Об устойчивости решений одной нелинейной системы дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

2004_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 3

МАТЕМАТИКА

УДК 517.925

А. Ю. Александров

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Введение. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

х 1 = а1 /1(х1) + Ъ1 П (Хп), ¿2 = а2 /2(х2) + 62 /Г (Х1),

< ............................................ (1)

Хп-1 = ап-1 /п-1( Х п— 1) + Ьп-1 /п-21 (Хп-2), ^ п ап /п( х п) + ^ п=1 cj /^ (xj )-

Здесь функции /8(х8) заданы и непрерывны при |х81 < Н (Н — некоторое положительное число) и удовлетворяют условию х8 /в(х8) > 0 при х8 = 0, aj и Vj —положительные рациональные числа с нечетными знаменателями, а8, bj и ^ — постоянные коэффициенты, причем а8 < 0, bj =0, в = 1,...,п, ] = 1,...,п — 1. Таким образом, система (1) имеет нулевое решение. Заметим, что если какой-то из коэффициентов ^ равен нулю, то соответствующий ему показатель степени Vj можно считать сколь угодно большим.

Уравнения вида (1) широко применяются при исследовании систем автоматического регулирования [1-4]. Они могут описывать динамику системы с замкнутой петлей обратной связи [1, 4].

Цель настоящей статьи — определить условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1). Основным аппаратом исследования является метод функций Ляпунова.

В работах [1] (см. с. 282-285) и [4] (см. с. 252-254) рассматривался случай, когда система (1) имеет вид

х 1 = а1 х1 + 61 хп, (2)

X2 а1 х1 + х1—1: % 2,..., п:

где а8 < 0, Ь8 > 0, в = 1,...,п. Эти уравнения получаются в качестве системы сравнения для «однократно замкнутой» цепи, состоящей из экспоненциально устойчивых

© А. Ю. Александров, 2004

подсистем. Было показано, что для асимптотической устойчивости системы (2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

( — 1)пал ...ап >Ъг ...Ъп. (3)

В случае, когда ¡о (хо) = хо, а^ = 1, ^ = 1, ] = 1,...,п — 1, уравнения (1) представляют собой систему непрямого регулирования с одной нелинейностью. Условия устойчивости таких систем хорошо изучены (см., например, [1, 4, 5]). При этом функцию Ляпунова для рассматриваемых уравнений можно строить в виде «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности».

Если все функции ]1(х1),...,/п(хп) являются нелинейными, ао = 1, Vj = 1, ] = 1,...,п—1, то исследование устойчивости системы (1) естественно провести при помощи функции Ляпунова

п хв

V = У2 Ъ(т)(4)

8=1

Здесь А8 > 0, в = 1,...,п. Такая функция рассматривалась в работах [2, 3, 6]. Определялись условия, при выполнении которых числа А1,...,Ап можно выбрать так, чтобы функция (4) удовлетворяла требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [2, с. 16]. В частности, известно [6], что при п = 2 указанные значения А1 и А2 существуют тогда и только тогда, когда имеет место неравенство аа > Ъ^.

В настоящей статье функцию Ляпунова для уравнений (1) будем строить в виде

п Г X

V = Е А8 № (т) <т. (5)

8 = 1

Здесь ца — положительные рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, А8 > 0, в = 1,...,п. Заметим, что такая функция использовалась в работе [7] при исследовании устойчивости нулевого решения системы

\Хг = аI ^Х) + Ъ ¡Щ (хп), г = 1,...,п — 1,

п ап ¡п(хп) + ^^п=1 С0 ¡0 (xj ).

1. Определим сначала, каким условиям должны удовлетворять показатели степеней о"0 и Vj, чтобы нулевое решение системы (1) являлось асимптотически устойчивым для любых значений коэффициентов Ъо и Со , ] = 1,...,п — 1. Теорема 1. При выполнении неравенств

а 1 ...ао ь>о > 1, ] = 1,...,п— 1, (6)

нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Функцию Ляпунова для исследуемых уравнений строим по формуле (5). Если А8 > 0, в = 1,...,п, то данная функция положительно определена. Продифференцируем ее в силу системы (1). Имеем

<И

<у п

(1)= ^Аяая + А^/И^Х/ТЫ + Л2Ь2/Г(х2)Г^(Хл) + ...+

п— 1

+Ап-1Ъп-11—-1 (хп—1 )1п——1 (хп—2) + Е АпСо О (хо(хп).

