CC BY
46
УДК 517.11
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОЙ НЕЧЕТКОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ
И.И. Терновых, Т.М. Леденева
В данной статье рассматривается устойчивость нечеткой дискретной системы, проводится анализ устойчивости в зависимости от вида матрицы отношений
Ключевые слова: устойчивость, а -устойчивость, нечеткая система, функция принадлежности
Введение . Пусть X,Y - конечные множества, XI = п, |У| = m . Рассматривая их в качестве универсальных, определим нечеткие подмножества A и B , тогда их декартово произведение A X Б представляет собой нечеткое отношение. Кроме того, его произвольное подмножество Я с А X Б также является нечетким отношением. В прикладных задачах нечеткое отношение Я может иметь достаточно сложную структуру, обусловленную его интерпретацией. Например, в рамках методики нечеткого моделирования [1] нечеткое отношение Я формализует базу правил, при этом если в базе содержится единственное правило, то Я = А ® Б; если правил несколько
® Б )} =17, то Я является результатом их агрегирования, т.е.
Я = ^(А ® б1,...,а ® в).
В задаче лингвистической аппроксимации под нечеткой системой подразумевается система
и ^ Я ^ V ,
я
База правил
на вход которой поступает некоторое нечеткое множество и , а на выходе на основе базы правил формируется нечеткое множество V , при этом понятие импликации интерпретируется достаточно широко [2].
Формально нечеткая система представляется выражением
и о Я = V , (1)
где иV - нечеткие подмножества некоторых универсальных множеств, Я - нечеткое отношение, о - операция композиции (всевозможные варианты данной операции рассматривались в [3]).
Выражение (1) при известных и (Я) V и неизвестном Я (и) также называется реляци-
Терновых Ирина Ивановна - ВГУ, аспирант, тел. (473) 220-827-66
Леденева Татьяна Михайловна - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 243-77-18
онным уравнением. В терминах функции принадлежности его можно записать в виде
шахтт|^и (х) ,Ця (Х,У)} = ^ (У),У е Y .
Большое значение для приложений имеет понятие устойчивости выражения (1), которое позволяет говорить об устойчивости соответствующей нечеткой системы. Рассмотрим устойчивость нечеткого уравнения (1) на основе обобщения четкого варианта [4].
Пусть Р (X) ,Р (Г) - семейства четких
подмножеств X и Г соответственно, Р(У) -
множество возможных выходных значений в У (осуществимых выходов). Рассмотрим множества и е Р (X), V е Р (Г) и отношение
Я : Р (X) ® Р (Г). Будем считать, что система (1) устойчива по отношению к семейству входов Р (X), если для каждого множества
и е Р (X) выполняется соотношение
и о Я П [У — Р (У)] = 0 . (2)
Иными словами, система (1) обладает свойством устойчивости по отношению к Р (X) , если для каждого входного значения и е Р (X) множество и о Я не содержит неосуществимых выходных значений.
Теперь рассмотрим обобщение данного определения на нечеткий случай.
Нечеткая система (1) а -устойчива по отношению к нечеткому множеству
и е Р (X) и некоторому подмножеству осуществимых выходов Р (У) с У , если для каждого элемента уе У — Р (У) выполнено ^ (у}) < а, где и о Я = V .
Пусть для некоторого входного значения 17 выходное множество V имеет функцию принадлежности такую, что система (1) не является а -устойчивой по отношению к множеству Р(У). Это означает, что для системы
и о Я = V найдется точка у0 е У — Р (У) та-
кая, что цV (y0) > а . Но эта ситуация не исключает устойчивости для некоторого другого значения а1.
1. Необходимое и достаточное условие для сс — устойчивости системы (1)
Пусть нечеткое отношение R определяется следующим образом R = A ® B = A X B , т.е.
r = min {цA (x), цB (Уj)}, где x е X,ys е Y ,
i = l,n, j = l,m . Тогда выходные значения из множества yj е V, связанные с входными элементами множества xi е U, представим следующим образом:
Ц-V ( Уj ) = maxmin {ци (xi) ,ц R ( Х,’Уj )} =
= m=ax min {ци ( xi ) ,min {ц A ( xi ) , Ц B ( У j )}} =
= min {max {ци (x) ,ц A (x)} ,ц B (y3)}.
