О свойствах решёток подавтоматов нечётких полуавтоматов и их детерминизаторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.713.2, 512.573

И.Е. Ульзутуев, А.А. Максимов

О СВОЙСТВАХ РЕШЁТОК ПОДАВТОМАТОВ НЕЧЁТКИХ ПОЛУАВТОМАТОВ

И ИХ ДЕТЕРМИНИЗАТОРОВ

Рассмотрены связи между некоторыми универсально - алгебраическими конструкциями нечётких полуавтоматов и универсально - алгебраическими конструкциями их детерминизаторов. Показаны связи между решётками подавтоматов нечётких полуавтоматов и соответствующими решётками их детерминизаторов. Доказано, что решётка подавтоматов произвольного нечёткого полуавтомата изоморфно вкладывается в решётку подавтоматов его детерминизато-ра. Рассмотрены некоторые вопросы сильной связности нечётких полуавтоматов и их детерминизаторов. Показано, что детерминизаторы сильно связных нечётких полуавтоматов могут не являться сильно связными полуавтоматами.

Нечёткий полуавтомат, детерминизатор, решётка подавтоматов, подрешётка I.E. Ulzutuev, A.A. Maximov

THE PROPERTIES OF SUBAUTOMATA LATTICES OF FUZZY SEMIAUTOMATA

AND THEIR DETERMINIZATORS

Relations between the algebraic properties of fuzzy semiautomata and algebraic properties of their determinizators are considered in this article. The relations between

subautomata lattices offuzzy semiautomata and subautomata lattices of the appropriate determinizators are shown. It is proved that subautomata lattice of the arbitrary fuzzy semiautomaton is isomorphically embedded in the subautomata lattice of its determiniza-tor. Some issues of the fuzzy semiautomata strong connectivity are considered. It is also shown that the determinizator of the strongly connected fuzzy semiautomata may not be strongly connected semiautomata.

Fuzzy semiautomaton, determinizator, subautomata lattice, sublattice

В последние десятилетия наблюдается возрастание интереса к различным аспектам проблемы интеллектуального управления [1, 2]. Одно из основных направлений, связанных с решением задач такого рода, состоит в использовании аппарата нечётких систем: нечётких множеств, нечёткой логики, нечёткого моделирования и т.п. Применение данных подходов приводит к построению нечётких систем управления различных классов, позволяющих решать задачи управления в ситуациях, когда традиционные методы неэффективны или даже вообще неприменимы из-за отсутствия достаточно точного знания об объекте управления [3]. С начала 1990-х годов наблюдается интенсивное развитие нечётких методов в рамках целого ряда прикладных областей, как правило, связанных с техникой [3], таких как: управление печами, холодной прокаткой, водяными насосами, а так же распознаванием образов и речи [4]. Нечёткое моделирование и управление применяется также и в медицинских целях [3, 5].

В 1965 году Лотфри Заде опубликовал основополагающую работу «Fuzzy Sets» в журнале «Information and Control», где впервые ввёл понятие нечёткого множества [6]. В 1969 году Ви и Фу предложили конструкцию нечёткой автоматной модели, являющейся обобщением конструкции детерминированных автоматов [7]. Основная идея заключалась в том, что в отличие от детерминированных автоматов, в нечётких автоматах переходы между различными состояниями определяются не однозначно, а имеют некоторую оценку из отрезка [0,1].

Таким образом, нечёткие автоматы и полуавтоматы являются математическими моделями нечётких дискретных систем, имеющих определённые наборы состояний, правила переходов между которыми определены неоднозначно.

Удобным способом для описания функционального поведения нечётких автоматов / полуавтоматов являются методы универсальной алгебры [8], стандартные алгоритмы которой успешно применяются для решения задач математического и компьютерного моделирования реальных систем и процессов.

