Об устойчивости равновесий спутника с двухстепенным силовым гироскопом на круговой орбите Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 34-35

УДК 531.36

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЙ СПУТНИКА С ДВУХСТЕПЕННЫМ СИЛОВЫМ ГИРОСКОПОМ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ

© 2011 г. Н.И. Амелькин

Московский физико-технический институт, г. Долгопрудный

namelkin@mail.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

На основе теоремы Барбашина - Красовского разработана методика, позволяющая по характеру вековой устойчивости и усеченным уравнениям линейного приближения делать заключение о характере устойчивости по Ляпунову положений равновесия автономных систем с частичной диссипацией. Методика использована для исследования положений равновесия спутника, несущего двухстепенной силовой гироскоп с диссипацией в оси рамки, на круговой орбите.

Ключевые слова: спутник, силовой гироскопа, положения равновесия, вековая устойчивость, устойчивость по Ляпунову.

1. Методика исследования устойчивости систем с частичной диссипацией

Рассматривается автономная система, положение которой задается (п + m)-мерным вектором обобщенных координат q, где qT = (ут, х1), ут = (у1 , ..., уп), хт = (х1 , ..., хп). Предполагается, что известна функция V(q,q), для которой в силу уравнений движения выполняется условие V < 0, причем диссипация действует только по координатам х1 , ..., хм , т.е.

V < 0 при х Ф 0и V = 0 при х = 0. (1)

Обозначив через г и и векторы г =(^), и1 =(ут ,ут), запишем уравнения движения системы в виде, разрешенном относительно старших производных:

и = / (и, х, х), х = ф(и, х, х). (2)

Здесь / и ф — вектор-функции фазовых переменных размерности N = 2п и т соответственно.

По теореме Барбашина — Красовского, если в малой окрестности положения равновесия г = 0 (и = 0, х = 0) нет целых траекторий г°(?) Щ Щ 0, удовлетворяющих условию V(г °(0) = 0, то в случае вековой устойчивости (V имеет строгий локальный минимум в точке г = 0) оно асимптотически устойчиво, а в случае вековой неустойчивости (V не имеет минимума в точке г = 0) — неустойчиво по Ляпунову.

В силу (1) для отсутствия в окрестности точки г = 0 целых траекторий г0(() Щ 0 необходимо и достаточно, чтобы в этой окрестности получаемая из (2) при х = 0 система уравнений

и = / (и,0, х), 0 = ф(и,0, х) (3)

имела только тривиальное решение и щ 0, х щ 0. Система (3) представляет собой переопределенную систему дифференциальных уравнений относительно переменных и, а переменные х могут принимать только фиксированные значения, т.е. выступают в роли параметров.

Система, получаемая линеаризацией уравнений (3) в окрестности положения равновесия, записывается в виде

и=Ат и + Вх, Рти + Сх=0,

(4)

где матрицы выражаются через производные от функций /и ф в точке и = 0, х = 0 формулами

Ат = д//дит, В = д//дхт,

(5)

Рт =дф/дит, С = дф/дхт.

Теорема 1. Для отсутствия нетривиальных решений системы (3) в окрестности положения равновесия и = 0, х = 0 достаточно выполнения условий

ё = det

А т В

Рт С

Ф 0, g=det(GGT) Ф 0;

(6)

G = ||Р АР А2Р ... А^Р||.

Первое из условий (6) означает отсутствие в окрестности рассматриваемой точки других положений равновесия линейной системы (4). Второе из условий (6) означает, что переопределенная система

и = А и, Р и = 0,

(7)

получаемая из уравнений (4) при х щ 0, имеет только тривиальное решение и щ 0.

