Об устойчивости одной дифференциальной игры нескольких лиц при многих целевых множествах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.95

Об устойчивости одной дифференциальной игры нескольких лиц при многих целевых множествах

В. Р. Барсегян, А. А. Степанян

Кафедра механики Ереванский государственный университет Алек Манукяна 1, Ереван 0025, Армения

В работе рассматривается устойчивость одной дифференциальной игры нескольких лиц при многих целевых множествах относительно информационных помех. Доказано, что стратегии, экстремальные к стабильным мостам гарантируют, решение задачи, устойчивое к информационным помехам.

Ключевые слова: дифференциальные игры нескольких лиц, многие целевые множества, информационные помехи, устойчивость.

1. Введение

В дифференциальных играх реализация процедур управления на практике обычно осуществляется построением ломанных Эйлера [1]. При выборе игроками управлений неизбежны различного рода информационные помехи, такие как неточные измерения игроками фазовых состояний системы. Возможны такие ситуации, в которых информационные помехи могут разрушать реализацию построенного решения. В таких случаях возникает необходимость исследования устойчивости решений.

Устойчивость дифференциальных игр для двух игроков при одном целевом множестве сформулирована и исследована в [1]. Вопросы устойчивости дифференциальных игр при многих целевых множествах рассмотрены в [2]. В данной работе исследуется устойчивость одной дифференциальной игры нескольких лиц при многих целевых множествах, которая примыкает к вышеупомянутым работам.

2. Постановка задачи

Рассматривается конфликтно-управляемая система, движение которой описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

Х = / (г,Х,и!,. . . ,ик) , (1)

щ е Р1 С КП1, ъ = 1, 2,... ,к (к > 2), f : [¿0, то) х Кп х КП1 х ... х КПк ^ Кп.

Здесь х е Кп — фазовый вектор системы, Ui — управляющее воздействие г-го игрока, Pí — компактное множество в пространстве , функция f непрерывна по совокупности всех своих аргументов. Введем следующие обозначения [3]:

Р = Рг х ... х Рк, Р« = Рх х ... х Р— х Д+1 х ... х Рк, и =(их,...,ик) , и(г) = (их, . . . ,Щ-1,Щ+1, ... ,ик), (и е Р, и(г) е Р(г)).

Через К (г) для всех г = 1, 2,... ,к обозначим множество {1,..., г — 1,1 + 1,... ,к}.

Относительно функции f предположим, что она удовлетворяет следующим условиям:

Статья поступила в редакцию 11 ноября 2010 г.

1) Бесконечной продолжительности решения — существует постоянное число % > 0 такое, что при любом х £ Rn, равномерно по t £ [t0, то) и щ £ Pi (г = 1, 2,... ,к) имеет место неравенство

II/(t,x,Ul,...,Uk)\\ < % (1 + И). (2)

2) Функция Липшицева по х — для каждого ограниченного множества G из пространства Rn+1 = {{t,x} ,t £ R,x £ Rn} существует такая положительная постоянная Xg, что при всех [t, ж(1)} £ G, {t, ж(2)} £ G и ui £ Pi (г = 1, 2,... ,к) выполняется неравенство

f(t,x(1),ui,...,uk) - f (t,x(2),ui,...,uk) | < Ag |ж(1) - ж(2)|| . (3)

3) Существует седловая точка «маленькой игры» [1], т.е. для любого вектора s £ Rn, любой позиции {t, х} £ [¿о, то) х Rn+1 и любого номера i = 1,2,... ,к справедливо равенство

min max s'f (t,x,u1 ,...,uk)= max min s' f (t,x,u1,... ,uk). (4)

ui€Piu(i)eP(i) u(i)eP(i) u

Предположим, что заданы компактные множества M(j),...,M(kj) (j = 1,... ,m) и N1,..., Nk в пространстве Rn+1. Пусть также заданы моменты времени ßj (j = 1,... ,т), такие, что t0 = i90 < < ... < = в. Предполагается также, что

при любом i = 1, 2,..., к М^ П {(t, х) : t = ßj ,х £ Rn} = 0 (j = 1,...,т). Множе-

( i)

ство Mi ) является целевым для г-го игрока в момент времени , а множество

Ni — фазовое ограничение (г = 1, 2,... ,к). М^ С Ni для всех соответствующих индексов % и при любых j.

