CC BY
12
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
г.н.бояркин и .д.макарова
рк романовский СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА В
Омский государственный ХИМИЧЕСКОМ РЕАКТОРЕ ПРИ
технический университет
РЕАКЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
УДК 517.9
МЕТОДОМ ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА ПРОВЕДЕН АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, МОДЕЛИРУЮЩЕЙ КИПЯЩИЙ СЛОЙ КАТАЛИЗАТОРА. ПОЛУЧЕНО ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ В ТЕРМИНАХ ПАРАМЕТРОВ СЛОЯ.
1. Псевдоожиженный (кипящий) слой катализатора в химическом реакторе обладает рядом уникальных свойств, обеспечивающих ему многочисленные приложения: высокая теплопроводность и теплоотдача, эффективное использование реакционного объема, простота конструкции аппарата большого масштаба, легкость ввода и вывода частиц и др. Эти достоинства кипящего слоя делают его особенно привлекательным для проведения каталитических процессов; см. [1-4].
2. В связи с тем, что математическое моделирование кипящего слоя на кинетическом уровне чрезвычайно сложно, на практике широко применяются макромодели, представляющие собой в ряде случаев краевые задачи для систем уравнений с частными производными гиперболического типа; см. [3, 4]. В частности, каталитический процесс в кипящем слое в случае реакции первого порядка (скорость реакции линейно зависит от концентрации реагирующего вещества) моделируется, с учетом внутреннего теплообмена, смешанной задачей для почти линейной гиперболической системы на плоскости:
^ + ^ = (х,/)еП,
at дх
дА+рд1 = у{]-Су-б{в-вг), (D
оI дх
0 = 0, с|1=0 = 0, = {слех.
заданы.
Здесь П -полуполоса {0 < х < 1, / > 0}, (СД 0,)-концентрация реагирующего вещества, температура в реакторе и холодильнике; а,/?,у,<5Д„- положительные константы. Классическая разрешимость краевой задачи (1) следует из общих результатов работы [5]. В [6] указаны условия на параметры, при которых существуют стационарные решения задачи (1). В [7] установлены устойчивость по Ляпунову стационарных решений и повышение гладкости нестационарных решений при / —> + °о . В данной работе на основе метода из работ [8, 9] получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости стационарных решений задачи (1). 3. Пусть вектор-функция
= (V, (х), V, (я), у, (х))* (2)
- стационарное решение задачи (1); здесь * означает транспонирование. Вводя вектор отклонений
и(х,0 = (и^щ.щ)' = (С, 9,9,)' - у(*), приведем задачу (1) к виду
ди ди „
— +А — +бм + /(х,и) = 0, (*,0еП, dt дх
(«♦ - Г0и_ ),=„ = 0, (и_ - Г>. ) г=| = 0, i/||=
задана,
где / = (0,е"= [Н|(е"1 -1) + (v, - 1)(е"' -1 -и2)],о)',
(\ 0 (Л (а
0
0 ^
/4= 0 /Г' 0
U 0 -\) «Л
0 -S 6 ,
, В =
«♦=[и J. M_=M„r0 = ^j, Г, =(0 0).
I
Обозначим И = ("■ +и22 +и,2)'/2, ||«|| = (J|M(x,0|W'2.
о
Будем говорить, что решение и = 0 задачи (3) или, что эквивалентно, решение (2) задачи (1) экспоненциально устойчиво в малом, если существует такое 8 > 0, что для решений u{x,t) задачи (3) таких, что |м(л,0)|<5 при хе[0,1], выполняется оценка
||и(*, Oil <1ие-"\и(х, 0)|| (г > 0; ц, v = const > 0).
