Об уточнении метода сведения системы линейных дифференциальных уравнений к одному уравнению высшего порядка, позволяющего найти общее решение исходной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 43. №2. C. 20-30. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА

" https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-43-2-20-30

Научная статья

Полный текст на русском языке

УДК 517.912, 519.85

Об уточнении метода сведения системы линейных дифференциальных уравнений к одному уравнению высшего

____о о

порядка, позволяющего найти общее решение исходной Д.Н. Баротов1*, Р. Н. Баротов2

1 Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, 109456, г. Москва, 4-й Вешняковский проезд, д. 4, Россия

2 Худжандский государственный университет им. академика Бободжона Гафурова,

735700, г. Худжанд, пр. Мав-лонбекова , д. 1, Таджикистан

Аннотация. Теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями. При изучении конкретных дифференциальных уравнений, которые возникают в процессе решения физических задач, создаются методы, обладающие большой общностью и применяющиеся к широкому кругу математических проблем. Задачи интегрирования дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами оказали большое влияние на развитие линейной алгебры. В настоящее время задача решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами х'Щ = А ■ хЩ является одной из важнейших проблем как теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и линейной алгебры. Одним из наиболее известных методов решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами является метод приведения системы линейных уравнений к одному уравнению высшего порядка, позволяющему находить решения исходной системы в виде линейных комбинаций производных только одной функции. В данной работе исследована следующая задача: для каких матриц А компоненты системы х'(1) = А ■ хЩ при любом начальном условии х(1о) = хо могут быть выражены в виде линейных комбинаций производных только одной заданной компоненты х^Щ. Сформулирован новый простой критерий выразимости и подробно доказана его корректность. Полученный результат может быть также применен при исследовании решений системы х'Щ = А ■ хЩ на периодичность и при изучении линейных систем на полную наблюдаемость.

Ключевые слова: однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, метод приведения системы линейных уравнений к одному уравнению высшего порядка, критерий выразимости, алгоритм.

Получение: 28.03.2023; Исправление: 29.06.2023; Принятие: 03.07.2023; Публикация онлайн: 08.07.2023

Для цитирования. Баротов Д. Н., Баротов Р. Н. Об уточнении метода сведения системы линейных дифференциальных уравнений к одному уравнению высшего порядка, позволяющего найти общее решение исходной // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 43. № 2. C. 20-30. EDN: KJHTVW. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-43-2-20-30.

Финансирование. Работа выполнялась без поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут

ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

* Корреспонденция: А E-mail: dnbarotov@fa.ru ф

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License © Баротов Д.Н., Баротов Р. Н., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. nauki. 2023. vol. 43. no. 2. P. 20-30. ISSN 2079-6641

MATHEMATICS

" https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-43-2-20-30

Research Article

Full text in Russian

MSC 34A30, 90C90

On the Refinement of the Method of Reducing a System of Linear Differential Equations to a Single Higher-order Equation, Which Makes it Possible to Find a General Solution to the Original

D.N. Barotov1*, R.N. Barotov2

1 Financial University under the Government of the Russian Federation, 109456, Moscow,4-th Veshnyakovsky Passage, 4, Russia

2 Khujand state university named after academician Bobojon Gafurov, 683032, 735700, Khujand, Mavlonbekov ave., 1, Tajikistan

Abstract. The theory of differential equations is currently an exceptionally content-rich, rapidly developing branch of mathematics, closely related to other areas of mathematics and its applications. When studying specific differential equations that arise in the process of solving physical problems, methods are created that have great generality and are applied to a wide range of mathematical problems. The problem of integrating differential equations with constant coefficients had a great influence on the development of linear algebra. At present, the problem of solving a system of linear ordinary differential equations with constant coefficients x'(t) = A ■ x(t) is one of the most important problems in both the theory of ordinary differential equations and linear algebra. One of the most well-known methods for solving a system of linear ordinary differential equations with constant coefficients is the method of reducing a system of linear equations to a single higher-order equation, which makes it possible to find solutions to the original system in the form of linear combinations of derivatives of only one function. In this paper, we study the following problem: for which matrices A the components of the system x'(t) = A■ x(t) under any initial condition x(to) = xo can be expressed as linear combinations of derivatives of only one given component x^ (t). A new simple expressibility criterion is formulated, and its correctness is proved in detail. The result obtained can also be applied in the study of solutions of the system x'(t) = A ■ x(t) for periodicity and in the study of linear systems for complete observability.