Будем рассматривать дифференциальную игру двух сторон при многих целевых множествах, в которой г-й игрок (г может быть любым из чисел 1,... ,к)

решает задачу встречи к моментам на множества М^ (j = 1,... ,т) внутри фазовых ограничений Ni ив которой ему противодействует объединение оставшихся игроков. Эту игру, т.е. игру г-го игрока, будем обозначать символом

(Ч К 0),{м^} , {§3 } ,Ni,j = 1,...,m)

Платой в рассматриваемой дифференциальной игре является некоторый непрерывный функционал 7 (х [■]), где х [■] — реализовавшееся движение системы.

Предполагается, что г-й игрок, которому предоставлено управление иг, стремится минимизировать значение платы 7, а объединение оставшихся К (г), игроков выбирающих набор управлений и^г) = (щ,..., иг-\, иг+\,..., ик) максимизируют значение 7.

Так как при выборе своих стратегий участники будут руководствоваться принципом обратной связи, при реализации которого неизбежны различного рода информационные погрешности, то возникает вопрос устойчивости решений, т.е. влияния малых погрешностей измерения фазового состояния системы на движения системы.

Требуется найти такие стратегии игроков, которые обеспечивают устойчивое решение вышесформулированной дифференциальной игры по отношению к информационным погрешностям.

3. Некоторые определения

Приведем формальное определение кусочно-позиционных стратегий и порожденных ими движений.

Пусть (1 о, х0) — исходная позиция системы (1), где х0 = х (Ьо) и Аг — есть разбиение полуоси Ь0 ^ Ь < то, т(г'> ,т(г),... — узы разбиения, диаметром разбиения будет 5Г = вир ^т^ — . Предполагается, что при любом разбиении Аг моменты времени (3 = 1,... ,т) являются узлами разбиения, т.е. т^ = ¿0 = $0,

т^ = $1, ..., т(г2 =$т = в. Рассмотрим полуинтервал

»

»

вр-1+,7 —1> ' зр

С [ $Р—1,$Р) (р = 1,...,т;з = 1,..., вр — вр—1 + 1)

Определение 1. Кусочно-позиционным управлением г-го игрока на полуин-

тервале

назовем отображение вида

( вр-а +3) ,

1+з—1. 1+з,)хВГ С ВТ*.

(5)

Определение 2. Ломанной Эйлера, выходящей из позиции

Аг) Л.^Р-1+з—1)

т*р-1+3—1,хд

Аг)

' Sp-1+j—1

и порожденной управлениями

Аг) А*р-1+3—1)

зР —1+3 1, '

ьд

»

1+ —1

Аг) А*Р-1+3—1)

Твр-1+3—1,Л'

д

»

1+ —1

I игроков (1 ^ I ^ к), назовем абсолютно непрерывную функцию

( вр-1+зО д

Аг) „(«Р-1+з—1)

, т*р-1+3— 1 ,хд

Аг) — 1 +3 1

= X

( вр-1+3)

д

иг

Ах) т^Р-1+3—1)

' 1 вр-1+з— 1,хд

Аг)

вр-1 +3—1

...щ

Аг) „.(зр-1+3—1) Г,.М 1 вр-1+з—1,хд ['вр-1+з—1

Аг) Азр-1+3—1)

1 вр-1+3— 1,ХД '5р—1+3 1

> ^г г+1

М

М] , (6)

удовлетворяющим дифференциальным уравнениям

:Л-1 +3 1Д

/(г,х

вр-1+3'

д

М , иц

тг т8р-1+3 — 1

Т8р-1+3—1,-1Д

вр-1+3— 1

г «Р-1+3' — 1

з р —1+3 1, ^ д

вР -1 + 3—1

Аг)

Sp-1+j — 1,

11+1 м,..., иъ м), 1+3) , =1,...,т; ^ = ^ . ^ 8р — 8р—1 + 1). (7)

Здесь щ - [ ■ ]_7 = ^ + 1,...,й - произвольные интегрируемые по Лебегу функции, для которых щ - [£] е Рг}, £ е ^0, то).