I i=1,n ' J
Из данного соотношения следует, что ^ (y}) < цB (y}) для всех j = 1,m , а, следовательно, V с B , т.е. множество выходных значений должно содержаться в B .
Зададим множество F (Y )с Y и представим ^ (yj) < а для yj е Y - F (Y) следующим образом:
= min{max{ци (x.) ,цa (x-)},цb (y})} < а. (3)
I i=1,n ' J
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Если система (1) а -устойчива по отношению к некоторому множеству
U с X, то min {цA (xt)} < а или цB (yj) < а .
Доказательство. Предположим, что система (1) а -устойчива и min {цA (xt)} > а . Дока-
i=1,n
жем, что ц B (yj )< а для всех элементов
yj eY -F(Y). Для A можно выбрать такое множество U с X , которое включает A , т.е. ци (xt) > цA (xt) для всех x . Тогда
maxmin {ци (xt) ,цА (xt )} = max {цА (xt )}> а .
i=1,n i=1,n
Но неравенство (2) выполнится только, если для всех элементов yj е Y — F (Y) имеет место
цB (yj) < а . С другой стороны, пусть сущест-
вует некоторый элемент yj eY — F (Y), такой, что цB (yj) > а . Но тогда, согласно (2), maxmin {ци (x. ) ,цА (x. )} < а должно быть
i=1,n
выполнено для любого элемента из множества U, при этом если А с U, то min ^ (x.),цА (x. )} = цА (x.), и, следовательно, max{цА (x.)} < а, что и требовалось
i=1,n
показать.
Имеет место следующее утверждение. Теорема 2. Пусть в системе (1) R = А ® B и система а -устойчива, тогда для заданного подмножества Q с X выполняется
условие: maxmin (x.) ,цА (x.)} < а для
i=1,n
любого подмножества U с Q или цB (yj) < а
для любого yj eY — F (Y).
Из сформулированных выше утверждений имеем:
1. Если для каждого элемента y}- е Y — F (Y) выполняется неравенство цB (yj) < а , то
Q = P (X) , где нечеткое множество P (X) определено на X .
2. Если существует элемент yj е Y — F (Y), такой что цB (yj) > а, то
\ци (x )е [М,пРи цА (xi )< а [ цу (xt )< а, иначе
не содержится в F(X) .
Рассмотрим пример. Пусть X = {1,2,3,^},
Y = {1,2,3,4,5} . Зададим нечеткие подмноже-
Q = \U:
ства
А = {(1/1),(2/0.8) ,(3/0.3) ,(4/0)},
Б = {(1/0),(2/0.2) ,(3/0.3),(4/0.7) ,(5/1)}. Пусть Р (У) ={1,2,3}, У—Р (У) ={4,5},
"0 0.2 0.3 0.7 1 '
0 0.2 0.3 0.7 0.8
0 0.2 0.3 0.3 0.3
0 0 0 0 0
Определим нечеткое подмножество Q , для которого система (1) имеет 0.3-устойчивость.
Так как условие 1) не выполняется, то на основе условия 2) получим следующее множество:
Q ={U : ци (xi )< 0.3, ци (x2 )< 0.3,
цу (x3 )е [0,1j , цу (x4 )е [0,1j} .
Возьмем, например,
U ={(1/0.1),(2/0.2),(3/0.8) ,(4/0.1)}е Q, тогда UoR ={(1/0),(2/0.2) ,(3/0.3) ,(4/0.3) ,(5/0.3)}
удовлетворяет 0.3-устойчивости.
2. Свойство хорошего отображения
В системе (1) предполагается, что отношение R представляет собой импликацию, которая, по сути, соответствует единственному продукционному правилу.