Key words: homogeneous system of linear differential equations with constant coefficients, method for reducing a system of linear equations to a single higher-order equation, expressibility criterion, algorithm

Received: 28.03.2023; Revised: 29.06.2023; Accepted: 03.07.2023; First online: 07.07.2023

For citation. Barotov D. N., Barotov R. N. On the refinement of the method of reducing a system of linear differential equations to a single higher-order equation, which makes it possible to find a general solution to the original. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2023, 43: 2,20-30. EDN: KJHTVW.https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-43-2-20-30. Funding. The work was carried out without the support of funds.

Competing interests. There are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.

* Correspondence: A E-mail: dnbarotov@fa.ru

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License © Barotov D. N., Barotov R. N., 2023

© Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation, 2023 (original layout, design, compilation)

Введение

Задача решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами является одной из важнейших проблем как теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и линейной алгебры. Поэтому, с одной стороны, для таких систем разрабатываются новые методы и алгоритмы, а с другой стороны, существующие методы и алгоритмы решения таких систем совершенствуются.

К наиболее известным методам решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно отнести следующие: метод приведения системы линейных уравнений к одному уравнению высшего порядка, метод сведения решения системы к задаче отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы системы, метод неопределенных коэффициентов [1-4] и метод матрично-алгебраических преобразований [5,6].

В работах [7-11] рассмотрены еще некоторые подходы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а именно: в [9] предложен простой подход к решению систем, который позволяет получить решение в явном виде и проанализировать его, в [10] изложен операторный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений, который является некоторым аналогом методов Крамера и Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений, в [11] рассмотрен метод интегрируемых комбинаций для систем линейных дифференциальных уравнений, в [12] приведена реализация алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с использованием преобразования Лапласа, так как одной из актуальных проблем компьютерной алгебры является задача решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в [7, 8] на примерах системы трех дифференциальных уравнений изложен способ сведения ее к одному дифференциальному уравнению, позволяющий найти общее решение исходной системы в виде линейных комбинаций производных только одной функции.

В данной работе рассматривается такая задача: для каких матриц А компоненты системы х'(1) = А ■ х("Ь) при любом начальном условии х(Ь"о) = хо могут быть выражены в виде линейных комбинаций производных только одной заданной компоненты хк("Ь). В результате исследования найден новый простой критерий выразимости и подробно доказана его корректность, тем самым обобщён результат, приведенный в [13]. Полученный результат может быть также применен при исследовании решений системы х'(Ь) = А ■ х(Ь) на периодичность и при изучении линейных систем на полную наблюдаемость.

Используемые обозначения и понятия

Пусть E =

1 0 ... 0 0 1 ... 0

0 0 ... 1

единичная матрица n-го порядка, a Ei =

0 ... 0 1 0 ... 0

Пусть x(t) =

- i-я строка матрицы E.

X1(t)" а11 а12 .. . a1n

X2(t) и A = а21 а22 .. . a2n G Mn

Xn(t) _On1 an2 . . ann_

вещественная

(Л - Am)Pm = (—1 )n(An +

квадратная матрица п-го порядка.

Пусть ае1;(Д - Л ■ Е) = (-1 )п(Л - Л1 )р ■ (Л - Л2)Р2 ■ ап-1Лп-1 + а.п-2Лп-2 +... + а1Л + ас) такой, что |{Л1,Л2,...,Лт}| = т и р1,р2,...,рт е N.

Пусть VI - собственный вектор матрицы Д, соответствующий собственному значению Лг.

Ьц Ь12 ... Ь1п ац - Л а12 ... аы

Ь21 Ь22 ... Ь2п а21 а22- Л ... а2п

Пусть B(A) =

bn1 ЬП2 ... Ьт

Пусть Ai =

ац а!2

а,-

an1 an2 ... ann— Л

b1j b2j

- i-я строка матрицы A, Bj (Л) =

b

nj

- j-й столбец

матрицы В (Л).

Пусть В(г)(Л) = [В1(Л),В2(Л),...,В1-1(Л),Вг+1(Л),...,Вп(Л)] - матрица, полученной из матрицы В (Л) вычеркиванием г-го столбца Вг(Л).