Сушествование решения (7) и ее продолжимость на всю полуось [£0, то) установлено известными теоремами [1].

и

и

Б

Б

Г

и

Определение 3. Кусочно-позиционной стратегией и. г-го игрока назовем набор отображений вида (5), т.е. набор функций

[ ■ ] = U (

»

-t+j-l'^A

(sp-t+j-l)

»

t+ -l

при всех t G [tо, то).

и

s

s

р

р

Определение 4. Движением х [t] = х [i, t0,x0 ,Uit,... ,Uit ], порожденным стратегиями Uit,..., Uit l игроков из позиции {to ,Хо} назовем всякую функцию х [i], для которой на отрезке [tо, в] найдется последовательность ломанных

ХА [t, to,xo,Uit ,...,Uk ,Uil+1 [ ■ ] ,...,Uik [ ■ ]] , t G [io, то), (r = 1, 2,...), равномерно сходящаяся к x [i] на отрезке t0 ^ t ^ в при условии

lim sup (т£\ - tSгГ ^ =0.

r s V '

Совокупность всех движений, выходящих из позиции {¿о,жо} и порожденных стратегиями и.г,...,и.1 I игроков, обозначим символом X [£ 0,х0,и.г ,...,иц ] и назовем пучком движений.

Отмемтим, что любую пару и. и {и,... ,и.-1,и.+1,... ,!ик} стратегий можно одновременно реализовать, поскольку всегда можно определить движения

х [ ■ ] Е X [£ 0,х0,и.]^\Х [£ 0,х0,и\,..., и.-\, и ,... ,ик ], порожденные такой парой.

Определение 5. Для абсолютно непрерывных функций х [¿], £ Е [£0, то), выполнены условия встречи с множествами М(1\ ..., соответственно к моментам §1,..., §т, если ,х ]} Е(1) и {Ь, х [£]} Е N. при Ь Е [Ь0,'вт] (] = 1,..., т).

Определение 6. Пусть е-окрестность множества М^. Будем гово-

рить, что абсолютно непрерывная функция х [¿] (£ Е [¿0, то)) уклоняется от множества , хотя бы при одном ](] = !,..., т) в момент , если ,х ]} ЕМ(^£

или {г,х да} Е Щ для г е [гьг2] е щ-и®,].

(1)

Пусть стратегия и. решает задачу сближения с множествами М(1) в моменты времени , то есть для любого из движений х [■] Е X [£, 10, и..] имеет место х ] Е

М(1 для всех у = 1, ...,т их Щ Е Щ, t Е [¿0, в]. Пусть теперь х*А [тг ] неточное измерение фазового состояния системы х* [тг] в моменты времены тг (г = 0,1,...). Скажем тогда, что имеют место информационные помехи. Эти помехи приведут к неточному выбору управлений.

Определение 7. Скажем, что стратегия и. гарантирует решение задачи, устойчивое по отношению к информационным помехам, если для любого числа £ > 0 можно найти такие числа 5 > 0, £ > 0, что если тг+\ —тг < 5([тг, тг+\) С [ "&1-\, )), а ||х** [тг] —х* [тг]|| ^ (, то управление и** [£] = и (тг,х** [тг]) тг ^ £ < тг+\ (г = 0,1,...) гарантирует попадания ломанных Эйлера х* [£] (£ ^ ¿0) в е окрест-(1)

ность множеств М(1) к моментам времени для всех] = 1,... ,т при сохранении их в £ окрестности множества N..

4. Решение задачи

Пусть в пространстве позиций (t, х) определен Wi — максимальный щ — стабильный мост в игре ^г, К (г), j , } ,Ni,j = 1,..., mj , и определены также щ — стабильные мосты W( отвечающие этапам [&j-1, ], (j = 1,... ,m).

