ОБ УТОЧНЕНИЯХ АСИМТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ ВЕТВЯЩИХСЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 32. № 3. C. 42-54. ISSN 2079-6641

УДК 519.2

Научная статья

Об уточнениях асимтотического разложения продолжения критических ветвящихся случайных процессов

Институт Математики имени В. И. Романовского Академии наук Узбекистана, г. Ташкент, ул. Мирзо Улугбека 85, 100170, Республика Узбекистан. E-mail: [email protected]

В настоящей работе для вероятности продолжения критических ветвящихся случайных процессов получено асимптотическое разложение в предположении о существовании факториальных моментов Хи при k = 5,6,...,m,m <

Ключевые слова: ветвящийся случайных процесс, вероятность продолжения критических ветвящихся процессов, факториальный момент, производящие функции, вероятность вырождения процесса.

Для цитирования. Жураев Ш. Ю. Об уточнениях асимтотического разложения продолжения критических ветвящихся случайных процессов // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 32. № 3. C. 42-54. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-42-54

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

1. Введение

Пусть Хп (п = 0,1,2,...), ветвящийся случайных процесс с дискретным временем и с одним типом частиц. Введем производящие функции

Ш. Ю. Жураев

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-42-54

Поступила в редакцию: 31.08.2020

В окончательном варианте: 17.09.2020

© Жураев Ш.Ю., 2020

F(x) = £P(Zi = i)x', Fn(x) = £|x| < 1,

где

Рп(1)= Р {!« = 1/2о = 1}, I = 0,1,... Как известно, для производящих функций имеет место соотношение:

Fi(x)= F (F'-i(x))

(1.1)

Обычно пологают ат = р Н(1) и для первых факториальных моментов вводят обо значения: а1 = А, а2 = В, а3 = С, а4 = Б.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования

Величина Р0(п) есть вероятность вырождения процесса, начавшегося с одной частицы, к моменту п.

Пусть 2И = 1 — Р0(п) — вероятность продолжения процесса.

Асимптотическое поведение вероятности 2И для дискретного времени изучено А. Н. Колмогоровым [1]. Результаты А. Н. Колмогорова для процессов с непрерывным временем получены Б. А. Севастьяновым [4].

Литературной обзор по вопросам предельных и локально предельных теорем, и в частности, уточнение асимптотического разложения для вероятности 2И коротко изложены в работе С. В. Нагаева и Р. Мухамедхановой [3]. Поэтому мы не останавливаемся на литературном обзоре.

В этой статье изучаются некоторые уточнения теорем которые доказаны в работе [3], по вопросам асимптотического разложения для вероятности 2И в случае дискретного времени.

Для критических ветвящихся процессов (А = 1) в работе [3] доказаны следующие теоремы (см., стр. 96-97):

Теорема 1.1. Если А = 1, В > 0, С < то при п ^

2 ( 4С 2 \ 1п п (1п п \

2п = вп+ 3ВС — В 1П2П+0 (1.2)

Теорема 1.2. Если А = 1, В > 0, Б < <*>, то при п ^ <*>

2 ( 4С 2 \ 1п п 4К /1п п

Qn = ir-+[;n* ^ ^+ + 0 > (1.3)

Вп 3В3 В п2 В2 п2 п3

где К — некоторая постоянная зависящая от вида ^ (х).

В работе [3], авторы сообщают о том, что их методы доказательства соотношений (1.2)-(1.3) пригодны и для случая, когда существуют факториальные моменты более высокого порядка.

Поэтому мы решили рассмотреть случай, когда существуют факториальные моменты ат = ^(т)(1) < ^ при т > 4.