Ранее для нечетких автоматов/полуавтоматов Максимовым А.А. были введены аналоги универсально-алгебраических конструкций [9], а также была показана возможность применения этих конструкций при решении задач минимизации сложных информационных систем [10, 11].

Однако при решении практических задач было бы удобнее иметь дело с детерминированными автоматами/полуавтоматами, которые функционально полностью отражали бы поведение соответствующих им нечётких автоматов/полуавтоматов, и в то же самое время допускали бы более простую реализацию. Такие детерминированные автоматы/полуавтоматы существуют и их называют детер-минизаторами [12] нечётких автоматов/полуавтоматов. Тем не менее, до сих пор в полной мере не изучены связи между универсально-алгебраическими конструкциями нечетких полуавтоматов / автоматов и универсально-алгебраическими конструкциями их детерминизаторов, также в полной мере не изучены связи между их свойствами.

В данной статье рассматриваются некоторые взаимосвязи между некоторыми универсально-алгебраическими конструкциями нечётких полуавтоматов и аналогичными универсально-алгебраическими конструкциями их детерминизаторов.

При этом рассматриваются исключительно нечёткие полуавтоматы (т.е. нечёткие автоматы без функции выхода). Поэтому далее в тексте данной работы для удобства записи, подразумевая полуавтомат, будем говорить просто автомат.

Для описания результатов работы приведём необходимые определения.

Определение 1. Пусть S - некоторое непустое множество, состоящее из n элементов. Нечётким подмножеством m ( S ) множества S называется совокупность

m(s)=(m(s) m(*2) - mk)), m,е[од], 1 <i<n.

Таким образом, число m(s) интерпретируется как степень уверенности в суждении о принадлежности элемента s Î S нечёткому множеству M (S) .

Определение 2. Нечёткой матрицей A = (ay) размерности nXm называется матрица с элементами из отрезка [0,1].

Умножение нечётких матриц определяется формулой: (AB)= max min (Ay, Bjk) . Таким образом, для вычисления суммы элементов нечётких матриц используется операция взятия максимума, а для вычисления произведения их элементов - операция взятия минимума.

Определение 3. Нечётким автоматом называется тройка A = ( S, X,S), где S и X непустые

конечные множества (множество состояний и множество входных сигналов), а S: SXX S) -

нечёткая функция переходов.

Равенство S(s1, x)(s2 ) = l истолковывается следующим образом: нечёткий автомат A из состояния s1 под действием входного сигнала x может перейти в состояние s2 со степенью уверенности l е [0,1] [8].

Каждому входному сигналу x е X нечёткого автомата A можно поставить в соответствие нечёткую матрицу перехода M (x) размерности n X n, n = |S|.

Элемент (m(x))= l, lG[0,1], если под действием входного сигнала X нечёткий автомат A

может перейти из состояния st в состояние Sj со степень уверенности l.

Графически нечёткий автомат изображается в виде нечёткого графа переходов G (A), т.е. ориентированного графа, дуги которого имеют вес из отрезка [0,1] .

Состояния автомата изображаются вершинами графа G (A). Если состояние s1 под действием входного сигнала X переходит в состояние s2 со степенью уверенности l, то в графе G(A) существует дуга (s1, s2) с весом l, помеченная символом X.

Определение 4. Нечёткий автомат A = ( S, X, S) называется автономным, если множество его входных сигналов состоит из одного элемента, то есть X = {x} .

Определение 5. Автономной компонентой нечёткого автомата A = (S, X, S) называется нечёткий автомат Ak = (S,{ xk }, Sk).

Очевидно, что любой нечёткий автомат можно представить в виде объединения его автономных компонент: A = UA.

Графически нечёткий автомат A так же можно задать и набором графов, представляющих его автономные компоненты At.

Определение 6. Замыканием [E]S множества E относительно сигнатуры S называется

множество всех элементов (включая сами элементы множества E), которые можно получить, применяя операции из сигнатуры S .

