ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИВЕРН. 2024. .V 3. С. 25 38 Lomonosov Computational Matliematics and Cybernetics Journal

УДК 532.51:517.95 A.B. Баев1

ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ^СТОКСА*

Определено попятие установившихся решений уравнения Навье Стокса. Такие решения расширяют понятие стационарных, экспоненциально убывают во времени, имеют неизменное пространственное поле скоростей и постоянное давление в отсутствие внешних полей. Рассмотрен метод их построения и решена задача о вихрях Тейлора. Предложена математическая модель торнадо. В рамках этой модели получено установившееся решение как собственная функция задачи в форме вихря. На основе уравнения Навье Стокса предложена модель формирования структуры газового облака. Показано, что за счет силы Кориолиса возникают спиральные рукава из потоков движущегося наружу газа. Доказано, что число рукавов m четно и их структура не зависит от угловой скорости вращения. Получена формула для угла закручивания спиралей в зависимости от параметров облака для случая m = 2.

Ключевые слова: вихри Тейлора, торнадо, газовое облако, сила Кориолиса, галактика.

DOI: 10.55959/MSU/0137 0782 15 2024 47 3 25 38

Введение. Проблемам существования и единственности решения задач о движении вязкой несжимаемой жидкости и газа посвящено множество работ. Подавляющее большинство этих работ использует систему уравнений гидродинамики в эйлеровых координатах [1|. При этом, как правило, рассматриваются вопросы существования и единственности обобщенных решений [2 7]. К настоящему времени установлена корректность обобщенных решений уравнения Навье Стокса в малом и целом для начальных условий различной гладкости и поведения на бесконечности, а также корректность стационарных решений [8 14]. Однако до сих нор остаются открытыми вопросы существования и единственности классического решения уравнения Навье-Стокса в Rn и Tn, а также в ограниченной области с гладкой границей. Более того, до настоящего времени остается открытым вопрос: есть ли предельное конечное время существования классического решения этих задач для произвольного начального условия. Эта ситуация явилась причиной включения уравнения Навье Стокса в список важнейших нерешенных математических проблем столетия [15, 16].

Целью настоящей работы является попытка дать ответ на поставленные вопросы для установившихся решений. Эти решения определяются неизменным пространственным полем скоростей, эспоненциальным убыванием их во времени и постоянным давлением в отсутствие внешних потенциальных полей. При постоянстве во времени такие решения также называются установившимися. Векторное поле скоростей установившегося решения является собственной функцией краевой задачи для уравнения Навье Стокса и для несжимаемого газа представляет собой вихрь. Для соответствующего решения и состояния физической системы в работе используется термин собственное решение и собственное состояние. К числу подобных собственных решений относятся такие физические явления, как вихри Тейлора, природный смерч торнадо и образование спиральной структуры в газовых облаках.

Существует значительное число работ о торнадо, посвященных как физическому объяснению этого природного явления, так и попыткам построения его замкнутой математической модели или численного решения [17 22]. Тем не менее, в известной автору литературе отсутствует доказательство существования решения системы уравнений, описывающей этот вихревой процесс. В работе доказано, что основным уравнением, моделирующим торнадо, является стационарное

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.п., е-шаП: drbaevOmail.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке Мипобрпауки России в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению .Л- 075 15 2022 284.

уравнение Навье Стокеа. Более того, мы доказываем, что торнадо является собственным решением соответствующей задачи и получаем это решение.

Предложенная модель торнадо не только адекватно отражает известные свойства этого природного смерча, но открывает новые стороны этого явления. Так, наряду с обоснованием движения воздуха вниз в центральной приоеевой части смерча (воронке) установлено, что вращение в воронке происходит в направлении, противоположном вращению во внешней части торнадо (футляре). Такая структура движения газа позволяет сбалансировать гигантские моменты внутренней и внешней части смерча.

На основе уравнения Навье Стокеа предложена модель вращающегося газового облака. Показано, что спиральная форма облака и число рукавов спиралей в нервом приближении не зависят от угловой скорости вращения О. Считаем, что причиной образования спирально закрученных рукавов является сила Кориолиса, действующая на движущиеся наружу вдоль m равноотстоящих лучей потоки 1'аза. В свою очередь, это движение определяется уравнением Навье Стокеа. Таким образом, этот процесс является собственным состоянием при О = 0. При О = 0 спиральная структура облака не возникает.

m

дения газового облака. Детально исследован случай m = 2. Показано, что при определенном соотношении параметров газового облака форма каждого спирального рукава определяется од-

m=2

менее, чем п/4. Таким образом, все газовые облака при m = 2 подобны. Заметим, что это свойство наблюдается в реальных астрофизических объектах типа спиральных галактик [23 26].

Происхождению и структуре спиральных галактик посвящено значительное число работ (см. [27 33]). В их основе лежит подтвержденная наблюдениями теория о возникновении звездных скоплений из вращающихся газо-пылевых облаков. К настоящему времени приоритетной является модель происхождения спиральной структуры галактики за счет так называемых волн плотности [29 33]. Полного подтверждения на сегодняшний день эта гипотеза не получила.