Рассмотрим правило вида
R = (if AthenBelseC) = ( А ® B) v(—А ® C),
тогда элементы матрицы R определяются следующим образом:
Г = цА (x)Л цв (yj)v (1 — цА (x))л цс (yj),
где i = 1,n, j = 1,m .
Заметим, что в определении нечеткого отношения R не любые множества A, B, C являются подходящими. Рассмотрим следующий пример:
Пусть X = {1,2,3,4}, Y = {1,2,3,4,5} ,
А = {(1/1),(2/0.6),(3/0.3),(4/0)},
в = {(1/0),(2/0.2) ,(3/0.4),(4/0.7),(5/1)}
C = {(1/1),(2/0.8),(3/0.6),(4/0.3),(5/0)}. Отношение R будет иметь вид
0 0.2 0.4 0.7 1 '
0.4 0.4 0.4 0.6 0.6
0.7 0.7 0.6 0.3 0.3
1 0.8 0.6 0.3 0
Вычислим
AoR={(1/0.4),(2/0.4) ,(3/0.4),(4/0.7),(5/1)},
при этом А о R ф B . Кроме того, —А о R ф C . Если база правил содержит s правил и применяется агрегирование с помощью связки or
(v), то матрица R имеет следующий вид
R =( А1 ® B1 )л ... л( As ® Bs ) .
Будем говорить, что матрица R обладает свойством хорошего отображения, если для
каждого i = 1,s выполняется А. о R = B,.
Заметим, что свойство хорошего отображения матрицы Я зависит от вида нечетких множеств А и Б. Выясним, какими свойствами
I I
R
должны обладать множества А. и B. для того,
чтобы отношение R обладало свойством хорошего отображения.
Утверждение 1. Пусть матрица нечеткого отношения формализует продукционное правило вида R = if A then B else C . Тогда
ц aor (yj) = ц в (yj) при условии что ц c (yj) < цв (yj) < max ц a (x).
Доказательство. Очевидно, что цА (x.) > min {1 — цА (x.), цА (x.)}. Объединяя
это с предположением цс (yj ) < цв (yj ), получим следующее:
min{цA (xi) ,цв (yj )}> mn{1—^ (x-) ,ца (x-) ц (yj)}.
Заметим, что цAcR (yj) = maxmm {цa (x.), цr (x., yy)}, откуда после преобразований ЦR (xi,yj) = max{1—ца (x.) ,цв (yj) ,ца (x.) ,цс (yj)}. Принимая во внимание предыдущее неравенство, получим
цAor (yj )= maxmin{ца (xi) ,цв (yj)}, но это
означает, что цAor (yj) = цв (yj).
Данное равенство следует из предположения, что цв (yj) < max цА (x.).
В рассмотренном выше примере цв (yj )< max цА (x.) верно для любого yj, и
выполнено следующее: цс (y4) < цв (y4),
цс ( y5 )£ цв ( y5 ) , ^oR ( y4 )= цв ( y4 ) ,
цAoR ( y5 ) = цв ( y5 ) , цAoR ( y3 ) = цв ( y3 ) ,
но цс ( ys ) > цв (ys ) .
Утверждение 2. Пусть дана матрица нечеткого отношения R = if A then B else C . Тогда
ц 0OR (yj ) = ц с (yj) при условии что
цс (yj) < max[ц-А (xi)}и цB (yj) < цс (yj).
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству Утверждения 1.
Пример, рассмотренный выше, также иллюстрирует этот случай. Заметим, что
цв ( y1 ) < цс ( y1 ) , цв ( y2 ) < цв ( y3 ) = цс ( y3 ) ,
что обусловливает выполнение равенств
Ц —АоЯ (У] ) = ЦС ( У] ) для ] = 1,2,3 .
На основе этих двух утверждений можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть А1,...,Ах — нечеткие множества, определенные на множестве X , такие,
что ^ЦА (X) = 1 для любого х; Б1,...,Ба —
1=1
нечеткие множества, определенные на множестве У . Пусть нечеткое отношение Я задано следующим образом:
Я = ( А1 ® Б1 ) ог...°г (4 ® Б, ).