Из результатов работы [9] следует: для экспоненциальной устойчивости в малом достаточно, чтобы существовала гладкая матрица
G(x) = diag{g[(х), g2 (х),g3(х)), удовлетворяющая неравенствам
mJ<G1<m2I (mt = const > 0),
F0 = (AG. +Г;ЛС(Г0)1=О<О,
/•=(/(Д+ГЯСГ,)1=|>0, (4)
F = (GA)' -GB-B'G <-ml {m = const > 0), здесь I - единичная матрица третьего порядка,
4. Из равенств (1) при (С,9,9Г) = (v,,v2,v,) легко получить:
1) V, =1-е—;
2) разность v2 - у, = 0 при х = 0 и возрастает на [0,1 ];
3) = 9{) при х = 1 и убывает на [0,1], в частности, v3 >90 на [0,1]
Положим
G(x) = diag(c0,fie
(3)
где с„ - положительная константа, подлежащая уточнению. Нетрудно убедиться с учетом 1) - 3) в справедливости первых трех неравенств (4) при любой с0 > 0. Вычисляя матицу Р. применяя к матрице -Р критерий положительной определенности Сильвестра [10] и предпола-
гая при этом константу с0 достаточно большой, после простых вычислений получим: для того, чтобы стационарное решение (2) задачи (1) было экспоненциально устойчиво в малом, достаточно выполнение неравенства
Г> A/ = (v2-v3t,.
Литература
1. Гальперин Н.И., Айнштейн В.Г., Кваша В.В. Основы техники псевдоожижения. М.: Химия. -1967.
2. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука. -1978.
3. Шеплев B.C., Мещеряков В.Д. Математическое моделирование реакторов с кипящим слоем катализатора // В кн.: Математическое моделирование химических реакторов. - Новосибирск: Наука. Сиб. Отд. -1984,- С. 44-65.
4. Иванов Е.А. Управление процессом в реакторе с псевдоожиженным слоем // В кн.: Математическое моделирование химических реакторов. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд. -1984. - С. 116-127.
5. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости И Мат. сб. -1960. - Т. 50, № 4. - С. 423-442
6. Эеленяк Т.И. О стационарных решениях смешанных задач, возникающих при изучении некоторых химических
процессов // Дифференц. уравнения. -1966. -Т. 2, № 2. -С. 205-213.
7. Лаврентьев М.М. (мл.), Люлько H.A. Повышение гладкости решений некоторых гиперболических задач// Сиб. матем. журнал.-1997.-Т. 38, № 1.-С. 109-124.
8. Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными // Сиб. матем. журнал. -1998. - Т. 39, № 6. - С. 1 290-1292.
9. Воробьева Е.В. Об устойчивости решений смешанной задачи для гиперболической системы на плоскости // Тезисы доклада на международной конф. по алгебре и анализу в Новосибирске 30.08 - 03.09 1998 г. - Новосибирск. -1999.-С. 120-121.
Ю.Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука.-1971.
БОЯРКИН Геннадий Николаевич - к.ф.-м.н., профессор, проректор по УР ОмГТУ.
МАКАРОВА Ирина Дмитриевна - аспирантка кафедры высшей математики ОмГТУ.
РОМАНОВСКИЙ Рэм Константинович - д.ф.-м.н., член-корр. СО АН ВШ, профессор, профессор кафедры высшей математики.
КНИЖНАЯ ПОЛКА
Вышла в свет монография
Р.К. Романовского, Н.В. Алексенко, С.М. Добровольского, О.В. Кириченовой "Прямой метод Ляпунова для уравнений с почти периодическими коэффициентами" (Омск: изд-во ОмГТУ, 2001. - 79 с.)
В книге изложены полученные за последние 10 лет оригинальные результаты по актуальной проблематике: теории устойчивости для уравнений с почти периодическими коэффициентами - дифференциальных, разностных, дифференциально-разностных, функционально-дифференциальных. Признаки устойчивости иллюстрируются примерами, получены приложения в теории автоматизированного управления. Результаты являются новыми и для частного случая уравнений с периодическими коэффициентами.
Предназначена для студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся по теории дифференциальных уравнений и ее
разложениям.