Предложенная математическая модель происхождения спиральных рукавов вращающихся газо-пылевых облаков ни в коей мере не претендует на альтернативную астрофизическую гипотезу. Однако из результатов математического исследования и численного моделирования следует удивительное сходство полученных структур с результатами многочисленных наблюдений, полученных в последнее время с помощью мощнейших телескопов [33]. Кроме того, предложенная в работе модель проста и базируется на классических результатах механики: уравнениях Навье Стокеа и действии силы Кориолиса во вращающейся системе координат.

В качестве одной из простейших задач об установившихся решениях рассмотрена задача о вихрях Тейлора. Хотя эта задача подробно исследована в гидродинамике [1], однако не установлена ее математическая связь с установившимися решениями. В настоящей работе получено ее решение как следствие исключения нелинейного члена из уравнения Навье Стокеа в классе установившихся решений. Физическим проявлением равенства нелинейного члена нулю является уникальное свойство движения жидкости типа течения Пуазейля, а именно, изменение скорости движения в направлении скорости не происходит, т.е. (v, V)v = 0. В частности, такое свойство имеет место для движения несжимаемой жидкости в трубе [1].

Обозначения и основные уравнения.

Модель (геометрия):

R™ евклидово пространство с нормой ||х|| = ^J(х, х), х € Rra, п ^ 2;

I) с К™ открытая ограниченная область с замыканием I) в R";

S = dD — граница D класса C2+а, N — внутренняя нормаль к S, | N | = 1;

Rn/Zn = Tn — n-мерный тор;

(x) = (жг) — неподвижные декартовы координаты Эйлера в Rn;

V = grad, div, rot Л = divgrad — инвариантные дифференциальные операторы в скалярных, векторных и тензорных полях.

Модель (среда):

П — коэффициенты кинематической вязкости;

V = у(х,£) — векторное поле скоростей частиц газа, |Уу|2 = ^ \дУг/дхк|2;

р = р(х, Ь) — гидродинамическое давление в газе;

и = и(х, Ь) — потенциал внешнего поля сил;

j = j(x, 1) — удельная плотность внешних соленоидальных сил, ^у рj = 0;

р = р(х, Ь) — плотность газа, с — скорость звука.

Основные уравнения в эйлеровых координатах:

ръ + = 0 (1)

уравнение непрерывности,

, ... У(р + и) .

+ (V, V)V = есиу grad V + ту gгad а1У V---1- J (2)

р

уравнение Навье Стокса.

1. О движении жидкости и газа

1.1. Об условии несжимаемости. Как известно, условие несжимаемости жидкости равносильно равенству diу V = 0. Это, в свою очередь, равносильно бесконечной скорости звука, т.е. это чисто механическое условие, связанное с распространением возмущений в среде. В реальном газе скорость звука конечна, но она во много раз превосходит скорость макроскопического движения частиц газа в рамках уравнения движения, которым является уравнение Навье Стокса. Таким образом, если принять, что механизмы установления давления в жидкости и газе имеют одну природу, то в газе, как и в жидкости, при выполнении условий |V| ^ с и ^ с |Vv| (см. [1]), справедливо равенство div V = 0. В пп. 1.3, 2.1 мы считаем последнее условие выполненным, что позволяет рассматривать вязкий газ как несжимаемый.

В связи со сказанным докажем некоторые утверждения о движении вязкой несжимаемой жидкости. В первую очередь это касается дополнительного граничного условия

д (р + и)

дЫ

= 0. (3)

5

Такое условие имеет место в различных физических процессах, в частности, на неподвижной внутренней границе раздела между движущейся и покоящейся частями жидкости или газа [1].

Справедливо следующее утверждение для движущейся жидкости, скорость которой на 5 равна нулю, т.е. v|s = 0.

Лемма 1. Пусть I) С М™, п ^ 2, и выполнено условие (3). Тогда в I) справедливо

div(v, V)v = 0 ^ р + и = Ф(Ь). (4)

Доказательство. Поскольку divv = 0, то из (2) получаем Д(р + и) = 0 где Д _ оператор Лапласа. Так как, кроме того, выполняется условие (3), то приходим к задаче Неймана для уравнения Пуассона:

А(р + и) = о, 9{рд^и) |я = 0 р + и = Ф(г).

Пусть теперь р + и = Ф(£) в I). тогда в силу (2)

vt + (V, v)v = еДv + j ^ diу (v, V)v = 0,

что и доказывает лемму

1.2. Установившийся режим. Краевая задача для системы (1), (2) состоит в нахождении при t ^ 0 достаточно гладких функций v, р, удовлетворяющих в I) уравнениям (1), (2) и следующим краевым условиям:

v\s = о, t^ О, х£ D.

Функции u и j считаются известными и достаточно гладкими.

Рассмотрим уравнение Навье-Стокса при постоянной плотности р = 1 в эйлеровых координатах (x) с режимом в правой части

vt + (v, V)v = £ A v + V(p + u)+ joeAi. (5)

Здесь v = v(x, t) — скорость частицы в эйлеровых ко ординатах, jo = jo(x) — удельная плотность

x

Важный и часто встречающийся в приложениях класс решений уравнения Навье Стокеа составляют установившиеся решения, т.е. решения вида v(x,t) = V(x)eAt, Л < 0 д(p + u)/dt = 0. Имеет место теорема, применимая при решении задач с установившимся режимом.