Рассмотрим управление uf {t, х}, которое на промежутке времени [§j-1,§j) формируется позиционной стратегией, экстремальной к мосту W( ^ j = 1,... ,m, т.е. если гиперплоскость Гtt = {{i, х} /t = t*} не имеет пересечения с множеством W(-1 или Г * п Wp-^ = 0, но {t* ,х*} G W(-1), то в качестве uf {t*,x*} берется любой вектор и G Pi, в противном случае в качестве uf {t*,x*} берется вектор ие, удовлетворяющий условию

max (х* — w*) f (t *,x*,ui,... i,ue,ui+i,... ,uk) =

u(i)eP(i)

= min max (х* — w*) f (t *^*,u]_,... ,ui-1,ui,ui+1,... ,uk), (8)

uiePi u(i)eP(i)

где {t*,w*} G Wi ближайшая, в эвклидовой метрике, позиция к позиции {1*,х*}.

При построении ломанных Эйлера от некоторой реализовавшейся позиции {П,хА [т^} = {¿*,х*}, которая не лежит на Wi, условие (8) направляет скорость х а (t *) = f (t *,х*,щ,... ,ui-1,uee ,ui+1,...,uk) фазового вектора в этой позиции так, чтобы обеспечить предельно большой возможный сдвиг вдоль ломаной Эйлера в направлении к сечению Wi ( *) множества Wi при самом упорном сопротивлении остальных игроков.

Пусть {10,х0} G Wi. Тогда согласно [1], стратегия Uf обеспечивает решение задачи сближения -го игрока.

Теорема 1. Пусть имеют место условия 1)-3), построен Wi — максимальный ui-стабильный мост в игре (г, К (г), , {flj} ,Ni,j = l,...,m^J, сечения которого гиперплоскостями Г = {{t ,х} ;t = const} строго выпуклы и {to,xo} G Wi. Тогда кусочно-позиционная стратегия i-го игрока Uf+ uf (t, t0,x0, ..., $m), экстремальная к множеству Wi, гарантирует решение задачи, устойчивое по отношению к информационным помехам.

Доказательство. Доказательство теоремы проведем в два этапа. Сначала получим оценку, аналогичную [4], для расстояния движений х(1) [i] и х(2) (t), где х(1 [i] и х(2) (t) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

х{1) м = f (t,х(1) М ,u*1,u2 И ,...,uk м) ; х(1) [tо] = хО1, х(t) = со f : f = ^ t, х(2 (t), u1, u2,..., u^j ;u1 G P1,ua = u*a (a G {2,..., k}) ,

х(2) (tо) = х(*).

(9)

Здесь u* G P1 и u*a G Pa (a G {2,..., k}) определяются соотношениями

max s* f (t0,х*,u*,u2,... ,uk)= min max s* f (t0,х*,u1,u2,... ,uk), u(1)eP(1) mePiuWeP(1) (10)

min s* f (t0,х*,u1,u**,... ,uk) = min max s* f(t0,х*,u1,u2,... ,uk), uiePi u(1)eP (1)uiePi

а и2 [£] ,... ,ик [¿] некоторые допустимые реализации. Здесь в* и х* удовлетворяют следующим условиям:

^ — ^ —х02)) || <а (О

х х

(1)

< с,

причем а (() ^ 0 при С ^ 0.

Вычислим оценку для р2 (1) = ||х(1) Щ — х(2) (¿)|

(11)

сИ

= 2 [х(1) М — х(2) (*)) (х(1) И — х(2) ф) .

(12)

Известно [1], что х(2) (1) можно представить в виде

п+1

х(2) ® = (1)1 и,х(2) (I),

и=1

(") * *\ и1 , и2 . . . , ик ,

п+1

^Р» ® = 1, Р„ № > 0, и^ ЕР1.

и=1

Подставляя последнее в (12), получим

¿р2(г) сИ

= 2(х(1) м — х(2) (г))' (¡(г, х(1) м ,и*,и2Щ,...,ик И)—

(2)

(1)[

п+1

— (Ш ,х(2)(1),и1\и*2 ... ,и* )) =

и=1

п+1

= 2(х< — х 2)(г)) £ Р» ,х( 1)[г],и*1,и2[г], ...,ик М)—

— ¡(1 2)(г),и11/),и* ...,ик )) =

п+1

= 2(х(1)щ — х(2)(г))' £р„(г)(№,х(1)щ,и*,и2щ,...,икМ)— — ¡(г,х(1)и,и^,и**...,ик)) + 2(х(1)и — х(2)(г))'х

п+1

X ^Ри (№(1 ,х(1) [Ь],и11/),и*2 ...,ик ) — ¡(1 ,х(2)(Ь),и11/),и* ...,ик )).

