CC BY
10Проектирование, сооружение и эксплуатация систем трубопроводного транспорта
УДК 519.63+533.6
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЗАКРУЧЕННОГО ПОТОКА ГАЗА, ИНИЦИИРОВАННОГО ХОЛОДНЫМ ВЕРТИКАЛЬНЫМ ПРОДУВОМ1
NUMERICAL CALCULATION OF THERMODYNAMIC PARAMETERS OF GAS SWIRLING FLOW INDUCED BY COLD VERTICAL BLOW
Л. В. Абдубакова, А. Г. Обухов
L. V. Abdubakova, A. G. Obukhov
Тюменский государственный университет, г. Тюмень
Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень
Ключевые слова: система уравнений газовой динамики, полная система уравнений Навье — Стокса, краевые условия Key words: system of equations of gas dynamics, complete system of Navier — Stokes equations,
boundary conditions
Теоретические и численные исследования, проведенные в работах [1-5], подтвердили предложенную в исследовании [6] общую схему возникновения и последующего функционирования восходящего закрученного потока. В указанных работах были изучены течения газа в разных частях восходящего закрученного потока. Основная идея предложенной схемы возникновения восходящего закрученного потока [6] заключается в том, что в результате локального прогрева поверхности суши или водной поверхности появляется восходящий поток воздуха. Замещающее его радиальное течение под действием силы инерции Кориолиса приобретает осевую закрутку.
Принципиально важно при этом отметить, что для появления радиального движения воздуха не имеет значения способ создания первоначального восходящего потока — либо нагрев подстилающей поверхности, либо холодный вертикальный продув. Последний способ получения восходящего закрученного потока был успешно реализован в лабораторных условиях [7, 8]. В описанных здесь лабораторных экспериментах продув воздуха осуществлялся с весьма незначительной скоростью через трубу малого диаметра, и скорости окружного движения воздуха в придонной части получались небольшими. Поэтому было бы интересно попытаться математически и численно смоделировать возникновение и развитие восходящего закрученного потока с использованием холодного продува воздуха с большей скоростью и через трубу значительно большего диаметра, тем более что в работах [9-11] предприняты попытки исследований сложных течений газа, предполагающих математическое моделирование и численные расчеты трехмерных нестационарных течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа в целом.
Целью данной работы является математическое моделирование и численный расчет термодинамических характеристик трехмерного нестационарного течения сжимаемого вязкого теплопроводного газа в восходящем закрученном потоке, вызванного вертикальным холодным продувом. При этом скорость продува предполагается порядка 1 м/c, а диаметр трубы — 5 м. По итогам математического моде-
1 Исследования поддержаны РФФИ (проект № 11-01-00198) и
Министерством образования и науки РФ (проект № 2014/229).
лирования и численных расчетов предполагается дать конкретные рекомендации по осуществлению масштабного эксперимента с указанными параметрами.
Полная система уравнений Навье — Стокса. Для описания сложных течений упругой сплошной среды, обладающей диссипативными свойствами вязкости и теплопроводности, используется полная система уравнений Навье — Стокса, которая, будучи записанной в безразмерных переменных с учетом действия силы тяжести и Кориолиса в векторной форме, имеет следующий вид [12]:
р{ +У- Чр+рсИлР'=0,
¿V
V +V VV-^ Vp+^ VT=g—2Qх
УР У ( р
T +V- 'VT+(y—1)TdivV=— AT I -1 Р 2Р
-(Ux —Wz)2+(vy —Wz)2]+3 +Vx)2+(uz +Wc)2+(vz +Wy)2]l,
{[fc —vy)
—vy)2+
(1)
2
где значения безразмерных коэффициентов вязкости и теплопроводности следующие: ju0 = 0,001, —о ~ 1,458333^0.
Эта система в дифференциальной форме передает законы сохранения массы, импульса и энергии в движущейся сплошной среде.
В системе (1): t —время; x, y, z —декартовы координаты; р —плотность газа; V = (и, v, w) — вектор скорости газа с проекциями на соответствующие декартовы оси; T — температура газа; g = (0,0, — g) — вектор ускорения силы тяжести; у = 1,4 —показатель политропы для воздуха; — 2QxV = (av—bw,—аи, bu) —вектор ускорения Кориолиса, где а = 2Q sin^, b = 2Q cos^, Q = Q|; Q — вектор угловой скорости вращения Земли; — широта точки O — начала декартовой системы координат xyzO, вращающейся вместе с Землей; V и div — операторы градиента и дивергенции по декартовым пространственным переменным, точкой обозначено скалярное произведение векторов.