2. Основные результаты

Теорема 2.1. Если А = 1, В,С,Б > 0, Е < ^ то при п ^ <*>

где

+

2

Qn = ^ + Bn

K = 1 + T

4C 2\ lnn 4K5 8 (C B\2 ln2n

3B3 B

+

B2n2 f B3 v 3B 2

ln?) (2.1)

Vn

ln2 k

k=i k2 B2 k=1 k2 ' k=11кГ

2 8 ~ lnk 4K4 f 1 32 2 V

1 + Bc1 TT + r5 L

+ ( B T+T1

1 + 4f I_32T v 16K4 v 1 + 192T2Г

1 + B2 kt1 k2 B4 T kt1 k3 R3 L k3 + B6 L

B3 k3 ' B6

k=1

+

ln2 k

14

+

B

BD E

2 T1 + T + 48 120

1 + A f 1-96 T f lnk_ 48K f 1+758 T 2 f ln_k

1 + B3 k3 B5 T k4 B4 L k4 + B7 T L k5

k=1

k=1

2

3

n

n

T = C D BC 4 6' 1 24 12

K=1+£Pk+(т— C

2ci П-1

т+1 qk+ в k=i

4C 3B3

n-1

k=1

ln k

рк=о(й,дк=•

Замечание 2.1. В случае существования факториальных моментов аб, «7, и т.д. легко получить асимптотическое разложении типа (2.1). При этом в разных случаях получаются разные постоянные Кб,К7, и т.д., которые мало отличаются друг от друга.

Доказательство. В силу (1.1), имеем

В 2 C з D 4 E 5 / 5

Qn = Qn-1- 2 Qn-1 + 6 Qn-1- 24 Qn-1 + Y2ö Q«-1 + o [Qn-1

(2.2)

Отсюда, легко получить

n 1 — B Qn —1 + C Qn -1

\b 1 \B

+ 2T+T1 q2—1+ 2

bn 1_ = b + В + TQ +

dq3 , £q4 , o (q л = bn-1 + 2 + tqn-1 +

BD E C

где

Из формулы (2.3), вытекает Вп

48 120 6

T = В2_C T,= D_BC

4 6' 1 24 12'

Q3-1 + o (Q3-0 (2.3)

(2.4)

n— 1

bn = + T £ Qk+ 2 k=0

В

B T+T

n—1

£ q2+

k=0

В

BD E

2 T1 + T + 48 — 120

n— 1 n— 1

£ q3+4 £ q3

k=0 k=0

(2.5)

n1

n 1 n 1

l2 — zo3

Рассмотрим £ 2, £ 22, £ 63. Подставляя вместо 2 его выражение (1.3), полу-

чаем

n1

k=0 k=0

k=0

Х- ^ 2 2 8 n-1lnk 4Knf,1 1 32 2n-1 ln2k ^ /lnn

£Qk = Вlnn+1+вс1— B3 £ TT — B2 £ k2 + Bn 2£ ^+0( —

к=0

Аналогично

В

В3 k=1 k2 B k=1k2 b5 k=1

Qn =

32 lnn 16K 192 2 ln2 n

— — T—r — ^r^ + — T2 3

ln n\

n—1

£

k=0

Q3 =

n—1

£

k=1

B2n2 B4 n3 B3n3 B6

96 lnn 48K 758 0ln2n

+

— - T— —

B3n3 Bn n

+

B4n4 B7

n1

T2

^ I ln

n + 0l "n"

£ Q2 = 1 + 4 V1 32 T V lnk 16K'£1 1 + 192 T2 £1ln2 k + 0 1

£Qk =1 + B2£— B4 h 13 — Ж£ k3 + жт ,£"k^ + 0u

k=1

(2.6)

(2.7)

(2.8) (2.9)

4

и

8

n

Из формул (2.3)-(2.9) получаем

Bn 2

b" = Т + вт ln n+K5 + о

где К5 определена в теореме 2.1 и откуда следует утверждение теоремы. □

Переходим теперь рассмотрению случая, когда существуют факториальные моменты «к < ж, где к = 4,5,...,т, т < ж.

Теорема 2.1. £сли А = 1, В > 0, ак < ж, к > 4, то при п ^ ж

2 / 4C 2\ln n 4Km 2/ 2С\2 ln2 n .....

Ö = ^ + 1 ^ - - вКШ + B 1 - 3Б2 ^ + Oi-r

Bn

где

= 1 + L1 + Li

3B3 в

B2n2 B

3B2/

ln n

(2.10)

2ci + - 0 £ £+о(n

в в V зв2

га- 2

+ £ ¿У (1 + У + £п (1 + 1т—2)

к=1 Л V 'V ] 7=2

(2.11)

а коэффициенты Ц, г = 1,2,...,т — 1, зависят только от факториальных момен-

ж

тов ак < ж, к = 2,3,...,т, с1 = 0,577216... — постоянная Эйлера, /у = £ , 7 =

к=1

2,3,...,т — 2, еп ^ 0 при п ^ ж.

Доказательство. Так как факториальные моменты «к < ж, к = 2,3,...,т, т < ж, то по формуле Тейлора имеем

ö» = К-1)*-1 а Ö»-1+o (om-0 = ß-1 k=1

m— 1

I (-1)k—1

¿=1

k—1 ^kQ + o k! 1 + 0

(ß

m—1 n-1

(2.12)

пологая ßn = b1 из (2.12) получаем

bn-1

m1

bn = -m "n—1 , = bn—1 + I Ljßn —1 + 0 (ßm_--11

1 — i (—1)i—10п—^11 а j=0

(2.13)

где коэффициенты ¿у зависят от факториальных моментов ак < ж, к = 2,3,...,т.

Однако, найти все коэффициенты ¿у в явном виде очень сложный вопрос. Но выполняя деление с остатком можно найти некоторые коэффициенты Ьу. Например, коэффициенты ¿0,¿1,¿2,¿3 имеют вид:

В В2 С

¿0 = 2, ^ = Т — 6,

С

4 6

L3 =

Из (2.13) получаем

L2 D вс

= --

24

^D E С в2 с \

48 — 120 6 T

в

+в

D вС в /в2 С 24 — "12 + 2 VT — 6

n—1 ш—2 n—1 /и—1

bn = 1 + Lon + L1 Ißk + I Lj I ßk + Л Ißm—2

¿=0 j=2 ¿=0 \k=0

(2.14)

п—1 . го

Так как £ является частичной суммой сходящегося ряда I. = £ , то £=1 £=1

П— 1 го го го

£ 2 = £ 2 — £ 2=I. — £ Й (2.15)

£=1 £=1 £=п £=п

Таким образом, нам следует исследовать поведение суммы в правой части (2.14),име-ем

ш—2 п—1 ш—2 ш—2 п—1 ш—2 ш—2 ш—2 го

£ ^ £ = £ ^ + £ £ е£ = £ + £ . — £ £ 2 =

.=2 £=0 .=2 .=2 £=1 .=2 .=2 .=2 £=п

ш—2 ш—2 го

= £ (1+1.) — £ £ (2.16) .=2 .=2 =п

В силу теоремы (1,1)-(1,2), имеем

= (В)^ » = (3! — 1) ? (1 +о(1)) (2.17)

Пользуясь формулой бинома Ньютона имеем

2=(ВУ.=(218)

Так как у^ ~ а ^, при £ ^ то в равенстве (2.18) мы оставляем слагаемые при 1 = 0,1,2:

п. (2). ( - 1п^п(.О — 1) 21п2£)

2 = (,в) и++—2—а

Из (2.16) , имеем

- ,'2\ V £ 1 ln k /j (j — 1) 2 f, ln2 k,,

4b) £kj+jaJ£=n^^+0 -Va2k£,jkI) (219)

Так как сумма = £ является остаточным членом дзета-функции Римана £ =

£=п

L k-, то Rnj = 0(-Г k=1 v

Qk = ( В)- ■ = 0

k=n

—

Из (2.16) следует, что

ш—2 n—1 ш—2 ш—2

£ £ Qk = £ i1+- + £ -nj (2.20)

j=2 k=0 j=2 j=2

где /- = £ Qk, R- = 0(— ).

1

Следовательно, равенство (2.14) можно переписать в виде

n—1 ш—2

bn = 1 + L0n + L1 £ Qk + £ Lj (1 + Tj) + Pmn + £n (1 + Im—2) + 1 k=0 j=2

ш3

(2.21)

здесь

ш2

£n ^ 0, n ^ Pmn = £ LjRnj.

j=2

n1

Теперь оценим сумму £ Qk:

k=0

В силу теоремы 1.1

£ Qk = 1 +1 Qk = 1 +12^ = 1 + В

k=0 k=1 k=1 Bk B k=1 k

1 2 /V 1 nf1 1+B £ k + £

B \k=1k k=1

Yk k

(2.22)

n1

Известно, что £ 1 = c1 + lnn + 0 (n), где c1 = 0,577216 — постоянная Эйлера. k=1

I Qk=В (d+ln .+^ +В11

(2.23)