1

(x)

ЛV = £ AV + jo,

где V = V(x) — установившаяся скорость в точке x, и, кроме того, p + u = const.

Доказательство. Подставим установившееся решение v = VeAt в уравнение (5). Получаем

ЛVeAt + (V, V) Ve2At = £ AVeAt + V(p + u) + joeAt.

Очевидно, что полученное уравнение разрешимо лишь при (V, V)V = 0. Поскольку при этом div (v, V)v = 0, то в силу леммы 1 имеем p + u = const.

Применение метода установившихся решений продемонстрируем на примере решения следующей задачи.

1.3. Вихри Тейлора. Рассмотрим задачу об установившемся вращательном движении жидкости или газа в топологическом слое внутри тора T2 с круговым поперечным сечением. Такое движение получило название вихрей Тейлора. Их происхождение приписывалось неустойчивости вращательного движения и они рассматривались как возмущение регулярного режима [1]. На самом деле это движение является проявлением неединственности решения краевой задачи.

Приведем решение, воспользовавшись теоремой 1. Введем внутри поверхности T2 в R3 цилиндрические координаты (r, 0, Будем искать скорость v = {vr, v, v}, имеющую только ненулевую полоидальную компоненту Тогда задача при jo = 0 для функции v$(r, 0, Z) с периодическими условиями по переменным 0, Z в области TR = [ro,ri] х [0, 2п] х [0, 2пЯ], склеенной при

0 = 0 и 2п, и Z = 0 и 2nR принимает вид

Щ

Xve -eAve + £ = 0, ve{r0,9,() = 0, ve{ri, в, () = 0,

Ув(г, 0, С) = гф, 0 + 2тг, С), ^(г, 0, С) = ^(г, 9 + 2тг, (), (6)

гф, 0, 0) = ув(г, в, 2тьй), в, 0) = ^(г, в, 2тгД),

где А — свободный параметр, определяющий изменение решения во времени, А = Аг+1/г2д2/д02+ +д2/дС2, Аг = д2/дг2 + 1/гд/дг.

Рассмотрим в области Т2 = {ж, у, г | [0,жо] х [0,1] х [0,1]} вспомогательную задачу с периодическими условиями по переменным у, г. Эта область гомеоморфна торовому слою Тд, введенному выше. Сформулируем краевую задачу для уравнения Навье-Стокса в переменных (ж, у, г):

dv д v

Av = t Av, (x,y,z)£T?, vy(0,z) = vy(x0,z) = 0, vy(x, 0) = vy(x, 1), -^-(x,0) =

где v = {0, vy(x,z), 0} — векторное поле скорости в декартовых координатах (x,y,z). Очевидно, что div v = 0 и (v, V)v = 0. Нетрудно убедиться, что решение этой задачи имеет вид

v = У(ж){0, (Pwkz, 0}, V(x) = sin —, Л = -е(тт/х0)2 - е(2тгк)2.

Хо

Рассмотрим решение, соответствующее наблюдаемому физическому явлению, а именно:

лт/ \ •

\{х) = sin —.

Хо

Таким образом, искомое решение в T2 имеет вид

v = sin —{0,ei27rfc~,0}, Л = -фг/жо)2 - е(2ттк)2. Хо

Чтобы представить себе, как выглядят реальные вихри Тейлора в переменных (r, в, Z) при Aro ^ |v# |, совершим гомеоморфное отображение T2 ^ TR [34]. Будем искать решение в виде v$ = A(r)B(Z)• Получим, разделяя переменные в (6),

AA — е Дг A + eA/r2 B// 2

-1- IT I' ■

Из условия периодичности по переменной Z имеем ^ = ^ = k/R k € Z, откуда

Ar2A - er(rA')/ + eA = —r2A, A(ro) = 0, A(ri) = 0, B(Z) = eikZ/R.

Будем искать допустимые A в гаде A = — — еа2. Тогда для A(r) получаем задачу

A/ A

А" + — + а2А-^ = 0, А(го) = 0, А(п) = 0.

Решение этой задачи дается линейной комбинацией функций Бееселя первого и второго рода порядка 1:

A(r) = J1(ar) + к N1(ar),

где а = ai, l € N является корнем характеристического уравнения Ji(aro)Ni(ari) = Ji(ari)Ni(aro), таким, что |A(r)| > 0 при r € (ro,ri).

v

ющие равенствам div v = 0 и (v, V)v = 0, существуют и в компонентах цилиндрической системы координат имеют вид

vkl(r, Z, t) = (Ji(al r) + к Ni (alr)) eikZ/R-e(ai +^)4{0, c, 0}, k € Z, l € N,

ro < r < ri, 0 < в < 2n, 0 < Z < R, t ^ 0.

Этот вектор направлен вдоль образующих тора, что соответствует замкнутости линий тока жидкости. Найденное векторное поле скоростей в вихрях Тейлора модулировано вдоль направляющей тора, что полностью согласуется с физическим экспериментом [1]. Поскольку ai > 0, то любая мода решения асимптотически устойчива.