Критерий выразимости каждой компоненты решения системы х'(Ь) = Д ■ х(Ь) в виде линейных комбинаций производных одной из компонент

Рассмотрим однородную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

х1 (Ь) = ацХ1 (Ь) + а12Х2(Ь)+-----Ь а1 пхп (Ь)

х2 (ь) = а21Х1(Ь) + а22Х2(Ь)+ ••• + а2пХп(Ь)

X (ь) = ап1Х1 (Ь) + ап2Х2(Ь) +-----+ аппХп(Ь)

Систему (1) напишем в матричном виде х'(Ь) = Д ■ х(Ь).

В данной работе мы исследуем такую задачу: можно ли систему (1) относительно х^(Ь) привести к эквивалентной системе дифференциальных

уравнении вида

xi(t) = dnxk(t) + di2%k (t) + ••• + dinx[n 1](t) X2(t) = d21 xk(t) + d22xk (t) + ■ ■ ■ + d2nx[n-1) (t)

Xk-1 (t) = dk-i 1 xk(t) + dk-i 2xk(t) + ■ ■ ■ + dk-i nx[n 1) (t) xkn) (t) = dk1 xk(t) + dk2xk(t) + ■ ■ ■ + dknxkn-1) (t)

(2)

xk+1 (t) = dk+1 1xk(t) + dk+1 2xk (t) +-----+ dk+1 nxkn 1) (t)

= ап1хк№ + аП2хк (г) +-----+ ^ихки 1) (г)

то есть можно ли для любого начального условия х("Ьо) = хо выразить значения всех функции х-| ("Ь),Х2("Ь), ...,хп("Ь), входящих в заданную систему (1), в виде линейных комбинации производных только одной неизвестной функции Хк("Ь), входящей в эту систему.

Теорема 1. Систему (1) относительно Хк("Ь) можно привести к системе (2) тогда и только тогда, когда геометрическая кратность всех собственных значений и к-я координата всех собственных векторов матрицы А равны 1.

Доказательство. Достаточность. Из теоремы Гамильтона-Кэли [1] следует, что

x(n) (t) + an_1 x(n-1) (t) + an-2x(n-2) (t) + ■ ■ ■ + Ü1 x' (t) + aox(t) =

,(n-1)

(n-2) i

(An + an-1 An-1 + an-2An-2 + ■ ■ ■ + a1 A + aoE) ■ x(t) = 0 ■ x(t) = 0

m-2

(3)

Действительно, так как непосредственно дифференцируя систему (1) легко заметиь, что

х '(")= А ■ х("), х ''(")= А2 ■ х("),..., х(т)(")= Ап ■ х(") Из (3) следует, что

xkn)(t) + an-1xka u(t) + an-2xkn 2)(t)+ ••• + a1xk(t) + aoxk(t) = 0

Дп-1),

,(n-2)

(4)

(5)

Пусть геометрическая кратность всех собственных значений и к-я координата всех собственных векторов матрицы А равны 1. Тогда из (4) следует, что

Чп) (") + ап_1хкп-1) (") + ап_2хкП-2) (") + ■ ■ ■ + атхк (") + аох^) = 0

xk(t) = Ek ■ E ■ x(t) xk (t)= Ak ■ E ■ x(t) xk'(t)= Ak ■ A ■ x(t)

x

(n-1)

(t)= Ak ■ An-2 ■ x(t)

Докажем, что ёе^М) = 0, где М =

Ek ■ E

Ak ■ E Ak ■ A

^Ак ■ А2-2_

Пусть vi(j) - это присоединенный вектор высоты ], соответствующий собственному значению Л^. Собственные векторы - это присоединенные векторы высоты 1, то есть vi( 1) = VI.

Пусть V = [VI (1),VI (2),...,vl(kl),v2(1),v2(2),...,v2(k2),...,vm(1),vm(2),...,vm(km)] -матрица составленная из координат присоединенных векторов-столбцов матрицы А.