0=1

Используя свойства обобщенно-однородных функций (см. [8] с. 190-191), а также леммы 2 и 4 из работы [9] (см. с. 26-28), получаем, что для отрицательной определенности функции ¿¥/¿¿1(1) достаточно, чтобы выполнялись условия

1 , Ни-2 ,

— < < г/ь — < /12 < г/2, • • •, - < п,п-1 < ^п-1-

Здесь Ну = (/ + 1)// + 1), 3 = 1,...,п — 1.

Значит, если справедливы неравенства (6), то показатели степеней /1,...,/п можно подобрать так, что функция (5) для любых значений коэффициентов Ьу и су будет удовлетворять требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. При этом на положительные постоянные А1,...,Ап никаких дополнительных ограничений не накладывается. Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема 1 утверждает, что при выполнении неравенств (6) совокупность изолированных уравнений

X 8 = 05 $э(Хэ), й =1,...,п (7)

можно рассматривать в качестве системы первого, в широком смысле, приближения [6] для системы (1). Однако, в отличие от результатов, полученных в [6], в настоящей статье не предполагается, что порядок возмущений выше порядка функций, входящих в правые части уравнений (7) (некоторые из показателей степеней а у и ^ могут быть меньше единицы).

2. Рассмотрим теперь случай, когда су = 0, 3 = 1,...,п — 1, а неравенства (6) обращаются в равенства, т.е. будем предполагать, что имеют место соотношения

а1 ...ау Уу = 1, 3 = 1,...,п— 1. (8)

Снова применяя результаты работ [8] (см. с. 190-191) и [9] (см. с. 26-28), получаем, что если справедливы равенства (8), то для отрицательной определенности функции ¿V/&\(1) необходимо, чтобы показатели степеней /1, . ..,/п удовлетворяли условиям

/ + 1=^ (/п + 1), 3 = 1 ,...,п 1. (9)

Поэтому далее при построении функции Ляпунова для системы (1) по формуле (5) сначала выбираем в качестве /п положительное рациональное число с нечетными числителем и знаменателем такое, что ^(/п + 1) > 1 при всех 3 = 1,...,п — 1, а затем из условий (9) находим значения /1,... ,/п-1. При этом не умаляя общности можно считать, что Ап = 1.

Теорема 2. Для существования положительных постоянных А1,...,Ап-1, при которых функция (5) удовлетворяет требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, необходимо, а если справедливы неравенства

Ь1 ...Ьу су > 0, 3 = 1,...,п — 1, (10)

то и достаточно, чтобы имело место соотношение

п-1 х -к- х -^— /, х -1-

3 = 1

.....,<0-

0

п

Доказательство. Положим

W = ХгуЧ1 (аШ + brf) + \2ур (ay + by2) + ...+

n—1

+К—1УП,— l1 (ап-1Уп-1 + Ъг—1Уп-2) + УПГ ( апУп +

Vj

П-1Уп-2 ) + Уп | апУп + 2-^1 С3 У3

3 = 1

Из выполнения условий (8) и (9) следует, что Ш —обобщенно-однородная функция. Определим, при каких значениях параметров ав, Ьу, Су, 03, Vj системы (1) числа А1,...,Ап—1 можно выбрать так, чтобы функция Ш являлась отрицательно-определенной.

Введем обозначения:

(М" (^"..(ьу: ,■ = !,...,„.!, *„ = !.

3 \а1/ \а2) \аз)

Если функция Ш отрицательно определена, то должно иметь место неравенство Ш(01,...,0п) < 0, из которого и получаем соотношение (11). Таким образом, необходимость условия (11) доказана.

Покажем теперь, что при выполнении неравенств (10) это условие является и достаточным. Произведем замену переменных:

= в = 1,...,п, = 3 = 1,...,п- 1.

