CC BY
162
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 258-264
Механика
УДК 531.5
Об устойчивости нелинейных колебаний гравитационного маятника
В. К. Тарасов, Ю. П. Смирнов
Аннотация. Рассматриваются вынужденные нелинейные колебания маятника, точка подвеса которого перемещается вертикально по заданному гармоническому закону. Движение маятника анализируется численно. Обнаружены устойчивые большие колебания маятника в верхнем положении для некоторых комбинаций исходных данных и начальных условий движения.
Ключевые слова: устойчивость, маятник, нелинейные колебания.
Уравнение нелинейных колебаний математического маятника может быть записано в виде
l(p + (g + rw2 cos wt) sin i = 0. (1)
Здесь l — длина математического маятника, g — ускорение свободного падения, i — угол отклонения маятника от вертикали, r — амплитуда гармонического колебательного движения точки подвеса маятника, w — круговая частота. Маятник представляем в виде жесткого невесомого стержня с точечной массой на конце (рис. 1).
Г COS 141
Рис. 1. Расчетная схема
Уравнение (1) является обобщением уравнения Матье [1] на случай нелинейных колебаний.
Исследуем с применением ЭВМ характер и устойчивость колебаний при различных параметров системы и начальных условиях движения. Зададимся такими исходными данными
д = 9.8; I = 6; г = 0.1; и = 120. (2)
Пусть £>(0) = 3.14; <£(0) = 0. В этом случае получаем такие колебания (рис. 2).
Рис. 2. Малые колебания в окрестности верхней точки
Число 3.14 мало отличается от числа п. Поэтому, как и следовало ожидать, получены малые колебания, близкие к гармоническим. Если же задать такие начальные условия: £>(0) = п; <£>(0) = 0, то получим график прямой линии (рис. 3), соответствующий положению равновесия.
Рис. 3. Равновесие маятника при у>(0) = п; <£(0) = 0
Далее будем увеличивать угол начального отклонения маятника от крайнего верхнего положения путем уменьшения величины ^(0) в начальных условиях движения. При этом оказывается, что при £(0) = 2.537; £(0) = = 0 получаем устойчивые нелинейные колебания относительно верхнего положения маятника (рис. 4).
Очевидно, что эти колебания не являются гармоническими.
Далее уменьшим величину ф(0) и зададим такие начальные условия: £(0) = 2.536; £(0) = 0.
В этом случае получается график, показанный на рис. 5.
• 2* 41 61 ВО ЧОЯ СО 141
Рис. 4. Устойчивые нелинейные колебания при у>(0) = 2.537
9
Рис. 5. Колебания маятника относительно нижнего положения
при ф(0) = 2.536
В соответствии с этим графиком при £(0) = 2.536 происходит потеря устойчивости колебаний относительно верхнего положения, маятник опускается вниз, и продолжаются нелинейные колебания относительно нижнего положения равновесия.
Таким образом, условия
2.537 < £(0) < п; £(0) = 0
являются условиями устойчивости нелинейных колебаний гравитационного маятника при нижнем положении точки опоры для заданных исходных данных (2).
Далее изменим комбинацию начальных условий движения и будем считать, что в начальный момент времени маятник находится в крайнем нижнем положении и ему сообщается определенная угловая скорость. При этом выяснилось, что существует по крайней мере одно значение начальной угловой скорости, при которой наблюдается устойчивость колебаний относительно крайнего верхнего положения. При этом понадобились вычисления с высокой степенью точности. Результаты вычислений при начальных условиях £>(0) = 0; <£(0) = 2.5263538478277 представлены в виде графика на рис. 6.
з
2
Г
1
Ґ
тг
20 40 60 00 100 120 140
Рис. 6. Нелинейные колебания при £>(0) = 0; £(0) = 2.5263538478277
Если £>(0) = 0; £(0) < 2.5263538478277, то колебания относительно верхнего положения теряют устойчивость, маятник опускается вниз и продолжаются нелинейные колебания относительно нижнего положения равновесия (рис. 7). Для этого достаточно уменьшить на единицу последний знак.
Рис. 7. Нелинейные колебания при £>(0) = 0; ф(0) = 2.5263538478276
Если £>(0) = 0; <£(0) > 2.5263538478277, то устойчивость колебательного движения теряется, и маятник переходит во вращательное движение. Для иллюстрации этого явления приводим на рис. 8 график колебаний при £>(0) = = 0; £(0) = 2.52635386985.