2. Решение прикладнвгх задач

2.1. Торнадо. Существует значительное число работ, посвященных как физическому объяснению этого природного явления, так попыткам построения его замкнутой математической модели или численного решения [17 22]. Тем не менее, в литературе по этой теме отсутствует не только доказательство существования решения системы уравнений, описывающей этот вихревой процесс, но и сама математическая модель торнадо. Мы покажем, что уравнением, моделирующим торнадо, является стационарное уравнение Навье Стокса. Более того, мы докажем, что

торнадо является собственным решением соответствующей краевой задачи, и получим ее реше-

Прежде чем переходить к точной математической постановке задачи, дадим краткое описание этого уникального физического явления. Торнадо, или смерч, представляет собой гигантский природный вихрь с внешней поверхностью Т2 и вертикально направленной осью симметрии. Внутрь этого тора коакспально вложена внутренняя поверхность торнадо также вида Т2. Именно эту поверхность, точнее рог тора, и видит наземный наблюдатель (см. рис.1), находящийся внутри тора. Внешний вид торнадо можно было бы увидеть из космоса, но это явление неразрывно связано с образованием плотного грозового атмосферного слоя и практически извне не наблюдаемо.

Описанный торовый слой (и являющийся, собственно, торнадо) разделен коаксиально на два торовых слоя. Внешний (по отношению к наблюдателю, находящемуся внутри тора) слой называется футляром (dust shroud). В нем смесь воздуха и пыли вращается как вдоль образующей, так и вдоль направляющей тора. Во внутреннем слое оба вращения происходят в противоположном направлении. Этот торовый слой называется воронкой (funnel). Вместе футляр и воронка образуют отчетливо наблюдаемый газо-пылевой столб, так называемый хобот. Подобный вихрь можно наблюдать, например, в виде вращающейся воронки водоворота на поверхности жидкости. Такое устройство смерча позволяет сбалансировать огромные моменты внешних) и внутренних) TopoBoix) слоя. В противном случае невозможно было бы представить себе, каким образом могли спонтанно возникнуть и существовать такие большие значения момента.

Перейдем к точной математической постановке задачи о вязком движении газа в смерче. Областью движения определим топологический торовый слой Т^ в цилиндрических координатах (r, в, Z): Тд = [го,Гд] х [0, 2п] х [0, 2nR], склеенный при в = 0 и 2п, и Z = 0 и 2nR. Представим векторное поле скорости v его компонентами в цилиндрической системе координат, положив v = {0,v#(r, Z),vz(r, в)}, что обеспечивает выполнение условия div v = 0. Задача для установившегося решения уравнения Навье Стокса в обозначениях п. 1.3 имеет следующий вид:

Av — t А V + {0, V0, 0} = 0,

ve (го, Z) = ve (Г2, Z) = 0, vz (го, в) = vz (Г2, в) = 0,

vo(r,0)=vo(r,2irR), = ^(г,2тгД),

vc(r, 0) = vc(r, 2тг), ^(r, 0) = *£(r> 2тг),

где A — свободный параметр, R — радиус направляющей окружности, Го,Г2 — внешний и внутренний радиусы объемлющих) торового слоя. Подчеркнем, что геометрические параметры задачи ro,ri, Г2 не фиксированы, а определяются условиями разрешимости задачи и физическими параметрами явления.

Рассмотрим в области Т2 = {x,y,z | [0,xo] х [0,1] х [0,1]} вспомогательную задачу с периодическими условиями по переменным y, z. Эта область гомеоморфна торовому слою Т^, введенному выше. Сформулируем исходную задачу в переменных (x,y,z):

Av = еAv, (x, y, z) € T2, Vy(0, z) = Vy(xo,z)=0, vz(0,y) = vz(xo,y)=0,

dv dv д v д v

vy(a;,0) = v,y(x, 1), -JL(x,0) = v2(x, 0) = v2(x, 1), -^(x,0) =-^(x,l),

где v = {0, vy(x,z), vz(x,y)} — поле скорости в декартовых координатах (x,y, z).

Нетрудно убедиться, что div v = 0, и решение этой задачи имеет вид

V = У(ж){0, cy(Pwkz, czei2wly}, V(x) = sin —.

xo

Далее будем рассматривать решение, обращающееся в ноль лишь в одной промежуточной точке x = Xo/2, а именно:

ЛТ1 \ ■ 2пх \{х) = sin-.

Xo

Поскольку искомое решение должно удовлетворять условию (v, V)v = 0, то

dvy dvz

dz ' dy

откуда следует

v = sin—-{0 ,cy,cz}, А = -е(2ж/хо)2. xo

Чтобы представить себе, как выглядит реальное торнадо в М3 в перемениых (r, 0, Z) при Aro^ \v# \, совершим гомеоморфпое отображение T2 ^ TR. Найдем такое представление для компоненты Положим, учитывая соответствие пвременных, v^ = A(r). Получаем

AA - е Дг A + eA/r2 = 0.