Определение 7. Пусть A = ( S, X, S) - нечёткий автомат, n = |S| - количество состояний автомата A , E - множество из n единичных нечётких векторов размерности n, M (X) - множество

нечётких матриц перехода нечёткого автомата A. Детерминизатором нечёткого автомата A = (S,X,S) называется детерминированный автомат D(A) = (M(S),X,А), где M (S) = [E]M(X),

а А - функция переходов детерминизатора D (A): А: M (S)® M (S), A(m) = m M (x), /те M (S), M (x )е M (X).

Единичные нечёткие вектора из множества E называются порождающими состояниями детерминизатора D(A). Эти «координатные» векторы можно отождествить с состояниями нечёткого автомата A .

Пусть М(5)={т,М2, — ,ты} , X и} . Тогда функцию переходов А детерминиза-

тора О(А) удобно представить в виде таблицы следующего вида:

А х1 х2 хт

т А(М, х) А(т, х2) А(Л, хт )

т А(т, х1) А(М2, х2) А(^2, хт )

ММ А(ММ > х1) АК > х2 ) А(Мм > хт )

Графически детерминизатор О (А) изображается в виде ориентированного графа переходов О(О(А)), вершины которого помечены нечёткими векторами - состояниями из множества М(5).

Пример 1. Рассмотрим автономный нечёткий автомат А — ({^52},{х,},8), функция перехо-

дов 8 которого задана следующей нечёткой матрицей переходов М (х1) =

(0.5 0.6^ 0.7 0.4,

и построим его

детерминизатор О( А) .

Порождающими состояниями о(А) являются нечёткие вектора м — (1 0) и /л2 — (0 1). На их основе построим все остальные состояния детерминизатора О(А) :

, х , х( 0.5 0.6 ^ ,

тм(х)—(1 0) 107 04)—(0.5 06)—т

т • м (Х1)—(0 1)

( 0.5 0.6 ^

ч 0.7 0.4 ,

— (0.7 0.4)— т

т • м(х)—(0.5 0.6)

т М (х) — (0.7 0.4)

т5 • м(х1) —(0.6 0.5)

(0.5 0.6

0.7 0.4

( 0.5 0.6 ^

0.7 0.4

(0.5 0.6

0.7 0.4

Таблица переходов детерминизатора О( А) :

— (0.6 0.5) —т5

— (0.5 0.6) — т3

— (0.5 0.6) — т3

А х1

т (1 0) т3 (0.5 0.6)

т (0 1) т (0.7 0.4)

т3 (0.5 0.6) т (0.6 0.5)

т (0.7 0.4) Мз (0.5 0.6)

т (0.6 0.5) т3 (0.5 0.6)

Рис. 1. Графы переходов нечёткого автомата (слева) и его детерминизатора (справа)

Пример 2. Рассмотрим нечёткий автомат А = (5",Х,8), где 5 = {¿1,52}, X = {х15х2} , а функция

переходов 8 задана следующими нечёткими матрицами переходов: м (х ) =

1 0 0.4 0.8

М (х2 ) =

0.3 0.7 0 1

Его автономными компонентами, очевидно, являются следующие нечёткие автоматы: А = (5,{х^} ,8), А2 = (5,{х2} ,8), нечёткие графы переходов которых изображены на следующих рисунках:

Рис. 2. Нечёткий граф переходов автономной компоненты А1

Рис. 3. Нечёткий граф переходов автономной компоненты А2

Порождающими состояниями В(А) являются нечёткие вектора т =(1 0) и /л2 =(0 1). На их основе построим все остальные состояния детерминизатора В(А):

т -м (х )=(1 0) т- м (Х1 )=( 0 1)

т - м(х1 ) = (0.4 0.8)

т-м (х2 )=(1 0) т - м (х2 ) = (0 1) т - м(х2) = (0.3 0.7)

т-м (х2) = (0.4 0.8)

т - м (х1 ) = (0.3 0.7)

