Модель объемного формирования сферического изделия с учетом давления Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Вестник Сыктывкарского университета.

Сер. 1. Вып. 18.2014-

УДК 539.3

МОДЕЛЬ ОБЪЕМНОГО ФОРМИРОВАНИЯ СФЕРИЧЕСКОГО ИЗДЕЛИЯ С УЧЕТОМ ДАВЛЕНИЯ

Н. А. Беляева, Е. С. Довжко

Представлена термовязкоупругая модель объёмного формирования полимерного изделия сферической формы с учетом ненулевой критической глубины конверсии твердеющего материала, давления со стороны жидкого слоя на границы наращиваемой твёрдой части материала. Показаны результаты численного анализа динамики напряженного состояния, давления.

Ключевые слова: термовязкоупругость, сфера, отверждение, объемный режим, критическая глубина конверсии, напряжение, давление

1. Введение

В работах [1]-[7] рассмотрены математические модели формирования полимерных осесимметричных изделий (сфера, цилиндр) при реализации различных режимов проведения реакции полимеризации (отверждения) — объёмный, односторонний фронтальный, фронтальный с двусторонним фронтом [8]. Разработанные модели объединены в единый программный комплекс [9].

Напряженно-деформированное состояние формируемого сферического изделия определяется на основе стандартной линейной модели вязко-упругого тела. Закон наследственной упругости — интегральное уравнение типа Вольтерра— в рассматриваемых случаях представляет собой тензорное соотношение между деформациями и напряжениями. В случае фронтальных режимов формирования для определения границы фронта отверждения использовано понятие критической глубины конверсии материала, то есть степени полимеризации, при которой в материале можно рассчитывать механические напряжения.

© Беляева Н. А., Довжко Е. С., 2014.

В настоящей работе представлен подобный Мбтод для объемного формирования сферического изделия. На растущих границах между твердой и жидкой частями материала учитывается давление со стороны жидкого слоя. Теоретические вопросы рассмотрения такого подхода изложены в [10].

Температурные и конверионньте поля определяются на основе совместного рассмотрения уравнения теплопроводности и двух кинетических уравнений процессса полимеризации и кристаллизации. Подробно об этих уравнениях писалось в цитируемых работах. В ДсШНОИ работе эта сторона задачи не обсуждается.

Рассмотрим объемные режимы формирования с ненулевой критической глубиной конверсии. Процесс объемного формирования изделия характеризуется постепенным углублением полимеризации формирование твердого слоя П, и следующей за ней кристаллизации по всему рассматриваемому объему. Границы г* = г*(Ь) и г* = г2*(Ь) твердого слоя и момент присоединения Ь* (г) произвольной точки г формируемого изделия к слою П определяются уеловием а(г,Ь) = а*, где а*— критическая глубина конверсии, (а* = 0.5 ^ 0.7) (рис. 1).

а

а 1,3 2,7 3,6 4,5 5,4 6,3 7,2 0,1 9 Э,Э

Рис. 1: Динамика степени полимеризации а = а(т,Ь)

Цс): 659(1), 662(2), 673(3), 692(4), 740(5), 813(6), 887(7), 960(8), 1033(9), 1188(10), 1386(11); г* = , г2* = г2*(£) — границы твердого слоя О в

момент времени £ = 673 с

2. Сферическое изделие

Напряженно-деформированное состояние твердеющего материала (область П) можно полностью описать следующей системой определя-

ющих соотношении:

да гг 2 . . . ,

--+ - (Ртт - аы) = 0, (1)

дг г

д£ЬЬ = £гг — £ьь дг г '

(1)— уравнение равновесия, (2)— условие совместности деформаций; агг, аЬЬ— радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжения; £гг, £ЬЬ— соответствующие компоненты тензора деформации. Пол-ныв компоненты £ ,

температурной £т = а0 (Т — То) и химической £сН = £р + £сг составляющих (£р = к1а, £сг = к2п — усадки вследствие полимеризации и кристаллизации, соответственно):

£ = £ * + £Т + £сН. (3)

Здесь а0 — аналог коэффициента линейного температурного расширения материала; для простоты будем считать его постоянным; к1, к2 — константы соответствующих реакции.

В случае сферического изделия вязкоупругая компонента деформации в твердом слое П находится [10] в виде

'£*„ (г,г)) = ( 1/Е —2и/Е ) (агг (г, и; , +

(£*гг(г,1)\ = ( 1/Е —2р/Е\ (агг(г,1)\ ^ (г^)) V—V/Е (1 — V)/Е)\аи(г,1))

£и (г,Ь)) \^/Е (1 — v)/E

+/ ——ф кя) -г. (4)

Ь* (г)

функции ¡^ для стандартной модели вязкоупругого тела удовлетворяют условиям:

¡гЬ ¡гг, ¡Ьг ^ ¡гг, ¡ЬЬ 2 ¡гг,

¡гг (г) = ^ е-»Ь. (5)

Компоненты тензора напряжений агг(г, г) аЬЬ(г,г) являются ретпени-ем системы уравнений, полученной после подстановки полных компонент деформации (3) в условие совместности деформаций (2) с учетом

уравнения равновесия (1):

доц 1 Х(г,Ь) = ---(агт -

дг г

Х(г,Ь) + 1„(Ь - т)х(г,т^т

дГ1(т,г) дг

(6)

Ь*(т)

дог

дг г

+ - (Ятт - &ы) = 0.