Будем искать допустимые A в гаде A = — еа2. Тогда для A(r) получаем задачу:

A'

А" + — + а2 А = 0, А(г0) = А(г2) = 0.

Решение этой задачи дается линейной комбинацией функций Бееселя первого и второго рода нулевого порядка:

A(r) = J0(ar) + к No(ar),

где а = а i является наименьшим корнем характеристического уравнения

Jo (aro )No (ar2) = Jo(ar2)No (aro), (7)

таким, что существует единственная точка r i € (ro,r2), такая, что A(r i) = 0. Нетрудно видеть,

A(r) ro r

r2 — это три соседних (первых) пул я функции A(r). Числ о к определяется параме трами a i,ro, r2 из краевых условий.

Аналогичное рассмотрение имеет место для компоненты v$ = B(r). В результате находим, что B(r) = A(r) при Aro^|v0\. Осталось определить два свободных параметра ro, r2. Как уже отмечалось, они определяются моментами Mi, M2, сообщенными торнадо при его возникновении:

r 1 Г2

j A(r)r2 dr = Mi, У A(r)r2 dr = M2.

ro ri

Окончательно получаем установившееся решение задачи при ^у V = 0 и (у, У)у = 0 в виде V = (Ло(а 1г) + кN0(а 1г))е-£"24{0,с,сс}, го < г < Г2, 0 < в < 2п, 0 < ( < Д, £ ^ 0.

Знак е$ выбирается так, что во внутреннем слое тора движение газа происходит вверх, если расположить тор горизонтально. Знак с^ зависит от полушария. Как правило, в северном полушарии знак с^ таков, что вращение футляра происходит как в циклоне.

Поскольку а1 > 0, то любое решение асимптотически устойчиво. Возможные решения при ап > а1, где ап — корпи характеристического уравнения (7), затухают заметно быстрее. По всей видимости, мы всегда наблюдаем торнадо при а = а1, однако может существовать другой набор параметров а, Го, г2, соответствующий другому расположению точек го, г2. Что касается коэффициентов с$, с и параметров а, г0,г2, то именно они создают то разнообразие форм торнадо, которое мы наблюдаем в природе.

На основе полученных аналитических решений в результате модельных расчетов были найдены поля скоростей движения газа. Они использованы при построении рисунка, который позволяет наглядно представить структуру торнадо. На рис. 1 изображена верхняя часть торнадо, включающая восходящий поток, нисходящий поток (воронку) и хобот торнадо рог тора. Построенная математическая модель торнадо обладает основными характерными свойствами наблюдаемого

N

250 —г

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Рис. 1. Схема торнадо. Верхняя часть тороида: 1 —восходящий поток;

2—нисходящий поток (воронка); 3—хобот торнадо; 4 —положение наблюдателя

природного вихря [17-22]. Эта модель точно отражает структуру поля скоростей движения газа в форме двух спирально вращающихся в противоположных направлениях потоков. Возможность существования таких вихрей подтверждается полученным решением краевой задачи для свободного газа в области, изображенной на рис. 1.

Таким же проявлением существования установившегося решения однородной краевой задачи для уравнения Навье-Стокса являются вихри Тейлора.

2.2. Газовое облако. Задача о движении газа в облаке, свободно вращающемся в пространстве М3, демонстрирует, с одной стороны, какое разнообразие форм может принимать движущийся газ или жидкость, а с другой — какому ограниченному количеству законов это разнообразие подчиняется. Считаем, что газовое облако в форме диска как целое вращается с постоянной угловой скоростью О, и пусть скорость движения газа вдоль оси вращения равна нулю. Это соответствует тому, что сила тяготения уравновешивается градиентом давления. Подобная картина имеет место, например, в наблюдаемых спиральных галактиках. Считаем также, что ось вращения является осью симметрии второго порядка, что гарантирует выполнение закона сохранения импульса.

Введем соответствующую вращающуюся систему координат, в которой будем рассматривать стационарное движение газа внутри облака. Пусть скорость вращения частиц газа относительно неподвижной системы координат много меньше скорости движения газа относительно вращающейся вместе с облаком системы координат. Это позволяет рассматривать О = |О| как малый параметр.

В радиальном направлении стационарному случаю соответствует равенство нулю суммы силы тяготения, градиента давления и центробежной силы. Таким образом, единственной внешней силой, подлежащей учету во вращающейся системе координат, является сила Кориолиса. При этом скорость в радиальном направлении в точке с фиксированными координатами постоянна, но, вообще говоря, не равна нулю. Поскольку газовое облако граничит с вакуумом, то скорость движения газа на границе облака произвольна, а плотность практически равна нулю. Подчеркнем, что предлагаемая модель газового облака носит условный характер, поэтому коэффициенты динамической вязкости полагаем постоянными. Это позволяет существенно упростить рассмотрение, сохраняя содержательность модели.

С учетом сказанного стационарное уравнение Навье Стокса во вращающейся системе координат принимает вид

е ^у grad V + п grad div V + 2[у, П] — (V, У)у = 0,

где п = V + е/3, а V > 0 — вторая вязкость [1]. Слагаемое 2^, П] определяет силу Кориолиса — единственную силу, действующую в касательном направлении. Покажем, что это уравнение имеет нетривиальное решение, которое является собственным состоянием рассматриваемой физической системы.