2. Анализ устойчивости равновесий спутника, несущего двухстепенной силовой гироскоп с диссипацией в оси рамки

Для спутника, несущего двухстепенной силовой гироскоп, положения равновесия на круговой орбите соответствуют стационарным точкам измененной потенциальной энергии

W=3rT Jr /2 - nT Jn/2 - nT H+c( x - x0)2/2;

H = H/ra0, c = c/®2

(8)

и определяются решениями системы уравнений [1, 2]

пх^п +Н)=3rxJr, sт (nxH)+c( х-х0)=0, (9)

где г и п — орты орбитального базиса, направленные по радиусу орбиты и по нормали к плоскости орбиты соответственно, H — собственный кинетический момент вращения ротора, Ю0 — угловая скорость орбитального базиса, s — орт оси прецессии гироскопа, с — коэффициент жесткости пружины, х — угол прецессии гироскопа, J — тензор инерции спутника. При наличии строгого локального минимума функции (8) положение равновесия устойчиво, а при отсутствии минимума — неустойчиво в вековом смысле.

Линеаризованные уравнения движения в окрестности положения равновесия записываются в виде [3]:

JU'+/бх '+s х(Н - 1п) х'+п х (s х H) х =

= Е(и)+Г(у), (ю)

I (б1 и'+х") = (б х Н)т и -цх'-(пт Н+с) х, у'=и + ух п.

Здесь штрихом обозначены производные по безразмерному времени Т = х — отклонение угла прецессии от его значения в положении равновесия, у — вектор малого поворота корпуса спутника, I — момент инерции гироскопа относительно оси Б, Ц = ~/Ю0, где ~ — коэффициент демпфирования, а функции Г(у) и Р(Ц) определяются формулами

Г (у) = 3[(г х у) х Jr + г х J(r х у)],

Е(и) = -и x(Jn+Н)-п х JU. (11)

При х щ 0 система (10) принимает вид

^' = Е(Ц) +Г (у), у'=и + у х п, (12)

/б1 и'=(б х Н)т и и представляет собой переопределенную систему из семи скалярных дифференциальных уравнений для шести переменных у, и. В силу теоремы 1, для отсутствия в окрестности изолированного положения равновесия целых траекторий г°(^) нелинейной системы достаточно, чтобы усеченная линеаризованная система (12) имела только тривиальное решение у щ 0, и щ 0.

В [1—3] проведено исследование положений равновесия спутника с двухстепенным силовым гироскопом для случая, когда ось прецессии гироскопа параллельна одной из главных центральных осей инерции спутника, и для динамически симметричного спутника при произвольном расположении оси прецессии. Изучена зависимость положений равновесия от величины кинетического момента ротора и определен характер их вековой устойчивости. При наличии диссипации в оси рамки гироскопа на основе теоремы 1 (по результатам исследования решений системы (12)) определен характер устойчивости по Ляпунову всех положений равновесия за исключением точек, соответствующих отдельным значениям величины кинетического момента ротора.

Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации в рамках контрактов с Минобрнауки России № 13.025.31.0028 и № 14.740.11.0149.

Список литературы

1. Амелькин Н.И. О стационарных движениях спутника с двухстепенным силовым гироскопом в центральном гравитационном поле и их устойчивости // ПММ. 2009. №2. С. 236—249.

2. Амелькин Н.И. О равновесиях и устойчивости динамически симметричного спутника с двухстепенным силовым гироскопом // ПММ. 2010. Т. 74, № 5. С. 718—733.

3. Амелькин Н.И. Анализ устойчивости равновесий спутника, несущего двухстепенной силовой гироскоп с диссипацией в оси рамки // ПММ. 2010. Т. 74, №4. С. 567—581.

ON THE STABILITY OF EQUILIBRIUMS OF A SATELLITE WITH A TWO-DEGREE-OF-FREEDOM POWERED GYROSCOPE ON A CIRCULAR ORBIT

N.I. Amelkin

Based on Barbashin - Krasovsky theorem, a technique is developed that allows making conclusions about the nature of Lyapunov stability of equilibriums of autonomous systems with partial dissipation on the basis of the character of secular stability and truncated equations of linear approximation. Technique was used to study equilibriums of a satellite carrying a two-degree-of-freedom powered gyroscope on a circular orbit.

Keywords: satellite, powered gyroscope, equilibriums, secular stability, Lyapunov stability.