т -м(х1 )=(0.з 0.8)

т - м(х2) = (0.з 0.8)

т -м(х) = (0.4 0.7)

( 1 0 ^

0.4 0.8 ( 1 0 ^ 0.4 0.8у ( 1 0 ч 0.4 0.8 (0.3 0.7 01 ( 0.3 0.7 ^

01 ( 0.3 0.7 ^ 01 ( 0.3 0.7 ^ 01 ( 1 0 ^

= (1 0)=А = ( 0.4 0.8) =т

= (0.4 0.8) = т3 = ( 0.3 0.7) = т

=( 0 1)=т

= (0.3 0.7)=т = (0.3 0.8)=т

0.4 0.8 ( 1 0

= (0.4 0.7) = т6

0.4 0.8

ч

(0.3 0.7

V 0

( 1 0 ^

= ( 0.4 0.8) = т 1 I=(0.3 0.8)=т

0.4 0.8

:(0.4 0.7 ) = т

У

А • M (x2) = (0.4 0.7)

( 0.3 0.7 ^

0

=(0.3 0.7)=m

Таблица переходов детерминизатора D(A):

А xi x2

А (1 0) А (1 0) А4(0.3 0.7)

а (0 1) А3(0.4 0.8) А (0 1)

А (0.4 0.8) А (0.4 0.8) А (0.3 0.8)

А (0.3 0.7) А6(0.4 0.7) А4(0.3 0.7)

А (0.3 0.8) А3(0.4 0.8) А (0.3 0.8)

А6(0.4 0.7) А6(0.4 0.7) А4(0.3 0.7)

Граф переходов детерминизатора d (a):

Рис. 4. Граф переходов детерминизатора в (А)

Из примера 2 также легко видеть, что детерминизаторы автономных компонент нечёткого автомата А могут не совпадать с автономными компонентами его детерминизатора в(А).

Все утверждения и теоремы, справедливые для нечётких автоматов, справедливы и для их детерми-низаторов, поскольку детерминированный автомат является частным случаем нечёткого автомата.

Определение 8. Подмножество 5 * множества 5 называется устойчивым в нечётком авто-

мате

A = (S,X,d), если (Vs*e S*)(Vxе X)(supp(d(s*,x)c S*)), где supp -

носитель нечеткого векто-

ра, supp m={sе S|m(s) >0} .

Определение 9. Нечёткий автомат A* = ( S*, X ,d*) называется подавтоматом нечёткого автомата A = (S,X, d), если S * - устойчивое подмножество множества состояний нечёткого автомата A , а d* = ¿|s*xx - сужение функции переходов d на множество S * .

Множество всех подавтоматов нечёткого автомата A вместе с пустым автоматом обозначают символом Sub A .

Множество всех подавтоматов детерминизатора D(A) = (M(S),X,А) нечёткого автомата A =(S,X,d) обозначим как SubD(A).

Для каждого подавтомата A* е Sub A определён отдельный детерминизатор D(A *). Множество всех таких детерминизаторов обозначим символом DSub A .

Ранее в [9] была доказана справедливость следующей теоремы о структуре множества подавтоматов нечётких автоматов:

Теорема 1. Совокупность Sub A всех подавтоматов нечёткого автомата A вместе с пустым подавтоматом образует решётку.

Из [8] известно, что множество P (S) всех подмножеств некоторого множества S образует дистрибутивную решётку относительно операций объединения и пересечения множеств.

Очевидно, что решётка Sub A является подрешёткой решётки P (S). Следовательно, множество Sub A всех подавтоматов нечёткого автомата A является дистрибутивной решёткой.

1

Рассмотрим подробнее, как связаны между собой решётки подавтоматов нечётких автоматов и соответствующие решётки их детерминизаторов. Для доказательства основных результатов для начала докажем ряд вспомогательных утверждений.