Будем искать векторное поле скорости в виде разложения по малому параметру считая, что ^т ^ 1, где т = 1 — характерный интервал времени для рассматриваемого процесса. Для нашей галактики, например, скорость вращения составляет п 10-8/год. Поскольку при ^ = 0 движение газа отсутствует, то представим разложение в виде

V = П V 1 + + ....

Отсюда для главного члена разложения получаем однородное уравнение

е div grad V 1 + п grad div V 1 = 0.

Введем цилиндрическую систему координат (г, в, г), вращающуюся вместе с облаком. Пусть ось г направлена вдоль вектора П. Скорость движения газа в этой системе координат определяется вектором VI = {иг(г, в),—(г, в)}, поскольку = 0.

Уравнению Навье Стокса для главного члена разложения в этой системе координат соответствует однородная система

. е 02иг е 2еди<9 д

г2 дв2 г2 г2 дв дг

. е д2^ е 2е диг п д

еАгУв + - Ув + -ч^тг + = 0, (8)

г2 дв2 г2 г2 дв г дв

д2 1 д 1 д(гиг) 1 ди<? „

дг2 г дг г дг г дв

Параметр го определяет радиус ядра, агш- радиус облака.

Полагаем, что па внутренней и внешней границе скорость VI, вообще говоря, не ограничена при го ^ 0 гт ^ то. Таким образом, искомое решение удовлетворяет лишь следующим условиям периоди чноети:

У1(г,0) = У!(г,2К), -^-(Г, 0) = -^(г, 2ТГ). (9)

Будем искать решение задачи (8),(9) в виде v1(r,в) = {А(г)ео8тв,Б(г)sinmв}. Из (8), разделяя переменные, получаем

1, 1 + m2 2m [(rA)' + mB

-(гА'у--V- А - -5- В + а

Г r2 r2

1, 1 + m2 л 2m . am

r

= 0,

-(гВУ - В-^А- — {{г А)' + тпВ) = 0,

где a = > 1/3 из физических рассмотрений [1]. Пусть далее a = const.

Положим A(r) = Ars, B(r) = Brs. При этом возникает однородная система относительно переменных {A, B}:

(s2 - (1 + m2) + a(s2 - 1))A - m(2 - a(s - 1))B = 0, (10)

m(2 + a(s + 1))A - (s2 - (1 + m2) - am2)B = 0.

Условием ее разрешимости является равенство нулю определителя системы:

det(s) = (1 + a)((s2 - (1 + m2))2 - 4m2) = 0,

что дает четыре корня

s = ±(m ± 1).

Будем искать решение, определяемое условием AB < 0. При этом условии траектории движения газа не замкнуты и асимптотически уходят в бесконечность вдоль лучей 9 = 0 9 = п при r ^ ж. Из системы (10) находим, что такими решениями являются

va = r1-m{(2 + am) cos m0, -(2 + a(2 - m)) sin m0}, vb = rm-1{cos m9, — sinm0},

а также их линейная комбинация

v1 = ava + bvb, a, b > 0.

Замечание. Допустимыми являются лишь четные m > 0. Действительно, поскольку ре-

r=0

9 ^ 9 + п не изменяет решение. Это возможно лишь при четном m. Поэтому число рукавов в газовом облаке всегда четно.

Таким образом, искомое решение имеет вид

v1 = {vr cos m0, ve sin m0} = {(a(2 + am)r1-m + brm-1) cos m9, —(a(2 + a(2 - m))r1-m + brm-1) sinm9}, div v1 = -4a(m - 1)r-m cos m9.

m=2

v = 0{vr cos 29, ve sin 29} = 0{(a(1 + a)r-1 + br) cos 29, -(ar-1 + br) sin 29}.

Найдем траектории частиц газа. Имеем

^ , dr rd9 ve dr cos 29 d9

Qd.t =-=--=> —— =-,

vr cos 29 ve sin 29 vr r sin 29

откуда находим

1 i i • /ч f a + br2 dr 1 a , , , . , 2.

- m sin26* = — —---—г— =--mr--т-- m(a(l + a) + br ) + const.

2 1 1 J a(l +a)+ br2 r 1 + a 2(1+a) v v ; ;

В результате получаем траектории

r2/(1+«) [a(1 + a) + br2]a/(1+a) | sin 29| = const.

Нетрудно видеть, что эти траектории образуют четыре семейства кривых вида гипербол, распо-

(r, 9)

при r ^ ^^^^ь асимптот 9 = 0 9 = п. К этим асимптотам происходит переток газа, поскольку вдоль них div v = -2aО,r-2.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим для полученного поля скоростей распределение плотности p(r, 9, t) в силу уравнения непрерывности (1). Поскольку при этом |Vp| = О(О), то в рассматриваемом приближении функция р является решением уравнения

pt + р div v = 0.

Отсюда находим закон изменения плотности

p(r, 9,t) = ро exp{2a О tr-2cos29}.