и=1

Так как функция f Липшицева, то

¡(г,х(1) М ,и!),и*

Следовательно, Лр2 (г)

ик) — / (^,х(2) (г) ,и(»\и*2 ...,ик)

<

х1) щ — х2) (г)

<и

<

I п+1

< 2Хар2 (г) + 2 (х^ щ — х2) (^ £ Р„ (г) (/ (г,х(1) щ ,и*,щ М,.

и=1

. . , ик [ ]

0

- / (Чх(1) М ,и^,^ ...,и*к)) = 2Хср2 (г) + 2 (х^ -Х(2) + (х(1) И -Х(01}) -

/ п+1

(х(2) (г) - х(2))) £ р» (€) (/ (Ч х(1) м ,и**,и2 М ,...,ик и) -

»=1

-/ ^,х(1) М ,и1"),и*2 ...,ик))

(1) М -х01) (г - Ъ), х(2) (г) -х(2) (г - ь)

(2)

Учитывая, что движения рассматриваются в ограниченной области, то ||/ (-)|| ^ ■ф. Следовательно,

аР2(г)

<и

< 2 хар2(г) + 8ф2(г - го)+

п+1

+ 2(х0Г) -х(2))' ^р»(г) (/ (г,х(1)Щ,и*1,и2Щ,...,икм) -

»=1

-/ (г,х(1)щ,и1\и*2

, ик

Так как f непрерывна по £ и Липшицева по х, действуя аналогично [1], можем записать:

/ (Ч х(1) И ,и*,и2 И ,...,ик м) = / (го, х01),и22,и2 М ,..., ик й) + А/(1) (Ь),

/ (Ч х(1) И ,и1"), и2* ...,ик) =1 (го, х(1), и1») ,и2 ...,ик) + а/(2) (г),

где || А/(1) ф|| < р2 (* - ¿о) || А/(2) (Щ < р2 (* - М, V* (* - ¿о) ^ 0 при г ^ Тогда

¿Р2(г)

л < 2 Хср2(1) + 8ф2(1 - 1о) + 4<р2(1 - ^^ - хо2) || + 2(хо1) - хо2)) х

,(1) Л2)л

п+1

X Е Р» (№(* о ,хо1),и21,и2[г], ...,ик И) - ¡(1 о,хо1),и11/),и22.. .,ик)). (13)

»=1

Так как имеет место условие седловой точки для «маленькой игры», то

/ (Ь,х* ,и1,и2 И ,...,ик И) ^ 8* / ^о, хо1), и1»), и2 . . . , и^ .

Выполняя следующие преобразования:

(14)

8* ¡(Ьо, хо ),и*1 ,и2Щ,...,ик И) = я* ¡(Ьо,х*,и*1 ,и2[Ь],. . . ,икЩ) + + (в * - в *) ¡(г о,х(01),и*1 ,и2 И, . . .,ик М) +

+в* (¡(г0,х(0Г),и*1 ,и2[ь],.. .,ик И) - ¡(г0,х*,и*1,щЩ,...,ик М)),

¡(1 о, х^ , и1\ и*2 . . . , и*к) = ¡(1 о,х* ,и1 \ и*2 . . . , и*к) + + (8 * - 8 *) ¡(г о,хо\и1\и2 ...,ик ) +

+ 8* (¡(г о,хо\и(\и*2 ...,^к ) - ¡(г о,х* ,и({'\и*2

. , ик)),

с учетом || — в* || ^ а (() находим

8,/ ^0,х[}1),и1,и2 И ,...,ик <

< ' ¡(1о,х*,и*1,и2 М ,...,ик Щ) + фа (0 + 1И|АсС, (15)

8,1 {го,х01), и1) и ...,ик) / (го ,х,и1) ,и2 ...,ик ) — фа (С) —||в* || Ас С. (16) Подставляя (15) и (16) в (14), получим