Теорема 2. Пусть A = ( S, X ,d) - нечёткий автомат и A* = ( S*, X ,d*) - некоторый его ненулевой подавтомат. Тогда детерминизатор D (A *) = ( M (S *), X, Д *) является подавтоматом детерминиза-тора D(A) = (M (S),X, Д).

Доказательство. Обозначим множество порождающих состояний детерминизатора D(A) = (M(S),X, Д) как E, множество порождающих состояний детерминизатора D(A *) = (M(S*),X, Д *)

как E *. По построению E* с E . Очевидно, что [E *]м(х) = M (S *), [E] = M (S) и [E*] с[E] ^ ^M(S*)сM(S). Следовательно, множество M(S*) устойчиво в детерминизаторе

D(A) = (M(S),X, Д) и детерминизатор D(A*) является подавтоматом детерминизатора D(A).

Следствие 1 из теоремы 2. Множество DSub A детерминизаторов нечётких подавтоматов нечёткого автомата A = (S, X, d) является дистрибутивной решёткой, причём эта решётка изоморфна решётке Sub A подавтоматов нечёткого автомата A = (S,X, d), т.е. Sub A @ DSub A .

Доказательство. Рассмотрим произвольные нечёткие автоматы AJ = ( Sj, X, d) и A2 =( S2, X,d). Определим отображение Y : Sub A ® DSub A следующим образом: Y( A) = D (A), A e Sub A, D (A) e DSub A. По построению DSub A очевидно, что Y является биекцией, т.к. из Y( Aj Y( A2) ^ Aj Ф A2 и Y( SubA) = DSub A. Кроме того, из теоремы 3 следует, что порядок во множестве DSub A совпадает с порядком в дистрибутивной решётке Sub A . Следовательно, множество DSub A является дистрибутивной решёткой и Sub A @ DSub A .

Следствие 2 из теоремы 2. Детерминированный автомат A = ( S, X ,d) изоморфен своему де-терминизатору D(A) = (M(S),X, Д), т.е. A @ D(A), если A - детерминированный автомат.

Рассмотрим теперь детерминизаторы нечётких автоматов с решётками подавтоматов наиболее простого вида.

Определение 10. Нечёткий автомат A = ( S, X ,d) называется примитивным, если решётка его подавтоматов содержит только тривиальные подавтоматы, т.е. Sub A = {0, A}.

Определение 11. ПустьX = {xj,x2,...,xm} - множество входных сигналов произвольного нечёткого автомата (его входной алфавит), X * - множество всевозможных конечных последовательностей входных сигналов вида хг1хг2...xk (слов над этим алфавитом). Пустое слово e так же принадлежит алфавиту X * : e e X .

Пусть теперь A = (S, X, d) - нечёткий автомат, тогда для "s e S , "p, q e X * выполняется:

d(s,e)(s) = J, d(s,pq) = d(d(s,p),q).

Определение 12. Пусть A = ( S, X, d) - нечёткий автомат, sJ, s2 e S, p e X *. Говорят, что состояние s2 достижимо из состояния sj в нечётком автомате A , если существует входное слово p такое, что d(sJ,p)(s2) = l, le(0,1].

Множество всех состояний, достижимых из состояния s e S , включая само состояние s (т.к. d(s,e)(s) = J) обозначим как S(s).

Определение 13. Ненулевой нечёткий автомат A = ( S, X ,d) называется сильно связным, если любые два его состояния достижимы друг из друга.

Очевидно, что в сильно связном нечётком автомате S = S (s) для "s e S .

Теорема 3. Нечёткий автомат A = (S, X ,d) является примитивным тогда и только тогда, когда он является сильно связным.

Доказательство. Пусть нечёткий автомат А = ( £, X, 3) является примитивным, 51 е £ и s2 е £ - его произвольные состояния. Вследствие примитивности £(£ ) = £ ^ ¿2 е £(£) и £ (s2 ) = £ ^ е £ (s2). Это означает, что состояния £ и £2 взаимно достижимы друг из друга. Следовательно, в силу произвольности выбора состояний £ и £2 нечёткий автомат А сильно связен.