Начальные и краевые условия. В качестве начальных условий при описании соответствующих течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа в случае постоянных значений коэффициентов вязкости и теплопроводности в данной работе берутся функции, задающие точное решение [9] системы (1):
и = 0, v = 0, w = 0, (2)
1x K
T0(z) = 1 — kz, k = -00, I = 0,0065—, x00 = 50м, T00 = 288oK (3)
T00 м
и р0 (z) = (1 — kz)v—1; v = ^ = const > 0. (4)
k
Расчетная область представляет собой прямоугольный параллелепипед с длинами сторон x0 = 1, y0 = 1 и z0 = 0,04 вдоль осей Ox , Oy и Oz соответственно.
Для плотности на всех шести гранях параллелепипеда x = 0, x = x0, y = 0,
y = y0, z = 0, z = z0 ставится «условие непрерывности» потока [10].
Краевые условия для компонент вектора скорости газа соответствуют «условиям непротекания» для нормальной составляющей вектора скорости и «условиям
симметрии» для двух других компонент вектора скорости течения [10]. Для температуры на всех шести гранях задаются условия теплоизоляции [10].
С учетом цели данной работы продув газа через вертикальную трубу моделируется заданием вертикальной скорости течения газа в зависимости от времени t в виде
w(t) = 0.003 -[1 - exp(-101)] (5)
через квадратное отверстие размером 0,1 х 0,1 в центре верхней грани расчетной области.
Результаты расчетов. Расчеты проводились при следующих входных параметрах: масштабные размерные значения плотности, скорости, расстояния и времени равны соответственно
Р00 = 1,29 28 u00 = 333 —, Х00 = 50 м, % = X00I«00 = 0,15с . м3 с
Разностные шаги по трем пространственным переменным Ax = Ay = 0,005 (размерное значение 0,25 м), Az = 0,004 (размерное значение 0,2 м), а шаг по времени At = 0,001 (размерное значение 0,00015 с).
На рисунках 1-6 представлены результаты расчетов плотности газа на высоте z = 0,02 (размерное значение 1 м) для шести различных моментов расчетного времени. Плотность газа по периметру расчетной области сохраняется постоянной и равной значению плотности стационарного распределения. В начальные моменты времени происходят колебания плотности газа в четвертом десятичном знаке, а с течением времени амплитуда колебаний плотности постепенно уменьшается, и наблюдается плавное понижение плотности в центре расчетной области.
0.9996 200
Рис. 1. Плотность газа на 300 расчетном шаге по времени
0 9997
0.9997 0.9996 О 9996
200
Рис. 2. Плотность газа на 10 000
расчетном шаге 110 времени р _
Рис. 3. Плотность газа на 30 000 расчетном шаге по времени
Рис. 4. Плотность газа на 50 000 расчетном шаге по времени
р
Рис. 5. Плотность газа на 100 000 расчетном шаге по времени
Р
Рис. 6. Плотность газа на 300 000 расчетном шаге по времени
На рисунках 7-12 приведены результаты расчетов температуры газа на высоте г = 0,02 (размерное значение 1 м) для шести различных моментов расчетного времени. Несмотря на холодный продув газа через верхнее отверстие, в результате численного решения полной системы уравнений Навье — Стокса отмечается понижение температуры в центре расчетной области под отверстием продува. Периферийное же значение температуры соответствует постоянному значению начального стационарного распределения. Следует отметить, что как и для плотности видны незначительные изменения температуры в начальные моменты времени счета, которые постепенно исчезают.