Таким образом, устойчивость нелинейных колебаний обеспечивается в интервале начальных угловых скоростей
1
“1Г
-1
-2
20
2.5263538478276 < <£(0) < 2.526353869845
при нулевом начальном отклонении.
Рис. 8. Вращательное движение маятника
Вычисления, проведенные для других параметров системы, показали аналогичные результаты.
Для линейных колебаний гравитационного маятника известны условия устойчивости в следующем виде: определяется параметр Л, который вычисляется по формуле
Л = то — д/2#1.
Если Л > 0, то движение устойчивое, если Л < 0, движение неустойчивое. Это условие связано с исследованием условия устойчивости решений уравнения Матье с помощью диаграммы Айнса-Стретта [2].
Для выбранных выше параметров (2)
Л = 1.15.
Это есть условие устойчивости линейных колебаний. Как показывают приведенные выше результаты, это условие выполняется в определенных пределах и для нелинейных колебаний.
Сделаем еще одно вычисление. Изменим частоту колебаний основания и вместо 120с-1 возьмем 105с-1. В этом случае
Л = —0.34.
График колебаний при £(0) = 3.14; £(0) = 0 получается таким (рис. 9).
Анализируя полученные графики, было бы ошибочно заключить, что высокочастотные колебания точки подвеса не оказывают влияния на закон движения маятника. Это связано с тем, что графики построены для больших интервалов времени. Для того, чтобы определить влияние колебаний точки
подвеса более подробно, возьмем, например, график, изображенный на рис. 6, и построим его на интервале времени от 50с до 51с. В результате получим график (рис. 10).
Рис. 9. Нелинейные колебания при £>(0) = 3.14; £(0) = 0
Рис. 10. Колебания на интервале от 50с до 51с при £(0) = 0;
£(0) = 2.5263538478276
Такая ситуация получается и для остальных графиков. Здесь видно, что на низкочастотные колебания маятника налагаются высокочастотные с амплитудой примерно 0.005 радиана.
Аналогичная ситуация получается при попытке построить график зависимости угловой скорости маятника от времени. Такой график можно построить на интервале времени от 0 до 1с, он представлен на рис. 11.
Рис. 11. График угловой скорости маятника при £(0) = 0; £(0) = 2.5263538478276
Из изложенного можно сделать следующие выводы.
При нулевой начальной скорости маятника условия устойчивости Айнса-Стретта выполняются и для нелинейных колебаний.
При нулевой начальной скорости и при выполнении условий Айнса-Стретта для устойчивости нелинейных колебаний необходимо выполнения еще одного условия, определяющего интервал начальных отклонений.
При нулевом начальном отклонении найдено только одно значение начальной угловой скорости, при которой возможны устойчивые колебания относительно верхнего положения маятника. При отклонении от этого значения на 10-13рад/с в сторону уменьшения и на 10-8рад/с в сторону увеличения устойчивость теряется.
Все колебания относительно верхнего положения маятника, кроме малых, не являются гармоническими.
Если условия Айнса-Стретта не выполняются, то колебания маятника относительно верхнего положения неустойчивы при любых начальных условиях.
Список литературы
1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. - 412 с.
2. Савельев В.В. Теория колебаний. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. 162 с.
Тарасов Виктор Куприянович (tarascupris@rambler.ru), к.т.н., профессор, кафедра теоретической механики, Тульский государственный университет.
Смирнов Юрий Павлович (spira@tula.net), д.т.н., профессор, кафедра стрелково-пушечного вооружения, Тульский государственный университет.
On stability of nonlinear oscillations of a gravitational pendulum
V. K. Tarasov, Y. P. Smirnov
Abstract. The compelled nonlinear oscillations of a pendulum are considered, its axis moves vertically on given harmonic law. The movement of a pendulum is analyzed numerically. The steady large oscillations of a pendulum in the top position for some combinations of the entry data and initial conditions of movement are found out.
Keywords: stability, pendulum, nonlinear fluctuations.
Tarasov Viktor (tarascupris@rambler.ru), candidate of technical sciences, professor, department of theoretical mechanics, Tula State University.
Smirnov Yuri (spira@tula.net), doctor of technical sciences, professor, department of rifle and cannon armaments, Tula State University.
Поступила 24-03.2013