Для доказательства ёе^М) = 0 достаточно и удобно показать, что ёе^М■ V) = 0. В работе [14] доказано, что ёе^М ■ V) равен det(Vc), где

Vc =

1 Л1 Л21 Л31

0 1 г2Л1 ф2

0 0 1 Ф1

0 0 0 1

0 0

0 0

Л

п-3

г2-3Л1 Г2-3Л1 Г2-3Л1

п-4

n-5

n-6

0 0 0 0 . ГР1-1Лп-2-Р1 . Гп-3 Л1

1 Л2 Л22 Л32.. п-3 . л2

0 1 г2л2 Г3Л2 . . Г1 Лп-4 . Гп-3Л2

0 0 1 ф2 . . Г2 Лп-5 . Гп-3Л2

0 0 0 1 .. Г3 Лп-6 . Гп-3Л2

ГР2-1 Лп-2-Р2 Гп-3 Л2

Л

n-2

Г2-2Л1 СП-2ЛП Г2-2Л1

n-3

n-4

n-5

ГР1-1Лп-1 Гп-2 Л1 n-2 Л2

г1 л2-3

Гп-2Л2

n-4

PI

Г2 Л

n-2Л2

Г2-2Л2

n-5

ГР2-1ЛП-1 Гп-2 Л2

P2

Гп-3

1 Лп-2-Рт Лт

Pm-

Гп-2

1 Л2-1 -Рт Лт

Л

n-1

Г2-1Л1

n-2

г2 л2-3

Гп-1 Л1

Г3 Лп-4

Гп-1 Л1

ГР1-1Лп-Р1 Гп-1 Л1 т-1

Л

2

Г1Л

п-2

п—1 Л2

Г2 Л

п-3

■п-1 Л2

Г3 Л

п-4

2-1 Л2

Г2-1

1лп-Р2

1 Лт лт лт ... Лп-3 Лт Лп-2 Лт Лп-1 Лт

0 1 Г2Лт г1лт ... Г1 Лп- Гп-3Лт 4 Г1 Лп-Гп-2Лт 3 Г1 Лп-Гп-1 лт

0 0 1 г3лт ... Г2 Лп-Гп-3Лт 5 Г2 Лп-Гп-2Лт 4 Г2 Лп-Гп-1 лт

0 0 0 1 ... Г3 Лп- Гп-3Лт 6 Г3 Лп-Гп-2Лт 5 Г3 Лп-Гп-1 лт

рРт-Кп-Рт г2-1 Лт

Cm — биномиальный коэффициент. В работе [15] доказано, что

det(Vc)= Ц (Л, - Л0Р1'

1 <i<j<m

Р)

(7)

0

0

0

0

Из (7) следует, что ёе^М) = 0, так как М,У - квадратные матрицы п-го порядка и, следовательно ёе^М■ V) ). Теперь из (6) следует, что

где x(k) (t) =

х™ (t) + an-xkn ') (t) + an_2xkn 2) (t) + ■ ■ ■ + axk(t) + aoxk(t) = 0 ,x(t) = M-1 ■ x(k)(t)

Xk(t)

xk (t) xk'(t)

xkn-1)(t).

Равенство (8) означает, что удалось выразить значения

всех функций x-| (t),x2(t),...,xn(t), входящих в систему (1), в виде линейных комбинаций производных только одной неизвестной функции Xk(t), входящей в эту систему.

Необходимость. Пусть неверно, что геометрическая кратность всех собственных значений и k-я координата всех собственных векторов матрицы A равны 1. Тогда Зт е (1,2, ...,n}: либо а) k-я координата собственного вектора vr, соответствующего собственному значению Лт равна 0 либо b) количество собственных векторов-столбцов матрицы A, соответствующих собственному значению Лт больше или равно 2.

Пусть V' = [ул1 (1),...,vл1 (ll ),^л1 (11 + 1),...,vл1 (ki), ...,vлm(1),...,vлm(1т),^лт(lm + 1),..., (km)] - матрица составленная из координат собственных и присоединенных векторов-столбцов матрицы A, где vлi (j) =

{собственный вектор, соответствующий Л^; если j е (1,2,...,li}

присоединенный вектор, соответствующий Л^ если j е (li +1,...,ki}

Известно [1], что det(V') = 0.

a) В этом случае покажем, что det(M) = 0. Для этого достаточно показать, что det(M ■ V') = 0. Действительно, так как (k1 + k2 +... + kr—1 + 1)-й столбец матрицы M ■ V' равен M ■ vr = 0.

b) В этом случае тоже покажем, что det(M) = 0. Для этого достаточно показать, что det(M■ V') = 0. Действительно, так как (k1 + k2 +... + kr—1 +1 )-й и (k1 + k2 +... + kr-1 + 2)-й столбца матрицы M ■ V' одинаковы. Теорема доказана. □

