давление р(г*,г) :
E
(£Т + £ch)+ p(rlt) = 0,
J(r,t) = - J F(r,t)rdr-
-2rrF(rlt) (r? - r2) ,
откуда следует, что
J (r'2 ,t) = o.
(26)
(27)
Для нахождения функции напряжений Ф(г, г) из уравнения (24) используем преобразование Лапласа. Введем в рассмотрение следующие функции:
Ф(г^) J (r,t)
0, t<t*
Ф(г, t), t > t*
0, t < t
J(r,t), t > t*
0
r
t
t
относительно которых справедливо уравнение, аналогичное (24):
Ф(г,г)^ I(г - т)Ф(г,т)¿т = 3(г, г).
о
Применим к последнему соотношению преобразование Лапласа, тогда относительно изображений Ф(г,р), 3(г,р) с учетом (14) получим выражение:
Ф(г,р) + (Х — л)^^ = 3(г,р)
или
Р + V
Ф(г,р) = Р + V J(r,p).
р + X
Следовательно, оригиналы связаны уравнением:
Ф(г,г) = 3 (г,г)-
ь
— J (X — л) ехр [—X (г — г)] 3(г, т)¿т.
о
Из последнего соотношения получим выражение для функции напряжений Ф(г, г) :
Ф(г,г) = 3 (г,г)—
ь
— ! (X — л) ехр [—X (г — т)] 3(г, т)¿т. ь*
Отсюда, следуя (15), получим формулы для компонент тензора напряжений — радиальной и окружной:
М)^ J(r,t) -
t
- J (X - v) exp [-X(t - r)] J(r, r)dr^j ,
(28)
(r,t)
dJ (r,t)
dr
t
- j (X - v)exp [-X(t - r)]
dJ(r, r) dr
(29)
dr.
Из соотношения (28) вследствие (27) следует, что
arr (r2, t) = 0.
Рис. 2. Динамика окружной радиальной напряжения: arr = arr(r,t); условия на рис. 1.
Обозначим момент времени t появления твердой части Ü через t2. Для определения напряженного состояния формируемого изделия зададим начальные и граничные условия:
0 < t<t*0, ü = 0 : arr(r,t) = 0, афф(r, t) = 0; (30)
t > tl2 : (arr(r,t) + avv(r,t)) \r=r$ = 0,
@rr (r, t) \r=r* — 0, (31) arr (r22,t) + avv(r'2,t) = = (1 - v)(-p(r2,t)+ p(r2,t)). (32)
Результаты расчета модели определения напряженно-деформированного состояния изделия в объемном режиме — пространственно-временные изменения радиальной arr(r,t) и окружной avv(r,t) компонент напряжения — представлены на рис. 23. Наблюдаем убывающий в каждой точке характер радиальных напряжений, их убывание от внутренней поверхности изделия к внешней. Для окружной компоненты напряжения, напротив, характерно возрастание вблизи внешней поверхности (рис. 3).
Рис. 3. Динамика окружной компоненты напряжения: афф = условия на рис. 1.
Давления р(г*, г) и р(г*, г) со стороны жидких слоев на образовавшуюся твердую часть О будем определять по формулам (19) и (22) (рис. 4).
Рис. 4. Давление жидкости на границу формируемой твердой части О.
Заключение
В работе представлена математическая модель объёмного формирования цилиндрического изделия с учетом ненулевой критической глубины конверсии. Рассмотрен метод определения внутренних напряжений формируемого изделия с учетом давления со стороны жидкого слоя на формируемую твердую часть. Приведены и обсуждены результаты численных экспериментов.
t
Значения параметров задачи: c = 2.4 ■
102 кал/( кг■ град); р =1.1 ■ 103 кг/м3; Х0 = 9 ■
10-2 кал/( м■ с■ град); Qp = 1.8 ■ 107 кал/м3; Qcr =
3.5 ■ 107 кал/м3; k01 = 5 ■ 105 с-1; k02 = 2 ■ 104 с-1;
U = 1.3 ■ 104 кал/моль; Ru = 2 кал/( град■ моль);е1 =
0.18. е2 = 0.05; Ea = 8.8 ■ 103 кал/моль; ф = 225 K; Tf = 493 K; T0 = 423 K; R = 0.1 м; R1 = 0.01 м;
h0 = 0.5 ■ 102 м-1; h = 5 ■ 102 м-1; v = 0.33; k1 =
k2 = -0.01; a0 = 2.5 ■ 10-3 град-1; A = 102 сП;
Evz = 5 ■ 103 кал/моль; E1 = E = 103 кал/моль;
A1 = 5.