Пусть теперь нечёткий автомат А = (£,X,d) сильно связен, А* = (£*,X,3*) - некоторый его ненулевой подавтомат и £ е £ *. Очевидно, что £ (5) с £ * в силу устойчивости подмножества £ * в автомате А *. С другой стороны, по причине сильной связности нечёткого автомата А : £ (£) = £.

Следовательно, £* = £ и А* = А . Значит, нечёткий автомат А примитивен. □

Теорема 4. Детерминизатор Б(А) = (М (£),X,Д) сильно связного нечёткого автомата

А = (£,X,3) может не являться сильно связным автоматом.

Доказательство. Пусть хотя бы одна матрица переходов нечёткого автомата А имеет следующий вид:

( ш '"11 • ш1У • ■ ш1п ^

M (х ) = ш., 11 ш.. j ш. 1п , хе X , 0 < ш.. < 1, 1 £ 1, j £ п У 7 J

шп1 у п 1 ■ m ш пп у

Очевидно, что нечёткий автомат A с такой матрицей переходов является сильно связным. Обозначим множество порождающих состояний детерминизатора D(A) = (M (S),X, Д) как

E = {e1,к,еп} .

Тогда, детерминизатор D(A), помимо своих порождающих состояний е^...,еп, будет содержать так же и состояния / | / =(тл ••• m " m), 1 £' £ П}. И, возможно, ещё ряд нетривиальных состояний m+1, к, mn+r, полученных по формуле / • M (х).

Для того, чтобы хотя бы из одного из состояний /,..., m+r можно было вернуться в хотя бы одно из порождающих состояний детерминизатора е1,., еп, необходимо выполнение хотя бы одного из следующих условий: • M (хк ) = е{, /у е/,..., /ип+г}, xk е X, е1 е E.

Очевидно, что если ни один из нечётких векторов mj не содержит ни одной единицы, то выполнение данных условий невозможно и вернуться из состояний /,..., ип+г в состояния е1,.,еп не

представляется возможным.

Следовательно, детерминизатор сильно связного нечёткого автомата может не являться сильно связным автоматом.

Следствие 1 из теоремы 4. Детерминизатор D (A) = (M (S), X, Д) примитивного нечёткого автомата A = (S,X,8) может не являться примитивным автоматом.

Нечёткие автоматы из примеров 1 и 2 являются сильно связными (следовательно, примитивными), а их детерминизаторы - нет.

Теорема 5. Мощность множества SubD(A) больше или равна мощности множества Sub A ,

т.е. \SubA\ £ \SubD(A)|.

Доказательство. В тривиальном случае, когда нечёткий автомат A = ( S, X,8) является детерминированным, A @ D(A) и \SubA = |DSubA|.

Из теоремы 2 также очевидно, что равенство |Sub A| > \DSub A| никогда не может выполняться. Из теоремы 4 следует, что неравенство |Sub A| < \DSub A| может быть справедливо.

Следовательно, в общем случае \Sub A| < \DSub A|.

Следствие 1 из теоремы 5. Решётка DSub A детерминизаторов подавтоматов нечёткого автомата A = ( S, X ,d) является подрешёткой решётки подавтоматов детерминизатора D(A) = (M(S),X,А) нечёткого автомата A = (S,X,d), т.е. DSubA ç SubD(A).

Доказательство. Поскольку любой нечёткий автомат A* е Sub A является подавтоматом нечёткого автомата A = (S,X,d), то, по теореме 3 детерминизатор D(A*)e DSubA является подавтоматом детерминизатора D(A) = (M(S),X,А) и, значит, одновременно D(A*)e SubD(A). Из теоремы 4 |Sub A| < |DSubA|. Следовательно, DSubA ç SubD ( A).