Таким образом, газ со временем сосредоточивается в пучках траекторий, уходящих в бесконечность при r ^ вдоль лучей 9 = 0 9 = п. Именно эти пучки и образуют наблюдаемые спиральные рукава газового облака. Поскольку газ в этих рукавах движется в направлении r ^ то сила Кориолиеа закручивает их в в одном направлении.

9=0

щуюся систему координат (r, В) и решим задачу чисто кинематически. Поскольку луч вращается, то для угла закручивания спирали B(r) с учетом изменения ее длины l(r, В) получаем систему дифференциальных уравнений:

м = = <*>' = <*,' + («»)» - = (И,

Рассмотрим случай b < 1, при котором возникает ситуация предельного угла закручивания. Интегрируя (11), получаем формулу для угла закручивания

0(r) = — ^ [arcsin((l + b)(2 — b) + arcsin6], г = rm(, ( ^ 1. 2 1 - b2

Отсюда возникает следующая связь параметров a, b, rm при m = 2:

2 = а(1 + а) 1-6 '

и наибольший угол закручивания спирали Вт определяется формулой

= , / 1 ,о I71" + 2arcsinЬ]. 4\/1 - b2

В результате действия силы Кориолиеа вместе с закручиванием пучка траекторий изменяется также направление скорости движения газа в спирали. Найдем линейную скорость w = = ^{wr, w© } частиц газа в спирали то вращающейся системе координат (r, В) где wr , w© — радиальная и касательные компоненты. Очевидно, что новое направление вектора скорости w(r, B(r)) совпадает с направлением касательной к спирали. При этом величина скорости сохраняется, т.е. |w(r, B(r))| = |v(r, 0)|. Поскольку спираль закручивается, то со временем вектор w выйдет в касательное направление. При этом сила Кориолиеа перестанет закручивать спираль и процесс ее образования прекратится. Для угла закручивания спирали получаем, аналогично (11), дифференциальное равенство, определяющее w(r, В) при В = B(r):

rr](p) !-

mt = d,e =-—- w@(r, О) = r, wr(r, в) = -b)rlJr + br)2 -r2. (12)

w© (r, В)

Из (12) вытекают два важных следствия. Во-первых, в неподвижной системе координат частицы газа имеют пулевую касательную скорость, поскольку w©(r, В(г)) = r. Во-вторых, скорость газа на внешней границе облака равна нулю, так как wr(rm, Вт) = 0.

Подведем итог результатам, полученным в п. 2.2. Установлено, что в газовом вращающемся облаке может существовать свободное движение газа. Это движение подчиняется уравнению

m

Число таких рукавов с необходимостью четно. За счет действия силы Кориолиеа эти рукава закручиваются в спирали. Установлено, что при некоторых значениях параметров модели угол закручивания Вт конечен и Вт ^ п/4. В неподвижной системе координат частицы газа имеют нулевую касательную скорость и скорость на границе облака равна нулю. При Вт = п/4 уравнение спирали имеет наиболее простой вид

r2 = rm sin 2В, r0 ^ r ^ rm, 0 ^ В ^ п/4.

Рис. 2. Газовое облако. Количество рукавов т = 2, угол закручивания Вт = п

На рис. 2 представлен результат численного моделирования для т = 2 при Вт = п. Из проведенного рассмотрения следует, что спиральная структура газового облака в форме диска не зависит от угловой скорости вращения и длительности процесса, а определяется безразмерной величиной вт — максимальным углом закручивания спирали. Наличие таких спиралей объясняется действием силы Кориолиса на потоки газа, движущегося в радиальном направлении. При этом проявляются такие свойства вращающихся галактик как четное число рукавов спиралей и практическое постоянство плотности газа вдоль них при г ^ гт.

Рис. 3. Численная модель галактики Млечный путь. Количество рукавов т = 4

Естественными объектами, которые можно рассмотреть в рамках предложенной модели газового облака, являются вращающиеся звездные галактики [23-33]. Становится понятна их про-

етранетвенная структура в виде развертывающихся спиралей как следствие развития газопылевых туманностей. На рис. 3 представлен результат численного моделирования спиральной галактики m=4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л. Д.. Л и фшнцЕ.М. Гидродинамика. Курс теоретической физики. Т. VI. М.: Наука. 1988.

2. С a f f а г е 11 i L.. К о h n R. arid N i г о n b о r g L. Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier Stokes equations // Comm. Pnre Appl. Math. 1982. 35. P. 771 837.

3. Am arm H. On the strong solvability of the Navier Stokes equations // J. Math. Fluid Mech. 2000. V. N 2. P. 16 98.

4. Koch H.. Та tarn D. Well posedness for the Navier Stokes equations // Adv. Math. 2001. 157. N 1. P. 22 35.

5. G a 11 a g h e r I. Critical Function Spaces for the Well-Posedness of the Navier Stokes Initial Valne Problem. Handbook of Mathematical Analysis in Mechanics of Viscons Fluids. Eds. by: Giga Y.. Novotny A. Cham: Springer. 2016.

6. A r g e n z i a n о А.. С a n n о n e M.. S a m m a r t i n о M. Navier Stokes equations in the half space with non compatible data // 2002. URL: https://arXiv:2202.09415.