Литература
1. Zhiltsova T.V., Oliveira M.SA., Ferreira JA Integral approach for production of thermoplastics microparts by injection moulding. J. Mater. Sci. 2013. P. 81-94.
2. Nguyen D.D., Delvin L.P., Koshy P., Sorrell C.C. Impact of water-soluble cellulose ethers on polymer-modified mortars. J. Mater. Sci. 2014. P. 923-951.
3. Blazejak M., Windolf M., Nicolino T.I., Buchler L., Gueorguiev B. In-vitro temperature evaluation during cement augmentation of proximal humerus plate screw tips. Materials of the 14th European Congress of Trauma and Emergency. Lyon, France. May 4-7, 2013. P. 30.
4. Беляева НА. Математические модели деформируемых структурированных материалов: монография. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского университета, 2008. 116 с.
5. Беляева НА. Деформирование вязкоупру-гих материалов с изменяющейся структурой // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 11. 2010. С. 52-75.
6. Беляева Н.А. Деформирование вязкоупругих структурированных систем: монография. Lap Lambert Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, 2011. 200 c.
7. Беляева НА, Довжко E.C. Отверждение сферического изделия с учетом давления перед фронтом // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 12. 2010. С. 85-96.
8. Довжко E.C., Беляева НА. Термовязкоупругое фронтальное отверждение сферического изделия с точки зрения непрерывно наращиваемого твердого тела с учетом давления перед фронтом отверждения// Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ, Реестр программ для ЭВМ. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010615793, 7 сентября 2010 г.
9. Беляева НА, Довжко E.C. Напряженное состояние фронтально формируемого сферического изделия // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 123-134.
10. Отчет о научно-исследовательской работе в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры
инновационной России" на 2009-2013 годы по теме: "Нелинейные модели и методы механики", шифр 2010-1.1-112-024-024, № 02.740.11.0618 (итоговый, этап № 6). Наименование этапа: "Отчетный". М.: ВНТИЦ,
2012. Инв. № 02301297038. 46 с.
11. Довжко E.C., Беляева Н.А. Формирование осе-симметричных полимерных изделий в режимах двустороннего фронта // Сб. статей Международной научно-практической конференции "Общество, Наука и Инновации" 29-30 ноября 2013 г. В 4-х ч., ч. 4. Уфа: РИЦ Баш. ГУ, 2013. С. 228-235.
12. Беляева НА, Худоева E.E. Вычислительный комплекс "Термовязкоупругие модели отверждения осесимметричных изделий" // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: ма-темат., мех., информ. Вып. 14. 2011. C. 125146.
13. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.:Наука, 1979. 744 с.
14. Беляева Н.А. Внутренние напряжения осесим-метричных изделий в процессе их формирования с учетом ненулевой критической глубины конверсии // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 16. 2012. С. 10-19.
15. Бегишев В.П., Кипин ИА, Андрианова 3.C., Малкин А.Я. Кинетика неизотермического процесса кристаллизации поликапроамида // Высокомолекулярные соединения. Сер. Б. 1983. Т. 25. № 5. С. 343-346.
References
1. Zhiltsova T.V., Oliveira M.SA., Ferreira JA Integral approach for production of thermoplastics microparts by injection moulding. J. Mater. Sci.
2013. P. 81-94.
2. Nguyen D.D., Delvin L.P., Koshy P., Sorrell C.C. Impact of water-soluble cellulose ethers on polymer-modified mortars. J. Mater. Sci. 2014. P. 923-951.
3. Blazejak M, Windolf M, Nicolino T.I, Buchler L, Gueorguiev B. In-vitro temperature evaluation during cement augmentation of proximal humerus plate screw tips. Materials of the 14th European Congress of Trauma and Emergency. Lyon, France. May 4-7, 2013. P. 30.
4. Belyaeva NA. Matematicheskie modeli de-formiruemyh strukturirovannyh materialov: monografiya. [Mathematical models of structured deformable materials: monograph]. Syktyvkar: Syktyvkar University Publ., 2008. 116 p.
5. Belyaeva NA. Deformirovanie vyazkouprugih materialov s izmenyayushheisya strukturoi . [Deformation of viscoelastic materials with changeable structure]. Bulletin of Syktyvkar University. Ser. 1. Issue 11. 2010. P. 52-75.