Следствие 2 из теоремы 5. Решётка Sub A подавтоматов нечёткого автомата A = ( S, X, d) изоморфна некоторой подрешётке рёшётки подавтоматов детерминизатора D(A) = (M(S), X, А) этого нечёткого автомата.

Доказательство. По следствию 1 из теоремы 3 : Sub A @ DSub A . По следствию 1 из теоремы 4: DSubA ç SubD ( A). Значит, Sub A @ DSubA ç SubD ( A).

Заключение. Таким образом, мы рассмотрели связи между решётками подавтоматов нечётких полуавтоматов и соответствующими решётками их детерминизаторов с универсально - алгебраической точки зрения. Доказано, что решётка подавтоматов произвольного нечёткого полуавтомата является подрешёткой решётки подавтоматов его детерминизатора. Показано, что детерминизатор сильно связного нечёткого автомата может не являться сильно связным автоматом.

Тем не менее, остаётся открытым вопрос о связях между решётками конгруэнций нечётких полуавтоматов и решётками конгруэнций их детерминизаторов.

Интерес также представляют вопросы, связанные с гомоморфизмами, и в частности, с изоморфизмами детерминизаторов нечётких полуавтоматов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сластихина М.Д., Сытник А.А., Шульга Т.Э. О подходе к проектированию функционально избыточных систем, заданных автоматами специального класса //Вестник СГТУ №4 (73), Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2013г., С.167-175.

2. Сытник А.А., Шульга Т.Э. Об алгоритмической неразрешимости задач математического моделирования функционально избыточных дискретных систем //Вестник СГТУ. 2011. №4 (60), С.213-218.

3. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление: пер. с англ. / А. Пегат. 2-е изд. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. 798 с.

4. Тэрано Т., Асаи К., Сугэно М. Прикладные нечеткие системы. Москва: Мир, 1993. 368 с.

5. Максимов А.А., Папшев С.В. Индексы и периоды нечетких матриц и их возможное применение в области биомедицины. // Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий: материалы XI Всероссийской научно-технической конференции - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2012.-С.213-221.

6. Zadeh L.A. Fuzzy Sets// Inform. And Control. 1965 Vol. 8, pp. 338-353.

7. Wee W.G., Fu K.S. A Formulation of Fuzzy Automata and its Applications as a Model of Learning Systems // I.E.E.E. Trans. Syst. Science and Cybernetics. 1969. Vol. SSC-5, pp. 215-223

8. Салий В.Н. Универсальная алгебра и автоматы. Саратов: СГУ, 1988. 72 с.

9. Максимов А.А. Методы анализа и синтеза математических моделей нечётких дискретных систем: Дис. ... канд. физ.-мат. наук / А.А.Максимов. Саратов, 2008. 130 с.

10. Максимов А.А. Исследование сложных информационных систем с использованием универсально-алгебраических конструкций нечетких автоматов // Вестник Саратовского государственного социально-экономического университета. - Саратов. 2006. №14(3) С.126-128

11. Максимов А.А. Минимизация сложных информационных систем с использованием универсально-алгебраических конструкций нечетких автоматов // Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий: Материалы Всероссийской научно-технической конференции. Улан-Удэ: Изд-во СГТУ, 2007. С.187-191.

12. Салий В.Н. Нечёткие дискретные системы: нелинейный подход // Известия Сарат. Гос. унта, 2003. Т.3, вып.2. С. 159-168.

Ульзутуев Иван Евгеньевич -

аспирант кафедры «Прикладная информатика и программная инженерия» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Ivan E. Ulzutuev -

Postgraduate

Department of Applied Computer Science and Software Engineering,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Максимов Алексей Алексеевич -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная информатика и программная инженерия» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 15.12.14, принята к опубликованию 11.05.15

Aleksey A. Maximov -

Ph.D., Associate Professor Department of Applied Computer Science and Software Engineering,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov