Обчислення коефіцієнтів тепловіддачі при течії деяких неньютонівських рідин у трубах і каналах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532,135; 532

Е. В. БІЛЕЦЬКИЙ, канд. техн. наук

Харківський торговельно-економічний інститут Київського національного торговельно-економічного університету, м. Харків Ю. А. ТОЛЧИНСЬКИЙ, канд. техн. наук

Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут», м. Харків

ОБЧИСЛЕННЯ КОЕФІЦІЄНТІВ ТЕПЛОВІДДАЧІ ПРИ ТЕЧІЇ ДЕЯКИХ НЕНЬЮТОНІВСЬКИХ РІДИН У ТРУБАХ І КАНАЛАХ

В статье рассматривается проблема теплообмена при течении в трубах и каналах неньютоновских жидкостей. Предложена методика определения теплообменных величин при течении степенных, бингамовских и обобщенных жидкостей.

У статті розглядається проблема теплообміну при течії в трубах і каналах неньютонівських рідин. Запропонована методика визначення теплообмінних величин при течії степеневих, бінгамівських та узагальнених рідин.

Вступ

Теплові процеси є найбільш розповсюдженими у процесах харчової та хімічної технологій. Неізотермічні умови протікання процесів зустрічаються набагато частіше, ніж ізотермічні. Відомо багато способів підведення і відведення теплових потоків до (від) тепловіддачі поверхні машин і апаратів, що передають тепло у тому числі і за принципом: труба в трубі або в сорочці. Величина потоку тепла через деяку тверду поверхню визначається її тепловим опором і коефіцієнтами тепловіддачі зі сторін середовищ, які обмінюються теплом [1, 2, 3]. Якщо середовище є ньютонівським, то коефіцієнти тепловіддачі визначаються за допомогою відомих формул [1, 2, 3]. Теплообмін в неньютонівському середовищі вивчене значно менше. У наведеній роботі пропонується розглянути обчислення коефіцієнтів тепловіддачі при течії неньютонівської рідини в трубі або каналі. З аналізу останніх досліджень та публікацій можна зробити висновок, що з усього різноманіття неньютонівських рідин найбільш поширеними є представники трьох класів - це бінгамівська рідина, узагальнена зсувна рідина, степенева рідина. Пояснення вимагає термін - узагальнена зсувна рідина. Це така рідина, в'язкість якої залежить від швидкості зрушення довільним способом. Окремим випадком такої рідини є степенева рідина [4]. Такі ділянки течії, як труби і канали, вибрані тому, що труба є основним елементом теплообмінного апарату, а канал - основним елементом робочої камери черв'ячного екструдера [5]. Зміст цієї роботи спирається на ряд результатів про течію згаданих вище рідин у трубах і каналах [6, 7, 8, 9, 10, 11,]. Зокрема, у попередніх роботах була розглянута течія в каналах плоскої і прямокутної форм, межі яких рухаються вздовж самих себе, а також в поздовжньому і поперечному напрямах. У згаданих роботах були побудовані тривимірні поля течії зазначених неньютонівських рідин при різних граничних умовах, які складають необхідні умови обчислення коефіцієнтів тепловіддачі. Як відомо, потік рідини в трубі або каналі може бути організований таким чином, що в процесі підведення або відведення тепла утворюється (або не утворюється) тепловий приграничний шар. При течії самої рідини також може утворюватися (або не утворюватися) гідродинамічний приграничний шар. Течія, в якій гідродинамічний шар відсутній або, що те ж саме, займає весь поперечний переріз труби чи каналу, називається стабілізованою. В іншому випадку - нестабілізованою [1, 2, 3]. Те ж саме справедливо і для процесу перенесення температури [1, 2, 3]. Мірою відносини товщин гідродинамічного і теплового приграничного шарів є число Прандтля [1, 2, 3]. Для більшої частини течій товщини гідродинамічного приграничного шару більше, ніж тепловий, а число Прандтля складає більше одиниці. Це особливо правильно, якщо гідродинамічний приграничний шар займає весь переріз труби або каналу.

Основна частина

У даній роботі розглядаються стабілізовані течії вказаних неньютонівських рідин у гідродинамічному сенсі і нестабілізоване перенесення температури з відносно теплового приграничного шару. Остання умова означає, що число Пекле значно перевищує одиницю [1, 2]. Для обчислення коефіцієнтів тепловіддачі використовується рівняння конвективного переносу температури [1, 2, 3]. На теплообмін впливає компонента швидкості, яка може бути, як дотичною, так і нормальною відносно тепло передаючої поверхні [3], що передає тепло у прямих каналах і трубах при стабілізованій течії нормальна компонента швидкості відсутня. Дотична компонента швидкості може мати дві складові - вздовж і впоперек поздовжньої осі труби або каналу. У цьому випадку дотична компонента швидкості являє собою векторну суму цих складових, і саме ця сума визначає коефіцієнт тепловіддачі.

Рівняння конвективного переносу температури записується так:

д Т

V-------Ь V

х д X

д Т

У ду

= X

д 2 Т

.2

х = -

X

Р°,

(1)

5 у ■ р

в якому их і иу - дотична і нормальна складові вектора швидкості неньютонівської рідини, м/с;

Т - абсолютна температура в рідині, 0К ;

2 /

X - температуропровідність рідини, м / с ; X - теплопровідність рідини, ВТ І м-0 К;

р - щільність рідини, кг/м

Ср - теплоємність рідини,

Дж/

кг-0 К.

Рівняння (1) записано в наближенні теплового приграничного шару так, що в правій його частині збережена тільки поперечна похідна по змінній у. Координата X вважається

спрямованою вздовж дотичній компоненти швидкості рідини (у випадку чисто поздовжньої течії дотична компонента спрямована вздовж осі труби або каналу). Вище сказане наведено на рис 1. Розглянемо, якщо vy = 0.

V У У У У У У

^^Приграничні шари

Ядро

ин

'У

+

w

г+(у+)

■*(7 )

ичні слої

у///у у у у у у у у у у у л

УУ У У У У У У У У У У У У Г7\

^^Приничні слої

Межа ядра

______Межа ядра____________

^^>Приничні слої V У У У У УУ ~У У У У У У У 7-71

w

а.

б.

з

+

Рис. 1. Теплові приграничні шари у бінгамівській рідині: а. вид упоперек каналу; б. вид уздовж плоского каналу

Маючи на увазі той факт, що існує тепловий приграничний шар, потік тепла біля твердої поверхні залежить від поведінки поля швидкості тільки поблизу цієї поверхні. Для бінгамівських і небінгамівських рідин слід використовувати в (1) розкладання другого і першого порядків відповідно по малій величині відстані до поверхні. Якщо обозначити цю

відстань через у то для бінгамівської і небінгамовської рідин біля меж ділянок течії (стінок труби каналів) слід використовувати таке вираження:

и,= "г+^ту , (2)

ду

а для бінгамівської рідини поблизу твердого ядра слід використати вираження такого виду:

я2

д и

и = и +-х к ду

х у 2,

(3)

в яких "г - швидкість стінки, м/с; и% - швидкість твердого ядра, м/с.

У (3) доданок, пропорційний у відсутній в силу умови звернення в нуль другогоінваріанта тензора швидкості деформацій [4].

Рівняння (1) з их по (2) і (3) допускає автомодельні рішення за допомогою підстановок такого виду [6]:

а =

2 ди У/3

2 х

У

13

(для их по формулі (2));

х

а =

д 2 V/4

2 ди

X ду2

(4)

У

Д/4

(для их по формулі (3)),

з яких виходить, що щільність теплового потоку зменшується вздовж напряму дотичної

• -1/3 • -1/4 • ....

швидкості як х ' і х ' для першого і другого випадків відповідно. Увівши середнє

значення щільності теплового потоку на деякій довжині L і зважаючи на стандартне

визначення числа Нуссельта Nu для останнього отримуємо такі вирази:

2 2/3 h

N11 =- —т

3 і13

, ди У/3

1_______х_

X су

N4 =

8 h

15 ¿V4

С і ди ^ 1_________х

X ду

1/4

(5)

в якому h - напівширина каналу, труби, м.

Таким чином, з (5) виходить, що числа Нуссельта визначаються похідними дотичної до стінки швидкості на стінках каналів, труб і на межах твердого ядра для бінгамівської рідини. Нижче розглядаються течії бінгамівської рідини в плоскому і прямокутному каналах (див. рис. 2 і 3).

Швидкість поздовжньої течії в плоскому каналі має такий вигляд [7]

+ h dP ( 2 ^ ї~ dP С _

и = ^---------------1 1 -%2 \±1---------1 1 + %

|| || 2^udCh V У) ц У

у± = ±

0

dP|dC

■ +

ж, -ж, І/2

h

1 dP го

ц dCh Ц

де и - швидкість течії, м/с;

ц л. = ц+ э^ и

т

¡и - в'язкість бінгамівської рідини Па ■ с;

Р - тиск у бінгамівській рідині Па;

W|jt - швидкості верхньої і нижньої меж каналу відповідно, м/с (рис. 2);

r+(r+ )

т(у )

w-®

а.

W+

Vk_

Ядро /

I

v/y/y/y/y/y/y/y/\

W-

б.

Рис. 2. Поздовжня течія бінгамівської рідини у плоскому каналі

а. вид упоперек каналу; б. вид уздовж каналу

x

у± - безрозмірні координати твердого ядра;

То - межа течії, Па.

Швидкість подовжньої течії бінгамівської рідини в прямокутному каналі записується таким чином [8, 9]:

± _-A_dP і-ъ2 ±hdP r^'(iТЪ) ±

lly 2ßdCh 1 + ж2р±(1 Т r±)± ßdCh 1 + ж2р^(1 Т r±) ||y,

(7)

u± _-__________________1 -g ±r±-(1 Т4) + w±

|X 2^d^a 1 + Px±(1 Т Гх1 )/ ж2 2^dCa 1 + Px±(1 Т Гх) ^

ж _ hla ; _ y/h ; -x _ x/a ; -h _ z/h ; -a _ Va,

де а - ширина прямокутного каналу, м; h - висота цього каналу, м;

Г± і r± - координати безрозмірних меж твердого ядра, б/р.

Значення величин r± і Г± визначене авторами [8, 9]. Їх конкретний вид є лінійною

комбінацією виразів виду (6) для r± з ваговими множниками, залежними від параметра форми каналу ж [8, 9].

Швидкість поздовжньо-поперечної течії бінгамівської рідини в прямокутному каналі зі швидкістю меж (див. рис. 3). для поздовжньої компоненти швидкості співпадає з виразами

(7), а поперечні компоненти швидкості uíy і üíx представлені наступними виразами [10]:

у± _ AdPi -2-r±2±(1 ±r±)(r±-£)±wíy(-r±)

íy 2ßddh 1 + ж2г± • (1Т r±) 1Т ry ’

(8)

± _ а dPx £ -У± ±0 ±У±±)(У±±-Їх) ± х •( -ГІ)

и±х 2^Ма 1 + s±■(l + Ух)! ж2 ± 1 + УХ ’

ви=хік; _ у/к;

ву _ уIа; йх _ хІа;

у яких dPy|d9h , dPx|dв^ - поперечні градієнти тиску в площині поперечного

перерізу каналу, Па/м (див. рис. 3).

в.

Рис. 3. Течія бінгамовської рідини: а. поздовжня течія бінгамівської рідини у прямокутному каналі; б. поздовжня течія бінгамівської рідини у прямокутному каналі як композиція плоских рідин; в. поперечна течія бінгамівської рідини у прямокутному каналі

У формулах (7) і (8) є величини ру, р± , Г± , s±, які залежать від комбінацій

граничних умов дробово-раціональним чином які із-за громіздкості обчислень тут не представлені [10]. Спираючись на формули (4) і (5) слід вичислити відповідні похідні. Для плоского каналу і повздовжньої течії є два коефіцієнти тепловіддачі - на верхній і нижній стінках; і два коефіцієнти тепловіддачі - на верхній і нижній межах твердого ядра. Це означає, що потрібно вичислити перші похідні вирази (6) в точках = ±1 і другі похідні

цього ж виразу в точках = у . Опускаючи прості проміжні дії можна записати такий результат:

дог

... 1 dP ( ±

± 1 =------------—І 1 + у

h

я2 ± д о

1 dP

цк d£

(9)

к

Отже, числа Нуссельта пропорційні кореню кубічному з першого вираження і кореню четвертого ступеню з другого виразів (9). Враховуючи вираження (6) для у± виходить, що числа Нуссельта досить складним чином залежать від усіх параметрів течії: градієнта тиску, порогу течії, різниці швидкостей стінок.

У поздовжній течії бінгамівської рідини в прямокутному каналі є вісім меж - чотири стінки і чотири межі твердого ядра. Отже, є вісім коефіцієнтів тепловіддачі. Для їх обчислення потрібно визначити чотири перші похідні від виражень (7) по у і X відповідно

в точках % = ±1; % = ±1 і чотири других похідних по у і X відповідно в точках у х

% У = уу±, %х = у± . Опускаючи проміжні перетворення кінцевий результат можна записати

до

У

ду

± 1 =

1 dP

1 + у± У

ц dC1Л 2 ± [ л ±

^ ъ к 1 + х р -1 1 + у

У К У

дог,

х

дх

± 1 =

1 dP

ц d£

я2 ±

д о,.

У

ду'

1 dP

У

цкс*Ск 1 + х2 р± -11 + у±

У

1 + у

я2 ±

д о,

дх'

а 1 + Х ^П1 + Ух)/Х 2

1 dP

У

^^а 1 + Рх± - К1 + У;) / X2

У

У

(10)

1

1

Нарешті, в поздовжньо-поперечній течії в прямокутному каналі є вісім коефіцієнтів масовіддачі. Обчислення повністю співпадає з обчисленням для поздовжньої течії. Потрібно використати формули (7) і (8). Єдина відмінність для поздовжньо-поперечної течії полягає в

тому, що замість 0|у і 0^х слід вичислити перші і другі похідні від ^

“ГУ ] 2 +(°[ У ) 2 ‘

+ ^2 ( + ^2 • • о І +1 о^ І . Як приклад нижче наводиться обчислення для швидкості з індексом

« У ». Доречні такі вирази:

до

У

ду

■x<

о

У

+ I о

1У

до

оо

|У + 2оÎ

до

у ду 1 у дУ

Î

У, о~ = У

о

У

+ I о

1 У

^2 î до

________у_

ду 2

l

l

оо °у) +(о1 у

V У

у/2

о

дотт Î || У

+ 2о

до î 1У

||у ду 1у ду

x<

(д î Л

до

||У

ду

о

+ 2

( г, Î Л до о 1У

ду

о

+2о

доіг Î ||

+ 2о

до î 1У

||у ду 1у ду

У +-

о I о

||

+I о

1У

(ll)

Якщо вирази (ll) взяти в точках £у = îl і <^v=yÎ, то (ll) спрощуються так, що

отримуємо наступні результати:

дої

у

ду

Î l

W

\У

+ I w

1

2wñ

до

\У

д

до

+ 2w

1

î l

1 у ду

î і У

я2 î

до

н

ду

= 2о

k

У

у

~2 î

до

||У

д

+

^2 î до

1

У

у

д

2

У

У

(l2)

в яких L>k - швидкість твердого ядра, м/с.

Ця величина визначена в роботі авторів [l0] і через громіздкість обчислень тут не наводиться. Так само обчислюються похідні від компонентів иу по змінній у . Результат

співпадає з (l2) з урахуванням заміни індексу «у» і на індекс « Х » і величин W^ÿ, W^ на

W||X і W1Х (рис. 3). Самі ж перші і другі похідні, що входять в (ll) і (l2) обчислюються з виразів (8).

З урахуванням вищесказаного для бінгамівської рідини, слід розглянути обчислення коефіцієнтів тепловіддачі для течії узагальненої і степеневої рідин. Нижче розглядається поздовжня течія в плоскому каналі як базова, подібно до такої ж течії бінгамівської рідини. Потім розглядаються поздовжньо-поперечна течія в плоскому каналі і поздовжня течія в прямокутному каналі (рис. 4-7).

о

о

l

о

о

о

о

і

x

о

о

і

о

о

о

о

||дс

ІУ

< 2о —►—3 к

0 *! С і 8 і.

■ ^ © Г'и

\Х

IV

±Х

Ж,

Рис. 4. Прямокутний канал і граничні умови тривимірної течії в каналі:

- значення поздовжньої швидкості на стінках каналу; нормальних до осі OY; Ждх - значення поздовжньої швидкості на стінках каналу; нормальних до осі ОХ; ,^+ - значення поперечних швидкостей на границях каналу.

т

+

Граничны умови для базової задачи куеттовскої течії відображені на рис. 5.

уОО

2И(2а)

Рис. 5. Фрагмент щілинного каналу та граничні умови: і = х, у ; і = х , ширина канала - 2а; і = у , ширина канала 2И

х

Рис. 6. Поперечна течія в щілинному каналі: а - в залежності від координати у, б - в залежності від координати х

а

а б

Рис. 7. Розбивка прямокутного каналу і лінеаризація розбивки: а - для поздовжньої течії; б - для поперечної течії

Вираження для профілю поздовжньої течії в плоскому каналі має такий вигляд [11]:

+ а(к + у) о~ = —---------— +

2 Р

(а2 + у * - у dP

4Р

2 р dz

3/2

у

2 Р

3 dP|dz

( „.2

а

*

4Р

Ь + у dP 2 р

■ +

2 Р +

+ w-

3 dP|dz

*

у=

w + - w

а-2

Р

2

а Ь dP К\Р2 + Р ^ ;

12 ’

*эф =а +

(13)

в якому ¡иэф - в'язкість узагальненої рідини Па ■ с ; а, Р - параметри в'язкості;

^ —

W і W - швидкості руху стінок каналу, м/с. (див. рис.4);

2 - координата уздовж осі каналу, м.

Вираження для швидкості поздовжньо-поперечної течії в плоскому каналі в поздовжньому напрямку мають вигляд, подібний (13), але через те, що в цій течії існують дві компоненти швидкості, величина Р змінюється за таким правилом:

Р ^ Р2 = РдДГ+'к2)/2, де величина kзалежить від швидкостей на межах каналу таким чином [12].

w

1

+ -Wи - Wи

(14)

де Wl, w^ - швидкості стінок каналу в поздовжньому і поперечному напрямах

відповідно.

Величина а в поздовжньо-поперечній течії співпадає з однойменною величиною поздовжньої течії. Поперечна компонента швидкості о* те ж описується формулою (13), в якій градієнт поздовжнього тиску необхідно поміняти на поперечний градієнт

dP|dy ; і величину Р поміняти на величину Рх за правилом: Р ^ Рх = Р^Дї + к 2 )/2к 2 . При цьому величина а залишається рівною своєму значенню в поздовжній течії.

1—Г * * 44 *

Поздовжньо-поперечна течія характеризується двома спеціальними точками у2 і у у, вирази для яких виходять з вираження (13) для координати у * за такими правилами:

у*,(і+ - і- ,а,Р, dP|dz у*(і\+ ~ і\\,а,Рг, dP|dz )

у*У(і+ -і-,а,Р,dP¡dz)^у*у(і -і-,а,Рх,dP/dx\ .

Величина dPІdx визначається з такої формули:

dP 3 і, +1 — = —а . ^ dx 2 h

- (

а

а + р

X

7 Рх (

+--------1

"1

1 ,

Рх:

а+Р

х У

(15)

у якій т і п - деякі числові параметри, би/р.

Поздовжня течія в прямокутному каналі також будується з профілів швидкості (13) як основних параметрів. Це робиться шляхом кускового розбиття прямокутника поперечного перерізу каналу на підобласті, в яких поздовжня швидкість залежить від координат X і у

окремо [13]. Компактний запис вираження для поздовжньої швидкості має такий вигляд:

^3/2 _ ( 2 _ * ^3/2

и+ =а( + х,)+

zі 2р. Хі і

( 2 а

г ^ Хі Хі dP

4Р2 Рі ^

V і У

і+ -1. г г

а

- 2

Р

( 2 а і

1.

ч1/2

, 4Р

V і

г_^

2 Р dz

+

ау =а

ах = а

(1 + ж2); (1 + 1/ ж2);

2 _Р_

3 dP|dz

*

а

і + і і

4Р

і = у, х;

Р dz

і

¡і = И, а:

Ру =Р(1 + ж2 )і/!/2;

Рх =Р(1 +1/ ж2 )ї2/2,

2 _Р_

3 dP|dz х = И/а;

(16)

у якому а - ширина прямокутного каналу, м.

При обчисленні коефіцієнтів тепловіддачі течій, швидкості яких представлені формулами (13), (14), (15) і (16), необхідно скористатися формулами (5) і при цьому взяти до уваги те, що в плоскому каналі в поздовжньому і поздовжньо-поперечному течіях є два коефіцієнти тепловіддачі, а в прямокутному каналі - чотири коефіцієнти тепловіддачі. У поздовжньо-поперечній течії в плоскому каналі потрібно складати по теорії Піфагора дві складові дотичної швидкості. Як і для течії бінгамівської рідини обчислення коефіцієнтів тепловіддачі зводиться до обчислення перших похідних швидкості біля меж каналів. Для поздовжньої течії в плоскому каналі значення похідних в точках у = ±h є рівними:

ди±

ду

у=± И

V

4Р

2

Р dz

(17)

Для поздовжньо-поперечної течії при обчисленні похідних потрібно використати правило знаходження модуля вектоара (див. формулу (17) вираження для и:у ). У результаті проведення обчислень для похідних є правильними такі вирази:

т

до

ду

=± ь 2-

л/(^± )2 +(^і)2

2н1

до±

ду

+ 2н

до±

у=± Ь

ду

у =± ь

до:

ду

= + ^±

у=± Ь

2Д

(а2 Ь + у * dP ^

- + :

: V 4Р] Рг ^ у

А=м+к2)/ 2;

до*

ду

а , ( а2 Ь + у* dP^

- + - ±

у=± Ь

2Р± V 4Д2 Р* dz

*

уг = —

У

Рх =р(1 + к2)/2к2

(а2 Ь dP^ ’

а-2

- + -

Р: І 4Р: Р:

(18)

*

у. =■

а

Р

-2

±

а

2

ЛІ2

+

Ь dP

4Р2 р± d±

V н± ± у

Обчислення похідних для поздовжньої течії в прямокутному каналі виконується за допомогою формул (16) і зводиться до формул типу (17) з відповідними значеннями аі, Рі,

±і.

Окремо має сенс розглянути обчислення коефіцієнтів тепловіддачі для течії степеневої рідини. У зв'язку з тим, що цілий ряд теплоносіїв характеризується в'язкістю степеневої рідини [14]. Через те, що головні моменти обчислень абсолютно подібні до тих, які описувалися стосовно бінгамівської і узагальненої рідинам, нижче розглядається тільки поздовжня течія статечної рідини в плоскому каналі. Вираження для швидкості поздовжньої течії степеневої рідини з показником п має такий вигляд:

о~ =

у - у * dP п+1 п +1 Р Ь + у * dP п+1

Р dz п + 2 dpdz Р dz

п +1 Р

* Н - Н

у =------------

И = Р

п + 2 dpdz dо

Ь dP Р

dy

(19)

Обчислення похідної від (19) для коефіцієнта тепловіддачі приводить до такого результату:

(20)

до± { Ь + у* dP л п+1

ду у=± Ь V Р dz у

Представлені результати свідчать про те, що залежність числа Нуссельта від градієнтів тиску (поздовжнього і поперечного) реологічних і геометричних характеристик рідин і

1

2

каналів є нелінійною і дуже складною. Для того, щоб зробити цю залежність простішою і наочнішою слід записати вирази для числа Нуссельта для найпростішої течії, тобто для поздовжньої течії в плоскому каналі. Більш складніші з розглянутих вище течій, також мають числа Нуссельта, але числа є більш кількісно, ніж якісно ускладнені.

Вирази для чисел Нуссельта нижче записуються відповідно до формул (5) з точністю до тривіальних множників при похідних швидкості. Для бінгамівської рідини число Нуссельта є пропорціональним наступному вираженню:

N..

1 dP

/и d£

1 Т

dP|dC dP|dC^(l| и)'(1 -г0/ dP|dC)

1/3

(на стінках)

Nи ~

у/4

, (на межах твердого ядра)

(21)

З цього виразу виходить, що перші два числа Нуссельта залежать від трьох параметрів:

(1/иХ^Р/б^); г0/(dP|dz); (м+- м )/2И

останній з яких є кінематичною швидкістю

зрушення куеттовської течії ньютонівської рідини.

Для узагальненої рідини вираження для чисел Нуссельта правильним є вираження:

N

± — ± 2Р

11/2

а

2

1 dP

4Р

2 Р dC

1 Т-

м+ - м І / 2h

Г 2 , ^

а 1 dP ч4р2 +Р

а

2р

1/3

(22)

З якого видно, що число Нуссельта також залежить від трьох наступних параметрів:

а/2/ ; (і//ЗУ^Р^С); (w+ - w-)/2h .

Степенева рідина має число Нуссельта, пропорційні такому вираженню :

і

3(и+і)

N..

1 dP 1 т< ім+ - м )/ И .

Р dC ( 1 dP ^ 1 п+1

1р

(23)

в яке входить два такі

параметри: (1 Р^РМС) і (м+ - мт")/2И .

Висновки

Виходячи з вищевказаного, можна констатувати наступне. Усі представлені результати відносяться до гідродинамічно стабілізованих течій. Числа Нуссельта для бінгамівської рідини та інших неньютонівських рідин на стінках каналів, визначаються по першій похідній швид-

и

кості від змінної, спрямованої по нормам до стінки. Числа Нуссельта для бінгамівської рідини, які взяті у межах твердого ядра визначаються по другій похідній швидкості по нормам дії межі. Якщо дотична швидкість течії рідини у стінки має дві складові, то швидкість, похідна якої входить до числа Нуссельта, визначається через ці складові відповідно до теореми Піфагора. Числа Нуссельта для бінгамівської і узагальненої рідин залежать від трьох параметрів при поздовжній течії в плоскому каналі. Якщо течія має складніший характер, тобто є двох- чи трьохвимірною, то кількість параметрів зростає так, що ці параметри породжуються кожною компонентою швидкості багатовимірної течії і утворюють між собою усі можливі комбінації.

У подальшому значення чисел Нуссельта дозволяє обчислювати відповідні коефіцієнти тепловіддачі і теплопередачі між неньютонівськими рідинами, в трубах і каналах, і зовнішнім середовищем.

Список літератури

1. Кутателадзе С. С. Теплопередача и гидравлическое сопротивление. - М.: Энерго-атомиздат, 1990. - 367 с.

2. Кутателадзе С. С. Анализ подобия в теплофизике. - Новосибирск. Наука. Саб. отд. 1982. - 280 с.

3. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. - М.: Атомиздат. 1979. - 415 с.

4. Уилкинсон У! А. Неньютоновские жидкости. - М.: Мир. 1964. - 216 с.

5. Тадмор З., Гогос К. Теоретические основы переработки полимеров. - М.: Химия. 1984.

- 628 с.

6. Лойцянський Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука. ГРФМЛ. -1973. - 848 с.

7. Г иргидов А. Д. Механика жидкости и газа (гидравлика). - СПб.: изд-во Политехнического ин-та. - 2007. - 545 с.

8. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. - М.: Изд. фирма ФМЛ. Наука. 2001. - 576 с.

9. Білецький Е. В., Толчинський Ю. А. Модель в’язкопластичного бінгамовського плину в прямокутному каналі // Обладнання та технології харчових виробництв. - 2010. - № 24. - С. 45-54.

10. Білецький Е. В., Толчинський Ю. А. Властивості сімейства функцій для опису в’язкопластичної течії і граничних умов течі // Харчова наука і технологія. - 2010. - № 1(10). -С. 104-105.

11. Билецкий Э. В. Продольное течение бингамовской жидкости с поперечной циркуляцией в прямоугольном канале червячной машины //Теория и практика инновационного развития кооперативного образования и науки: Материалы международной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава и аспирантов., 14-16 апреля 2010 р. / Билецкий Э. В., Толчинский Ю. А.; Издательство БУПК. - Белгород. - 240 с.

CALCULATION OF HEAT-TRANSFER COEFFICIENTS FOR SOME NON-NEWTONIAN FLUID FLOWS IN PIPES AND DUCTS

E.V BILETSKIY, Cand.Tech. Scie.

YA. TOLCHINSKIY, Cand.Tech. Scie.

The article deals with the problem of heat-transfer for non-Newtonian fluid flows in tubes and ducts. Methods for determining heat-transfer values are proposedfor exponential, Bingamo and generalized fluids.

Поступила в редакцию 16.12 2011 г