В силу (2.17) имеем

"f1 Yk 1 U 2C Л ln kM f 2C Л^е1ln kM

£ T = £ kl 3B2 — О X (1 + 0 (1)) = ( 3B2 — 0 £ TT(1 + o (1))

k=1k k=1 kV 3b2

3B2

k=1

k2

(2.24)

Так как

1 ln k ~ ln k ~ ln k

£ Ti = £ TT — £ Ti = K—

k=1 k k=1 k k=n k

То, из задачи математического анализа ([5], задача 2623)

ln x

2

x

ln n f ln x

X2"

-^rdx < R„ < —y + I ~dx

nx

n

' ln x , ln n + 1

-^-dx =-

x2 n

и, следовательно,

т.е.

ln n 1 ln nf 1 \ 1

— + - < Rn < — - + 1 + -

n n n \ n n

Rn = 0

ln n

(2.25)

1

DO

oo

oo

n

Из соотношений (2.24) и (2.25) получаем

Ц! =(3H* + O(V) (226)

где К = £ ™.

к=1 к

Следовательно, из (2.23) и (2.26) имеем

п—1 2 2. „(1 \ 2K ( 2C Л / 1п п

й 1 й \ т I ' И \ Т.Ц2 ' I 1 "

к=1

Е Ö = Bc1 + вlnn++ -в [W2— V + °Ы =

где

= Bln n + T1 + o( ^ (2.27)

2 /1\ 2K / 2C ,

T1 = - c1 + O - + — — 1 1 B 1 U/ B V 3B2

Положив (2.27) в (2.22), равенство (2.21) перепишем в виде:

Bn (B C \ (1п п \ / 1 , ,

ьп = Bn + (B — 1пп + Кт + Ртп + ^ —^ + (2.28)

где

т—2

Кт = 1 + ¿1 + ВД + (1 + /у) + £п (1 + 1т—2) .

у=2

По условию теоремы т > 4 и из (2.21) и (2.22) имеем

т—2 [ ¿Ъ

Ртп = £ ¿у^пу = ¿2^п2 + ¿3^п3 + ... + ¿т—2^п(т—2) = 0 ^ + 0 (^П3 ) + ." +

+0 ( ¿и—2 ^ = 0 (1

пт-3 п

Отсюда из (2.28), получаем

Bn /B С\ ^ / ln n

bn = —+ -- — ln n + Km + O —

Уп" 2 ^2 ^ ^ \ п

Так как 2п = у! то выполняя деление с остатком, получаем

п - — (— 2^ 1пп ^Кт 2 Л ^21п!п 8Кт Л ^ 1пп = ВП+ ^эВ3— Ву^ — В^П2 + ВV1 — 3В2; "П^ + Ж^1 —

(2.29)

8Km 1 / ln3 n ln2n lnn 8Km /lnn\\ 2 / 4C 2\ lnn

+ - U-T + + a3"r — B^ + O hx = В» + 3B3 — B

B3n3 ЬД 1 n3 " 2 n3 " 3 n3 B3n3" v n^ Bn V3B3 B) n

4Km + 2 (1—V1^+O ( 1Пз» ^

В2п2 В - 3В2 п3 п3

где «1,«2,«3 — некоторые постоянные, зависящих от В,С,Кт. Теорема 2.2 доказана. □

3. Ветвящиеся процессы с непрерывным временем

Пусть д(?), д(0) — ветвящиеся процессы с непрерывным временем. Рк(?) = Р{д(?) = к/д(0) = 1}- есть распределение этого процесса.

го

Пусть ^(?,х) = £ Рк(?)хк, |х| < 1 производящая функция распределения {Рк(?)}. к=0

Хорошо известно, что для производящей функции ^ (?,х) справедливо уравнение

^ (? + 5, х)= ^ (?, ^ (5,х)) , |х| < 1 (3.1)

c граничным условием ^ (0,х) = х.

Обычно, для ветвящихся процессов с непрерывным временем полагают, что [6]:

Рк (? + А?) = 5иркА + п (А? )А? (3.2)

где Пк(А?) ^ 0 при А? ^ 0, <51к — символ Кронеккера, т.е. <51к = 1, если к = 1, <51к = 0 если к = 1.

Если вероятность Рк(?) удовлетворяет (3.2), то при |х| < 1 справедливо

^ (?, х)= х + /(х)А? + о(А?), А? ^ 0 (3.3)

го

где /(х) = £ ркхк,рк — постоянные, определяемые (3.2). к=0

го

Положим, что £ рк = 0. Величины а = / (1), Ь = / (1), с = / (1), й = /(/у)(1) и к=0

т.д. = /(т)(1) называются факториальными моментами.

В силу (3.1) и (3.2) при |х| < 1 доказываются, что для процессов с непрерывным временем, производящая функция ^ (?,х) удовлетворяет дифференциальному уравнению

^ = / С, х)] (3.4)

и граничным условием ^ (0,х) = х.

Пусть Я(?, х) = 1 — ^(?, х) и 2(?) = Я(?, 0) = 1 — ^ (?, 0) — вероятность продолжения ветвящегося процесса д (?), 0 < ? < го.

В. П. Чистяков [7], пользуясь результатами Б. А. Севастьянова [4], при условии конечности а = 0, Ь > 0, с < го, й < го получил асимптотическое разложение при ? ^ годля ,х)и, в частности, для вероятности 2(?) продолжения процесса.

Лемма 3.1. (Чистяков В.П. [7]). Если а = 0, факториальные моменты Ь > 0, с, й существуют и х е {х: |х| < 1, |х — 1| > г > 0}, то при ? ^ го

, , 2 4с 1п ? 4К(х) / 1п2 ? \ ^

где К(х) — некоторая функция от х, зависящая от вида /(х). Следствие. В предположениях леммы 3.1 при ? ^ го

_ 2 4с 1п ? 4К(0) / 1п2 ? \

ем = ь? + (36)

При доказательстве леммы 3.1, Чистяков В. П. получил соотношение

й*-М = / (1 — Я) = Ь^2 — с*3 + (3.7)

й? 4 7 2 6 24 47

где |d| < d, т.е. d = d + е (t), е (t) ^ 0, t ^ » и

1 bt"

d

R(t,x) 2

c d

dt = + 24R2(Î'X). <38'

В этой работе мы распространим результаты [7] для вероятности Q(t), когда существуют факториальные моменты ak = f(k) (1) < ж, где k = 4,5,6,...,m, m < ж. Теорема 3.1. Если a = 0, ak < ж, k = 4,5,...,m, b > 0 то при t ^ ж

Q () = 1 4c ln t 4Km _ 8 (3Km (1 + 4c) + c2) lnt f lnt N (3Q)

Q (t) = bt + эь3?2 - b2?2 + 9b5"T3 9b4 + Ч^У (3.9)

где

m

Km = 1 - - (N1 + t3)+£(-1)n-^^n (tn + Nn-2) + ei (t) (tm + Nm-2) ,

6 n=4 n!

e1 (t) ^ 0, t ^ », a

3b2 V to

» to

N1 = £ i1^) , Nn-2 = / Qn-2 (t ) d t , tn = / Qn-2 (t ) dt,

0 to 0

г0 > 0 достаточно большое, но фиксировано, 0 < гт < ?т—1 < ... < г4 < г3 < г0.

Доказательство. Ясно, что если ат < ж,Ь > 0,а = 0, то для вероятности продолжения 2(г)ветвящихся процессов с непрерывным временем равенства (3.7) и (3.8) имеет вид:

^=/ (1—е(°) = Ь^2^—6е3 (°+...+(—1)ттет(°+о(ет (')) (3.10) d

_1__bt

Q(t ) 2

m

= £(—1)п—2 о?еп—2 (г)+о (ет—2 (г)) (3.11)

п=3

Проинтегрируем (3.11) в пределах от 0 до г

_! _ |=| (_ 1)п—21 [ е»-2 (т) ^+о (/; й-2 (т)d т) (3.12)

Таким образом, нам нужно оценить интегралы

г

In = у Qn-2 (t) d T, n = 4,5,..., m, m <

0

Выберем постоянную ¿0 > 0 достаточно большим и /п перепишем в виде

г ¿0 г

/»= / еп—2 (т) d т = | еп—2 (т) dт+| еп—2 (т) d т=/»1+/»2. (3.12)

0 0 ¿0

В силу (3.12) 2 (г) = 1 — Р0 (г)+ о (г) ^ 1 при г ^ 0 и 2 (0) = 1, т.е. 2 (г) — непрерывно при г = 0.