7. Can n о n e M. Harmonic Analysis Tools for Solving the Incompressible Navier Stokes Equations. Handbook of Mathematical Fluid Dynamics. Eds. by: Friedlander S.J.. Serre D.III. Elsevier B.V.. 2004. P. 161 235.

8. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

9. N a z а г о v S. А.. Р i 1 е с k a s К. On steady Stokes and Navier Stokes problems with zero velocity at infinity in a three-dimensional exterior domain // J. of Math, of Kyoto Univ. 2000. 40. P. 475 492.

10. Sverak V. On Landan's solutions of the Navier Stokes equations // J. Math. Sci. 2011. 179. N 1. P. 208 228.

11. Bjorland C., Brandolese L., Iftimie D., Schondek M. Lp-Solutions of the Steady-State Navier-Stokes Equations with Rough External Forces // Comm. in P. Diff. Eqs. 2011. 36. P. 216 246.

12. Gnillod J. Steady solutions of the Navier Stokes equations in the plane. 2015. URL: https:// arXiv:1511.03938vl jmaih.AI'|. 12. Nov.

13. Baev A.V. Solving the Navier Stokes equation for a viscons incompressible fluid in an n-diriicrisiorial bounded domain and in the entire space Rn // Сотр. Math, and Modeling. 2023. 33. N 3. P. 255-272.

14. Баев А. В. О периодических решениях уравнения Навье Стокса для вяжой несжимаемой жидкости и газа в пространстве Rn // Вестн. Моск. ун-та. 2023. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. № 1. С. 1-12.

15. Srnale S. Mathematical problems for the next centnry /'/' Math. Intelligencer. 1998. 20. N 2. P. 7 15.

16. Fefferman C.L. Existence and uniqueness of the Navier Stokes equation. 2002. URL: https:// www.clayriiatli.org/riiillcririinrii/Navior Stokes Equations.

17. Денисов A.M.. Попов А. А. Двумерная задача доплеровской томографии // ЖВМиМФ. 1996. 36. № И. С. 126 133.

18. Bay тин С. П. Торнадо и сила Кориолиса. Новосибирск: Наука. 2008.

19. Вараксин А.Ю.. Роман М.Э.. Копейцев В.Н. Торнадо. М.: Физматлит. 2011.

20. Мазуров М. Е. Торнадо его физические механизмы и свойства /'/' Изв. РАН. Сер. Физ. 2019. 83. № 1. С. ИЗ 120.

21. Gavrikov М.В., Tainrskii A. A. Math. Model of Tornado // J. Phys. Conf. Ser. 2019. 1336. 012001.

22. Гавриков M. В.. Та юрский А. А. Простая математическая модель торнадо // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша. 2019. № 42. URL: littps://keldysli.rn/papers/2019 /prop2019_42.pdf.

23. Nikiforov 1.1. Modeling the rotation of the flat subsystem and determining the distance to the center of the galaxy: Realistic quality of the model and optimization of its complexity // Astrophysics. 1999. 42. P. 300 305.'

24. Reshetnikov V. P. The milky way as a galaxy // Astrophysics. 2000. 43. P. 145 155.

25. Gnsev A.. Flin V.. Pervnshin P.. Vinitsky S.. Zorin A. The universe evolution as possible mechanism of formation of galaxies and their clusters // Astrophysics. 2004. 47. P. 242 247.

26. R e s h e t n i k о v V. P.. U s а с h e v P. A. Evolution of the structure of edge-on spiral galaxies // Astrophysics. 2021. 64. P. 1 7.

27. Lindblad B. Spiral Structure in Galaxies // Stockholm Olis. Arm. Esp. Sec. 5. Spiral Structure. 1961. 21. N 8.

28. G о 1 d г о i с h P., L у n d с n-В о 11 D. II. Spiral arms as sheared gravitational instabilities // Mori. Not. RAS. 1965. 130. P. 125 158.

29. Lin G.G.. Shu F.H. On the Spiral Structure of disk galaxies // Astrophys. J. 1966. 140. N 2. P. 646 655.

30. Feldman S.I., Lin G.G. A forcing mechanism for spiral density waves in galaxies // Stud. Appl. Math. 1973. 52. N 1. P. 1 20.

31. Фридман A.M. Происхождение спиральной структуры галактик // УФН. 1978. 125. № 6. С. 352 355.

32. В er tin G., Lin G.G. Spiral Structure in Galaxies: A Density Wave Theory. MIT Press. 1996.

33. Ghilingarian I.V., Zolotukhin I.Yn., Ivatkov I.Y., Melchior An.-L., Rubtsov E.V., Grishinet K. A. RCSED-A valne-added reference catalog of spectral energy distributions of 800,299 galaxies in 11 ultraviolet, optical, and near-infrared bands: morphologies, colors, ionized gas, and stellar population properties // The Astrophys. J. Supplement Series. 2017. 228. N 2. P. 1 25.

34. M и щ e ii к о А. С., Ф о м е н к о А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во МГУ, 1980.

Поступила в редакцию 25.09.23 Одобрена после рецензирования 25.03.24 Принята к публикации 25.03.24