Здесь Ь = Ь* (г) — момент присоединены я точки г формируемого изделия к твердой части П = [г*, г*] ,

/т

Е!т

2(1 - V)'

Е

^(г,Ь) = --- Эь.

1 — V

(7)

ь

Рис. 2: Динамика радиальной компоненты напряжения: атт = аттусловия на рис. 1.

Если в момент времени Ь твердая часть изделия П = [г*, г*] , тогда, вследствие (7) и выполнения равенств Эт = = £сН + £Т, из второго уравнения системы (6) получим:

( * ь) дГ1 (г*,Ь) ( * дГ1 (г**,Ь)

х(г*,Ь) = —дг—, х(г*,Ь) = —дг—•

Рис. 3: Динамика тангенциальной компоненты напряжения: оц = оы(г,Ь)] условия на рис. 1.

Заметим, что функция Ъ (г, Ь) имеет смысл напряжения.

На границах твёрдого слоя П в любой момент времени Ь > ¿0, где ¿0— момент возникловения П, выполняются, следуя (7), соотношения:

Е

1 - V

£ (г 1,Ь)+ £ (г 1,Ь)) = (г ¡,Ь),

(8)

Е

1-(еТ (г* ,Ь) + £*(г1 ,Ь)) = -Ъ (г* ,Ь). (9)

1 — V

Вследствие несжимаемости среды внутри жидкости возникает давление р(Ь), действующее на границу твердого слоя г = г * иг = г*:

£Т (г ¡,Ь) + £сН(г ¡,Ь) + 1—^р(г ¡,Ь) = 0, (10)

Е

£Т (г* ,Ь)+ £сН(г* ,Ь) + 1~^р(г* ,Ь) = 0. (11)

Из соотношений (8) (11) получим выражения относительно давлений жидкой части изделия на границы образовавшегося твердого слоя:

р(г = (г (12)

р(г* >Ь) = 1—^Р1 (г* ,Ь). (13)

Численное определение динамики напряженного состояния формируемого сферического изделия (рис. 2 3) проведём на основе системы (6) с начальными и граничными условиями:

0 < t<t0, Q = 0 : (Trr(r,t) = 0, att(r,t) = 0;

t > t0 : Trr (r,t) \r=r{ = -p(r l,t), Trr (r,t) \r=rl = -p(r*2 ,t). (14)

Рис. 4: Давление жидкости на границу формируемой твердой части О: 1 — на левую границу г— на правую границу г2.

Давление со стороны жидкого слоя на граничные поверхности твёрдой части изделия определяем по формулам (12). (13) (рис. 4).

3. Заключение

В работе представлены формулы определения внутренних напря~ жений формируемых в процессе объемного отверждения полимерных сферических изделий. Принято условие ненулевой критической глубины конверсии отверждаемого материала. На границах наращиваемой твердой части учитывается давление со стороны прилежащих жидких слоёв. Приведены результаты численных экспериментов.

Литература

х. ьеляева Н. А. Математические модели деформируемых структурированных материалов. Монография. Изд-во СьтктГУ. 2008. 116 с.

&. ьеляева Н. А. Деформирование вязкоупругих материалов с изменяющейся структурой // Вестник Сыктывкарского университета. Сер 1. Вып. И. 2010. С. 52-75.

О. _Ь е Л Я е В а H.A. Деформирование вязкоуиругих структурированных систем: монография. Lap Lambert Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, 2011. 200 c.

4. Беляева H. А., ДовжкоЕ. С. Отверждение сферического изделия с учетом давления перед фронтом // Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер.1: математ., мех., информ. Вып.12. 2010. С. 85-96.

5. Довжко Е. С. , Беляева H.A. Термовязкоупругое фронтальное отверждение сферического изделия с точки зрения непрерывно наращиваемого твердого тела с учетом давления перед фронтом отверждения. Федеральная служба по интеллектуальной собственности. патентам и товарным знакам РФ. Реестр программ для ЭВМ. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010615793, 7 сентября 2010 г.

6. Беляева H.A., Довжко Е. С. Напряженное состояние фронтально формируемого сферического изделия // Вестн. Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.

2011. Вып. 2. С. 123-134.

7. Отчет о научно-исследовательской работе в рамках федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы по теме: „Нелинейные модели и методы механики", шифр 2010-1.1-112-024-024, № 02.740.11.0618

"

2012. Ihm. № 02301297038. 46 с.

8. Довжко Е. С. , Беляева H.A. Формирование осесимметричных полимерных изделий в режимах двустороннего фронта // Сб. статей Международной научно-практической конференции „Общество,

"

БашГУ, 2013. 272 с. С. 228-235.

9. Беляева H.A., Худоева Е.Е. Вычислительный комплекс „Тер-

"

// Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер.1: математ., мех., информ. Вып. 14. 2011. С. 125-146.

10. Б е л я е в а Н. А. Внутренние напряжения осесимметричных изделий в процессе их формирования с учетом ненулевой критической глубины конверсии // Вестн. Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 16. 2012. С. 10-19.

Summary

Belyaeva N. A., Dovzliko Е. S. Model of volume formation of the spherical product taking into account pressure

The thermoviscoelastic model of volume formation of a polymeric product of a spherical form taking into account the nonzero critical depth of conversion of a hardening material is presented. Pressure is considered from a liquid layer on borders of the hardened part of a material. Results of the numerical analysis of dynamics of a tension, pressure are presented from a liquid layer on continuously growing firm part of a product.

Keywords: thermoviscoelasticity, sphere, hardening, volume mode, critical depth of conversion, pressure, tension

Сыктывкарский университет Поступила 29.10.2013