^ 1 (7 (ьо,х^ ,и*1,и2 Щ,...,ик м) + f (ъо,х^ ,и1) ,и*2 ...,ик)) <

< 2фа (0 + 2 ,

которое, в свою очередь подставляя в (13), находим

йр2 (г) ¿г

+ 4АаС К || ^Г1 < 2 Аср2 (г) + <¿1 (г — ^) + < (С), (17)

< 2 Аср2 (г) + 8ф2 (г — го) + 4< (г — го) р (го) + 4фа (0 +

¿р^г) сИ

где <1 (г — го) = 8ф2 (г — го) + (г — го)р (го), а < (С) = 4фа (С) +4АсС |И|

<1 ^ — го) ^ о при г ^ го, < (С) ^ о при с ^ о.

Для решения (17) обозначим г (г) = р2 (г). Получим

* (г) < 2 Аах (г) + <1 (г — го) + < (С),

решение которого находим методом вариации переменного.

Обозначая < (г — го) = тах <1 (г — го), получим

т о, ь]

р2 (г) < р2 (го) е2Аа( 1-1 + (е2Х-(—") — 1) + ^ (е2Ха(—о) — 1) .

Следовательно,

2 л , ^ £ | / 2 П \ У^ 6, '-Р* (С) ( 2\С^ГГ Л р2 уо 5Ч ^ р2 (го)е г=1 + г=1 — 1) +

+ £ ^т (^ г —е 2Ас +16 '). (18)

Теперь перейдем к доказательству теоремы.

Так как сечения множества Ш* строго выпуклы, то для каждой позиции {г,х} ближайшая к ней позиция {г,ю (г, х)} € Ш* будет единственная. Следовательно, 8 (г, х) = х—ю (г, х) зависит от х равномерно непрерывно, т.е. ||в (г, х*) — 8 (г, х*)|| < а (() при ||х* — х* || < С для всех г € ^о, в], х* € Кп, х* € Кп, причем а (() ^ 0 при £ ^ 0. Следовательно малые погрешности измерения вектора х влекут малые погрешности в определении вектора ( , х).

Рассмотрим интервал времени го ^ г ^ $1. Пусть г-й игрок выбрал некоторое разбиение Д г и и* [¿] = и| [тг,х*А [тг]], го < тг < г < тг+1 < $1, экстремальную

к множеству Ш*о), а иа [£] (а € (г)) — некоторые допустимые реализации. Для

рассматриваемой игры (г, К (г) ^М*"'^ , } , = 1,... по теореме 56.1

из [1] построенная ломанная Эйлера сохранится в £1 (£, 5) окрестности и к

моменту времени Ь = §1 попадет в £1 (£, 5) окрестность множества . Причем согласно оценке (18) (где в качестве 1-го игрока берется г-й игрок)

£ 2 ( с, 5) < р2 а о) е2х° е!*+^ (е2Лс е! * - ^+

9 (Ь) (02Л< £?=, 5: 2 Ас

^ 9 (01) I 2ли 5:

+ Е ~2АТ Iе -е

■е:

<3 / , ":

:=г+1 :

(19)

т.е. р ({I ,х*А М} № $)) < £1 (С, 5), ъ ({#1,х*А [§1]} ,м(1)) < £1 (С, 5),

где р (1 о) ^ С. Следовательно, е1 ((, 5) ^ 0, при <^,5 ^ 0. Теперь рассмотрим интервал §1 ^ £ ^ §2. Продолжая рассуждения, построенная ломанная Эйлера

сохранится в £ 2 (С, 5) окрестности и к моменту времени Ь = §2 попадет в

(2)

£ 2 (С, 3) окрестность множества М( ), причем

2 Л<

£ 2 ( С, «) < в 2 (С, *) в 2Л^.=»1 * + ^ (^'=»1* - ^ +

+е е2Л< е:1 -е

:=г+1

:)

Учитывая (19), будем иметь

£ 2 ( С, 5) < р2 {10) е2Л< н=1 5 + (е2Л< £

«=15' - и +

+ е

=1

,2л< е:2= , *

2Аа

:=1 — е

2 Л<

-е

:=г+1

')