Ув

После такой замены исследуемая задача сводится к доказательству существования чисел вз > 0, ] = 1,...,п — 1, при которых функция

Ш = в!^1 (^1 — г^1)+ вя42 (г2 — г\2) + ...+

п— 1

+вп_1г_1 (гп_1 — г*—1) + гЦ^ 3У»3 (гп — г*3) + егЦп+1

3=1

положительно определена. Здесь е = —ап — 3У^3 > 0.

Пусть

п — 1

в = Ск вк°' j = 1,...,П- 1.

k=j

Тогда функцию W можно записать в виде

п—1

W = Y. Cj 3 (vizf1 (zi - zn1) + ... + Vj (zj - zn— 0 + z^ (zn - zj) + eztn+1.

j=1

Заметим, что если справедливы соотношения (10), то Су У? > 0 при всех ] = 1,...,п — 1.

Учитывая выполнение условий (8) и (9) и применяя неравенство Иенсена [10] (см. с. 254-255), получаем, что при выбранных значениях в1,..., вп—1 функция Ш является положительно определенной. Теорема доказана.

Пример 1. Рассмотрим систему

¿1 = а\ х\ + Ъ\ ¿2 = а2 х2 + Ъ2 х5, ¿з = аз ¿3 + С1 х7 + С2 ¿2,

где ая, Ъ-, с- —постоянные коэффициенты, а8 < 0, Ъ- = 0, с- =0, в = 1, 2, 3, ] = 1, 2. Таким образом, в данном случае /1(х1) = х3, /2(х2) = ¿2, /з(хз) = ¿7, <1 = 3/7, о2 = 5/3, = 7/3, ^2 = 7/5, причем справедливы равенства 01^1 = 1, 0102^2 = 1. Функцию Ляпунова для системы (12) строим в виде

V :

А^5+А2х£+3+х%+1.

(13)

Здесь ¡л — положительное рациональное число с нечетными числителем и знаменателем. Применяя теорему 2, получаем, что для существования чисел А1 и А2, при которых функция (13) удовлетворяет требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, необходимо, а если выполнены неравенства Ъ1 С1 > 0, ЪЪ С2 > 0, то и достаточно, чтобы имело место соотношение

аз — С1

+ С2

< 0.

3. В заключение проведем анализ полученных в настоящей статье результатов. Замечание 2. Нетрудно показать, что теорема 2 справедлива и в случае, когда некоторые из коэффициентов С1,..., Сп_1 равны нулю, а условия (8) выполняются только для тех значений индекса для которых с- =0. Пример 2. Рассмотрим систему

¿1 = а1 /1(х1) + Ъ1 /П1 (хп), хг = аг /¿(¿¿) + Ъ /¿11 (¿¿_1),

2,...,п.

(14)

Здесь функции /8 (х8) обладают указанными выше свойствами, о8 — положительные рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, а8 и Ъ8 — постоянные коэффициенты, причем а8 < 0, Ъ8 =0, в = 1,...,п. Будем считать, что 01 . ..оп = 1, Ъ1 ...Ъп > 0. Тогда для существования функции Ляпунова вида (5), имеющей отрицательно определенную производную в силу системы (14), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

а1

а2

1

<71 а2

ап_1

<71

Ъп < 0.

Это соотношение можно записать в следующей форме:

(— 1)пае1 а21"2

1 _±_ 1 . С-'Г"-1 «п > К1 К1*2

Ъп — 1 Ъп

(15)

В частности, при о8 = 1, в = 1,...,п, неравенство (15) совпадает с неравенством (3), являющимся необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости линейной системы (2).

п

Замечание 3. Если для некоторых значений индекса 3 выполнены неравенства (8), а для остальных значений имеют место равенства (9), то отрицательную определенность функции ¿У/А\(1) можно обеспечить частично за счет выбора показателей степеней ¡1,..., ¡п, а частично — за счет выбора коэффициентов Л1,...,Лп.

Пример 3. Пусть п = 5, т.е. рассматриваем систему (1), состоящую из пяти уравнений. Будем предполагать, что справедливы соотношения

а1^1 = 1, 0-102^2 > 1, 0-10203^3 = 1, 0304^4 > 1.

В данном случае (см. [8], с. 190-191 и [9], с. 26-28) получаем, что показатели степеней ¡¡1,..., ¡5 должны удовлетворять условиям

01(^1 + 1) = 0102(^2 + 1) = 0102 03(^3 + 1) = ¡5 + 1,

1 М4 + 1 .