Тогда цAcR (yj) = цвк (yj), если для
неко-
торых ке {1,...,5} и некоторых
] е{1,...,т} выполнено
Ц бк ( У ] )< тах Ц Ак ( X ) и для
1 Ф к Ц Бк ( У] )£ Ц Б, (У] ) .
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству Утверждения 1. Конечно,
ц А
(x ) > ШП {цА, (x, ) , цAt (xi )} для 1 Ф k .
Второе предположение дает следующее неравенство:
тп{м-4 (X), Ивк (У]) ^ тпК (X-) Ц (X) ^ (У])}}.
Учитывая определение Я, на основе утверждений получим
^АкоЯ (У] )= тахт1п {цАк (X ) ^ (У] )} =
= тт{тах цАк (х) ,цбк (У])} = ЦВк (У]).
Таким образом, мы получили достаточное условие для уравнения ц АоЯ ( у] ) = цВк ( у] ) для некоторого элемента у . е У . Если это равенство выполняется для любого элемента У ] е У , то матрица нечеткого отношения Я
обладает свойством хорошего отображения. Рассмотрим пример.
А = {(1/1),(2/0.6),(3/0.3),(4/0)},
Б = {(1/0.4),(2/0.4),(3/0.4),(4/0.7) ,(5/0.7)]
С={(1/1),(2/0. 8) ,(3/0.6),(4/0.4) ,(5/0. 4)}.
Отношение Я будет иметь вид
0 0.4 0.4 0.7 1 "
0.4 0.4 0.4 0.6 0.6
Я =
0.7 0.7 0.6 0.4 0.4
1 0.8 0.6 0.4 0.4
Проверяя выполнение равенств А о R = B и ^AoR = C или иначе цAR (yj ) = цв (yj) и
ц -AoR ( у j) = ц с ( у j) легко убедиться, что матрица R обладает свойством хорошего отображения.
Справедливо следующее Утверждение 3. Пусть дана матрица нечеткого отношения R = if A then B else C . Если выполняются соотношения
цв (yj) < max{цА (x)}, цв (yj) < цс (yj), цB (yj ) > max {цА ( xi ) ,1 — цА ( xi )} , то ц Aor (yj ) = цв (yj).
Доказательство. Рассмотрим y j е Y . Если цв (yj )> цс (yj), то, как доказано в Утверждении 1, выполняется цAoR (yj) = цв (yj). Если же цв (yj )< цс (yj), тогда, используя
неравенство цА (x.) > min {1 — цА (x.), цА (x.)}, получим
mn^A (xi ) , цв (yj )} > min{ — ца (xi ) , ца ( xi )} ,
и тогда выполнится
™п{ц А (x) ,цв (yj )}>
> тт{—min{ца (x) ,цс (yj )},ца (x.)}.
Таким образом,
цA.R ( yj ) = maxmin {цА ( xi ) ,цв ( yj )} =
= min{maxцА (x. ) ,цв (yj)} = цв (yj).
Обобщение Утверждения 3 позволяет получить следующую теорему.
Теорема 4. Пусть задано нечеткое отношение R = (A1 ® B1) or ...or (As ® Bs). Тогда
равенство цА oR
(yj ) = цBt (yj)
выполняется,
если имеют место соотношения
ЦБк (У] )= тах {цАк ( X )} , ЦБк ( У] )> ЦБ, (У] ) , Ц Бк ( У] ) ^ тахт1п {ц Ак ( X ) ,Ц А ( X )} для некоторого к Ф Iи ]е {1,...,т} .
Доказательство. Из Утверждения 3 мы получили важное неравенство
ЦБк (У] ) ^ тахтп {ц Ак ( X ) ,1 — Ц Ак ( X )},
правая часть которого равна нулю, если множество Ак является четким множеством, и
достигает максимума, если цА (xi ) = 0.5 для
некоторого множества Ак .
к
Степенью нечеткости множества А, определенного на универсальном множестве X , называется величина
р(А) = max{цА (X),1 — цА (X)}е [0, 0.5].