т.е. р (&х*А М} № $)) < £2 (С, 5) , §1 р ({§2,х*а [&2]} ,М(2)) < £2 (С, 5),

причем £2 (С, 3) ^ 0 при £,ё ^ 0. Выполняя аналогичные преобразования до момента времени , будем иметь

2 Л<

£

Сш (С, Я) < 1 (с, 5) е

1 = 'т-1 +

+

МО

2 Аа

/ \

2Ла 51

' =«т-1 _ \

+ е

I — х^

ФШ

2 Аа

■е

2Л< У 5: 2Л

:=1

е

< / „ 5: — е :=г+1

<

Ф* (О

<р2 (Ю)е - + ^

/ \

е 1=1 - 1

+е

=1

Ф (51)

2 Аа

2 Ла^5: 2Л< : = 1 _ р

' е 5 :=! + !

1

2

5

2

2

5

5

:

Обозначим £ = max (s 1,..., ет), 5 = max (¿1,..., 51т). Следовательно, е ^ 0 при ё ^ 0 и £ ^ 0, где £ удовлетворяет соотношению

в 2(С, 5) Z P2(t0)e+ ^ZZ * - и +

2\а

е2 * - 1

1 / ^—\гт \—\гт

tpiSl) 2\g} 5q 2\g} 5.

+ g ^q= -e + 1

)

Таким образом, для любого числа £ > 0 найдены числа ё > 0 и £ > 0 такие, что если тг+1 — тг < 6, а ||х* [тг] — ха [тг] || ^ С, то для ломанных Эйлера имеет место хА [¿] € (^ (¿о < £ < в) (т.е. хА [¿] сохранняется иве окрестности множества

К*) а р ({дj,хА [д^]} , М*^ < £ (] = 1,... ,т). Теорема доказана. □

Литература

1. Крассовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1974. \Krassovskiyj N. Ы., БпЪЪоЫп Л. I. Pozicionnihe ёЩегепааУтЬе 1§г1Ь. — М.: Майка, 1974.]

2. Габриелян М. С., Члингарян А. С. Об устойчивости игровой задачи сближения-уклонения с несколькими целевыми множествами // Известия НАН РА. Механика. — 2004. — Т. 57, № 3. — С. 51-58. [СаЬпв1уам М. Б., СНИпдагуап Л. Б. ОЬ ^оэдсЫтозМ igrovoyj zadachi вЬ^Ьетуа-иЫопетуа 8 пезко^Ыт! се1еу1Ьт1 mnozhestvami // МАМ ИЛ. Mekhanika. — 2004. — Т. 57, Ш 3. — Я. 5158.]

3. Лутманов С. В. Об одной альтернативе в дифференциальной игре нескольких лиц // ПММ. — 1977. — Т. 41, вып. 5. — С. 813-818. [ЬпЬтапоу Б. V. ОЬ odnoyj а^ета^е V differencia1jnoyj igre Нс // РММ. — 1977. — Т. 41, вып. 5. — Б. 813-818.]

4. Габриелян М. С., Барсегян В. Р., Симонян Т. А. Об уклонении стохастической линейной системы при целевых множествах // Ученые записки ЕГУ. — 1996. — № 1. — С. 10-16. [СаЪпв1уап М. Б., Еагзвдуап V. К., Бтопуап Т. Л. ОЬ uk1onenii stokhasticheskoyj 1ineyjnoyj sistemih рп се^ШкИ mnozhestvakh // исЬетЬе zapiski БОИ. — 1996. — ^ 1. — Б. 10-16.]

UDC 519.95

On a Stability of Several-Side Differential Game with Many

Goals Sets

V. R. Barseghyan, A. A. Stepanyan

Department of Mechanics Yerevan State University 1 Alex Manoogian, Yerevan 0025, Armenia

Stability of differential game of several sides with many aim sets relative to informational noise is considered. It is proved, that strategies, which are extremal to stable bridges guarantee stable task solution relative to informational noise.

Key words and phrases: several side differential games, many aim sets, informational noise, stability.