оо

Кроме того, 2(?) ограничена и неотрицательно, монотонно убывает. Поэтому для интеграла /п1 можно применят следующую теорему о среднем (см. например, [5], стр. 196-197.):

1) Если функция у(х) и ф (х) ограничены и интегрируемы на сегменте [а, в];

2) ф (х) монотонно убывающая и неотрицательная, то

в I

J у (х) Ф (х) йх = Ф (а + 0) У у (х) йх, а < | < в (3.14)

а а

Полагая у (х) = 1, ф (х) = 2(х), [а,в] = [0,?0], в силу (3.14) при п = 3,4,...,т, имеем

?0 ?п

1п1 = /2п—2 (Т) йТ = 2п—2 (+0) |йт = ?п, 0 < ?п < ?0 (3.15)

00

Легко заметить, что 0 < ?т < ?т—1 < ... < ?3 < ?0.

Переходим к оценке интегралов /п2 в (3.13). Так как

2 (? ) = ^

где

2c lni^

Y = -W(1+o(1))

, то при n = 3 имеем

? ? ? ?

132 = /й (Т) й Т = Ь / Н* йТ = 2 + £ I 7 й Т (1 + О О))"

?0 ?0 ?0 ?0

2 ? 4с 1п ? ат

= Ь1п — 3Ь2Т(1+0 (1))+

где

4с 1 + 1п ?0 * = 3Ь2 +0 + 0 (1) •

Таким образом,

?

/32 = /2(Т)йТ = 2]п£ — (1 + О(1))+ N1 (3.16)

?0

Аналогично, поступая при п = 4, 5, ... , т, легко получаем

/п2 = /б^ (Т) йТ = АП—2 — (Ь)П 2 (п — 3) ?п—3 (1 + О (1)) (3.17)

?0

где

го

п2

Nn-2 = Qn-2(т)dT, n = 4,5,...,m.

Из соотношений (3.15)-(3.17) получаем

2 4 и_2

4 = ги + N>-2 ъ) (п _ 3) (1 + о (1)) (3.18)

Подставляя (3.16) и (3.18) в (3.12) и учитывая ^ ~ г при г — будем иметь

1 Ь с / 1 \

= - _— 1пг + Кт + вг _ ¿тг + о)^ , (3.19)

е (г) 2 3Ь т ^ "" V/ где Кт определена в теореме 3.1, а

4с2 1п г 2с21пг

в = ШТ (1+о(1)) = 9^^(1+о(1)) (320)

т а 2И-2

= Е(_1)П_2 а („ _ 3)Ь-*-3 (1 + о (1)). (3'21)

Нетрудно заметить, что при г — ■

л

Ьтг = ^ (1 + о (1)) (3.22)

Из соотношений (3.19)-(3.22) имеем

1 Ьг с ^ 2с21пг ,„ „„ч

ем = Ь _ 3Ь1п г + т+9ьг^(1+о(1)) (323)

Теперь, выполняя деление с остатком, хотя громоздко но несложно, из (3.23) получаем

е (г) = 1 + 1п!_ 4Кт + 8с21п2 г 8Кт 8Кт (1 + 4с) 1п г + (324)

е (г) Ьг + 3Ь3 г2 Ь2г2 + 9Ь5г3 Ь3г3 3Ь4г3 + 1 (3.24)

е(г)

где остаток Яг имеет порядок

я = _

9Ь3 г

4с21пг

Яг = _4с3-пТ (1 + о (1))

Учитывая, что

е (г)Яг = 2 (_^ (1 + о (1)) = _ ^ (1 + о (1)) (3.25)

Ьг \ 9Ь3 г2 ) к к " 9Ь4 г3

из (3.24) и (3.25) получаем утверждение теоремы 3.1. Теорема доказана. □

оо

Заключение

Полученные асимптотические разложения вероятности продолжения критических случайных ветвящихся процессов использовались в случайных ветвящихся процессах с к факториальным моментом производящих функций, в которых К - постоянные

также находятся в общем случае. Эти асимптотические разложения играют важную роль при доказателстве предельных и локально предельных теорем для случайных ветвящихся процессов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответсвенность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Список литературы/References

[1] Колмогоров А. Н., "К решению одной биологической задачи", Изв. НИИ матем. и меx. Томского Университета, 22:1 (1938), 1-12.