Теорема 5. Пусть А1,...,А1! — нечеткие множества, определенные на множестве X , такие,
что ^цА (X) = 1 для любого X; Б1,...,Ба —
1=1
нечеткие множества, определенные на множестве У . Пусть Я=( А ®Б1) ог...ог (Ах ®Бх),
тогда ЦАкоя (У] ) = цВк (У]), если для некоторых ке{1,...,5} и ]е {1,...,т} выполнено
Цв (У] )< ^ ц Ак (X), для I Ф к имеет место
неравенство цБк (уу) < цБ; (уу), а также
р (Ак )< р (Бк) для всех к ^Л...^}.
Доказательство. Докажем, что неравенство Р (Ак )< Р (Бк) применимо к неравенству
цБк (У]-) > тох{цАк (X), цА, (X)} . ОчевиДно,
что если ЦБк (У] ) > р (Бк ) > Р (Ак ) , то ЦВ (У]) = р (Ак). В результате получим
1 — Ц Бк ( У] ) = 1 — р ( Ак ) = 1 — ^{цАк (X),1 — ЦАк (X )} = тп{ — цАк (X),цАк (X)}.
Рассмотрим пару множеств Ак и Аг и предположим, что для них выполняется соотношение ц А (X ) < 1 — ц а (X), тогда получим следующее неравенство: тт^{ — цАк (X),ца, (X)}< тттт{1— ЦАк (X),1— ца, (X)} =
1 — т-п (1 — {цАк ( X ) , ЦА1 ( X )}) =
^(тп{цАк (X ),ЦА1 (X)}) .
Таким образом, выполнено неравенство
1 — цвк (yj) < 1 — max (min {цАк (X),цА (x)}),
которое эквивалентно неравенству
цвк (yj) > max (min {цАк (xi), цА, (xi)}), но это
достаточное условие теоремы.
Таким образом, матрица нечеткого отношения R обладает свойством хорошего отображения, если степень нечеткости матрицы Вк не
меньше чем степень нечеткости матрицы Ак, исключая случай, когда цВк (у .) > цВ; (Уj) для
к ф l. В этом случае нет ограничений на матрицы Ак, Вк для обеспечения свойства хорошего отображения матрицы R .
Заключение. Являясь универсальными ап-проксиматорами, нечеткие системы получают все более широкое распространение в технических и иных прикладных областях. Исключительное значение как для практики, так и для развития теории играет свойство устойчивости нечетких систем. В данной статье рассматривается один из вариантов определения устойчивости, который «базируется» на свойствах «хорошего» отображения. Развитие данного подхода в дальнейшем предполагает рассмотрение сложной матрицы R .
Литература
1. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление / А. Пегат. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. -798 с.
2. Леденева Т.М. О нечетких импликациях, полученных обобщением булевой функции / Т.М. Леденева, А.С. Грибовский // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2003. № 2. С. 189-196.
3. Леденева Т.М. Обработка нечеткой информации / Т.М. Леденева. - Воронеж : Воронежский государственный университет, 2006. - 233 с.
4. Kania A.A., Kiszka J.B. On Stability of Formal Fuzziness Systems // Information Sciences, 1980. № 22. -Pp. 51-68.
5. Леденева Т.М. Системы искусственного интеллекта и принятия решений. учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению "Информатика и вычисл. техника" / Т. М. Леденева, С. Л. Подвальный, В. И. Васильев ; Федер. агентство по образованию, Гос. образо-ват. учреждение высш. проф. образования "Уфим. гос. авиац. техн. ун-т", Воронеж. гос. техн. ун-т. Уфа, 2005.
Воронежский государственный университет Воронежский государственный технический университет
ABOUT STABILITY OF ONE DISCRETE FUZZY SYSTEM I.I. Ternovykh, T.M. Ledeneva
The article is devoted to the problem of stability of discrete fuzzy system. It is performed the stability in dependence of fuzzy relation matrix
Key words: stability, a —sability, fuzzy system, membership function