На основе конструктивного доказательства теоремы 1 легко разработать алгоритм, который по заданной Xk(t) е SoV систему (1) приводит к системе (2). Алгоритм 1. Приведение систему (1) к системе (2) (transforming the (1) system to the equivalent (2) system) function Transform(xk(t), A)

X(k)(t) := Xk(t) M := Ek C := E

for j = 1... n — 1 do

X(k) (t) := vstack (XM (t),xj (tf M := vstack (M,Ak ■ C)

C := C ■ A end for

X := M—1 ■ X(k)(t) return X end function

где vstack(M1,M2) — вертикальное объединение матриц M1,M2. Корректность эого алгоритма следует непосредственно из доказанной теоремы 1.

Заключение

В результате исследования для любой матрицы A найден простой критерий выразимости всех функций системы x'(t) = A ■ x(t) в виде линейных комбинаций производных только одной функции xk(t), в терминах рангов матриц и доказана его корректность. На основе доказанного критерия разработан соответствующий алгоритм и обоснована его корректность. Полученный результат может быть также применен при построении решений систем линейных дифференциальных уравнений, исследовании решений таких систем и при наблюдении линейных систем.

Список литературы

1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Физматгиз, 2010. 560 с.

2. Пантелеев А. В., Якимова А. С., Рыбаков К. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Практикум. М.: Инфра-М., 2016.432 с.

3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1965.332 с.

4. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Физматгиз, 1961.100 с.

5. Мухамеджанова У. М.Жорданова форма матрицы и решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, Ученые записки Худжандского государственного университета им. академика Б. Гафурова. Серия: Естественные и экономические науки, 2017. №1, С. 20-26.

6. Балоев А. А. Матрично-алгебраическая форма решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, Сибирский журнал индустриальной математики, 2014. Т. 17, №3, С. 3-12.

7. Назимов А. Б., Очилова М. А. О приведении системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к одному дифференциальному уравнению высокого порядка, Современные проблемы и перспективы обучения математике, физике, информатике в школе и вузе: Межвузовский сборник научно - методических трудов. Вологда, Вологодский гос. унив.,2021, С. 41-47.

8. Подгаев А. Г., Син А. З. Простой способ обоснования метода исключения при решении нормальной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, Ученые заметки ТОГУ, 2014. Т. 5, №4, С. 1357-1363.

9. Щитов И. Н., Бегун Е. Н. Об одном методе решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, Актуальные проблемы радио- и кинотехнологий: Материалы VI Международной научно-технической конференции, посвященной 125-летию со дня рождения выдающегося русского ученого в области электроники и вакуумной техники С.А. Векшинского, 16-17 ноября 2021 г.. Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный институт кино и телевидения, 2022, С. 172-176.

10. Малышев Ю. В., Атаманов П. С. О решении системы линейных дифференциальных уравнений операторным методом, Вестник Чувашского университета, 2011. №3, С. 155-159.

11. Ивлев В. В., Кривошей Е. А. Системы линейных дифференциальных уравнений. Интегрируемые комбинации (продолжение), Математическое образование, 2018. №1 (85), С. 47-51.

12. Рыбаков М. А. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа, Вестник российских университетов. Математика, 2009. Т. 14, №4, С. 791-792.

13. Баротов Д. Н., Баротов Р. Н. О выразимости функций системы x'(t) = A • x(t), собственные значения матрицы которой являются некратными в виде линейных комбинаций производных одной функции, входящей в эту систему, Прикладная математика и вопросы управления, 2023. №2, С. 9-20.

14. Баротов Д. Н., Баротов Р. Н. Об одном критерии выразимости функций системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в виде линейных комбинаций производных одной функции, входящей в эту систему, Вычислительные методы и программирование, 2023. №3, С. 1-15.

15. Ha T. T., Gibson J. A. A note on the determinant of a functional confluent Vandermonde matrix and controllability, Linear Algebra and its Applications, 1980. vol. 30, pp. 69-75.

Информация об авторах

Баротов Достонжон Нумонжонович А - старший преподаватель департамента анализа данных и машинного обучения Финансового университета при Правительстве РФ, Москва, Россия, ©ОЯСГО 0000-0001-5047-7710.