[2] Севастьянов Б. А., "Теория ветвящихся случайных процессов", УМН, 6:6(46) (1951), 4799.

(1951), 47-99].

[3] Нагаев А. В., Мухаммедханова Р., "Некоторые предельные теоремы из теории ветвящихся случайное процессов", Предельные теоремы и статистические выводы, Фан, Ташкент, 1966, 90-112. [Nagavev A.V., Mukhammedkhanova R., "Nekotoryve predel'nyye

teoremv iz teorii vetvyashchikhsva sluchaynoye protsessov", Predel'nyye teoremv i statistich-eskive vvvody, Fan, Tashkent, 1966, 90-112].

[4] Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы, Наука, М., 1971, 436 с. fSevast'yanov В. А., Vetvyashchiyesva protsessv, Nauka, М., 1971, 436 pp.]

[5] Демидович Б. П., Сборник задач и упрожнений по математическому анализу, Наука, М., 1977.

Nauka, М., 1977].

[6] Яглом А. М., "Некоторые предельные теоремы теории ветвящихся случайных процессов", ДАН СССР, 56:8 (1947), 795-798. fYaglom A.M., "Nekotoryve predel'nyye teoremv teorii vetvyashchikhsva sluchaynvkh protsessov", DAN SSSR, 56:8 (1947), 795-798].

[7] Чистяков В. П., "Локальные предельные теоремы теории ветвящихся случайных процессов", Теория вероятностей и ее применения, 2:3 (1957), 360-374. fChistvakov V. Р., "Lokal'nyve predel'nyye teoremv teorii vetvyashchikhsva sluchaynvkh protsessov", Teoriva veroyatnostev i yeve primeneniva, 2:3 (1957), 360-374].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Колмогоров А. Н. К решению одной биологической задачи // Изв. НИИ матем. и мех. Томского Университета. 1938. Т. 22. №1. С. 1-12.

[2] Севастьянов Б. А. Теория ветвящихся случайных процессов // УМН. 1951. Т. 6. № 6(46). С. 47-99.

[3] Нагаев А. В., Мухаммедханова Р. Некоторые предельные теоремы из теории ветвящихся случайное процессов. Предельные теоремы и статистические выводы. Ташкент: Фан, 1966, С. 90-112.

[4] Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. 436 с.

[5] Демидович Б. П. Сборник задач и упрожнений по математическому анализу. М.: Наука, 1977.

[6] Яглом А. М. Некоторые предельные теоремы теории ветвящихся случайных процессов // ДАН СССР. 1947. Т. 56. №8. С. 795-798.

[7] Чистяков В. П. Локальные предельные теоремы теории ветвящихся случайных процессов // Теория вероятностей и ее применения. 1957. Т. 2. №3. С. 360-374.

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2020. vol. 32. no. 3. pp. 42-54. ISSN 2079-6641

MSC 60J80 Research Article

On refinements of the asymptotics expansion of the continuation of critical branching random processes

Sh. Yh. Jurayev

Institute of Mathematics named after V. I. Romanovskiy, Academy of Sciences of Uzbekistan, Academy of Sciences of Uzbekistan. E-mail: [email protected]

In this paper, an asymptotic expansion is obtained for the probability of continuation of critical branching processes under the assumptions of the existence of factorial moments Ak at k = 5,6,...,m,m <

Key words: branching random process, probability of continuation, critical branching processes, factorial moments, generating functions, probability of degeneration of the process.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-42-54

Original article submitted: 31.08.2020 Revision submitted: 17.09.2020

For citation. Jurayev Sh.Yh. On refinements of the asymptotics expansion of the continuation of critical branching random processes. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020,32: 3,42-54. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-42-54

Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.

Acknowledgments. The authors are deeply grateful to the referee for a number of comments that contributed to the improvement of the article.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Jurayev Sh.Yh., 2020

Funding. This research received no specific grant from any funding agency in the public, commercial, or not-for-profit sectors