< -Г < Щ-

01020304 ¡5 + 1 Если выполнено строгое неравенство

1 ¡4 + 1

< --7 <

01020304 ¡5 + 1

то для отрицательной определенности функции ¿У/сИ\(1) достаточно, чтобы существовали числа Л1, Л2, Л3, при которых функция

!¥ = Л^1 (а1У1 + Ъ^1) + Л2у%2 (а2У2 + ^уГ ) + +Л3У33 (а.3У3 + Ъ3уа23) + у£5 (а5У5 + с^1 + С3у^3)

отрицательно определена.

Замечание 4. Теорема 2 утверждает, что при выполнении соотношений (8) и (10) условия существования для системы (1) функции Ляпунова вида (5) не зависят от выбора числа ¡п. В работе [11] рассматривалась система (1), состоящая из двух уравнений (п = 2). Было показано, что если Ъ1С1 < 0, то для каждого значения показателя степени ¡2 получаются свои условия существования требуемой функции Ляпунова, причем область в пространстве параметров системы, задаваемая этими условиями, является наибольшей в случае, когда ¡2 = 1.

Замечание 5. Для решения ряда задач более эффективным оказывается использование функции Ляпунова вида (5) при ¡п > 1. Пример 4. Рассмотрим систему

X 1 = а1 х^1 + Ъ1 хПп, (16)

X£ а1 х^ + Ъ£ х^_1 , % 2,..., n,

где — рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, as и Ъ8 —

постоянные коэффициенты, а8 < 0, в = 1,...,п. Будем считать, что 1 < ^ < £п, 3 = 1,...,п- 1

В работе [12] доказано, что если для системы (16) существует функция Ляпунова вида

п

У = £ Лях|а + 1, 8=1

удовлетворяющая требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, то для решений (xi(t),..., xn(t))* этой системы, начинающихся при t = 0 в достаточно малой окрестности точки (xi,..., xn)* = (0,..., 0)*, при всех t > 0 справедливы оценки

__$тг + 1

\xs(t)\ <A(t + l) (£=+1)«—1); s = l,...,n.

Здесь A — положительная постоянная.

Предположим теперь, что для любого р > 0 (р — рациональное число с нечетными числителем и знаменателем) постоянные Ai,...,An можно выбрать так, чтобы производная функции

n

V = £ Asx^s + 1 (17)

s=1

в силу системы (16) была отрицательно определена.

Используя функцию (17), получаем [8, с. 125-128], что существуют числа S > 0 и Д > 0 такие, что если начальные данные решения (xi(t),...,xn(t))* удовлетворяют условию |xi(0)| + ... + |xn(0)| < S, то при всех t > 0 имеем

+1

|xs(t)| < д(г-|-1)-i^+ix^-i), s = i,...,п. (18)

Функции gs(p) = (р^п + 1)/(рСя + 1), s = 1,...,п —1, монотонно возрастают на интервале (0, Следовательно, оценки (18) будут тем точнее, чем больше значение р.

Summary

A. Yu. Aleksandrov. On the stability of solutions of a certain nonlinear system of differential equations.

By the use of Lyapunov function method the sufficient conditions of asymptotical stability of the zero solution are obtained for a class of nonlinear systems of ordinary differential equations.

Литература

1. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М., 1979. 336 c.

2. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М., 1970. 240 c.

3. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1969. №12. C. 5-11.

4. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М., 1980. 300 c.

5. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М., 1978. 402 c.

6. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // Докл. РАН. 1996. Т. 346. №3. C. 295-296.

7. Александров А.Ю., Тапинов П. Г. Об асимптотической устойчивости решений одного класса нелинейных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. №2. C. 25-30.

8. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., 1959. 324 c.

9. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л., 1952. 432 с.

10. Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. М., 1981. 544 с.

11. Александров А. Ю. О существовании функций Ляпунова специального вида для одного класса нелинейных систем. Труды 13-ой межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 29-31 мая 2003 г. Часть 3. С. 7-9.

12. Александров А. Ю. Об устойчивости по нелинейному приближению одного класса неавтономных систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №7. С. 993-995.

Статья поступила в редакцию 5 января 2004 г.