Рис. 7. Температура газа на 300 Рис. 8. Температура газа на 10 000
расчетном шаге по времени расчетном шаге по времени
Т
Рис. 9. Температура газа на 30 000 расчетном шаге по времени
Т
Рис. 10. Температура газа на 50 000 расчетном шаге по времени
0.9975 200
Рис. 11. Температура газа на 100 000 расчетном шаге по времени
Рис. 12. Температура газа на 300 000 расчетном шаге по времени
На рисунках 13-18 изображены результаты расчетов давления газа на высоте г = 0,02 (размерное значение 1 м) для шести различных моментов расчетного времени. Поведение рассчитанных значений давления с течением времени аналогично поведению плотности и температуры, поскольку давление есть произведение плотности и температуры. Существенным моментом в поведении давления в зависимости от времени является появление области пониженных значений, напоминающей воронку, которая постепенно увеличивается с течением времени.
Рис. 13. Давление газа на 300 расчетном шаге по времени
Рис. 14. Давление газа на 10 000 расчетном шаге по времени
Р
150
Рис. 15. Давление газа на 30 000 расчетном шаге по времени
р
Рис. 16. Давление газа на 50 000 расчетном шаге по времени
Таким образом, в работе показано, что численное решение полной системы уравнений Навье — Стокса с поставленными начальными краевыми условиями могут описывать сложные течения вязкого сжимаемого теплопроводного газа. Установлено, что плотность, температура и давление газа при таком сложном течении претерпевают заметные изменения на начальной стадии. При увеличении времени расчета термодинамические параметры и все течение в целом стабилизируются с постепенным выходом на стационарный режим.
Список литературы
1. Баутин С. П., Обухов А. Г. Математическое моделирование разрушительных атмосферных вихрей. - Новосибирск: Наука, 2012. - 152 с.
2. Баутин С. П., Обухов А. Г. Математическое моделирование и численный расчет течений в придонной части тропического циклона // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика. - 2012. -№ 4. - С. 175-183.
3. Обухов А. Г. Математическое моделирование и численные расчеты течений в придонной части торнадо // Вестник ТГУ. Физико-математические науки. Информатика. - 2012. -№ 4. - С. 183-189.
4. Баутин С. П., Обухов А. Г. Математическое моделирование придонной части восходящего закрученного потока // Теплофизика высоких температур. - 2013. - Т. 51. -№ 4. - С. 567-570.
5. Баутин С. П., Крутова И. Ю., Обухов А. Г., Баутин К. В. Разрушительные атмосферные вихри: теоремы, расчеты, эксперименты. - Новосибирск: Наука; Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2013. - 215 с.
6. Баутин С. П. Торнадо и сила Кориолиса. - Новосибирск: Наука, 2008. - 96 с.
7. Баутин С. П., Баутин К. В., Макаров В. Н. Экспериментальное подтверждение возможности создания потока воздуха, закрученного силой Кориолиса // Вестник УрГУПС. - 2013. - № 2(18). -С. 27-33.
8. Макаров В. Н., Горбунов С. А., Баутин К. В., Баутин С. П. Исследование циркуляционного течения атмосферного воздуха под действием силы Кориолиса // Известия Уральского государственного горного университета. - 2013. - N° 2(30). - С. 35-38.
9. Баутин С. П., Обухов А. Г. Одно точное стационарное решение системы уравнений газовой динамики // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. - № 4. - С. 81-86.
10. Баутин С. П., Обухов А. Г. Об одном виде краевых условий при расчете трехмерных нестационарных течений сжимаемого вязкого теплопроводного газа // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. -№ 5.-С. 55-63.
11. Обухов А. Г., Сорокина Е. М. Математическое моделирование и численный расчет трехмерного конвективного течения газа // Известия вузов. Нефть и газ. - 2013. - № 6. - С. 57-63.
12. Баутин С. П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. -Новосибирск: Наука, 2009. - 368 с.
Сведения об авторах
Абдубакова Лилия Варисовна, старший преподаватель кафедры «Алгебра и математическая логика», Тюменский государственный университет, г. Тюмень, тел. 89220785984, е-mail: ablili@mail.ru
Обухов Александр Геннадьевич, д. ф.-м. н., профессор кафедры «Высшая математика», Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень, тел. 89220014998, е-mail: aobuk-hov@tsogu.ru
Abdubakova L. V., senior lecturer of the chair «Algebra and logic theory», Tyumen State Oil and Gas University, phone: 89220785984, е-mail: ablili@mail.ru
Obukhov A. G., Doctor of Physics and Mathematics, professor of the chair «Higher mathematics», Tyumen State Oil and Gas University, phone: 89220014998, е-mail: aobukhov@tsogu.ru