6. Belyaeva N.A. Deformirovanie vyazkouprugih strukturirovannyh sistem: monografiya. [Deformation of viscoelastic structured systems: monograph]. Lap Lambert Academic Publishing
GmbH & Co. KG, Germany, 2011. 200 p.
7. Belyaeva NA, Dovzhko E.S. Otverzhdenie sfericheskogo izdeliya s uchetom davleniya pered frontom. [The hardeing of spherical product considering the pressure ahead of the front]. Bulletin of Syktyvkar University. Ser. 1. Issue 12. 2010. P. 85-96.
8. Dovzhko E.S., Belyaeva NA. Termovyazkoupru-goe frontal'noe otverzhdenie sfericheskogo izdeliya s tochki zreniya nepreryvno narash-hivaemogo tverdogo tela s uchetom davleniya pered frontom otverzhdeniya // Federal'naya sluzhba po intellektual'noi sobstvennosti, paten-tam i tovarnym znakam RF, Reestr programm dlya JeVM. Svidetel'stvo o gosudarstvennoi reg-istracii programm dlya EVM № 2010615793. [Thermoviscoelasticity frontal solidification of spherical product from the point of view of continuous incremental solid body with the pressure ahead of the hardening front // Federal Service for Intellectual Property, Patents and Trademarks of the Russian Federation, Register of Computer Programs. Certificate of state registration of computer programs № 2010615793].7 September 2010.
9. Belyaeva NA, Dovzhko E.S. Napryazhennoe sos-toyanie frontal'no formiruemogo sfericheskogo izdeliya. [Stress state of the frontally formed spherical product]. Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Sciences. 2011.Issue 2. P. 123-134.
10. Otchet o nauchno-issledovatel'skoi rabote v ramkah Federal'noi celevoi programmy "Nauch-nye i nauchno-pedagogicheskie kadry innova-cionnoi Rossii" na 2009-2013 gody po teme: "Nelineinye modeli i metody mehaniki", shifr 2010-1.1.-112-024-024, № 02.740.11.0618 (ito-govyi, etap № 6). Naimenovanie etapa: "Otchet-nyi". [Report on the research work in the framework of the Federal target program "Scientific
and scientific-pedagogical personnel of innovative Russia" for 2009-2013 on "Nonlinear Models and Methods in Mechanics", code 2010-1.1.112-024-024, № 02.740.11.0618 (final, stage № 6). Stage: "Reporting"]. M.: VNTIC, 2012. Inv. № 023301297038. 46 p.
11. Dovzhko E.S., Belyaeva NA. Formirovanie os-esimmetrichnyh polimernyh izdelii v rezhimah dvustoronnego fronta [Formation of axisymmet-ric polymeric products in the bilateral front mode]. Collected papers of Intern. Science-Practical conf. "Society, Science and Innov." 2930 November 2013. In 4 parts. Part 4, Ufa: RIC BashStateUniv., 2013. 272 p. P. 228-235.
12. Belyaeva NA, Hudoeva E.E. Vychislitel'nyi kompleks "Termovyazkouprugie modeli otverzh-deniya osesimmetrichnyh izdelii" [Computational complex "Thermoviscoelasticity models of axisymmetric products hardening"]. Bulletin of Syktyvkar University. Ser. 1: mathemat., mech., inform. Issue 14. 2011. P. 125-146.
13. Rabotnov Yu.N. Mekhanika deformiruemogo tvyordogo tela. [Mechanics of deformable solids]. M.:Nauka, 1979. 744 p.
14. Belyaeva N.A. Vnutrennie napryazheniya osesimmetrichnyh izdelii v processe ih formirovaniya s uchetom nenulevoi kritich-eskoi glubiny konversii. [Internal stresses of axisymmetric products in the process of their formation, taking into account non-zero critical conversion depth]. Bulletin of Syktyvkar University. Ser. 1. Issue 16. 2012. P. 10-19.
15. Begishev V.P., Kipin IA., Andrianova Z.S., Malkin A.Ya. Kinetika neizotermicheskogo processa kristallizatsii polikaproamida. [The kinetics of nonisothermal crystallization process poly-caproamide] High-molecular compounds. Ser. B. 1983. Vol. 25. № 5. P. 343-346.
Статья поступила в редакцию 10.09.2014.