Баротов Рузибой Нумонжонови^ - докторант кафедры математического анализа имени профессора А. Мухсинова Худжандского государственного университета имени академика Б. Гафурова, Худжанд, Таджикистан, « СЖСГО 0000-0003-3729-6143.

References

[1] Gantmakher F. R. Teoriya matrits [The theory of matrices]. Moscow, Fizmatgiz, 2010, 560 p.(In Russian).

[2] Panteleev A. V., Yakimova A. S., Rybakov K. A. Obyknovennye differentsialnye uravneniya. Praktikum [Ordinary Differential Equations. Practical Work]. Moscow, INFRA-M, 2016, 432 p.(In Russian).

[3] Pontryagin L. S. Obyknovennyye differentsial'nyye uravneniya [Ordinary Differential Equations]. Moscow, Fizmatgiz, 1965, 332 p.(In Russian).

[4] Filippov A. F. Sbornik zadach po differentsial'nym uravneniyam [Collection of problems on differential equations]. Moscow, Fizmatgiz, 1961, 100 p.(In Russian).

[5] Muhamedjonova O. M. Jordan Matrix Form and Solutions of Linear Systems of Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients, Scientists notes of Khujand State University Academician B. Gafurov Series: Natural and economic sciences, 2017, no. 1, pp. 20-26.(In Russian).

[6] Baloev, A. A. The Matrix-Algebraic Form of a Solution to the System of Linear Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients", Sib. Zhurn. Industr. Matem., 2014, vol. 17, no. 3, pp. 3-12.(In Russian).

[7] Nazimov A. B., Ochilova M. A. On the reduction of a system of linear differential equations with constant coefficients to a single high-order differential equation. In Modern Problems and Prospects for Teaching Mathematics, Physics, and Computer Science at School and University. Vologda, Vologda State University, 2021, pp. 41-47.(In Russian).

[8] A. G. Podgaev, A. Z. Sin Simple proof of elimination methodunder the solution of normal linear sistem of differential equations with constant coefficients, Scientists notes PNU, 2014, vol. 5, no. 4, pp. 1357-1363.(In Russian).

[9] Shchitov, I. N. On one method for solving systems of linear differential equations with constant coefficients. In Actual problems of radio and film technologies: Proceedings of the VI International Scientific and Technical Conference. St. Petersburg, State Institute Film and Television, 2022, pp. 172-176.(In Russian).

[10] Malyshev Yu. V., Atamanov P. S. About solution of the system of linear differential equations by symbolic methods, Bulletin of the Chuvash University, 2011, no. 3, pp. 155-159.(In Russian).

[11] Ivlev V. V., Krivoshey E. A. Systems of linear differential equations Integrable combinations (continued), Mathematical Education, 2018, no. 1 (85), pp. 47-51.(In Russian).

[12] Rybakov, M. A. Solving systems of linear differential equations with constant coefficients using the Laplace transform, Bulletin of Russian Universities.Mathematics, 2009, vol. 14, no. 4, pp. 791-792.(In Russian).

[13] Barotov D. N., Barotov R. N. On the expressibility of the functions of the system x'(t) = A ■ x(t), the eigenvalues of the matrix of which are non-multiple in the form of linear combinations of derivatives of one function included in this system, Applied Mathematics and Control Sciences, 2023, no. 2, pp. 9-20.(In Russian).

[14] Barotov D. N., Barotov R. N. On one criterion of expressibility of functions of a system of linear differential equations with constant coefficients in the form of linear combinations of derivatives of one function included in this system, Numerical Methods and Programming, 2023, no. 3, pp. 1-15.(In Russian).

[15] Ha T. T., Gibson J. A. A note on the determinant of a functional confluent Vandermonde matrix and controllability, Linear Algebra and its Applications, 1980, vol. 30, pp. 69-75.

Information about authors

Barotov Dostonjon NumonjonovichA - Senior Lecturer; Department of Data Analysis and Machine Learning, Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow, Russia, ©ORCID 0000-0001-5047-7710.

Barotov Ruziboy Numonjonovich - Doctoral Student; Department of Mathematical Analysis named after Professor A. Mukhsinov, Khujand state university named after academician Bobojon Gafurov, Khujand, Tajikistan, ©ORCID 0000-0003-3729-6143.